Fizyka statystyczna doskona ego gazu bozonów

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Fizyka statystyczna doskona ego gazu bozonów"

Tomasz Jaworski
5 lat temu
Przeglądów:

1 Fizyka statystyczna doskonaego gazu bozonów Kazimierz Rzewski Centrum Fizyki Teoretycznej PAN oraz Uniwersytet Kardynaa Stefana Wyszyskiego w Warszawie

2 Fizyka statystyczna doskonaego gazu bozonów Kazimierz Rzewski Centrum Fizyki Teoretycznej PAN oraz Uniwersytet Kardynaa Stefana Wyszyskiego w Warszawie

3 Fizyka statystyczna doskonaego gazu bozonów Kazimierz Rzewski Centrum Fizyki Teoretycznej PAN oraz Uniwersytet Kardynaa Stefana Wyszyskiego w Warszawie

4 jak zimny musi by gaz by objawiy si wasnoci kwantowe? dugo fali de Brogliea = h p warunek krytyczny typowe parametry: = odlego pomidzy atomami temperatura<1mikrokelvin atoms gsto< cm 3

5 jak zimny musi by gaz by objawiy si wasnoci kwantowe? dugo fali de Brogliea = h p warunek krytyczny typowe parametry: = odlego pomidzy atomami temperatura<1mikrokelvin atoms gsto< cm 3

6 jak zimny musi by gaz by objawiy si wasnoci kwantowe? dugo fali de Brogliea = h p warunek krytyczny typowe parametry: = odlego pomidzy atomami temperatura<1mikrokelvin atoms gsto< cm 3

7 jak zimny musi by gaz by objawiy si wasnoci kwantowe? dugo fali de Brogliea = h p warunek krytyczny typowe parametry: = odlego pomidzy atomami temperatura<1mikrokelvin atoms gsto< cm 3 to jest wysoka temperatura!

8 Dlaczego gaz czstek kwantowych zachowuje si inaczej ni gas klasyczny? Bo czstki kwantowe s nierozrónialne!

9 Dlaczego gaz czstek kwantowych zachowuje si inaczej ni gas klasyczny? Bo czstki kwantowe s nierozrónialne! czstki klasyczne: dwa sposoby

10 Dlaczego gaz czstek kwantowych zachowuje si inaczej ni gas klasyczny? Bo czstki kwantowe s nierozrónialne! czstki klasyczne: dwa sposoby

11 Dlaczego gaz czstek kwantowych zachowuje si inaczej ni gas klasyczny? Bo czstki kwantowe s nierozrónialne! czstki klasyczne: dwa sposoby czstki kwantowe: jeden sposób

12 dwa rodzaje czstek kwantowych bozony fermiony spin bozony/fermiony parzysta/nieparzysta liczba

13 dwa rodzaje czstek kwantowych bozony fermiony spin bozony/fermiony parzysta/nieparzysta liczba

14 atomy w puapce w T=0 fermiony bozony

15 atomy w puapce w T=0 atomy s bozonami lub fermionami w zalenoci od liczby neutronów w jdrze fermiony bozony

16 Zespoy termodynamiczne 1. Zespó mikrokanoniczny Brak wymiany ciepa Brak wymiany czstek (N,E) degeneracja Zwizek z termodynamik: entropia: 2. Zespó kanoniczny temperatura: S=kln 1 kt = ln[(n,e)] E Temperatura wyznaczona przez termostat Brak wymiany czstek = exp[h] Z(N,T) <E>= lnz(n,t) Z(N,T)=Tr[exp(-H)]

17 3. Wielki zespó kanoniczny: exp[h +µn] (T,µ) = = exp[ Kontakt z rezerwuarem ciepa i rezerwuarem czstek (T,µ)=Tr[exp(-H+µN)] <N >=z z ln aktywno: z=exp[µ] Zwizki midzy sumami statystycznymi Z(N,T)=Tr[exp(-H)] Z(N,)= (z,)= E N=0 exp[e]( N,E) z N Z(N,)

18 najprostszy przykad: dwa atomy w jednowymiarowym potencjale harmonicznym; zespó kanoniczny = 1 Z() n 1,n 2 n 1+n 2 n 1,n 2 ><n 1,n 2 =exp[/kt] klasyczne bozony fermiony 0n,n < 1 2 0n 1 n 2 < 0n <n < 1 2 Z c = n=0 n 2 = n 2 n 1 =0 1 ( 1) Z 2 b = n 2 n 1 = n 2 =0 = n 2 1 n 1 =0 Z f = n 2 n 1 = = n 2 =0 1 ( )(1 2 )

19 rednie obsadzenie poziomu podstawowego... W(n 1,n 2 )= n 1+n 2 Z() klasyczne bozony fermiony P c (2)=W c (0,0)=(1) 2 P b (2)=W b (0,0)= P f (2)=0 P c (1)=2 W(0,n) = n=1 =2(1) P c (0)= 2 =(1)(1 2 ) P b (1)= W b (0,n) = n=1 =(1 2 ) P b (0)= 2 P f (1)= W f (0,n) = n=1 =1 2 P f (0)= 2 <N 0 >=2P(2)+1P(1)+0P(0) <N 0 > c =2(1) <N 0 > b =(2)(1 2 ) <N 0 > f =1 2

20 rola statystyki... dwa atomy 2 <N 0 > klasyczne fermiony bozony

21 N atomów Z c = 1 1 N Z b = N 1 N 1 Z 1 k f = N1 k=1 k=1 1 k <N 0 > c =N(1)...

22 NUMBER OF PARTICLES <n 0 > dramatyczna rónica... n 0 <n 0 > n 0 N=1000 bosons classical kt

Ksikowa teoria BEC jest oparta na wielkim zespole kanonicznym bo znamy ogóln posta wielkiej sumy statystycznej dla nieoddziaujcych bozonów (dla fermionów te): i=0 N = n i i=0 0

23 Ksikowa teoria BEC jest oparta na wielkim zespole kanonicznym bo znamy ogóln posta wielkiej sumy statystycznej dla nieoddziaujcych bozonów (dla fermionów te): i=0 N = n i i=0 0 E = n i i n i liczba atomów o energii i i jednoczstkowe poziomy energii = n 0 =0n 1 =0 n i =0 i= exp[ n i ( i µ)] i=0 1 2 bozony = i fermiony = {1+zexp[ i ]} i 1 1zexp[ i ]

24 Oscylator harmoniczny 3D energie jednoczstkowe: j =j stopie degeneracji: (j+1)(j+2) 2 (,z) = j =0 1 1z j (j +1)(j +2) 2 =exp[ kt ]

25 Znamy asymptotyczne wyraenie na wielk sum statystyczn: g n (z)= ln= k=1 j=0 (j+1)(j+2) 2 =ln(1z)+ 1 2 ln[1z j ] ln(1z) 1 2 dx x 2 ln(1z x )= 0 z k x 2 kx dx= k k=1 =ln[1z]+ g 4 (z) [ln] 3 z k k n g n (1)=(n) z dg n (z) dz 0 =g n1 (z)

26 warunek krytyczny ln=ln[1z]+ g 4(z) [ln] 3 =exp[/kt] <N >=z ln z = z 1z + kt 3 g 3 (z) <N 0 > <N ex > <N 0 > =N1 (3) N kt 3 temperatura krytyczna T c = k N (3) 1 3

27 Wielki zespó kanoniczny jest chory. Przewiduje absurdalne fluktuacje liczby atomów w kondensacie: na chwil przywrócimy energi stanu podstawowego <N 0 >= 1 ln = 1 (ln(1ze 0 )...) 0 0 = ze0 1ze 0 2 N 0 =<N 2 0 ><N 0 > 2 = 1 <N 0 > = 0 ze 0 (1ze 0 )2 std N 0 <N 0 > =1+ 1 <N 0 > W dowiadczeniu (niemal) doskonaa izolacja Zespómikrokanoniczny

28 Jednowymiarowy oscylator harmoniczny 0 2 E n =(n+1/2) 1 N ex ex(n ex,e) P(NN ex )= 1/7 2/7 2/7 1/7 1/7 <N 0 >= (1*4 + 2*3 + 2*2 + 1*1 + 1*0)/7=15/7 (N 5,5)=7

29 Srinivasa Ramanujan Godfrey Harold Hardy D (N) 1 4N 3 exp[ 2N/3]

30 Zespó Demona Maxwella: atomy wzbudzone: okrelona energia nieokrelona liczba czstek Y(z,E) = N ex =1 z N ex ex(n ex,e) Gdybymy znali Y: (N,E) =Y(1,E), N >E <N ex >=N <N 0 >= z ln[y(z,e)] z=1 (N ex ) 2 = z z 2 ln[y(z,e)] z=1

31 Jak wyglda funkcja tworzca wzgldem energii? ex (z,) = E Y(z,E) = j =1 1 1z j (j +1)(j +2) 2 Nie ma wkadu od stanu podstawowego! ln[ ex (z,)] g 4(z) [ln] 3 Y(z,E) = 1 2i ex (z,) d E +1

32 obsadzenie kondensatu w funkcji temperatury 1000 NUMBER OF C CONDENSED ATOMS N= T/T c <N 0 > =N1 (3) N kt 3

33 Fluktuacje gazu doskonaego w 3D puapce harmonicznej N=1000 grand canonical N 0 20 canonical 10 microcanonical T/T c 2 N 0 = kt 3 (2) 32 (3) 4(4)

Zespó Demona Maxwella stosuje si do rónych

Ukazao si wiele prac na temat fluktuacji w

Nie nadaj si na seminarium na temat cisych

34 Zespó Demona Maxwella stosuje si do rónych potencjaów puapki i w rónych wymiarach. Ukazao si wiele prac na temat fluktuacji w gazie sabo oziaujcym. Nie nadaj si na seminarium na temat cisych wyników! P. Navez, D. Bitouk, M. Gajda, Z. Idziaszek, and K. Rzewski, Fourth Statistical Ensemble for the Bose-Einstein Condensate, Phys. Rev. Lett. 79, (1997)

Podobne dokumenty

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy