SYMULACYJNE BADANIE EFEKTYWNOŚCI WYKORZYSTANIA METOD NUMERYCZNYCH W PROGNOZOWANIU ZMIENNEJ ZAWIERAJĄCEJ LUKI NIESYSTEMATYCZNE

Sudia Ekonomiczne. Zesz Naukowe Uniwerseu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 8-86 Nr 4 7 Zachodniopomorski Uniwerse Technologiczn w Szczecinie Wdział Ekonomiczn Kaedra Zasosowań Maemaki w Ekonomii maciej.oeserreich@zu.edu.pl SYMULACYJNE BADANIE EFEKTYWNOŚCI WYKORZYSTANIA METOD NUMERYCZNYCH W PROGNOZOWANIU ZMIENNEJ ZAWIERAJĄCEJ LUKI NIESYSTEMATYCZNE Sreszczenie: W arkule przedsawiono smulacjną analizę efekwności wkorzsania meod numercznch w prognozowaniu zmiennej ekonomicznej dla luk niessemacznch. Do budow prognoz iner- i eksrapolacjnch, na podsawie szeregów oczszczonch z sezonowości, zosał wkorzsane meod: odcinkowa, łuków oraz Lagrange a dla węzłów inerpolacjnch rozmieszczonch proporcjonalnie. Rozparwane bł rz warian luk, różniące się odsekami brakującch danch. Przeprowadzono również analizę porównawczą dokładności błędów prognoz iner- i eksrapolacjnch względem klascznch modeli szeregu czasowego z rendem liniowm oraz periodcznm składnikiem sezonowm, jak również z rendem wkładniczm z relawnie sałą sezonowością. Obliczenia zosał wkonane z wkorzsaniem pakieu R oraz Saisica. Słowa kluczowe: meod numerczne, prognozowanie, luki niessemaczne, meod smulacjne. JEL Classificaion: C6. Wprowadzenie W badaniach prowadzonch dochczas na ema wpłwu liczb luk na dokładność prognoz iner- i eksrapolacjnch wkorzswane bł przede wszskim klasczne modele szeregu czasowego z wahaniami sezonowmi, w kórch sezonowość opiswana bła za pomocą zmiennch zero-jednkowch

54 lub wielomianu rgonomercznego, a akże modele hierarchiczne oraz modele wrównwania wkładniczego [Oeserreich, ; Szmuksa-Zawadzka i Zawadzki, 4]. W m osanim przpadku bł o bądź modele Hola-Winersa dla danch orginalnch z sezonowością, bądź modele Browna lub Hola dla danch oczszczonch z sezonowości. Wkorzsanie ego rodzaju modeli nie zawsze pozwala na orzmanie prognoz dopuszczalnch. Odnosi się o zwłaszcza do zmiennch ekonomicznch o silnm lub bardzo silnm naężeniu wahań sezonowch. Dlaego eż nasuwa się panie o efekwność predkorów, oparch na meodach numercznch. Celem prac jes ocena przdaności wbranch meod numercznch, w prognozowaniu zmiennej o silnm naężeniu sezonowości, w przpadku wsępowania luk niessemacznch z wkorzsaniem meod smulacjnch. W dochczasowch zasosowaniach meod numercznch w prognozowaniu brakującch danch zmiennch z wahaniami sezonowmi rozparwanch bło dla kilku założonch warianów luk kilka lub, co najwżej, kilkanaście układów luk [Cheba, 4; Oeserreich, ]. Ograniczało o uogólnianie wników na dowolne układ luk. Taką możliwość daje zasosowanie meod smulacjnch. W prac zosała przeprowadzona akże analiza porównawcza dokładności wbranch meod numercznch w prognozowaniu iner- i eksrapolacjnm z prognozami orzmanmi na podsawie predkorów, oparch na klascznch modelach szeregu czasowego z wahaniami sezonowmi, a akże na modelach hierarchicznch.. Meod badawcze Z uwagi na o, że zarówno meod numerczne, jak i klasczne modele szeregu czasowego oraz modele hierarchiczne zosał szczegółowo opisane w lieraurze ekonomercznej z zakresu meod prognozowania, ograniczono się jednie do snecznej prezenacji analicznch zapisów modeli, wkorzsanch do budow prognoz. W celu budow prognoz brakującch danch zosał wkorzsane nasępujące meod numerczne: a meoda inerpolacji wielomianowej Lagrange a, b meoda odcinkowa, c meoda łuków.

Smulacjne badanie efekwności wkorzsania meod numercznch... 55 Meoda inerpolacji wielomianowej Lagrange a opara jes na wierdzeniu, że jakkolwiek jes dana funkcja fx i jakkolwiek są wbrane węzł inerpolacji x, x,, x n, o isnieje dokładnie jeden wielomian inerpolacjn Px i sopnia n, kór w punkach x, x,, x n przjmuje e same warości, co dana funkcja fx [Foruna, Macukow i Wąsowski, 99]. Wzór inerpelacjn Lagrange a można zapisać w sposób nasępując [Soer, 979]: = = = = = n i n i n k i k k i k i i i x x x x f x L f x P W prac [Grabiński, Wdmus i Zeliaś, 979] zosał zaprezenowane inne meod inerpolacji brakującch danch w ekonomicznch szeregach czasowch, opare na meodach numercznch: a meodzie odcinkowej: + =, < < gdzie:,,, współrzędne dwóch sąsiednich punków, na podsawie kórch określa się równanie kolejnego odcinka, b meodzie łuków I: * + + =, < < < c meodzie łuków II: * + + =, 4 < < < Z zapisów analicznch powższch meod wnika, że wmagają one informacji dla pewnch obserwacji szeregu. W abeli przedsawiono warunki sosowalności powższch meod.

56 Tabela. Warunki sosowalności wbrane meod numercznch Meoda Inerpolacji wielomianowej Lagrange a Odcinkowa Łuków I Łuków II Źródło: Szmuksa-Zawadzka i Zawadzki []. Warunki sosowalności Dosępność danch w miejscach wsępowania węzłów inerpolacjnch Dosępna pierwsza i osania obserwacja szeregu Dosępna pierwsza i dwie osanie obserwacje szeregu Dosępne pierwsze dwie i osania obserwacja szeregu Meod: odcinkowa, łuków I i łuków II mogą służć włącznie do celów inerpolacji, czli szacowania brakującch wrazów szeregu czasowego, leżącch międz wrazami znanmi. Ich wadą jes akże brak możliwości określenia a priori błędów dokonanch szacunków [Dimann, 6]. Prognoz eksrapolacjne buduje się w sposób pośredni, przez zasosowanie innch meod dla szeregu uzupełnionego o prognoz inerpolacjne, np. eksrapolacji rendu cz wrównwania wkładniczego. W celach porównawczch prognoz iner- i eksrapolacjne zbudowano akże z wkorzsaniem klascznch modeli szeregu czasowego wahaniami sezonowmi, różniące się sposobami opisu ch wahań. Zapis analiczne modeli, w kórch sałe w.rg_ss 5 i relawnie sałe w.rg_rss 6 wahania sezonowe opisane zosał za pomocą sino- i cosinusoidalnch składowch harmonicznch: Y i= a ji ω + b ji ω + ε = α + α + sin cos, 5 i= a ji sin ω + b ji ω + ε ln Y = α + α + cos, 6 gdzie: i ωi = π 7 m Drugi, równoważn sposób zapisu polega na wkorzsaniu zmiennch zero- -jednkowch. Modele ze sałmi /_SS 8 i relawnie sałmi /_RSS 9 wahaniami sezonowmi wrażają się wzorami: Y = β + β + d kqk + ε, 8 k = ln Y = β + β + d kqk + ε 9 k =

Smulacjne badanie efekwności wkorzsania meod numercznch... 57 Prz czm: k = d, k = gdzie: f funkcja rendu, d k, d k paramer sojące prz zmiennch opisującch wahania sezonowe, Q k zmienne zero-jednkowe, przjmujące warość w podokresie k oraz w pozosałch. Prognoz iner- i eksrapolacjne zosał wznaczone akże na podsawie predkaorów oparch na modelach hierarchicznch szeregu czasowego. Dla wahań sezonowch o cklu -miesięcznm wróżnia się czer modele -sopniowe i rz modele -sopniowe. Isoa modeli hierarchicznch zawiera się w m, że ich paramer są średnimi z paramerów d ok z klascznch modeli szeregu czasowego, a ich liczba nie przekracza połow długości cklu wahań. Przkładowe zapis modelu -sopniowego H6, ze sałą i relawnie sałą sezonowością, są nasępujące [Zawadzki red., ]: Prz czm: Y sr lny sr 6 = α + α + b Q + b Q + ε s s s= r= 6 s s s= r= sr = α + α + b Q + b Q + ε 6 s= s r = sr sr sr b = b sr. Charakerska zmiennej prognozowanej Modelowaniu i prognozowaniu poddano liczbę udzielonch noclegów w obiekach zbiorowego zakwaerowania w wojewódzwie śląskim w laach 9-4 według miesięc. Dane sasczne zaczerpnięo z ukazującch się w cklu rocznm opracowań GUS p. Turska. Dane z la 9- posłużł do esmacji paramerów modeli, naomias rok 4 bł okresem empircznej werfikacji prognoz. Kszałowanie się zmiennej prognozowanej przedsawiono na rs..

58 Usługi [w s.] 6 55 5 45 4 5 5 6 6 6 6 4 46 5 56 6 66 7 Miesiące Rs.. Udzielone noclegi w obiekach zbiorowego zakwaerowania w wojewódzwie śląskim według miesięc w laach 9-4 Źródło: Na podsawie: GUS [9-4]. W abeli zosał przedsawione zosał ocen wskaźników sezonowości zmiennej prognozowanej. Tabela. Kszałowanie się ocen wskaźników sezonowości według miesięc [w %] Miesiące I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Wskaźniki sezonowości 85,7 96,4 8,8 8,, 4,8,6 8,9, 99,7 8, 78,4 Źródło: Na podsawie: GUS [9-4]. Z analiz informacji zawarch w ab. wnika, że zmienna prognozowana charakerzowała się dwoma szczami sezonowmi liczb udzielonch noclegów w ciągu roku. Przpadał one w okresie zimowm na lu 96,4%, a w lenim na sierpień 8,9%. Miesiące e odpowiadał erminom ferii zimowch oraz wakacji. Minimalną ocenę wskaźnik przjął w grudniu 78,4%. Różnica pomiędz skrajnmi warościami wskaźników sezonowch wnosiła 54, p.p., co wskazuje na silne wahania analizowanej zmiennej. Kszałowanie się wskaźników sezonowości w sposób graficzn zosało przedsawione na rs..

Smulacjne badanie efekwności wkorzsania meod numercznch... 59 % 4 9 8 7 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Rs.. Kszałowanie się wskaźników sezonowości dla liczb udzielonch noclegów w wojewódzwie śląskim w obiekach zbiorowego zakwaerowania według miesięc w laach 9-4 Źródło: Na podsawie: GUS [9-4]. Miesiące. Przebieg badania Proces badania efekwności numercznch meod prognozowania brakującch danch przebiegał w kilku eapach. W pierwszm eapie zosał weliminowane wahania sezonowe, ponieważ proces prognozowania w przpadku meod numercznch opar jes na danch oczszczonch. Nasępnie, korzsając z pakieu sascznego R, wlosowano po s. układów luk niessemacznch dla rzech warianów, zawierającch odpowiednio: W 6 luk % długości okresu prób, W luk % długości okresu prób, W luk % długości okresu prób. Na rsunku przedsawiono odseki luk, przpadające na poszczególne obserwacje szeregu, według warianów W i W. Ze względu na wmogi sosowalności meod numercznch, luki nie bł losowane dla obserwacji nr - oraz 59-6.

6,9 Odseek luk,8,7,6,5 4 6 8 4684684684444464855545658 obserwacje Warian W Warian W Rs.. Odseki luk przpadające na obserwacje 4-58 dla warianów luk W i W Z rsunku wnika, że odseki luk przpadające na kolejne obserwacje szeregu osclował wokół,8% dla obu analizowanch warianów. Nieco większe odchlenia od ej warości odnoowano dla warianu W dla obserwacji nr 8, 9, 5. Wzros liczb luk w wariancie W spowodował, że częsości luk lko nieznacznie odchlają się od warości,8%. W rzecim eapie dla każdego spośród s. układów luk dla warianów W-W, korzsając z meod numercznch, zbudowano wjściowe prognoz iner- i eksrapolacjne. Prognoz osaeczne orzmano po przemnożeniu prognoz wjściowch przez wskaźniki sezonowości. W przpadku klascznch modeli szeregu czasowego najpierw szacowano paramer modeli o równaniach 5-6 i 8-9 dla danch orginalnch z sezonowością, a nasępnie wznaczono prognoz iner- i eksrapolacjne. Proces en przebiegał podobnie dla modeli hierarchicznch. Eapem końcowm bło obliczenie średnich błędów względnch obu rodzajów prognoz. 4. Wniki badań W abeli zesawione zosał przecięne ocen błędów prognoz inerpolacjnch dla poszczególnch warianów luk, dla wszskich meod numercznch i modeli klascznch oraz najlepszego modelu hierarchicznego.

Smulacjne badanie efekwności wkorzsania meod numercznch... 6 Tabela. Przecięne względne błęd MAPE prognoz inerpolacjnch według warianów luk i meod Meoda Błęd MAPE prognoz inerpolacjnch [w %] Warian W Warian W Warian W L_WP 4, 4,8 4, L_WP4 7, 7,7 7,67 ODC,796,754,78 LUK,68,565,55 LUK,648,69,69 /_SS,84,59,6 /_RSS,8,9,6 w.rg_ss,,84,4 w.rg_rss,9,88,7 H6_SS 4,54 4,6 4,64 H6_RSS 4,54 4,6 4,67 Z informacji zawarch w ab. wnika, że przecięne ocen błędów prognoz inerpolacjnch, wznaczonch za pomocą meod numercznch wraz ze wzrosem liczb luk, wkazwał endencję malejącą. Naomias w przpadku meod klascznch ocen błędów ego rodzaju prognoz ma miejsce niewielka endencja wzrosowa. Najniższe przecięne ocen błędów, niezależnie od warianu luk, uzskano dla meod odcinkowej. Zawarł się one w przedziale od,78% warian W do,796% warian W. Spośród pozosałch meod numercznch błęd prognoz wższe o ok.,8 p.p. orzmano dla meod łuków I. Bł one jednocześnie od, do,8 p.p. niższe niż dla meod łuków II. Dla meod Lagrange a wraźnie lepsze efek dało zasosowanie rzech węzłów L_WP niż czerech węzłów rozmieszczonch proporcjonalnie L_WP4. Błęd uzskane za pomocą pierwszego warianu ej meod zawierał się w przedziale od 4, W do 4, W i bł aż o ok.,8 p.p. niższe od warianu drugiego. Spośród modeli klascznch najniższe ocen błędów, zawierające się w przedziale od,8% dla warianu W do,6% dla warianu W, orzmano za pomocą modelu, w kórm relawnie sała sezonowość zosała opisana poprzez zmienne zerojednkowe /_RSS. Bł one o,-,4 p.p. wższe od orzmanch meodą odcinkową i lko o ok.,6 p.p. niższe od błędów prognoz dla modelu ze sałą sezonowością /_SS, a akże ok.,9 p.p. niższe niż dla modelu, w kórm sałą sezonowość opisano za pomocą wielomianu rgonomercznego w.rg_ss.

6 Błęd prognoz inerpolacjnch dla najlepszego modelu hierarchicznego H6 bł wższe aż od,78 p.p. W SS do,89 p.p. W RSS w porównaniu z najlepszą meodą numerczną. W abeli 4 zesawione zosał saski opisowe rozkładów średnich względnch błędów MAPE prognoz inerpolacjnch dla meod odcinkowej ODC modelu klascznego ze zmiennmi zerojednkowmi i relawnie sałą sezonowością /_RSS oraz modelu hierarchicznego H6 H6_RSS. Tabela 4. Saski opisowe rozkładów średnich względnch błędów MAPE prognoz inerpolacjnch dla warianów luk W-W i wbranch meod Meoda Warian Q Mediana Q Sx Skośność Min Max R W,,7,49,9,48,66 6,7 6,5 ODC W,55,747,4,56,6,9 4,7,694 W,449,77,,4,68,46 4,4,97 W,5,958,74,8,4,8 8,4 7,8 /_RSS W,576,67,58,75,77,66 6, 5,76 W,759,6,54,58,,9 5,545 4,46 W,547 4,44 5,4,7,4,9,7 9,4 H6_RSS W,94 4,56 5,,97,6,997 8,5 6,5 W 4,6 4,599 5,94,7,4,4 7,57 5,5 Z informacji zawarch w ab. 4 wnika, że wraz ze wzrosem liczb luk wzrasał ocen błędów pierwszch kwarli dla wszskich meod. Dla meod odcinkowej median błędów bł bardzo zbliżone i nie wkazwał jednego kierunku zmian. Naomias zarówno dla modelu /_RSS, jak i H6_RSS wzrasał wraz ze wzrosem odseek luk. Dla wszskich meod ocen rzecich kwarli, jak również odchleń sandardowch błędów prognoz, wkazwał endencję malejącą. Malejące ocen odchlenia sandardowego świadczą o wsmuklaniu rozkładów błędów prognoz. Bez względu na rodzaj meod malał rozsęp, jak i rozsęp międzkwarlowe. Rozkład błędów dla omawianch meod charakerzował się prawosronną asmerią, kórej siła malała wraz ze wzrosem liczb luk. Na rsunku 4 przedsawiano kszałowanie się rozkładów empircznch średnich względnch błędów prognoz inerpolacjnch dla meod odcinkowej oraz modelu /_RSS.

Smulacjne badanie efekwności wkorzsania meod numercznch... 6 Meoda odcinkowa Model /_RSS Odseek [w %] 4 8 6 4 8 6 4,,5,75,5,75,5,75,5,75 4,5 4,75 5,5 5,75 MAPE [w %] Warian W Warian W Warian W Odseek [w %] 8 6 4 8 6 4,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 MAPE [w %] Warian W Warian W Warian W Rs. 4. Empirczne rozkład średnich względnch błędów prognoz inerpolacjnch dla meod odcinkowej oraz modelu /_RSS według warianów luk W abeli 5 zesawione zosał przecięne ocen błędów prognoz eksrapolacjnch dla poszczególnch warianów luk oraz meod Tabela 5. Przecięne względne błęd MAPE prognoz eksrapolacjnch według warianów luk i meod Meoda Błęd prognoz eksrapolacjnch [w %] Warian W Warian W Warian W L_WP 5,966 5,966 5,966 L_WP4 84,67 84,67 84,67 ODC*,84,964,4 LUK*,9,,4 LUK*,96,5,574 /_SS 4, 4,6 4,4 /_RSS,95,949,968 w.rg_ss 4, 4,57 4,5 w.rg_rss,98 4, 4,8 H6_SS 4,558 4,65 4,68 H6_RSS 4,57 4,64 4,67 * Wjściowe prognoz eksrapolacjne wznaczone zosał za pomocą modeli rendu na podsawie szeregów uzupełnionch o prognoz inerpolacjne. Z informacji zwarch w ab. 5 wnika, że wraz ze wzrosem liczb luk przecięne ocen błędów, poza meodą Lagrange a, wkazwał zróżnicowaną co do empa endencję rosnącą. Najszbciej, bo o ok.,-, p.p. wzrasał błęd prognoz orzmanch za pomocą meod łuków II, a najwolniej dla klascz-

64 nch modeli szeregu czasowego /_RSS i /_SS. Najniższmi przecięnmi błędami prognoz eksrapolacjnch, podobnie jak w przpadku prognoz inerpolacjnch, charakerzowała się meoda odcinkowa. Ocen e zawarł się w przedziale od,84% W do,4% W. Tlko nieznacznie wższe przecięne błęd od,7 p.p. W do,6 p.p. W orzmano dla meod łuków I. Najwższmi przecięnmi ocenami prognoz eksrapolacjnch charakerzowała się meoda Lagrange a. Ze względu na charaker ej meod, wielkość błędu nie zależała od warianu luk wielomian na podsawie, kórego zbudowano prognoz, bł zawsze aki sam, niezależnie od kombinacji cz eż liczb luk. Wraźne, bo kilkunasokronie niższe ich ocen orzmano dla wersji z rzema węzłami rozmieszczonmi proporcjonalnie. Wsokie ocen błędów dla wersji z czerema węzłami bł nasępswem działania efeku Rungego [Ralson i Rabinowiz, 978, s. 65-66], objawiającego się spadkiem jakości zarówno inerpolacji, jak i eksrapolacji, wraz ze wzrosem ilości węzłów inerpolacjnch rozmieszczonch proporcjonalnie. Spośród meod klascznch najniższmi przecięnm błędami prognoz eksrapolacjnch, zawierającmi się w przedziale od,949% W do,968 W, charakerzował się model, w kórch relawnie sałą sezonowość opisano za pomocą zmiennch zero-jednkowch. Tlko nieznacznie wższmi ocenami błędów od, p.p. W do, p.p. W charakerzował się model z wielomianem rgonomercznm i sałą sezonowością. Sosunkowo wższe ocen błędów orzmano dla najlepszch modeli hierarchicznch bł one od,558 p.p. dla warianu W do,696 p.p. dla warianu W wższe od błędów uzskanch za pomocą meod odcinkowej. Wnikało o z faku, że ocen paramerów ch modeli są uśrednionmi ocenami paramerów d k modeli klascznch szeregu czasowego z wahaniami sezonowmi. Oznacza o, że ich wkorzsanie w prognozowaniu brakującch danch, w warunkach silnego naężenia wahań sezonowch, jes ograniczone. W abeli 6 zesawiono saski opisowe rozkładów średnich względnch błędów MAPE prognoz inerpolacjnch dla meod odcinkowej ODC, modelu klascznego ze zmiennmi zero-jednkowmi i relawnie sałą sezonowością /_RSS oraz modelu hierarchicznego H6 H6_RSS. Tabela 6. Saski opisowe rozkładów średnich względnch błędów MAPE prognoz eksrapolacjnch dla warianów luk W-W i wbranch meod Meoda Warian Q Mediana Q Sx Skośność Min Max R 4 5 6 7 8 9 W,49,747,46,49,98,5 5,868,74 ODC W,44,79,49,66,49,58 6,47 4,59 W,445,876,558,85,88,994 7,786 5,79

Smulacjne badanie efekwności wkorzsania meod numercznch... 65 cd. abeli 6 4 5 6 7 8 9 W,847,955 4,59,77 -,67,56 4,89,56 /_RSS W,777,95 4,,6,,8 5,,985 W,74,966 4,9,,7,95 5,56,69 W 4,45 4,57 4,6,54,9 4,7 5,,5 H6_RSS W 4,44 4,59 4,748,4,78,785 5,747,96 W 4,45 4,657 4,86,5,46,696 6,496,8 Z informacji zawarch w ab. 6 wnika, że wraz ze wzrosem odseek luk wzrasał również ocen median błędów prognoz. Jednie w przpadku modelu klascznego ze zmiennmi zero-jednkowmi i relawie sałą sezonowością /_RSS w wariancie W nasąpił jej nieznaczn spadek w porównaniu z warianem W. W odróżnieniu od błędów prognoz inerpolacjnch, zarówno rozsęp, jak i rozsęp międzkwarlow ulegał zwiększeniu wzrasał ocen ak kwarla pierwszego, jak i kwarla rzeciego. Analizowane rozkład błędów charakerzował się asmerią prawosronną, jednak poszczególne meod wraźnie różnił się jej siłą. Meoda odcinkowa charakerzowała się bardzo wsokimi ocenami wskaźników skośności dla warianów W i W przekraczającmi. Naomias dla modelu /_RSS ocena ego wskaźnika skośności bła bliska. Na rsunku 5 przedsawiano kszałowanie się rozkładów empircznch średnich względnch błędów prognoz eksrapolacjnch, orzmanch za pomocą meod odcinkowej oraz modelu /_RSS. Meoda odcinkowa Model /_RSS 5 6 5 5 4 Odseek [w%] 5 Odseek [w %] 5,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 MAPE [w %] Warian W Warian W Warian W,5,5,75,5,5,75 4 4,5 4,5 4,75 5 5,5 5,5 MAPE [w %] Warian W Warian W Warian W Rs. 5. Empirczne rozkład średnich względnch błędów prognoz eksrapolacjnch dla meod odcinkowej oraz modelu /_RSS według warianów luk

66 Z rsunku 6 wnika, że kszał rozkładów błędów prognoz eksrapolacjnch dla obu przedsawionch meod wraźnie się różniłą. Dla meod odcinkowej wraźnie dosrzegalna jes silna asmeria prawosronna, podczas gd dla modelu klascznego asmeria prakcznie nie wsępuje. Może o wnikać z pośredniego sposobu budow prognoz eksrapolacjnch dla meod numercznch. Jednak pomimo różnic, kierunek zmian spowodowan przez rosnącą liczbę luk bł zbliżon dla obu analizowanch meod. Powierdza o analizę sask opisowch rozkładów średnich względnch błędów prognoz eksrapolacjnch. Podsumowanie Z przeprowadzonch w prac badań wnika, że za wkorzsaniem wbranch meod numercznch do budow prognoz iner- i eksrapolacjnch, w przpadku wsąpienia luk niessemacznch, przemawia dokładność uzskanch za ich pomocą prognoz, zwłaszcza na le klascznch modeli szeregu czasowego. Należ mieć jednak na uwadze ograniczenia ch meod, a przede wszskim możliwość ich zaasowania włącznie dla szeregów niewkazującch wahań sezonowch lub akich, z kórch zosał one usunięe. Z przeprowadzonch analiz można wprowadzić nasępujące wnioski o charakerze szczegółowm:. Najniższe ocen błędów prognoz iner- i eksrapolacjnch orzmano dla meod odcinkowej.. Spośród pozosałch meod numercznch nieznacznie wższe ocen uzskano dla obu meod łuków. Błęd prognoz inerpolacjnch zbudowanch za ich pomocą bł średnio o ok.,7-,9 p.p. wższe, a błęd prognoz eksrapolacjnch o ok.,-, p.p.. Dla meod Lagrange a dla czerech węzłów inerpolacjnch rozmieszczonch proporcjonalnie ocen błędów prognoz eksrapolacjnch bł ponad 4-kronie wższe niż dla węzłów. Związane bło o z wsąpieniem zw. efeku Rungego. 4. Ocen błędów prognoz inerpolacjnch orzmanch zarówno na podsawie klascznch modeli, jak i hierarchicznch modeli szeregu czasowego bł wższe o ok.,-,4 p.p. od uzskanch meodą odcinkową. Dla prognoz eksrapolacjnch ocen e bł wższe o ok.,8-, p.p. Z przeprowadzonch w prac badań wnika również, że wsępowanie luk niessemacznch w szeregu czasowm wkazującm wahania sezonowe nie musi uniemożliwiać budow prognoz na jego podsawie. Zasosowanie przedsawionch meod i uzupełnienie szeregu daje badaczowi możliwość przeprowadzania analiz, kóre bez ej operacji nie mogłb zosać wkonane.

