Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony)
|
|
- Błażej Bukowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 TiFS, Ćwiczenia nr 4 Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony) Jeśli do wielkiej sumy statystycznej zastosuje się klasyczną poprawkę na niezrozróżnialność cząstek to w wyniku otrzymuje się własności cząstek, które nie istnieją realnie w przyrodzie. Można je potraktować jako przybliżenie wysokotemperaturowe dla fermionów i bozonów, ponieważ w wysokiej temperaturze własności fermionów i bozonów zbliżają się do wspólnej granicy. Zadanie. Znaleźć krotność degeneracji W n...n m poziomów energetycznych układu cząstek rozróżnialnych. Poziomy energetyczne układu wyrażone są poprzez poziomy energetyczne jednocząstkowe ε i i ich liczby obsadzeń n i. Jeśli cząstki są rozłożone na poziomach jednocząstkowych w ten sposób, że na poziomie ε jest n cząstek, na poziomie ε jest n cząstek,... itd. to krotność degeneracji poziomu energetycznego układu: E = n ε + n ε +... n m ε m określona jest przez liczby permutacji cząstek znajdujących się w obrębie jednego poziomu jednocząstkowego: n!, n!,..., n m! m jest numerem najwyższego poziomu jednocząstkowego (może być m = ). Liczba wszystkich możliwych permutacji N cząstek wynosi N!, gdzie: N = n + n n m Wystarczy zauważyć, że permutacje n i cząstek w obrębie jednego poziomu ε i tak naprawdę nie mają sensu, bo wszystkie n i cząstek znajdują się na tym poziomie wspólnie. Szukana krotność degeneracji wynosi więc: W n...n m = (n + n n m )! n! n! n m! Najlepiej uzmysłowić to sobie na przykładzie. Niech: n =, n =. Oto wszystkie permutacje cząstek:
2 Liczba wszystkich permutacji wynosi ( + )! = 3! = 6 a krotność degeneracji W n,n = 3!!! = 3. Łatwo zauważyć, że istotnie różne permutacje występują parami. Zadanie: Obliczyć wielką sumę statystyczną dla cząstek nierozróżnialnych przy zastosowaniu klasycznej poprawki na nierozróżnialność podzielić przez /N! W przypadku cząstek rozróżnialnych jeśli sumujemy po liczbach obsadzeń n i poziomów jednocząstkowych ε i musimy uwzględnić krotność degeneracji poziomów układu przy obliczaniu wielkiej sumy statystycznej. Θ r = W n...n m exp ( n (µ ε )) ( nm (µ ε m ))... exp n...n m = gdzie W n...n m n...n m = zostało przed chwilą wyznaczone. Zastosowanie klasycznej poprawki na nierozróżnialność cząstek polega na podzieleniu każdego składnika w wielkiej sumie statystycznej przez odpowiadające mu N! = (n + n n m )!. Dostajemy wówczas: Θ = n!... n m! exp ( n (µ ε )) ( nm (µ ε m ))... exp Łatwo zauważyć, że wielka suma statystyczna rozpadła się na iloczyn sum Θ i dla pojedynczego poziomu jednocząstkowego ε i : Θ = Θ Θ... Θ m gdzie: Θ i = n i! exp ( n i (µ ε i )), gdzie i =,,..., m n i =
3 Można ją zapisać w postaci rozwinięcia w szereg funkcji wykładniczej: Θ i = n! xn = e x gdzie: n= x = e (µ ε i)/ Ostatecznie wielka suma statystyczna dla poziomu jednocząstkowego wynosi: Θ i = exp [ e (µ ε i)/ ] Podobne złożenie funkcji wykładniczych pojawiło się wcześniej przy obliczaniu wielkiej sumy statystycznej dla gazu doskonałego. Zadanie: Znaleźć średnią liczbę maxwellonów w temperaturze T. Korzystamy ze wzoru na średnią liczbę cząstek: N = Ω µ gdzie wielki potencjał wynosi: m m Ω = ln Θ = ln Θ i = i= i= Stąd: m m N = e(µ εi)/ = i= e (µ ε i)/ i= e (µ ε i)/ Średnią liczbę cząstek można zapisać w postaci: m N = gdzie: i= n i n i = e (ε µ)/ To wyrażenie można zinterpretować jako średnią liczbę obsadzeń poziomu ε i temperaturze T. Tę funkcję nazywa się rozkładem Maxwella-Boltzmanna. w Trzy rozkłady Bosego-Einsteina, Fermiego-Diraca i Maxwella Boltzmanna można zapisać w postaci jednego wzoru: 3
