Stnsłw OCHOŃSKI os. Mstrzejowce Nowe 6/5 31-640 Krków SOŻKOWE JKO ZBIORY ŚRODKÓW SFER PRZECHODZĄCYCH PRZEZ DW PUNKY I SYCZNYCH DO PROSEJ, PŁSZCZYZNY BĄDŹ SFERY WSĘP W referce o tym smym tytule, zgłoszonym n Konferencję o Geometr zorgnzowną w Częstochowe (24-25 wrześn 1999r), z okzj stulec urodzn profesor Stnsłw Szerszen pęćdzesęcolec Poltechnk Częstochowskej, przedstwono w dużym skróce, nepełne wynk rozwżń dotyczących zborów środków sfer przechodzących przez dw punkty zrzem stycznych do prostej, płszczyzny bądź sfery [4]. W przypdku dwu różnych punktów wrunkem stnen tkch sfer jest położene ch po jednej strone prostej, płszczyzny/sfery przynleżność tylko jednego z nch do rozptrywnych fgur. Pod konec trzecej dekdy pźdzernk 1999r n semnrum prowdzonym przez prof.zw.dr hb.nż.mrn Plej w Poltechnce Śląskej, pszący te słow wygłosł refert nt.: Krzywe stopn drugego określone n płszczyźne ntynwersyjnej dwom wzjemne wymjjącym sę okręgm, w którym prezentowno dlsze wynk bdń nd tym zborm sfer, orz mejscm geometrycznym ch punktów stycznośc z prostą, płszczyzną/sferą. rtykuł nnejszy jest komplcją uzysknych wynków bdń w przedmotowym zkrese przedstwonych w obydwu refertch, tkże ch uzupełnenem rozszerzenem wynkjącym z ktulnego stnu wedzy utor w tej dzedzne. Insprcją do podjęc tych bdń był lektur prcy [1] w szczególnośc dotycząc mejsc geometrycznych punktów stycznośc sfer z płszczyzną/sferą, spełnjących określone wrunk. 1. Środk sfer stycznych do prostej przechodzących przez dw punkty W punkce tym zjmemy sę środkm sfer zwerjących dw różne bądź jednoczące sę punkty B stycznych do prostej leżącej w tej smej płszczyźne co punkty B lub skośnej względem prostej określonej tym punktm. 1.1. Prost B przecn prostą Jeżel prost B przecn prostą w punkce W różnym od punktów B, to długość odcnk W stycznej, wychodzącej z tego punktu do dowolnej sfery zwerjącej te punkty jest średną geometryczną (proporcjonlną) odcnków W WB - potęg punktu względem okręgu/sfery [2]. N prostej stneją dw tke punkty (=1,2), w których sfery Ω (=1,2,) przechodzące przez punkty B są styczne do nej. Środk tych sfer S (=1,2) są punktm, w których symetrln odcnk B przecn proste t (=1,2) zwerjące punkty (=1,2) prostopdłe do prostej. Jeżel jeden z punktów końcowych odcnk B zwrty jest w prostej, to stneje dokłdne jedn sfer przechodząc przez punkty B styczn do prostej w punkce /B leżącym n nej. Gdy odcnek B jest pondto prostopdły do prostej, to środek S tej sfery jest zrzem środkem odcnk B. Jeżel odcnek ten ne jest prostopdły do - 39 -
prostej, to środek S tkej sfery jest punktem, w którym symetrln odcnk B przecn prostą t przechodzącą przez punkt /B prostopdłą do prostej. 1.2. Prost B równoległ do prostej Równoległość odcnk B do prostej mplkuje stnene tylko jednej sfery zwerjącej jego punkty końcowe zrzem stycznej do prostej. Punkt stycznośc tkej sfery z prostą jest punktem przecęc jej symetrlną odcnk B, jej środek S jest z kole punktem przecęc tej symetrlnej przez jedną z symetrlnych odcnk /B. 1.3. Prost B skośn względem prostej Wykżemy, że zborem środków sfer przechodzących przez dw różne punkty B stycznych do prostej skośnej względem odcnk B jest