Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja

Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13

Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać rekursywnie, czyli w postaci uk ladu dynamicznego, np. x t+1 = f (x t ) lub x (t) = f (x(t)).

Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać rekursywnie, czyli w postaci uk ladu dynamicznego, np. x t+1 = f (x t ) lub x (t) = f (x(t)). Zmienność x w czasie zależy od warunków poczatkowych, x(0). Możliwe, że istnieja warunki poczatkowe prowadzace do pewnych specyficznych typów ścieżek czasowych x(t):

Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać rekursywnie, czyli w postaci uk ladu dynamicznego, np. x t+1 = f (x t ) lub x (t) = f (x(t)). Zmienność x w czasie zależy od warunków poczatkowych, x(0). Możliwe, że istnieja warunki poczatkowe prowadzace do pewnych specyficznych typów ścieżek czasowych x(t): Stan ustalony (steady state) funkcja x(t) sta la w czasie: x t+1 = x t lub x (t) = 0 dla każdego t. Fakt: niemal każdy model makroekonomiczny ma stan ustalony.

Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać rekursywnie, czyli w postaci uk ladu dynamicznego, np. x t+1 = f (x t ) lub x (t) = f (x(t)). Zmienność x w czasie zależy od warunków poczatkowych, x(0). Możliwe, że istnieja warunki poczatkowe prowadzace do pewnych specyficznych typów ścieżek czasowych x(t): Stan ustalony (steady state) funkcja x(t) sta la w czasie: x t+1 = x t lub x (t) = 0 dla każdego t. Fakt: niemal każdy model makroekonomiczny ma stan ustalony. Cykl deterministyczny funkcja x(t) okresowa, np. x(t) = sin t albo np. x t = 1 dla t nieparzystych, x t = 0 dla t parzystych. Może sie zdarzyć, że taka ścieżka bedzie spe lniać równanie uk ladu dynamicznego. Fakt: cykle deterministyczne wystepuj a w modelach ekonomicznych bardzo rzadko.

Dynamiczna optymalizacja Dynamiczna optymalizacja Optymalna decyzja nie jest liczba x lecz ciagiem {x 1,..., x n }, ciagiem nieskończonym {x 1, x 2,...} lub funkcja f : X R. Zmienna niezależna jest czas.

Dynamiczna optymalizacja Dynamiczna optymalizacja Optymalna decyzja nie jest liczba x lecz ciagiem {x 1,..., x n }, ciagiem nieskończonym {x 1, x 2,...} lub funkcja f : X R. Zmienna niezależna jest czas. Horyzont planowania: skończony lub nieskończony.

Dynamiczna optymalizacja Dynamiczna optymalizacja Optymalna decyzja nie jest liczba x lecz ciagiem {x 1,..., x n }, ciagiem nieskończonym {x 1, x 2,...} lub funkcja f : X R. Zmienna niezależna jest czas. Horyzont planowania: skończony lub nieskończony. Czas dyskretny t = 0, 1, 2,..., T tudzież t = 0, 1, 2,... Czas ciag ly t [0, T ] tudzież t [0, + ).

Dynamiczna optymalizacja Dynamiczna optymalizacja Optymalna decyzja nie jest liczba x lecz ciagiem {x 1,..., x n }, ciagiem nieskończonym {x 1, x 2,...} lub funkcja f : X R. Zmienna niezależna jest czas. Horyzont planowania: skończony lub nieskończony. Czas dyskretny t = 0, 1, 2,..., T tudzież t = 0, 1, 2,... Czas ciag ly t [0, T ] tudzież t [0, + ). Jeśli przestrzeń, w której zanurzony jest problem optymalizacyjny, jest nieskończenie wymiarowa, wymaga to innych (ogólniejszych) narzedzi matematycznych niż znajdowanie ekstremów funkcji n zmiennych.

Dynamiczna optymalizacja Dynamiczna optymalizacja Optymalna decyzja nie jest liczba x lecz ciagiem {x 1,..., x n }, ciagiem nieskończonym {x 1, x 2,...} lub funkcja f : X R. Zmienna niezależna jest czas. Horyzont planowania: skończony lub nieskończony. Czas dyskretny t = 0, 1, 2,..., T tudzież t = 0, 1, 2,... Czas ciag ly t [0, T ] tudzież t [0, + ). Jeśli przestrzeń, w której zanurzony jest problem optymalizacyjny, jest nieskończenie wymiarowa, wymaga to innych (ogólniejszych) narzedzi matematycznych niż znajdowanie ekstremów funkcji n zmiennych. Zmienne stanu (state variables): zmienne y(t) dla których mamy zadany warunek poczatkowy, na ogó l zwiazane równaniem dynamiki (różniczkowym badź różnicowym). Zmienne sterujace (control variables): zmienne u(t) dla których nie mamy warunku poczatkowego, nie zwiazane równaniem dynamiki. Punkt startowy u(0) dobieramy na ogó l tak, by spe lnić warunki transwersalności.