4 n(ε) = gdzie e (ε µ)/ + δ δ = + dla rozkładu Fermiego-Diraca (wówczas n < ) δ = dla rozkładu Bosego-Einsteina δ = dla rozkładu Maxwella Boltzmanna W wysokich temperaturach: e (ε µ)/ co nie jest takie oczywiste ponieważ potencjał chemiczny też zależy od temperatury. Można ten warunek zapisać przy pomocy wielkości x = ε/ i y = e µ/. Wówczas: e x /y i do jego spełnienia wystarczy aby zachodziło y. Wtedy wartość funkcji polilogarytmicznej Li q (y) też jest mała. Jeśli przypomnimy sobie na przykład wzór na średnią liczbę cząstek dla bozonów: N T 3/ Li 3 (y) to przy warunku N = const i dla Li 3 (y) musimy rzeczywiście mieć wysokie temperatury. Wówczas wielkość δ można zaniedbać i rozkłady statystyczne dla bozonów i fermionów zbliżają się do wspólnej granicy wysokotemperaturowej, którą jest rozkład statystyczny dla maxwellonów. Własności termodynamiczne gazu maxwellonów są własnościami gazu doskonałego. Można do zobaczyć wyznaczając w znany już sposób ich energię wewnętrzną U i równanie stanu Ω = pv. Uwaga: Można pokazać, wychodząc z definicji średniej statystycznej wielkości n i w wielkim rozkładzie kanonicznym: n i = f n...n m n i n...n m = że n i jest rzeczywiście średnią liczbą obsadzeń poziomu jednocząstkowego. 4
5 Zadanie: Znaleźć średnią liczbę cząstek i energię w temperaturze T dla gazu bozonów o kwadratowej gęstości stanów. Zakładamy, że gęstość stanów ma postać: f (ε) = αε gdzie α jest pewną stałą. We wzorze na średnią liczbę cząstek: N = n(ε i ) i= zamieniamy sumowanie przez całkowanie z gęstością stanów, zakładając że najniższy stan energetyczny ε = : N = n(ε) f (ε)dε gdzie: n(ε) = e (ε µ)/ jest rozkładem Bosego-Einsteina. Stąd: N = α ε dε e (ε µ)/ Stosując znane wcześniej podstawienie: x = ε, y = eµ/ dostajemy: N = α() 3 x dx e x /y Rozpoznajemy w tej całce dobrze znaną funkcję polilogarytmiczną Li 3 (y). Korzystając z poznanego wcześniej przedstawienia całkowego dla funkcji polilogarytmicznej: Li q (y) = Γ(q) x q e x /y dx 5
6 Ponieważ Γ(3) =! = możemy napisać związek pomiędzy potencjałem chemicznym µ = ln y i średnią liczbą cząstek N: N = α() 3 Li 3 (y) Zadanie: Znaleźć energię wewnętrzną dla gazu bozonów o kwadratowej gęstości stanów. Energię wewnętrzną gazu bozonów o kwadratowej gęstości stanów można obliczyć w znany już sposób. Zamieniamy sumowanie po stanach jednocząstkowych dla funkcji rozkładu Bosego- Einsteina n(ε) na całkowanie z gęstością stanów f (ε): U = E = ε i n(ε) i= ε n(ε) f (ε) dε Podstawiając wzory na gęstość stanów f (ε) i rozkład Bosego-Einsteina n(ε) dostajemy: U = α ε 3 dε exp ( ε µ ) Stosując znane już podstawienie: x = ε/ mamy ε 3 dε = () 4 x 3 dx Stąd przy oznaczeniu y = e µ/ dostajemy: U = α() 4 x 3 dx e x /y W całce rozpoznajemy funkcję polilogarytmiczną Li 4 (y). Ponieważ Γ(4) = 3! = 6 więc aby być w zgodności z przedstawieniem całkowym funkcji polilogarytmicznej trzeba napisać: U = 6α() 4 Li 4 (y) 6