prbol zwrt w płszczyźne symetrlnej tego odcnk. Konstrukcj środków S tkch sfer jest konsekwencją nstępującego rozumown. Środk sfer przechodzących przez dw różne punkty B zwrte są w płszczyźne µ symetrlnej odcnk B, środk sfer stycznych do prostej w jej punktch, leżą w płszczyznch τ zwerjących punkty stycznośc prostopdłych do prostej. Płszczyzn µ przecn płszczyzny τ w prostych k (pęk prostych równoległych) będących zborem środków sfer, które przechodzą przez punkty B lbo są styczne do prostej w punktch. N kżdej prostej k tego pęku stneje dokłdne jeden tk punkt S,który jest środkem sfery Ω przechodzącej przez punkty B zrzem stycznej do prostej. ym środkm S są punkty, w których płszczyzny symetrlne α /β odcnków /B przecnją proste k. Płszczyzny symetrlne α / β odcnków /B, ogrnczonych stłym punktem /B poruszjącym sę po prostej punktm opsują odpowedno w przestrzen prbolczną powerzchnę wlcową Φ /Φ B, o tworzących prostopdłych do płszczyzn ϕ /ϕ B, określonych punktem /B prostą. Kerującym tych powerzchn Φ /Φ B są w płszczyznch ϕ /ϕ B prbole będące obwednm symetrlnych tych smych odcnków /B, dl których punkt /B jest ognskem, prost wspólną ognskową dl obydwu prbol. Płszczyzn µ nerównoległ do tworzących powerzchn Φ /Φ B przecn ją w prbol będącej zborem środków S sfer Ω spełnjących nłożone wrunk. Środk tych sfer są punktm, w których płszczyzny α /β symetrlne odcnków /B przecnją proste k =µ τ, styczne w tych punktch do prbol są prostym, w których płszczyzn µ przecn płszczyzny α /β. 1.4. Punkt B jednoczą sę Jeżel punkty B jednoczą sę punkt ten ne leży n prostej, to zborem środków S sfer Ω przechodzących przez ten punkt stycznych do prostej jest prbol, dl której punkt M==B jest ognskem, prost jej kerowncą (znn defncj prbol jko punktów równoodległych od stłego punktu stłej prostej). Gdy ntomst punkt M zwrty jest w prostej to zborem środków S sfer stycznych do nej w punkce M jest płszczyzn µ przechodząc przez ten punkt prostopdł do prostej. k węc zborm środków sfer przechodzących przez dw punkty (różne/jednoczące sę) zrzem stycznych do prostej mogą być punkt, pr punktów, płszczyzn bądź prbol, m.g. ch punktów stycznośc punkt, pr punktów prost. 2. Środk sfer stycznych do płszczyzny przechodzących przez dw punkty Z kole rozptrzymy przypdek, w którym mejsce prostej zjmuje płszczyzn. Zkłdmy, że dne dw punkty położone po jednej strone płszczyzny mogą być różne lub jednoczące sę tylko jeden z nch może być zwrty w płszczyźne. - 40 -
2.1. Prost B przebj płszczyznę α Jeżel prost B przebj płszczyznę α w jkmś punkce W, to długość odcnk W kżdej stycznej wychodzącej z tego punktu do dowolnej sfery zwerjącej punkty B jest średną geometryczną odcnków W WB. Wynk stąd, ż m.g. punktów stycznośc sfer Ω z płszczyzną α jest okrąg t ) o środku w punkce W promenu R=W. ztem środk sfer stycznych do płszczyzny α będą leżły n prostych prostopdłych do nej przechodzących przez punkty okręgu t ) (W,R). e l Proste tworzą powerzchnę wlcową obrotową Φ o os l prostopdłej do płszczyzny okręgu t ), który jest jej kerującą (rys.1). Ntomst środk sfer przechodzących przez B punkty B znjdują sę n płszczyźne µ S symetrlnej odcnk B. k węc