Smulacjne badanie efekwności wkorzsania meod numercznch... 67 Lieraura Cheba K. 4, Zasosowanie meod prognozowania sanów erminowch depozów bankowch w warunkach braku pełnej informacji, Folia Universiais Agriculurae Seinensis. Oeconomica, nr 74, s. 9-44. Dimann P. 6, Prognozowanie w przedsiębiorswie. Meod i ich zasosowanie, Wolers Kluwer, Kraków. Foruna Z., Macukow B., Wąsowski J. 99, Meod numerczne, Wdawnicwo Naukowo-Techniczne, Warszawa. Grabiński T., Wdmus S., Zeliaś A. 979, Z badań nad meodami predkcji brakującch informacji, Zesz Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, nr 4, s. -59. GUS 9-4, Turska, informacje i opracowania sasczne, Warszawa. Oeserreich M., Wkorzsanie meod numercznch w prognozowaniu brakującch danch w szeregach czasowch z sezonowością, Folia Universiais Agriculurae Seinensis. Oeconomica, nr 859, s. 77-85. Oeserreich M., Smulacjne badanie wpłwu częsości wsępowania luk niessemacznch na dokładność prognoz, Prace Naukowe Uniwerseu Ekonomicznego we Wrocławiu. Ekonomeria, nr 48, s. 86-96. Ralson A., Rabinowiz F. 978, Firs Course of Numerical Analsis Second Ediion, McGraw-Hill Inc., New York. Soer J. 979, Wsęp do meod numercznch. Tom pierwsz, PWN, Warszawa. Szmuksa-Zawadzka M., Zawadzki J., Z badań nad meodami prognozowania na podsawie niekomplench szeregów czasowch z wahaniami okresowmi sezonowmi, Przegląd Sasczn, numer specjaln, nr, s. 4-54. Szmuksa-Zawadzka M., Zawadzki J. 4, Zasosowanie wbranch modeli adapacjnch w prognozowaniu brakującch danch w szeregach ze złożoną sezonowością dla luk niessemacznch, Meod Ilościowe w Badaniach Ekonomicznch. Quaniaive Mehods in Economics,. 5, z. 4, s. 8-95. Zawadzki J. red., Zasosowanie hierarchicznch modeli szeregów czasowch w prognozowaniu zmiennch ekonomicznch z wahaniami sezonowmi, Wdawnicwo Akademii Rolniczej w Szczecinie, Szczecin. THE SIMULATION EFFICIENCY ANALYSIS OF NUMERICAL METHODS IN FORECASTING VARIABLE WITH UNSYSTEMATIC GAPS Summar: In he aricle was presened an efficienc analsis of numerical mehods in forecasing economic variable wih unssemaic gaps. To consrucion of iner- and exrapolaive forecass, based on he seasonal adjused ime series, were used: he segmenal mehod, he arches mehod and he Lagrange inerpolaion mehod for nodes disribued proporionall. In analsis were considered hree varians of gaps, differing in

68 he percen-age of he missing daa. A comparaive analsis of he accurac of forecas errors of classical ime series wih linear rend and periodic seasonal componen and exponenial rend wih relaivel consan seasonali was also performed. Calculaions were made using R environmen and Saisica. Kewords: numerical mehods, forecasing, unssemaic gaps, simulaion mehods.