7 Zadanie: Obliczyć wielki potencjał dla gazu bozonów o kwadratowej gęstości stanów. Ω = i= ln [ exp ( µ ε i )] Zamieniając sumowanie na całkowanie z gęstością stanów f (ε) = αε : Ω = α Podstawiając: x = ε/, y = e µ/ mamy ε dε = () 3 x dx a stąd: Ω = α() 4 ε ln [ exp ( µ ε )] dε x ln( ye x )dx Całkujemy przez części: u = ln( ye x ) v = x u = ye x ye x = e x /y v = 3 x3 [ Ω = α( 4 ) 3 x3 ln( ye x ) ] x 3 dx } {{ } 3 e x /y = Obie granicę wyrażenia: lim uv = i lim uv = x x można wyznaczyć stosując regułę de l Hôspitala. Rozpoznając w całce funkcję polilogarytmiczną dostajemy wniosek, że wielki potencjał jest proporcjonalny do energii wewnętrznej układu Ω = 3 α()4 Γ(4)Li 4 (y) = 3 U 7
8 Wniosek: Stosując wzór Kramersa dostajemy prostą postać równania stanu dla gazu bozonów o kwadratowej gęstości stanów: pv = Ω = 3 U Co ciekawe dla gazu bozonów z gęstością stanów f (ε) ε odpowiadającą kwantowej studni trójwymiarowej mieliśmy: pv = 3 U Fotony Klasycznemu pojęciu fali elektromagnetycznej odpowiada kwantowe pojęcie fotonu czyli kwantu energii tej fali. Można do niego dojść rozkładając potencjał wektorowy fali elektromagnetycznej na szereg Fouriera. R. Loudon, Quantum Theory of Light, Rozdz. 6. Wówczas okazuje się, że z równania falowego na potecjał wektorowy fali A( r, t) dostaje się równania na składowe fourierowskie potencjału A k (ω)w postaci matematycznej tożsamej z równaniem oscylatora harmonicznego. Energię jednego modu drgań fali (płaska fala elektromagnetyczna): E = (ε E + µ H ) dv V można doprowadzić do postaci takiej jak dla oscylatora harmonicznego: E( k) = [ P k + ] ω k Q k gdzie: k wektor falowy fali płaskiej ω k częstość drgań fali Pk i Q k są wielkościami odpowiadającymi formalnie pędowi uogólnionemu i współrzędnej uogólnionej oscylatora. Traktując wielkości Pk i Q k jako operatory spełniające odpowiednie relacje komutacji można przyjąć, że klasycznemu polu elektromagnetycznemu odpowiada zbiór kwantowych oscylatorów harmonicznych. Kwanty energii tych oscylatorów to fotony. Co ciekawe tylko kwanty drgań oscylatorów są obserwowalne, same oscylatory pełnią tylko rolę matematyczną. W fizyce klasycznej okazało się też, że hipotetyczny ośrodek w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne (eter) nie istnieje. 8
9 Poprzez złożenie składowych fourierowskich potencjału dochodzi się do wniosku, że sam potencjał wektorowy, a więc także same pola elektryczne i magnetyczne są operatorami. Można pokazać, że natężenia pola elektrycznego i magnetycznego są proporcjonalne do operatora liczby fotonów (kwantów oscylatora). To znaczy klasycznej wartości natężenia pola elektrycznego fali odpowiada średnia liczba fotonów. W celu zastosowania fizyki statystycznej do fotonów nie trzeba odwoływać się do kwantowania pola elektromagnetycznego. Wystarczy potraktować fotony jako kwantowe cząstki nierozróżnialne podlegające statystyce Bosego-Einsteina. Wynika to stąd, że dowolna liczba fotonów może przebywać w danym stanie płaska fala elektromagnetyczna może mieć dowolnie duże natężenie pola elektrycznego. Fotony takiej fali należą do jednego oscylatora o częstości ω k. Wcześniej rozważaliśmy gaz cząstek kwantowych zamknięty w pewnej objętości V będącej trójwymiarową studnią kwantową o nieskończonej wysokości energetycznej do