zborem środków S sfer Ω spełnjących równocześne obydw wrunk jest elps, w której W płszczyzn µ przecn powerzchnę wlcową Φ. Gdy odcnek B z złożen jest Rys.1 prostopdły do płszczyzny α, to zwrty on jest w os l tej powerzchn Φ wówczs płszczyzn µ symetrln tego odcnk przecn ją w okręgu. W przypdku,w którym jeden z punktów końcowych odcnk B leży w płszczyźne α, to stneje tylko jedn sfer Ω przechodząc przez te punkty styczn do nej w punkce /B. Jeżel pondto odcnek B jest prostopdły do płszczyzny α, to środek S tkej sfery jest równocześne środkem odcnk B. Gdy ntomst odcnek B ne jest prostopdły do płszczyzny α, środek S szuknej sfery jest punktem, w którym płszczyzn µ symetrln tego odcnk przecn prostą /b przechodzącą przez punkt /B zwrty w płszczyźne α prostopdłą do nej. 2.2. Prost B równoległ do płszczyzny α Przy złożenu, że odcnek B jest równoległy do płszczyzny α, m.g. punktów stycznośc sfer Ω z tą płszczyzną zrzem przechodzących przez punkty końcowe rozwżnego odcnk jest prost t, w której płszczyzn µ symetrln odcnk B przecn płszczyznę α. Dowolny punkt F prostej t orz punkty B w sposób jednoznczny określją podobne jk w p.1.3. sferę zwerjącą punkty B styczną do prostej t w jej punkce. N rys.2 podno efektywną konstrukcję środków S tkch sfer przy złożenu, że płszczyzn µ symetrln K 1 F 1 S P f S M= O L s N Rys.2 k s - 41 -
odcnk B jednoczy sę z płszczyzną rysunku. Przy tym złożenu płszczyzn α prostopdł do płszczyzny µ, przecn ją w prostej t, któr jest równocześne jej rzutem prostokątnym n płszczyznę rysunku (t=α ). Rzuty prostokątne punktów B jednoczą sę z punktem M - środkem odcnk B (M= =B ). Środk dowolnych sfer stycznych do prostej t ( tym smym do płszczyzny α) w jej punktch leżą n prostych zwerjących te punkty prostopdłych do prostej t, zś środk sfer zwerjących trzy newspółlnowe punkty, B znjdują sę n prostych s będących m.g. punktów równoodległych od nch. rójkąty B zwrte w płszczyznch τ prostopdłych do płszczyzny µ są trójkątm równormennym o podstwe B=2. Z tej symetr wynk, że obydwe proste s leżą w płszczyźne rysunku. k węc środk S sfer Ω zwerjących werzchołk B zrzem stycznych do prostej t w jej punktch są punktm, w których proste s przechodzące przez środk O okręgów opsnych n tych trójkątch prostopdłych do ch płszczyzn, przecnją proste przechodzące przez punkty prostopdłe do prostej t (rys.2). Zborem tk skonstruownych punktów S podobne jk w p.1.3 jest prbol zwrt w płszczyźne rysunku (dowód przeprowdzono w p.1.3). Wrto zuwżyć jeszcze, że płszczyzny τ trójkątów B przecnją sfery Ω w okręgch o środkch O promench O. Wynk stąd, że punkty F symetryczne do punktów względem środków O rozwżnych okręgów są drugm punktm ogrnczjącym ch średnce F. Stwerdzmy pondto, że odcnk S S F są równe, ponewż punkty F nleżą do tych smych sfer Ω, których środkm są punkty S = s. Mejscem geometrycznym punktów F pęku prostych o werzchołku M, którego promene przechodzą przez punkty poruszjące sę po prostej t, odcnk y w nch zwrte pozostją w relcj y 2 +2 y = 2 (gdze jest połową odcnk B) jest okrąg zwerjący punkt M. Relcj t wynk stąd, ż promene okręgów opsnych n B z jednej strony są sumą odcnków y, zś z drugej strony ch kwdrty