Wybrane zastosowania dynamicznej optymalizacji Zastosowania poznanych narz edzi Modele cyklu koniunkturalnego.

Wybrane zastosowania dynamicznej optymalizacji Zastosowania poznanych narz edzi Modele cyklu koniunkturalnego. Modele wzrostu gospodarczego.

Wybrane zastosowania dynamicznej optymalizacji Zastosowania poznanych narzedzi Modele cyklu koniunkturalnego. Modele wzrostu gospodarczego. Modele rynku pracy.

Wybrane zastosowania dynamicznej optymalizacji Zastosowania poznanych narzedzi Modele cyklu koniunkturalnego. Modele wzrostu gospodarczego. Modele rynku pracy. Modele wyceny aktywów.

Wybrane zastosowania dynamicznej optymalizacji Zastosowania poznanych narzedzi Modele cyklu koniunkturalnego. Modele wzrostu gospodarczego. Modele rynku pracy. Modele wyceny aktywów. Modele finansów publicznych.

Wybrane zastosowania dynamicznej optymalizacji Zastosowania poznanych narz edzi Modele cyklu koniunkturalnego. Modele wzrostu gospodarczego. Modele rynku pracy. Modele wyceny aktywów. Modele finansów publicznych.... oraz wiele innych. Jak widać, bedziemy sie koncentrować przede wszystkim na zastosowaniach dynamicznej optymalizacji w makroekonomii, jednak zastosowania mikroekonomiczne sa również liczne.

Narz edzia dynamicznej optymalizacji (1) Czas dyskretny, horyzont planowania skończony: zwyk le narz edzia optymalizacji dla funkcji n zmiennych oraz programowanie dynamiczne. (a) Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum.

Narz edzia dynamicznej optymalizacji (1) Czas dyskretny, horyzont planowania skończony: zwyk le narzedzia optymalizacji dla funkcji n zmiennych oraz programowanie dynamiczne. (a) Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum. (b) Problemy optymalizacji z warunkami ograniczajacymi g i (x 1,..., x n ) = 0 dla i = 1,..., m: metoda Lagrange a. m L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = f (x 1,..., x n ) + λ i g i (x 1,..., x n ). i=1

Narz edzia dynamicznej optymalizacji (1) Czas dyskretny, horyzont planowania skończony: zwyk le narzedzia optymalizacji dla funkcji n zmiennych oraz programowanie dynamiczne. (a) Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum. (b) Problemy optymalizacji z warunkami ograniczajacymi g i (x 1,..., x n ) = 0 dla i = 1,..., m: metoda Lagrange a. m L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = f (x 1,..., x n ) + λ i g i (x 1,..., x n ). Czas dyskretny, horyzont planowania nieskończony, x = (x 1, x 2,...): metoda Lagrange a oraz programowanie dynamiczne. (a) Metoda Lagrange a. L(x, λ) = f (x) + λ i g i (x). i=1 i=1

Narz edzia dynamicznej optymalizacji (1) Czas dyskretny, horyzont planowania skończony: zwyk le narzedzia optymalizacji dla funkcji n zmiennych oraz programowanie dynamiczne. (a) Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum. (b) Problemy optymalizacji z warunkami ograniczajacymi g i (x 1,..., x n ) = 0 dla i = 1,..., m: metoda Lagrange a. m L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = f (x 1,..., x n ) + λ i g i (x 1,..., x n ). Czas dyskretny, horyzont planowania nieskończony, x = (x 1, x 2,...): metoda Lagrange a oraz programowanie dynamiczne. (a) Metoda Lagrange a. L(x, λ) = f (x) + λ i g i (x). (b) Programowanie dynamiczne: zasada optymalności Bellmana i=1 i=1 V (s t ) = max c t {u(c t, s t ) + βv (s t+1 )}.

Narz edzia dynamicznej optymalizacji (2) Czas ciag ly, horyzont planowania skończony, t [0, T ]: rachunek wariacyjny lub teoria optymalnego sterowania. (a) Poszukiwana jest funkcja y(t), y : [0, T ] R, maksymalizujaca funkcjona l max V [y] = T 0 F (y(t), y (t), t)dt. (b) Teoria optymalnego sterowania uogólnia ten problem do poszukiwania dwóch funkcji y(t), u(t): max V [u, y] = T 0 F (y(t), u(t), t)dt p.w. y (t) = f (u(t), y(t), t).

Narz edzia dynamicznej optymalizacji (2) Czas ciag ly, horyzont planowania skończony, t [0, T ]: rachunek wariacyjny lub teoria optymalnego sterowania. (a) Poszukiwana jest funkcja y(t), y : [0, T ] R, maksymalizujaca funkcjona l max V [y] = T 0 F (y(t), y (t), t)dt. (b) Teoria optymalnego sterowania uogólnia ten problem do poszukiwania dwóch funkcji y(t), u(t): max V [u, y] = T 0 F (y(t), u(t), t)dt p.w. y (t) = f (u(t), y(t), t). Czas ciag ly, horyzont planowania nieskończony, t [0, + ): rachunek wariacyjny lub teoria optymalnego sterowania. Należy zastapić T przez + w powyższych wzorach. (O dodatkowych problemach później.)

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (1) Przestrzeń funkcyjna: przestrzeń, której elementami sa funkcje. Przyk lad: przestrzeń funkcyjna X = C 6 (R) jest przestrzenia wszystkich funkcji f : R R, które sa 6-krotnie różniczkowalne w sposób ciag ly. Niech f (x) = e x, g(x) = x. Wtedy f X, g / X.

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (1) Przestrzeń funkcyjna: przestrzeń, której elementami sa funkcje. Przyk lad: przestrzeń funkcyjna X = C 6 (R) jest przestrzenia wszystkich funkcji f : R R, które sa 6-krotnie różniczkowalne w sposób ciag ly. Niech f (x) = e x, g(x) = x. Wtedy f X, g / X. Przyk lad 2: przestrzeń funkcyjna X = C(R 2, R) jest przestrzenia wszystkich funkcji ciag lych f : R 2 R. Niech f (x, y) = x 3y, g(x, y) = xy x 2 +y (dodatkowo g(0, 0) = 0). Wtedy 2 f X, g / X bo g nie jest ciag la (w zerze).

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (1) Przestrzeń funkcyjna: przestrzeń, której elementami sa funkcje. Przyk lad: przestrzeń funkcyjna X = C 6 (R) jest przestrzenia wszystkich funkcji f : R R, które sa 6-krotnie różniczkowalne w sposób ciag ly. Niech f (x) = e x, g(x) = x. Wtedy f X, g / X. Przyk lad 2: przestrzeń funkcyjna X = C(R 2, R) jest przestrzenia wszystkich funkcji ciag lych f : R 2 R. Niech f (x, y) = x 3y, g(x, y) = xy x 2 +y (dodatkowo g(0, 0) = 0). Wtedy 2 f X, g / X bo g nie jest ciag la (w zerze). Funkcjona l: funkcja, której argumentem jest inna funkcja. Przyk lad: funkcjona l V : C 1 (R) C 1 (R), przy czym V (x)(t) = e x(t) przekszta lca funkcje x : R R różniczkowalne w sposób ciag ly w funkcje x : R R różniczkowalne w sposób ciag ly. Przyk ladowo, dla x(t) = sin t 7 mamy V (x)(t) = e sin t 7.

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (2) Norma: definiowana jest aksjomatycznie. x = 0 x = 0. ax = a x dla a R (dodatnia jednorodność). x + y x + y (nierówność trójkata).

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (2) Norma: definiowana jest aksjomatycznie. x = 0 x = 0. ax = a x dla a R (dodatnia jednorodność). x + y x + y (nierówność trójkata). Przyk lad normy w przestrzeni funkcyjnej (dla funkcji x : X R): x sup = sup{ x(t) }. t X

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (2) Norma: definiowana jest aksjomatycznie. x = 0 x = 0. ax = a x dla a R (dodatnia jednorodność). x + y x + y (nierówność trójkata). Przyk lad normy w przestrzeni funkcyjnej (dla funkcji x : X R): x sup = sup{ x(t) }. t X Inny przyk lad (zak ladamy p [1, + )): ( x L p = X ) 1 x(t) p p dt.

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (2) Norma: definiowana jest aksjomatycznie. x = 0 x = 0. ax = a x dla a R (dodatnia jednorodność). x + y x + y (nierówność trójkata). Przyk lad normy w przestrzeni funkcyjnej (dla funkcji x : X R): x sup = sup{ x(t) }. t X Inny przyk lad (zak ladamy p [1, + )): ( x L p = X ) 1 x(t) p p dt. Norma operatora (tj. funkcjona lu): norma określona w przestrzeni funkcjona lów V : X Y. V = sup{ V (x) : x X, x 1}.

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (3) Operator zweżaj acy (kontrakcja) V : X Y. Wymagamy, by V spe lnia l warunek: V (x 1 ) V (x 2 ) α x 1 x 2 dla dowolnych x 1, x 2 X i pewnego α (0, 1).

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (3) Operator zweżaj acy (kontrakcja) V : X Y. Wymagamy, by V spe lnia l warunek: V (x 1 ) V (x 2 ) α x 1 x 2 dla dowolnych x 1, x 2 X i pewnego α (0, 1). Przyk lad: V (x) = 3 4 x jest kontrakcj a. V (x) = x 3 nie jest kontrakcja, bo np. dla x(t) = y(t) = sin t i norma sup mamy x = y = 1 oraz x y = 2, natomiast V (x) V (y) = sin 3 (t) + sin 3 (t) = 2 = x y. Kontrprzyk ladów jest tu mnóstwo (nieskończenie wiele).

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (3) Operator zweżaj acy (kontrakcja) V : X Y. Wymagamy, by V spe lnia l warunek: V (x 1 ) V (x 2 ) α x 1 x 2 dla dowolnych x 1, x 2 X i pewnego α (0, 1). Przyk lad: V (x) = 3 4 x jest kontrakcj a. V (x) = x 3 nie jest kontrakcja, bo np. dla x(t) = y(t) = sin t i norma sup mamy x = y = 1 oraz x y = 2, natomiast V (x) V (y) = sin 3 (t) + sin 3 (t) = 2 = x y. Kontrprzyk ladów jest tu mnóstwo (nieskończenie wiele). Przestrzeń Banacha X : przestrzeń unormowana (ze zdefiniowana norma), w której wszystkie ciagi Cauchy ego sa zbieżne (do granicy w X ). Przyk lady: R, [0, 1] z modu lem liczby jako norma; C(R), C 1 (R) z norma sup.

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (3) Operator zweżaj acy (kontrakcja) V : X Y. Wymagamy, by V spe lnia l warunek: V (x 1 ) V (x 2 ) α x 1 x 2 dla dowolnych x 1, x 2 X i pewnego α (0, 1). Przyk lad: V (x) = 3 4 x jest kontrakcj a. V (x) = x 3 nie jest kontrakcja, bo np. dla x(t) = y(t) = sin t i norma sup mamy x = y = 1 oraz x y = 2, natomiast V (x) V (y) = sin 3 (t) + sin 3 (t) = 2 = x y. Kontrprzyk ladów jest tu mnóstwo (nieskończenie wiele). Przestrzeń Banacha X : przestrzeń unormowana (ze zdefiniowana norma), w której wszystkie ciagi Cauchy ego sa zbieżne (do granicy w X ). Przyk lady: R, [0, 1] z modu lem liczby jako norma; C(R), C 1 (R) z norma sup. Przyk lad: przestrzeń X = (0, 1) nie jest przestrzenia Banacha, bo istnieje ciag Cauchy ego { 1 n } X, zbieżny do 0 / X.

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (4) Twierdzenie Banacha o punkcie sta lym: Każdy operator zweżaj acy V : X X określony na przestrzeni Banacha X ma dok ladnie jeden punkt sta ly x X.

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (4) Twierdzenie Banacha o punkcie sta lym: Każdy operator zweżaj acy V : X X określony na przestrzeni Banacha X ma dok ladnie jeden punkt sta ly x X. Przyk lad: f (x) = 0, 3x + 7 jest kontrakcja, [0, + ) jest przestrzenia Banacha. Latwo sprawdzić, że punkt sta ly x [0, + ) spe lniaj acy x = f (x ) jest dok ladnie jeden, a mianowicie x = 10.