wydostania się ze studni potrzebna jest nieskończenie wielka energia. Teraz możemy rozważyć gaz fotonów czyli promieniowanie zamknięty w pewnej objętości V. W stanie równowagi termodynamicznej tyle samo fotonów jest pochłanianych przez ścianki naczynia jak i przez nie wypromieniowanych. W elektrodynamice klasycznej takie naczynie o objętości V zawierające fale elektromagnetyczne nazywa się rezonatorem. Powstają w nim fale stojące. Jeśli zrobimy w nim małą dziurkę to promieniowanie zacznie się przez nią wydostawać na zewnątrz. Taka dziurka w rezonatorze stanowi model ciała doskonale czarnego. Foton który przez nią wpadnie do rezonatora zostanie wielokrotnie pochłonięty i wypromieniowany przez ścianki rezonatora zanim będzie miał szansę wydostać się na zewnątrz. Zadanie: Wyznaczyć gęstość stanów dla gazu fotonów we wnęce rezonansowej o objętości V. Zrobimy to wyznaczając liczbę możliwych stojących płaskich fal elektromagnetycznych w rezonatorze. Rozważania te przypominają nieco wyznaczenie liczby stanów w studni kwantowej poprzez liczenie stanów w przestrzeni odwrotnej wektora k. Tym razem mamy do czynienia nie ze stojącą falą prawdopodobieństwa ψ tylko z realną falą elektromagnetyczną. Załóżmy, że rezonator ma postać sześcianu o objętości V = L 3. Dla płaskiej fali elektromagnetycznej o wektorze falowym 9
10 k = (k x, k y, k z ) mamy warunek na składowe wektora falowego, który mówi że na ściankach naczynia powinny leżeć węzły fali: k x = π L n x, k y = π L n y, k z = π L n z gdzie n x, n y, n z =,,,... Liczba n x, n y, n z równa się zeru jeśli fala biegnie wzdłuż odpowiedniego kierunku x, y lub z. fala o wektorze falowym k=(,3) w rezonatorze kwadratowym L ; nx ; ny 3; kx nx Pi L; ky ny Pi L; In[5]:= In[]:= f x_, y_ Sin kx x Sin ky y ; ContourPlot f x, y, x,, L, y,, L, Frame None, ContourLines False, PlotPoints 5, Contours 3 ; Objętość w przestrzeni odwrotnej wektora falowego k przypadająca na jedną falę stojącą wynosi: V = π L π L π L = π3 V gdzie V jest objętością rezonatora.
11 Ze wzoru Plancka łączącego częstość drgań fali elektromagnetycznej i energię pojedynczego fotonu: E = ω oraz z relacji pomiędzy częstością fali i wektorem falowym: ω = ck dostajemy zależność pomiędzy energią fotonu i wektorem falowym fali elektromagnetycznej: E = ck stąd de = c dk Jesli długość wektora falowego k ustalimy z dokładnością do dk to w przestrzeni wektora falowego będzie temu odpowiadała sfera o grubości dk. Ponieważ fale w rezonatorze są stojące i powstają przez odbicie fali biegnącej od ścianek rezonatora to wartościom (k x, k y, k z ) i (±k x, ±k y, ±k z ) odpowiada ta sama fala. Bierzemy więc pod uwagę tylko 8 sfery. Rozważana objętość w przestrzeni odwrotnej wynosi więc: V k = 8 4πk dk Liczbę fal stojących dostaniemy dzieląc otrzymaną objętość przez wielkość V : N(k) = V k V Można ją powiązać z definicją gęstości stanów: N = f (E) de Wystarczy tylko wektor falowy wyrazić przez energię fotonu: f (E)dE = πk dk π 3 /V = πv π 3 ( c) 3 E de Końcowy wzór mnożymy przez przypominając sobie, że każda płaska fala elektromagnetyczna ma dwie niezależne polaryzacje. f (E) = πv π 3 ( c) 3 E W powyższym wzorze gęstość stanów zależy od objętości rezonatora. Pozostaje pytanie czy na pewno gęstość stanów nie zależy od jego kształtu?
12 Wniosek: Gaz fotonów można potraktować jako bozony o kwadratowej gęstości stanów: f (E) = αe gdzie α = πv π 3 ( c) = 8πV 3 (hc) 3 Istnieje pewna własność gazu fotonów którą trudno samemu zauważyć przy pobieżnym spojrzeniu. Dla fotonów potencjał chemiczny zawsze się zeruje! µ = Uzasadnienie Równowaga termodynamiczna pomiędzy promieniowaniem w rezonatorze i jego ściankami osiągana jest poprzez pochłanianie i wypromieniowanie fotonów. To znaczy, że zadając temperaturę i objętość rezonatora określamy tym samym średnią liczbę fotonów. Inaczej niż w przypadku naczynia z gazem, w równowadze termodynamicznej z otoczeniem, w którym liczba cząstek może być dowolnie zadana. We wcześniejszych obliczeniach wykorzystywaliśmy wielki rozkład kanoniczny, w którym N jest zmienną niezależną i mówiliśmy o średniej liczbie cząstek N. Końcowy wynik N(µ, T) interpretowaliśmy jako zależność potencjału chemicznego od temperatury dla średniej liczby cząstek. W przypadku fotonów zadając objętość rezonatora V i temperaturę T określamy też równowagową liczbę fotonów N. Równowagowa liczba fotonów wynika z termodynamiki. Energia swobodna F(T, V, N) w stanie równowagi powinna przyjąć wartość minimalną: µ = F N = T,V Możemy też zauważyć, że w wielkim rozkładzie kanonicznym dla fotonów nie musimy niezależnie uwzględniać warunku stałości średniej liczby cząstek ponieważ jest on zawarty w warunku stałości średniej energii. Wobec czego trzeci mnożnik Lagrange a γ = µ/ nie jest nam do niczego potrzebny.
13 Zadanie: Obliczyć średnią liczbę fotonów, energię wewnętrzną i wielki potencjał dla promieniowania. Do wyliczonych wcześniej wzorów dla bozonów o kwadratowej gęstości stanów f (E) = αe wystarczy teraz podstawić: α = 8πV (hc) 3 y = e µ/ = Średnia liczba fotonów: N = α() 3 Li 3 (y) = 6πV (hc/) Li 3() 3 Pojawiająca się tu wielkość: l = hc ma wymiar długości i odpowiada tak zwanej komptonowskiej długości fali fotonu o energii E = : λ = h mc = hc E Graniczna wartość funkcji polilogarytmicznej: Li 3 () = n = ζ(3) 3 n= odpowiada wartości funkcji dzeta Riemanna: ζ(3),6 Dostajemy więc wzór na koncentrację fotonów n = N/V: n = 6π l ζ(3) 3 Energia wewnętrzna gazu fotonów: U = 6α() 4 Li 4 (y) = 48πV (hc/) 3 Li 4() Wartość funkcji polilogarytmicznej: Li 4 () = ζ(4) = π4 9 W tym przypadku wartość funkcji dzeta Riemanna wyraża się okrągłym wzorem. 3
14 Stąd energia wewnętrzna wynosi: U = 8 5 π5 V l 3 Wniosek: Gęstość energii promieniowania w reoznatorze u = U/V: u = 8π5 k 4 5(hc) 3 T 4 W elektrodynamice klasycznej związek pomiędzy gęstością energii fali płaskiej u [J/m 3 ] i jej mocą I [W/m ] wynosi I = cu D.J. Griffiths, Podstawy Elektrodynamiki, 9..3 Jeśli fala płaska pada pod kątem θ do ścianki rezonatora to pochłaniana moc wynosi I cos θ. Dodatkowy czynnik powstaje z uśredniania po kącie bryłowym dla 4 wszystkich kierunków padania fal od wewnątrz na powierzchnię otworu. Dla promieniowania wybiegającego z małego otworu w rezonatorze dostajemy następujący wzór na moc: I = cu 4 Po wyrażeniu u przez I przy pomocy tego wzoru dostajemy prawo Stefana-Boltzmanna. Moc promieniowania ciała doskonale czarnego z jednostki powierzchni (otworu we wnęce rezonansowej): I = σt 4 gdzie stała Stefana-Boltzmanna wynosi: σ = π5 k 4 5h 3 c 3 Uwaga: Byli to Ludwig Boltzmann i Josef Stefan profesorowie na uniwersytecie w Wiedniu, a nie jakiś Stefan Boltzmann jak się wydaje mniej rozgarniętym studentom. 4