są równe sume kwdrtów odcnków, co wynk z trójkątów prostokątnych MO (rys.2). Prwdzwość twerdzen orzekjącego, ze zborem punktów F jest okrąg wykżemy (pomjjąc dowody płske) metodą syntetyczną poprzez wyjśce z płszczyzny rysunku do przestrzen. Przyjmjmy w tym celu, że płszczyzn µ symetrln odcnk B jest rzutną perwszą, rzutnę drugą przyjęto prostopdle do prostej t=µ α (rys.3). W płszczyźne ϕ określonej prostą t t n punktem znjduje sę pęk prostych (m ), którego rzutem prostokątnym n rzutnę perwszą jest M F N k pęk prostych M(m ) perspektywczny do pęku (m ). Homolo- f gczne promene m m tych pęków zwrte są w płszczyznch τ pęku płszczyzn o os l S N n łączącej werzchołk M rozwżnych pęków prostych. Przez werzchołek pęku prostych (m ) t F prowdzmy płszczyzny ν prostopdłe do promen m tego pęku. Płszczyzny te tworzą z ko- Rys. 3-42 -
le drug pęk płszczyzn o os n zwerjącej punkt prostopdłej do płszczyzny ϕ. Odpowedne płszczyzny tych dwóch pęków l(τ ) n(ν ) są do sebe prostopdłe. Dw rzutowe pęk płszczyzn o osch przecnjących sę generują powerzchnę stożkową stopn drugego. Przecnjąc te dw rzutowe pęk płszczyzn wzjemne prostopdłych rzutną perwszą otrzymujemy n nej dw rzutowe pęk prostych M(h τ ) N(h v ) o promench prostopdłych, których utworem jest okrąg (zwerjący werzchołk pęków) będący kerującą stożk normlnego do pęku prostych (m ). N rys.3 wyznczono rzuty jednej z tworzących tego stożk korespondującą z promenem m pęku prostych (m ). Punkty F tego okręgu f ) są ruchomym ognskm prbol będącej zborem środków S sfer Ω ponewż odcnk S S F dl kżdego jej punktu są równe (prbol t jest zborem punktów równoodległych od stłej prostej stłego okręgu). 2.2.1. ntynwersj n płszczyźne Zuwżoną w p.2.2 zleżność mędzy odcnkm y orz połową długośc odcnk B (y 2 +2 y = 2 ) możn równeż wyprowdzć z podobeństw trójkątów prostokątnych MF M powstłych z podzłu trójkąt prostokątnego F jego wysokoścą M. Z podobeństw tych trójkątów otrzymujemy proporcję y : = :(2 + y ), z nej relcję y 2 +2 y = 2. Jeżel w ustlonej proporcj z y 2 +y podstwmy odcnk MF = y M = 2 + y, to z kole otrzymmy proporcję MF : = : M z nej równość MF M = 2. Z tej osttnej postc zpsu tego smego zwązku co poprzedno łtwo zuwżyć, że punkty F są ntynwersyjnym obrzm punktów względem okręgu k ) o środku M promenu. k węc stwerdzmy, że rozwżn nd zborm środków sfer spełnjących określone wrunk prowdzą do znnego w lterturze przeksztłcen ntynwersyjnego płszczyzny. N rys.4 pokzno konstrukcję obrzu nwersyjnego orz obrzu ntynwersyjnego tego smego punktu względem okręgu k ) (M,). Z konstrukcj tych obrzów orz defncj przeksztłceń wynk, że odcnk M M są równe, co jest konsekwencją relcj 2 =M M dl nwersj orz k 2 =M M dl ntynwersj. Rys. 4 Z równośc tych odcnków (M = M ) stwerdzmy że ntynwersj względem okręgu jest złożenem nwersj względem tego okręgu odbc w jego średncy. ntynwersj jko loczyn nwersj względem okręgu odbc w jego średncy jest szczególnym przypdkem nwolucj Möbus [2]. Spośród włścwośc płskego przeksztłcen ntynwersyjnego nleży przypomneć te, które będą użyteczne w dlszych rozwżnch. ntynwersję n płszczyźne określ dowolny okrąg o ustlonym środku promenu. Środek okręgu ntynwersyjnego rozdzel prę punktów ntynwersyjnych (orygnł obrz). Defncję okręgu rozszerzmy tk, by możn było włączyć prostą jko przypdek grnczny (specjlny) - to jest okrąg o promenu neskończonym. Przyjmując tk rozszerzoną defncję okręgu, możn powedzeć, że ntynwersj przeksztłc kżdy okrąg n okrąg. Pojęce płszczyzny eukldesowej rozszerz sę o pewen delny punkt w neskończonośc M* będący ntynwersyjnym obrzem punktu M - środk okręgu ntynwersyjnego. M - 43 -
