Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu. P. F. Góra

Transkrypt

1 Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu P. F. Góra

2 Parametr porzadku W niskich temperaturach układy występuja w fazach, które łamia symetrię hamiltonianu: Sieć krystaliczna narusza symetrię translacyjna, uporzadkowane spiny (momenty magnetyczne) naruszaja symetrię obrotowa itp. Jeżeli hamiltonian jest niezmienniczy ze względu na pewne symetrie, a stan podstawowy nie wykazuje tej symetrii, mówimy, że symetria została spontanicznie złamana. Niech P będzie operacja symetrii, względem której hamiltonian H jest niezmienniczy: P 1 HP = H (1a) Jeśli ψ jest stanem podstawowym, czyli H ψ = E ψ (1b) Copyright c 2015 P. F. Góra 13 2

3 to także H (P ψ ) = E (P ψ ) (1c) a więc stan podstawowy musi być zdegenerowany. Jeżeli układ łamie symetrię ciagł a, stan podstawowy musi być nieskończenie zdegenerowany. Rozważmy modelowy ferromagnetyk. Fizyczna manifestacja przejścia fazowego jest to, że pojawiaja się bloki uporzadkowanych spinów. Kolektywny, spontaniczny obrót spinu całego bloku pod wpływem zaburzeń termicznych jest mało prawdopodobny i układ na długo pozostaje uwięziony w jakiejś konfiguracji. Symetria zostaje złamana, a w układzie pojawia się parametr porzadku: magnetyzacja spontaniczna. Istnienie parametru porzadku jest wspólna cecha przejść fazowych II rodzaju (ciagłych). Copyright c 2015 P. F. Góra 13 3

4 Przykłady parametru porzadku Układ Parametr porzadku Złamana symetria ferromagnetyk magnetyzacja symetria obrotowa antyferromagnetyk magnetyzacja podsieci symetria obrotowa nadciekłość funkcja falowa kondensatu globalna symetria cechowania model Kuramoto moduł fazy zsynchronizowanej (układ niehamiltonowski) Wszystkie przejścia fazowe II rodzaju sa więc w pewnym sensie podobne i możemy spróbować opisać je wspólnie. Copyright c 2015 P. F. Góra 13 4

5 Teoria Ginzburga-Landaua Pomijajac wszystkie mikroskopowe szczegóły układu, opisujemy układ poprzez pewne pole φ(x) w D-wymiarowej przestrzeni. Przypuśćmy, że istnieje także jakieś pole zewnętrzne h(x) (w modelu ferromagnetyka byłoby to zewnętrzne pole magnetyczne). Postulujemy, że energia ma postać [ ] E[φ] = d D 1 x 2 φ(x) 2 + Ω(φ(x)) h(x)φ(x) (2) Człon kinetyczny narzuca pewien koszt energetyczny zwiazany z gradientem φ, przez co układ daży do jednorodności. Ω jest potencjałem zawierajacym tylko parzyste potęgi: Ω(φ(x)) = r 0 φ 2 (x) + u 0 φ 4 (x) + (3) Copyright c 2015 P. F. Góra 13 5

6 ale wyrazy wyższe zazwyczaj się pomija. Wymagamy, aby u 0 > 0, dzięki czemu E[φ] ma dolna granicę. r 0 może mieć dowolny znak. Cały układ wykazuje symetrię góra-dół. Sumę statystyczna otrzymamy całkujac po wszystkich możliwych funkcjonalnych postaciach φ: Z[h] = (Dφ)e βe[φ] (4) Policzywszy sumę statystyczna, energię swobodna i pozostałe wielkości Copyright c 2015 P. F. Góra 13 6

7 termodynamiczne liczymy w zykły sposób: M = F = k B T ln Z[h] χ = 1 V d D x φ(x) M h = F h (podatność) C h = T 2 F T 2 (5a) (5b) (5c) (5d) Copyright c 2015 P. F. Góra 13 7

8 Całkowanie funkcjonalne Całka w (4) oznacza całkowanie funkcjonalne (czyli całkę po trajektoriach). Możemy założyć, że całkę tę można wykonać następujaco: Zastępujemy ciagł a przestrzeń dyskretna siatka {x 1, x 2,... }. Niech φ i = φ(x i ). Całka funkcjonalna może być przybliżona przez (Dφ) = dφ 1 dφ 2... (6) Copyright c 2015 P. F. Góra 13 8

9 Konfiguracje pola φ wykazujace silne oscylacje, tym bardziej zaś niecia- głości, prowadza do dużych wartości członu φ 2 w energii (2), a zatem daja mały przyczynek do sumy statystycznej (4). Oczekujemy, że największy przyczynek będa dawać konfiguracje o niewielkiej zmienności. Po zdyskretyzowaniu przestrzeni, także operator gradientu zastępujemy jego dyskretnym przybliżeniem. Copyright c 2015 P. F. Góra 13 9

10 Teoria średniego pola W jednorodnym polu zewnętrznym h(x) = h, pole φ fluktuuje wokół pewnej stałej. Zaniedbujemy fluktuacje i przyjmujemy, że φ(x) = m (7) gdzie m jest stała. Pole φ ma zatem stała, uśredniona wielkość w obrębie całego układu. Energia swobodna wynosi wówczas F (m) = V (r 0 m 2 + u 0 m 4 hm) (8) Chcemy zminimalizować tę wielkość ze względu na m. Dla h = 0 mamy m ( m 2 + r 0 2u 0 ) = 0 (9) Jeśli r 0 > 0, jest tylko jeden pierwiastek m = 0. Jeśli r 0 < 0, pojawiaja się dwa dodatkowe pierwiastki ± r 0 /2u 0. Dla r 0 < 0 pierwiastek Copyright c 2015 P. F. Góra 13 10

11 m = 0 odpowiada maksimum energii swobodnej układ musi wybrać pomiędzy jednym z minimów, łamiac w ten sposób symetrię. Copyright c 2015 P. F. Góra 13 11

12 Przypuśćmy teraz, że r 0 = bt, t = T T c 1 (10) b > 0, a t jest temperatura zredukowana. Mamy więc m = 0 T > T c (11) ±m 0 t T < Tc W ten sposób odtworzyliśmy charakterystyczna krzywa pierwiastkowa dla spontanicznej magnetyzacji w modelu Isinga (a także, przy innych oznaczeniach, kształt modułu fazy zsynchronizowanej dla modelu Kuramoto). Copyright c 2015 P. F. Góra 13 12

13 Wykładniki krytyczne W punkcie t = 0 funkcje termodynamiczne zawieraja część regularna w t i część osobliwa, zachowujac a się jak pewne potęgi t. Potęgi te nazywane sa wykładnikami krytycznymi. Najczęściej wprowadza się następujace wykładniki krytyczne: M t β parametr porzadku (12a) χ t γ podatność (12b) C t α pojemność cieplna (12c) Widzieliśmy, że w teorii pola średniego β = 2 1. Można łatwo wyliczyć, że α = 0, γ = 1. Zestawienie wykładników krytycznych dla modelu Isinga zawiera poniższa tabela: Copyright c 2015 P. F. Góra 13 13

14 Wykładniki krytyczne w modelach Isinga Układ α β γ średnie pole 0 1/2 1 2D (dokładnie) 0 1/8 7/4 3D (przybliżenie) D (pomiar) Teoria średniego pola jest zaledwie takim sobie przybliżeniem rzeczywistości... Copyright c 2015 P. F. Góra 13 14