Wykład 10: Gawitacja d inż. Zbigniew Szklaski szkla@agh.edu.pl http://laye.uci.agh.edu.pl/z.szklaski/
Siły centalne Dla oddziaływań gawitacyjnych C Gm 1 m C ˆ C F F 3 C C Dla oddziaływań elektostatycznych k q 1 q q 1 q 4 o Nm gdzie G 6,673 10-11 kg Nm gdzie k 8,99 10 9 C Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
pole gawitacyjne pole elektostatyczne ładunku ujemnego Oddziaływanie gawitacyjne jest dużo słabsze niż elektostatyczne Dla dwóch elektonów Pzyciąganie gawitacyjne Odpychanie elektostatyczne 1 4,17 10 4 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Doga do pawa powszechnego ciążenia uch obitalny planet wokół Słońca jak i dlaczego? egulane, wieloletnie pomiay Tycho Bahe (1546-61) Pawa Keplea Badania powodów uchu planet Galileusz zasada bezwładności. Newton (164-176): uch ciała może zmienić tylko siła Z II i III pawa Keplea Słońce jest źódłem sił adialnych 1/ Newton postulował powszechność tej siły wszystkie ciała pzyciągają się wzajemnie. Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Pawa Keplea (1571-1630) I. Wszystkie planety kążą po elipsach. W ognisku elipsy znajduje się Słońce. II. Pola zakeślane pzez wekto wodzący (od Słońca) w jednakowych odstępach czasu są ówne. Zakeślane pole: 1 da ( d ) 1 d dt dt 1 ( v )dt d +d Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
1 da ( v)dt tzw. pędkość polowa L m v L const d A dt jeżeli nie działają siły zewnętzne: const da dt 1 v L m Pędkość polowa jest stała! Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
III Kwadaty okesów obiegów óżnych planet dookoła Słońca są popocjonalne do sześcianów dużych półosi elipsy. Powodem uchu po obicie jest siła dośodkowa jest nią siła gawitacji: M 1 m 1 m GMm m T GM 3 4 T T 3 4 GM T 3 const 1 T T 3 1 3 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
PZYKŁADY: 1. Okes obiegu stacji kosmicznej po kołowej obicie o pomieniu wynosi T. Duga stacja kosmiczna o dwukotnie większej masie pousza się po obicie o pomieniu 4. Oblicz jej okes obiegu planety.. Pomień obity Ziemi wynosi 1,5 10 11 m. Znając stałą G 6,67 10 11 N m /kg oblicz masę Słońca. 3. Okes obiegu Wenus wokół Słońca wynosi 5 dni. Oblicz jej odległość od Słońca. Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Einstein a gawitacja wg Newtona oddziaływania gawitacyjne zachodzą w sposób natychmiastowy co jest spzeczne z postulatem Einsteina o niemożności pzesyłania sygnałów z szybkością większą niż szybkość światła. wg Ogólnej Teoii Względności gawitacja jest konsekwencją zakzywienia czasopzestzeni pzez obiekty mające masę/ enegię. Najkótsza linia w pobliżu masy jest zakzywiona Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka Pole gawitacyjne wiującej czanej dziuy w tym modelu centalna osobliwość - miejsce, w któym kzywizna osiąga nieskończoność, nie jest już punktem lecz pieścieniem ułożonym w płaszczyźnie ównikowej.
Wielkości chaakteyzujące pole gawitacyjne Siła gawitacji Natężenie pola Enegia potencjalna: M m F g G ˆ F M g G ˆ m Obliczmy pacę wykonaną pzez siłę zewnętzną pzy pzesunięciu ciała z. M Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 1 Aby nie zmieniać enegii kinetycznej, ciało jest pzesuwane pzez siłę zewnętzną F z skieowaną pzeciwnie do siły gawitacji i co do watości F z F g. m F g F Z
Zatem E W Z Skoo W F W g z z F g d E p więc: E E E W 0 E F g p stąd p de d Dla pzypadku 3D można zapisać: F gdzie d GMm df p Wg GMm E ( ) Wz( ) iˆ g E p x p 1 + ˆj d y + kˆ GMm z E p p F g GMm p z GMm E iˆ F x p + + gad GMm g E p p E ˆj y p GMm E + kˆ z p Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Potencjał gawitacyjny E p GMm df E p GM V V skoo E zatem m p F g E p mv mv mg V g czyli g gadv oaz popzednio F gad g E p Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Pawo Gaussa Stumień pola wektoowego o natężeniu pzechodzący pzez powiezchnię S W Dla powiezchni złożonej S W S W c i zamkniętej i lub ogólnie dla powiezchni w pzypadku jak na ysunku c W ds 0 W S L S b S P W Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Całkowity stumień pola wektoowego, pzechodzący pzez dowolną powiezchnię zamkniętą jest popocjonalny do źódła tego pola zamkniętego wewnątz tej wybanej powiezchni Dla pola gawitacyjnego: Całkowity stumień pola gawitacyjnego pzechodzący pzez dowolną powiezchnię zamkniętą (tzw. powiezchnię Gaussa), jest popocjonalny do masy będącej źódłem tego pola masy, któa jest zamknięta wewnątz powiezchni Gaussa. g 4G M gdzie g g ds czyli ostatecznie g ds 4GM Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
PZYKŁADY: Masa punktowa: g g S g Skoo: g ds S S Powiezchnia Gaussa g ds ds g4 g 4GM 0 cos180 S gds g G M ds g M F g m g G ds g Mm Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Sfeyczny ozkład masy masa M ozłożona na sfeze o pomieniu gęstość powiezchniowa M masy: 4 M 1. ozpatujemy piewszy obsza > Na podstawie pawa Gaussa 4GM S g ds gdzie M jest masą powłoki zawatej wewnątz powiezchni Gaussa. 4 GM G 4 M GM g4 g g G Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
. Dla dugiego obszau < 0 g ds g 0 S gdyż żadna masa nie jest zawata wewnątz wybanej powiezchni Gaussa. M Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Objętościowy ozkład masy kula o pomieniu i masie M. 1. piewszy obsza > (cała masa kuli zawata jest wewnątz powiezchni Gaussa). M 4GM g ds S 4GM g4 g GM Można stąd obliczyć potencjał i enegię potencjalną masy póbnej m znajdującej się w odległości od źódła pola gawitacyjnego M. GMm V g d E p Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
. dla < tylko część masy kuli zawata jest wewnątz powiezchni Gaussa. Na podstawie pawa Gaussa: 4GM ' g ds ' 4GM g4 M M ' GM g Obliczmy M : ' ' M M M M M ' M ' V V 4 3 4 3 3 3 Dla obu obszaów otzymujemy ten sam wynik gdy g Podobnie jak popzednio: Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 3 3 GM stąd V g d E p g GMm GM 3 3
Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Liniowy i powiezchniowy ozkład masy Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Inny pzykład zastosowania pawa Gaussa. W jednoodnej kuli o pomieniu, wykonanej z mateiału o gęstości 1, wykonano kuliste wydążenie o pomieniu ⅓ pzylegające do powiezchni kuli. Wydążenie wypełniono mateiałem o gęstości ½ 1 Kozystając z pawa Gaussa oblicz natężenie pola gawitacyjnego w punkcie P, odległości od powiezchni kuli. Zób ysunek z zaznaczeniem wybanych powiezchni Gaussa. g 3 G1 7 + +⅓ P Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Uczeń cukienika upiekł makowiec w kształcie badzo, badzo długiego, idealnego walca - niestety z zakalcem. Gęstość tego makowca o pomieniu można opisać w uposzczeniu funkcją A(1-/), gdzie A - stała makowcowa. Z jaką siłą pzyciąga ten makowiec punktowy pączek o masie m umieszczony w odległości 3 od osi makowca? 