k pomyślny punkt M* jest zrówno wspólnym punktem, jk wspólnym środkem ln prostych trktownych jko okręg o promenu neskończonym. Wszystke proste przechodzące przez punkt M, jko okręg ortogonlne z okręgem ntynwersyjnym przecnją sę w drugm punkce M* - obrze ntynwersyjnym punktu M. Płszczyznę eukldesową uzupełnoną punktem M* nzywmy płszczyzną ntynwersyjną (nwersyjną) lub konformczną [2]. W ten sposób przeksztłcene ntynwersyjne stje sę w pełn wzjemne jednoznczną odpowednoścą bez żdnych wyjątków. Dw okręg lbo są styczne, lbo przecnjące sę bądź ne posdją punktu wspólnego. W tym osttnm przypdku, gdy jeden okrąg leży cłkowce n zewnątrz drugego lub jeden obejmuje drug będzemy mówć, że okręg te wymjją sę wzjemne [2]. Jeżel okrąg/prost zwer środek okręgu ntynwersyjnego, to jego obrzem ntynwersyjnym względem tego okręgu jest prost. Ntomst w przypdku, gdy okrąg/prost ne zwer środk okręgu ntynwersyjnego, to jego obrzem ntynwersyjnym jest zwsze okrąg. Z tych dwóch osttnch włścwośc wynk, ż obrzem ntynwersyjnym prostej ne zwerjącej środk okręgu ntynwersyjnego względem tego okręgu jest okrąg przechodzący przez jego środek. ntynwersj jest przeksztłcenem nwolucyjnym. Wrcjąc do udowodnonego w p. 2.2. twerdzen orzekjącego, że zborem punktów F (ruchomych ognsk) jest okrąg zwerjący punkt M możn terz skonsttowć, że okrąg ten jest ntynwersyjnym obrzem prostej t względem okręgu k ) (M,). Konstrukcj średncy okręgu f ), tym smym jego środk S sprowdz sę do znlezen obrzu ntynwersyjnego F punktu prostej t zwrtego w promenu M pęku prostych M(m ) prostopdłym do nej (rys.2). W p.3.3.3 nnejszej prcy wykżemy, ze środek S okręgu f ) jest stłym ognskem prbol będącej zborem środków S sfer Ω przechodzących przez punkty B stycznych do płszczyzny α, prost k równoległ do prostej t przechodząc przez punkt K symetryczny do S względem werzchołk P prbol jest jej kerowncą. 2.3. Punkty B jednoczą sę. Jeżel punkty B jednoczą sę ze środkem M odcnk B punkt ten ne leży w płszczyźne α, to zbór środków S sfer Ω przechodzących przez punkt M zrzem stycznych do płszczyzny α, w kżdej płszczyźne µ pęku płszczyzn o os l zwerjącej ten punkt prostopdłej do płszczyzny α jest prbolą, dl której punkt M jest ognskem, prost t = α µ jej kerowncą. e przystjące prbole zwrte w płszczyznch µ, o wspólnej os l generują w przestrzen prbolodę obrotową o os l, któr jest zborem środków sfer przechodzących przez punkt stycznych do płszczyzny α. Gdy punkt M zwrty jest w płszczyźne α, to środk sfer stycznych do nej w tym punkce leżą n prostej wychodzącej z tego punktu prostopdłej do płszczyzny α. Resumując rozwżn p.2 stwerdzmy, ze zborm środków sfer, które przechodzą przez dw różne bądź jednoczące sę punkty są równocześne styczne do płszczyzny mogą być punkt, prost, okrąg, elps, prbol bądź prbolod obrotow, m.g. ch punktów stycznośc z dną płszczyzną odpowedno okrąg, punkt, prost płszczyzn. 3. Środk sfer stycznych do sfery przechodzących przez dw punkty Rozwżmy terz przypdek, w którym mejsce płszczyzny α zjmuje sfer ). Włścwośc zborów środków S sfer Ω przechodzących przez dw punkty B zrzem stycznych do sfery ) zleżą w tym przypdku od położen prostej B względem płszczyzny potęgowej α dnej sfery ) sfery pomocnczej Γ zwerjącej punkty B przecnjącej sferę ). - 44 -
3.1. Prost B przebj płszczyznę potęgową α Przez dw różne punkty B leżące po tej smej strone sfery ), z których żden ne leży n nej, prowdzmy sferę pomocnczą Γ przecnjącą sferę ) w okręgu zwrtym w płszczyźne potęgowej α tych sfer (rys.5). Jeżel prost B przebj płszczyznę potęgową α w pewnym punkce W, to długość odcnk W kżdej stycznej wychodzącej z tego punktu do dowolnej sfery zwerjącej punkty B jest średną geometryczną odcnków W WB. Wynk stąd, ż m.g. punktów stycznośc sfer Ω z dną sferą ) jest okrąg t ) będący lną zetknęc powerzchn stożkowej o werzchołku W, opsnej n sferze ). Środk sfer stycznych do sfery ) w punktch okręgu t ) znleźć sę muszą n prostych łączących punkty stycznośc ze środkem O sfery ). Proste te są tworzącym tzw. powerzchn stożkowej normlnej Φ (stożk normlnego) o werzchołku O, kerującej t ) wspólnej os l z powerzchną stożkową. ponewż m.g. punktów równoodległych od dwu punktów B jest płszczyzn µ symetrln odcnk B, to wynk stąd, ż zborem środków S sfer Ω przechodzących przez punkty B zrzem stycznych do sfery ) jest stożkow, w której płszczyzn µ przecn stożek normlny Φ. Rodzj tej stożkowej zleży od położen odcnk B względem sfery ). W B S O t l h Rys. 5 Przykłdowo jeżel prost B jest styczn do sfery ), płszczyzn seczn µ ne zwer jej środk, to przekrojem stożk normlnego jest prbol. Prost B będąc styczną do sfery ) jest jedną z tworzących powerzchn stożkowej, z którą koresponduje tworząc stożk normlnego Φ do nej prostopdł. Do tej smej tworzącej jest prostopdł płszczyzn seczn µ, jko płszczyzn symetrln odcnk B. Z prostopdłośc płszczyzny prostej do tej smej prostej wynk równoległość płszczyzny do prostej (bądź prostej do płszczyzny). k węc - 45 -
płszczyzn µ będąc równoległą do tworzącej stożk normlnego Φ przecn go w prbol. N rys. 5 płszczyzn µ przecn stożek Φ w hperbol ponewż jest równoległ do dwóch jego tworzących zwrtych w płszczyźne ε równoległej do płszczyzny µ. 3.2. Punkt /B jest punktem sfery ) Jeżel jeden z punktów końcowych odcnk B leży n sferze ), to stneje dokłdne jedn sfer Ω zwerjąc te punkty styczn do nej w punkce /B. Gdy prost B przechodz pondto przez środek O sfery ), to środek S sfery Ω jednoczy sę ze środkem odcnk B. W przypdku gdy środek sfery ) ne jest współlnowy z punktm B, to środek S sfery Ω jest punktem, w którym płszczyzn symetrln odcnk B przecn prostą łączącą środek O sfery ) z punktem /B leżącym n nej. 3.3. Prost B równoległ do płszczyzny potęgowej α W przypdku równoległośc odcnk B do płszczyzny potęgowej α sfer ) Γ, m.g. punktów stycznośc sfer Ω przechodzących przez punkty B ze sferą ) jest okrąg t ), w którym płszczyzn µ symetrln tego odcnk przecn sferę ). Przy tych złożench płszczyzn µ zwer środek O sfery ), węc promeń okręgu t ) jest równy promenow tej sfery. Rozptrywny odcnek B może leżeć n zewnątrz sfery ), może być do nej styczny, lbo leżeć wewnątrz nej zwerjąc jej środek bądź będąc newspółlnowym z nm. W płszczyźne µ symetrlnej odcnk B, którą będzemy utożsmć z płszczyzną rysunku, jego środek punkt M względem okręgu t ) (O,R) będze odpowedno zewnętrznym punktem tego okręgu, leżącym n nm, bądź punktem wewnętrznym, który w tym przypdku może jednoczyć sę z jego środkem. Rozwżn tych czterech przypdków będą lustrowne rysunkm wykonnym przy złożenu, że płszczyzn rysunku jest płszczyzną symetrlną odcnk B. 3.3.1. Odcnek B leży wewnątrz sfery ) ne zwer jej środk Jeżel odcnek B równoległy do płszczyzny potęgowej α, znjduje sę wewnątrz sfery ) jego środek M ne jednoczy sę z jej środkem, to w płszczyźne rysunku przyjmujemy okrąg (O,R) orz punkt M O leżący wewnątrz tego okręgu. Rzuty prostokątne punktów B n płszczyznę rysunku jednoczą sę z punktem M (rys.6). Dowolny promeń m pęku prostych M (m ) przecn okrąg t ) w punktch *. Środk sfer stycznych do okręgu t ), tym smym do sfery ) w punktch ( te druge punkty * w tej chwl ne są rozwżne) leżą n prostych łączących punkty stycznośc ze środkem O tej sfery (tego okręgu). Ntomst m.g. punktów równo oddlonych od werzchołków B są proste s przechodzące przez środk O okręgów opsnych n tych trójkątch prostopdłe do ch płszczyzn. Z symetr B względem płszczyzny rysunku wynk, ze proste s leżą n nej. Płszczyzny symetrlne odcnków /B przecnją wysokośc M rozwżnych trójkątów w punktch O, płszczyznę rysunku w prostych s zwerjących punkty O prostopdłych do wysokośc M tych trójkątów. k węc proste s przecnją sę w punktch S będących środkm sfer Ω zwerjących punkty B równocześne stycznych do sfery ). N promench m pęków prostych M(m ), nlogczne jk w p.2.2, znjdują sę punkty F symetryczne do punktów względem środków O, które są drugm punktm ogrnczjącym średnce F okręgów opsnych n B. Z podobeństw M MF otrzymujemy proporcję M : = : MF, z nej równość 2 = M MF, z której wynk, że punkty F t ) - 46 -
t (O, R ) f (S, r) t 1 F 2 O P f S V n U F 1 u e O Q 2 z w y Rys. 6 są ntynwersyjnym obrzm punktów względem okręgu k ) (M,). Z włścwośc ntynwersj omówonych w p.2.2.1, stwerdzmy, ze zborem punktów F w tym przypdku jest okrąg f ) ne zwerjący punktu M. Konstrukcj średncy tego okręgu, tym smym jego środk S sprowdz sę do znlezen ntynwersyjnych obrzów F (=1,2) punktów (=1,2) okręgu t ) współlnowych z punktm M O, względem okręgu k ) (M,). Podobne jk w p.2.2 prwdzwość tego twerdzen możn wykzć równeż z pomocą stożków normlnych o wspólnym werzchołku wysokośc. Przyjmując n rzutn perwszej w mejsce prostej t okrąg t ) (O,R) ne zwerjący punktu M otrzymmy zmst pęku prostych (m ) stożek o werzchołku w punkce kerującej w postc przyjętego n rzutn perwszej okręgu t ). Prowdząc przez werzchołek tego stożk proste prostopdłe do jego tworzących otrzymmy powerzchnę stożkową Φ o tym smym werzchołku wysokośc, którą rzutn perwsz przecn w okręgu f ) będącym ntynwersyjnym obrzem okręgu t ) względem okręgu k ) (M,). Jeżel