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (4) Twierdzenie Banacha o punkcie sta lym: Każdy operator zweżaj acy V : X X określony na przestrzeni Banacha X ma dok ladnie jeden punkt sta ly x X. Przyk lad: f (x) = 0, 3x + 7 jest kontrakcja, [0, + ) jest przestrzenia Banacha. Latwo sprawdzić, że punkt sta ly x [0, + ) spe lniaj acy x = f (x ) jest dok ladnie jeden, a mianowicie x = 10. Przyk lad 2: niech V : C 1 (R) C 1 (R) bedzie kontrakcja. Wtedy istnieje dok ladnie jedna taka funkcja x : R R, że x (t) = V (x )(t).

Podstawowe poj ecia z analizy funkcjonalnej (4) Twierdzenie Banacha o punkcie sta lym: Każdy operator zweżaj acy V : X X określony na przestrzeni Banacha X ma dok ladnie jeden punkt sta ly x X. Przyk lad: f (x) = 0, 3x + 7 jest kontrakcja, [0, + ) jest przestrzenia Banacha. Latwo sprawdzić, że punkt sta ly x [0, + ) spe lniaj acy x = f (x ) jest dok ladnie jeden, a mianowicie x = 10. Przyk lad 2: niech V : C 1 (R) C 1 (R) bedzie kontrakcja. Wtedy istnieje dok ladnie jedna taka funkcja x : R R, że x (t) = V (x )(t). Metoda kolejnych przybliżeń: x (t) można znaleźć iterujac operator zweżaj acy V, startujac z dowolnego punktu startowego (tj. funkcji startowej) x 0 (t) w X. Bierzemy kolejno x 0, V (x 0 ), V (V (x 0 )), itd. Mamy: lim V n (x 0 ) = x. n Metoda kolejnych przybliżeń pozwala też oszacować b l ad aproksymacji x przez V n (x 0 ) dla dowolnego skończonego n.

Do czego to potrzebne? Zastosowania w dynamicznej optymalizacji: Funkcjona ly i przestrzenie funkcyjne: wsz edzie, gdzie pojawia si e nieskończony horyzont planowania.

Do czego to potrzebne? Zastosowania w dynamicznej optymalizacji: Funkcjona ly i przestrzenie funkcyjne: wsz edzie, gdzie pojawia si e nieskończony horyzont planowania. Normy operatorów (funkcjona lów): wszedzie, gdzie pojawia sie nieskończony horyzont planowania i gdzie zapisujemy rozwiazania w postaci rekursywnej.

Do czego to potrzebne? Zastosowania w dynamicznej optymalizacji: Funkcjona ly i przestrzenie funkcyjne: wsz edzie, gdzie pojawia si e nieskończony horyzont planowania. Normy operatorów (funkcjona lów): wszedzie, gdzie pojawia sie nieskończony horyzont planowania i gdzie zapisujemy rozwiazania w postaci rekursywnej. Uk lady dynamiczne: analiza dynamiki modeli oraz wsz edzie, gdzie zapisujemy równania w postaci rekursywnej.

Do czego to potrzebne? Zastosowania w dynamicznej optymalizacji: Funkcjona ly i przestrzenie funkcyjne: wsz edzie, gdzie pojawia si e nieskończony horyzont planowania. Normy operatorów (funkcjona lów): wszedzie, gdzie pojawia sie nieskończony horyzont planowania i gdzie zapisujemy rozwiazania w postaci rekursywnej. Uk lady dynamiczne: analiza dynamiki modeli oraz wsz edzie, gdzie zapisujemy równania w postaci rekursywnej. Przestrzeń Banacha: zawsze warto wiedzieć, w jakiej przestrzeni si e znajdujemy... :)

Do czego to potrzebne? Zastosowania w dynamicznej optymalizacji: Funkcjona ly i przestrzenie funkcyjne: wsz edzie, gdzie pojawia si e nieskończony horyzont planowania. Normy operatorów (funkcjona lów): wszedzie, gdzie pojawia sie nieskończony horyzont planowania i gdzie zapisujemy rozwiazania w postaci rekursywnej. Uk lady dynamiczne: analiza dynamiki modeli oraz wsz edzie, gdzie zapisujemy równania w postaci rekursywnej. Przestrzeń Banacha: zawsze warto wiedzieć, w jakiej przestrzeni si e znajdujemy... :) Kontrakcje i twierdzenie Banacha: programowanie dynamiczne (zasada Bellmana).