15 Wniosek: Dla fotonów obowiązuje równanie stanu bozonów o kwadratowej gęstości stanów: pv = 3 U Stąd ciśnienie promieniowania jest równe trzeciej części gęstości energii promieniowania: p = 3 u Co ciekawe podobny wzór jest wyprowadzany zupełnie niezależnie w elektrodynamice, przy okazji dyskusji zasady zachowania pędu dla pola elektromagnetycznego. Ciśnienie płaskiej fali elektromagnetycznej p = u. D.J. Griffiths, Podstawy Elektrodynamiki, wzór (9.64). Ciekawe dlaczego tutaj mamy czynnik 3 a nie 4? Zadanie Korzystając z wyrażenia na energię wewnętrzną promieniowania poprzez całkę po energii fotonów znaleźć długość fali fotonu przy której natężenie promieniowanie ciała doskonale czarnego jest maksymalne. Energia wewnętrzna gazu fotonów: U = 6α() 4 Li 4 () = α() 4 gdzie: x = E/ = ω/ Wyrażenie podcałkowe x 3 dx e x f (x) = x3 e x nazywa się rozkładem Plancka. Ponieważ moc promieniowania ciała doskonale czarnego I jest proporcjonalna do energii wewnętrznej promieniowania w rezonatorze, to ten rozkład określa moc promieniowania fotonów o zadanej energii E. Rozkład ten otrzymaliśmy już wcześniej przy rozpatrywaniu własności statystycznych zbioru oscylatorów harmonicznych. A więc pole elektromagnetyczne rzeczywiście ma coś wspólnego z oscylatorami. 5
16 Uwaga: Jeśliby zamiast rozkładu Bosego-Einsteina wziąść graniczny rozkład Maxwella-Boltzmanna czyli zaniedbać składnik w porównaniu z exp ( ε µ ) to w wyniku otrzymalibyśmy tak zwany klasyczny rozkład Ryleigha-Jeansa, który scałkowany po długości fali dałby nieskończoną energię promieniowania we wnęce. Poetycko nazywa się to katastrofa w ultrafiolecie. Maksimum promieniowania zachodzi dla maksymalnej wartości funkcji podcałkowej: d f dx = Wystarczy wyznaczyć tylko licznik tej pochodnej: 3x (e x ) x 3 e x = Stąd: (3x x 3 )e x = 3x czyli: e x = x 3 Jest to równanie przestępne na wartość x, nie mające rozwiązania algebraicznego, ale łatwe do wyznaczenia numerycznego. Funkcja y = e x szybko maleje do zera. Przecięcie funkcji liniowej y = x 3 z osią y = daje wartość x = 3. Jest to pierwsze przybliżenie. Kolejne przybliżenia można otrzymać metodą iteracji równania: x = 3( e x ) Jest to łatwe do policzenia na komputerze: x=3 : x=3*(-exp(-x)) print x goto In[4]:= In[8]:= f x_ N 3 Exp x ; data NestList f, 3, Out[8]= 3,.8564,.8658,.835,.86,.847,.844,.844,.844,.844,.844 6
17 Ponieważ pochodna funkcji 3( e x ) jest mniejsza od jeden w punkcie x,847 co widać z rysunku In[4]:= Plot x, f x, x,, 4, Frame True ; więc ten punkt jest punktem stałym przyciągającym (atraktorem) tego przekształcenia. Z wykresu funkcji rozkładu Plancka wynika, że mamy do czynienia z maksimum. Wniosek x max,844 = ω = c λ Trzeba uważać, żeby nie pomylić stałej Boltzmanna z wektorem falowym fotonu. Długość fali fotonu: λ = c ω Stąd: λt = c = b kx max Dostalismy prawo przesunięć Wiena. Wielkość b [m K] jest stałą Wiena. 7
Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego
Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoStatystyki kwantowe. P. F. Góra
Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej
Bardziej szczegółowoPROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO
PROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO wyprowadzenie bez mechaniki kwantowej. Opracował mgr inż. Herbert S. Mączko Celem jest wyznaczenie objętościowej gęstości energii ρ T promieniowania w równoległościennej,
Bardziej szczegółowoWykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe
Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan
Bardziej szczegółowoKwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.
Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. DUALIZM ŚWIATŁA fala interferencja, dyfrakcja, polaryzacja,... kwant, foton promieniowanie ciała doskonale
Bardziej szczegółowoI. PROMIENIOWANIE CIEPLNE
I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego
WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoZadania z Fizyki Statystycznej
Zadania z Fizyki Statystycznej 1. Wyznaczyć skok wartości pochodnej ciepła właściwego w temperaturze krytycznej dla gazu bozonów, w temperaturze w której pojawia się konensacja [1].. Wyznaczyć równanie
Bardziej szczegółowoPoczątek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy
Początek XX wieku Światło: fala czy cząstka? Kwantowanie energii promieniowania termicznego postulat Plancka efekt fotoelektryczny efekt Comptona Fale materii de Broglie a Dualizm korpuskularno - falowy
Bardziej szczegółowoRozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące:
Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni Dla próżni równania Maxwella w tzw postaci różniczkowej są następujące:, gdzie E oznacza pole elektryczne, B indukcję pola magnetycznego a i
Bardziej szczegółowon p 2 i = R 2 (8.1) i=1
8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem
Bardziej szczegółowoFizyka kwantowa. promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne. efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy. kwantyzacja światła
W- (Jaroszewicz) 19 slajdów Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego Fizyka kwantowa promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne kwantyzacja światła efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy
Bardziej szczegółowoUkłady statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoKwantowa natura promieniowania
Kwantowa natura promieniowania Promieniowanie ciała doskonale czarnego Ciało doskonale czarne ciało, które absorbuje całe padające na nie promieniowanie bez względu na częstotliwość. Promieniowanie ciała
Bardziej szczegółowo16 Jednowymiarowy model Isinga
16 Jednowymiarowy model Isinga Jest to liniowy łańcuch N spinów mogących przyjmować wartości ± 1. Mikrostanem układu jest zbiór zmiennych σ i = ±1, gdzie i = 1,,..., N (16.1) Określają one czy i-ty spin
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoZamiana sumowania po stanach jednocząstkowych na całkowanie
TiFS, Ćwiczenia nr 11 Zamiana sumowania po stanach jednocząstkowych na całkowanie Gęstość stanów kwantowych na osi energii f (E) określa liczbę stanów N(E) w określonym przedziale energii de: f (E) de
Bardziej szczegółowoZespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }
Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[
Bardziej szczegółowoRzadkie gazy bozonów
Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni
Bardziej szczegółowoStrumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie
Problemy elektrodynamiki. Prawo Gaussa i jego zastosowanie przy obliczaniu pól ładunku rozłożonego w sposób ciągły. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 19 marca 2012 Nowe spojrzenie na prawo Coulomba
Bardziej szczegółowogęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoCiało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.
1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału
Fizyka 2 Wykład 4 1 Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Niezależne od czasu równanie Schödingera ma postać: 2 d ( x)
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA II. 11. Optyka kwantowa. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA II 11. Optyka kwantowa Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ FIZYKA KLASYCZNA A FIZYKA WSPÓŁCZESNA Fizyka klasyczna
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki kwantowej
Podstawy fizyki kwantowej Fizyka kwantowa - co to jest? Światło to fala czy cząstka? promieniowanie termiczne efekt fotoelektryczny efekt Comptona fale materii de Broglie a równanie Schrodingera podstawa
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoWstęp do astrofizyki I
Wstęp do astrofizyki I Wykład 2 Tomasz Kwiatkowski 12 październik 2009 r. Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 1/21 Plan wykładu Promieniowanie ciała doskonale czarnego Związek temperatury
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
, granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 11. Fale mechaniczne Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html FALA Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające
Bardziej szczegółowoZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE
ZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE Źródła światła Prawo promieniowania Kirchhoffa Ciało doskonale czarne Promieniowanie ciała doskonale czarnego Prawo promieniowania Plancka Prawo Stefana-Boltzmanna Prawo przesunięć
Bardziej szczegółowoS ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo1 Rachunek prawdopodobieństwa
1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const
Bardziej szczegółowoWstęp do astrofizyki I
Wstęp do astrofizyki I Wykład 2 Tomasz Kwiatkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Fizyki Instytut Obserwatorium Astronomiczne Tomasz Kwiatkowski, shortinst Wstęp do astrofizyki I,
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej masie spoczynkowej Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących
Bardziej szczegółowoEfekt naskórkowy (skin effect)
Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,
Bardziej szczegółowo9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych
9 Rozkład kanoniczny 9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych Jest to funkcja rozkładu w stanie równowagi termodynamicznej, dla układu mogącego wymieniać ciepło z otoczeniem. Układ znajduje się w
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola...............................................
Bardziej szczegółowoFizyka. dr Bohdan Bieg p. 36A. wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe
Fizyka dr Bohdan Bieg p. 36A wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe Literatura Raymond A. Serway, John W. Jewett, Jr. Physics for Scientists and Engineers, Cengage Learning D. Halliday, D.
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Operator gęstości W przypadku klasycznym chcieliśmy znać gęstość stanów układu. W przypadku
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoRównanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.
Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t)
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoModel elektronów swobodnych w metalu
Model elektronów swobodnych w metalu Stany elektronu w nieskończonej trójwymiarowej studni potencjału - dozwolone wartości wektora falowego k Fale stojące - warunki brzegowe znikanie funkcji falowej na
Bardziej szczegółowoRezonator prostopadłościenny
napisał Michał Wierzbicki Rezonator prostopadłościenny Rozważmy prostopadłościan o bokach a > b > d (pusty w środku), którego scianki wykonane są z idealnego przewodnika. Wewnątrz takiego rezonatora będziemy
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoPlan Zajęć. Ćwiczenia rachunkowe
Plan Zajęć 1. Termodynamika, 2. Grawitacja, Kolokwium I 3. Elektrostatyka + prąd 4. Pole Elektro-Magnetyczne Kolokwium II 5. Zjawiska falowe 6. Fizyka Jądrowa + niepewność pomiaru Kolokwium III Egzamin
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoRozkład normalny, niepewność standardowa typu A
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie
Bardziej szczegółowoChemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki
dr ab. Wacław Makowski Cemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki 1. Kwantowanie. Atom wodoru 3. Atomy wieloelektronowe 4. Termy atomowe 5. Cząsteczki dwuatomowe 6. Hybrydyzacja 7. Orbitale zdelokalizowane
Bardziej szczegółowoKATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY W SZCZECINIE WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI OPROGRAMOWANIE DO MODELOWANIA SIECI ŚWIATŁOWODOWYCH PROJEKTOWANIE FALOWODÓW PLANARNYCH (wydrukować
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa
Elektrostatyka Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa 1 Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna zależy od (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej
LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody
Bardziej szczegółowoPrzejścia kwantowe w półprzewodnikach (kryształach)
Przejścia kwantowe w półprzewodnikach (kryształach) Rozpraszanie na nieruchomej sieci krystalicznej (elektronów, neutronów, fotonów) zwykłe odbicie Bragga (płaszczyzny krystaliczne odgrywają rolę rys siatki
Bardziej szczegółowoFizyka 3.3 WYKŁAD II
Fizyka 3.3 WYKŁAD II Promieniowanie elektromagnetyczne Dualizm korpuskularno-falowy światła Fala elektromagnetyczna Strumień fotonów o energii E F : E F = hc λ c = 3 10 8 m/s h = 6. 63 10 34 J s Światło
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 2, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 2, 17.02.2012 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Równania Maxwella r-nie falowe
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 1 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoWykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16
Optyka Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Fale 1 Uniwersytet Rzeszowski, 4 października 2017 Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Uwagi wstępne 30 h wykładu wykład przy pomocy transparencji lub
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoWykład 2. Transformata Fouriera
Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoZasady oceniania karta pracy
Zadanie 1.1. 5) stosuje zasadę zachowania energii oraz zasadę zachowania pędu do opisu zderzeń sprężystych i niesprężystych. Zderzenie, podczas którego wózki łączą się ze sobą, jest zderzeniem niesprężystym.
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoStara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
Bardziej szczegółowo