3 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Enegia gawitacyjna jednoodnej kuli Obliczamy enegię oddziaływania pomiędzy pełną kulą o pomieniu a otaczającą ją powłoką kulistą o gubości d i masie dm. Budowanie kuli będzie polegać na doklejaniu kolejnych zewnętznych powłok. Paca potzebna na doklejenie powłoki pzeniesienie jej z : dw GMdM Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
masa tak twozonej kuli i powłoki jest ówna odpowiednio: M dm 4 3 4 3 d Całkowita paca potzebna do utwozenia kuli: W GMdM dw G 0 4 3 3 4 d 16 G 3 0 4 d W 16 G 3 5 5 3 GM 5 W ten sposób obliczamy enegię gawitacyjną gwiazd i planet. Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Pzykładowo, gawitacyjna enegia własna Słońca: M s 10 30 kg s 710 8 m E p Slonca 3 5 6,67 10 11 (7 10 (10 8 ) 30 ) 310 3 J Jest to badzo duża ilość enegii i jest oczywiste, że w pocesie gawitacyjnego zapadania się gwiazdy (do stadium białego kała o pomieniu ok. 0,1 obecnego pomienia Słońca) wyzwoli się ogomna ilość enegii. Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Zależność pzyspieszenia ziemskiego od wysokości (dla sze.geog. 45 0 ) Wysokość [m] g [m/s ] 0 9,806 1000 9,803 4000 9,794 8000 9,78 3000 9,71 szeokości geogaficznej (na poziomie moza) geoida pawie połowa zmiany g jest wywołana uchem obotowym Ziemi Szeokość geogaficzna g [m/s ] 0 0 9,780 30 0 9,793 50 0 9,811 90 0 9,83 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
W związku z uchem obotowym Ziemi, należy uwzględnić działanie siły odśodkowej bezwładności. Cięża ciała na szeokości geogaficznej : Mgmg φ mg m F b mg φ mg GMm m cos T g GM 4 T cos Na biegunie: 90 o g b GM Na ówniku 0 o g GM 4 T Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Wahadło Foucault a płaszczyzna wahań wykonuje pełen obót w ciągu jednej doby gwiazdowej (3h 56min 04,09s). W każdym wahnięciu wahadło nieznacznie skęca, zbacza z postej dogi. Zboczenie to odpowiada ściśle kątowi, o jaki w ciągu tego wahnięcia obóciła się Ziemia. Zmianę kieunku uchu wahadła można zintepetować jako skutek działania pewnej siły. To jest właśnie siła Coiolisa, a cały efekt dowodzi nieinecjalności układu odniesienia związanego z powiezchnią Ziemi, czyli pośednio jej uchu obotowego. Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
cos óżnica pomiędzy każdą z tych pędkości a pędkością śodka pieścienia wahadła Foucaulta: Kula wahadła Foucaulta wykonuje wahania nad pieścieniem o pomieniu, a płaszczyzna wahań obaca się w kieunku uchu wskazówek zegaa. Pędkości względne kańcowych punktów pieścienia północnego i południowego są óżne. Szybciej pousza się punkt leżący dalej od osi obotu. Obliczamy pędkości liniowe odpowiednio północnego i południowego punktu pieścienia: v N cos sin v S cos + sin v sin Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Skoo obwód pieścienia wynosi więc pełny obót płaszczyzny wahań: Stąd okes obiegu: T ( sin ) 0 T T 0 sin sin T 4h sin Miejsce Miasto Dziedziniec Politechniki Gdańskiej Gdańsk 6 64 Wieża adziejowskiego dawna dzwonnica Fombok 8,5 46 Wieża Dzwonów na Zamku Książąt Pomoskich Szczecin 8,5 76 Wydział Matematyczno-Pzyodniczy Uniwesytetu Jana Kochanowskiego w Kielcach L (m) Kielce 7 Wydział Fizyki Uniwesytetu im. Adama Mickiewicza Poznań 10 5 Centum Nauki Kopenik Waszawa 16 4 Planetaium Śląskie Chozów Kościół św. Piota i Pawła Kaków 46,5 5 M (kg) Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka