Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina

Transkrypt

1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina

2 Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej masie spoczynkowej Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących bozonów jest bardzo prosta bo znika potencjał chemiczny (patrz termodynamika fotonów ) Jednak w układzie z ustaloną liczbą cząstek (w naszym przypadku średniej liczby cząstek ) ten, jakby się wydawało niewinny formalizm prowadzi do niezwykłych przewidywań, nie mających odpowiedników dla fermionów, czy fizyki klasycznej.

3 oczywiście Zatem przy załoŝeniu

4 PRZYPOMNIENIE zliczania stanów w przypadku gęsto połoŝonych poziomów energetycznych

5 stąd

6

7 Wygodniej odnieść się do jednostek atomowych, wtedy

8

9 Poprawki od statystyk kwantowych. Szczegóły rozwinięcia

10 Dowód:

11

12

13 Dowód

14

15 Ponadto ostatnim razem pokazaliśmy, Ŝe dla nierelatywistycznych bozonów i fermionów zachodzi

16 wyprowadzenie w dodatku

17 wnioski Otrzymaliśmy bardzo waŝny wynik

18

19

20 potencjał chemiczny rośnie z malejąca temperaturą

21 N ( T, V, z) 2πV 3 / 2 = (2m) σ 3 h 0 dε z 1 1/ 2 ε exp{ βε } z z z=exp{bm}- tzw. parametr zwyrodnienia

22 0 * 2 3/ 3 1 ) ( N N z z z g V N + = + = λ R n z x z dx x n z g n n Γ } exp{ ) ( 1 ) ( 0 1 1

23 Średnia liczba cząsteczek zachowana róŝnica między N i N * obsadza stan podstawowy.

24 = Dla bozonów zawsze: µ <ε 0 Zatem n moŝe być dowolnie duŝe jeśli róznica 0 ε µ 0

25 n 0 1 mamy przejście fazowe dla T =T 0 (to przejście nazywa się kondensacją Bosego Einsteina) 1 T/T 0 Jest to kondensacja molekuł w stanie podstawowym o pędzie k=0

26 Funkcje termodynamiczne kondensatu ρ = N V = 2 πσ J 2 m k B T 0 h 2 BE chemical potential N 3ê2 0 x 1ê2 e x βµ 1 x -2 mêhkbtcl TêT c T/T 0

27 Obsadzenia poziomów w f-cji energii 5 BE occupation number T/T 0 êê n êhk B T c L

28 Energia wewnętrzna Przyczynek dają jedynie cząstki o energii > 0 V T 5ê2 dla T T 0

29 Równanie stanu p = 2 3 i j 2 πσ H2 ml 3ê2 Hk k h 3 B TL 5ê2 0 x 3ê2 e x βµ 1 xy z { T 5ê2 H dla T T 0 ; niezaleŝnie od V!L ρ = N V = 2 πσ J 2 m k B T h 2 N 3ê2 0 x 1ê2 e x βµ 1 x

30 p 0 v 5ê3 cząstki o zerowym pędzie nie wywieraja cisnienia; przy spręŝaniu więcej cząstek przechodzi do stanu podstawowego. p p T 5ê2 T 2 > T 1 T 1 v

31 KBE jest przejściem I-szego rodzaju J d p d T N wzdłóŝ krz. współ. = H T 0 V Hr. ClapeyronaL H 0 Jest to dosyć niezwykłe przejście fazowe I-szego Rodzaju - układ ma jednorodną makroskopową gęstość, a nie dwie róŝne gęstości jak np. dla cieczy i gazu Kondensacja zachodzi w przestrzeni pędów: wszystkie cząsteczki kondensatu mają zerowy pęd.

32 Ciepło właściwe C V = J E T N V T 3ê2 T < T 0 C V HT = T 0 L > k B N > 3 2 k B N HT L C V T V,T T 0 J C V T N V,T T 0 + = 2.89 Nk B T 0 T < T 0 = 0.77 Nk B T 0 HT > T 0 L Zatem w cieple właściwym mamy ostrze w temperaturze T = T 0

33 KBE przewidziana była przez Einsteina w 1924, warunkiem istnienia kondensatu jest, aby temperaturowa długość fali de Brogli a była porównywalna z odległościami międzyatomowymi C V Nk B 3/2 T 3ê2 Granica klasyczna 3/2 1 T T 0

34 Nadpłynność w ciekłym helu ma związek z KBE Dla T =4.22K staje się cieczą Dla T 0 = 2.17 staje się nadciekły London w 1938 zaproponował, Ŝe nadciekłość to KBE Z modelu nieoddziaływujących bosonów T 0 = 3.15 K Stan nadciekły jest daleki od stanu nieoddz. bosonów, frakcja nadciekła nie dąŝy do 100%, a stabilizuje się wokół znacznie mniejszych wartości (~10%)

35 KBE Logarytmiczna rozbieŝność Ciekły hel: Przejście l Maleje jak T 3

36 W 1995 dowiedziono istnienia KBE (E. Cornell, National Institute of Standards and Technology, Boulder, Colorado) dla ultrazimnego gazu atomów rubidu o małej gęstości, zamkniętych w atomowych pułapkach. Analogiczny eksperyment dla atomow Li wykonano w Houston (R. Hullet, Rice University, Houston, Texas) M = 87 jm T 0 = średnia odległość = A o