okrąg t ) będze zwerł środek M okręgu ntynwersyjnego, bądź będze z nm współśrodkowy, to możn udowodnć z pomocą stożków normlnych o wspólnym werzchołku wysokośc, że jego obrzem ntynwersyjnym będze prost bądź okrąg współśrodkowy z okręgem k ) (M,). Z przeprowdzonego dowodu twerdzen w p.2.2. odnośne do zboru punktów F, tkże ze szkcu dowodu tego twerdzen, stwerdzmy, ze ntynwersj n płszczyźne może być relzown równeż z pomocą stożków normlnych o wspólnym werzchołku wspólnej wysokośc. Wrcjąc do zsdnczego wątku przerwnego rozumown zuwżmy, ze okręg t ) f ) są wzjemnym obrzm ntynwersyjnym względem okręgu k ) (M,) ponewż przeksztł- ce- - 47 -
ne to jest nwolucją. Jeżel przyjmemy, ze punkt F = to jego obrz ntynwersyjny F względem tego smego okręgu zjednoczy sę z punktem (rys.6). Położene środków O okręgów opsnych n B ne uleg zmne, gdyż F F są tożsme (przystjące). Wynk stąd, że równeż proste s zjednoczą sę z prostym s. Ntomst środk sfer stycznych do okręgu f ) znjdują sę n prostych łą- czących punkty stycznośc = F ze środkem S okręgu f ). Z równośc odcnków S S F orz S S F wynk, że punkty S przecęc sę prostych s = s jednoczą sę z punktm S - środkm sfer Ω spełnjącym nłożone wrunk. Dl kżdego punktu S tego zboru odcnk S S F są równe, węc punkty P Q współlnowe z punktm O S, tke że P 1 = PF 1 Q 2 = QF 2 nleżą do tego zboru jko środk sfer stycznych do okręgu t ) w punktch 1 2. Z równośc tych odcnków (P 1 = PF 1 Q 2 = QF 2 ) orz wzjemnego położen wymjjących sę okręgów t ) (O,R) f ) (S,r) wynk równość odcnków SP OQ, długość odcnk PQ = R - r, tkże, że PQ > OS (rys.6). Zuwżmy pondto, ze odcnk O = R są summ odcnków OS S, odcnk S = S F są z kole summ odcnków S S SF = r. Z tych dwóch równośc wynk równość trzec, mnowce OS + SS = R - r. rójkąty S F są trójkątm równormennym, w których symetrlne s boków F są dwusecznym kątów przy werzchołku S, tym smym kątów przyległych do kąt SS O. Wykzne włścwośc zboru punktów S są chrkterystycznym włścwoścm elpsy. k węc udowodnono twerdzene orzekjące, ze zborem środków S sfer Ω zwerjących punkty B (ogrnczjące odcnek B) równoległy do płszczyzny potęgowej α, zrzem stycznych do sfery ) jest elps o długośc os dużej PQ = R - r, dl której punkty O S ( środk okręgów t ) f ) ) są jej ognskm, proste s jej stycznym w punktch S. Wrto dodć jeszcze, że promene m pęku prostych M(m ) przecnją okrąg t ) po rz drug w punktch *. nlogczne jk dl punktów, środk S * sfer Ω * przechodzących przez te sme punkty B równocześne stycznych do okręgu t ), są punktm przecęc prostych * = * O z prostym s * * przechodzącym przez środk O okręgów opsnych n B * prostopdłych do ch płszczyzn. Z prostopdłośc prostych s s * do tych smych * płszczyzn τ zwerjących B B wynk równoległość tych prostych (s // s * ). Punkty stycznośc S S * stycznych s s * do elpsy równoległych ogrnczją jej średncę. Jeżel promeń m pęku prostych M(m ) jest prostopdły do prostej OS, to dwuseczn u kąt przyległego do kąt OS S jest równoległ do prostej OS, normln n do nej w punkce S = U = n u dzel odcnek OS punktem V n pół. Odcnek VU = VW jest połową długośc os młej rozwżnej elpsy. Ze względu n przejrzystość rysunku ne zznczono n nm wszystkch opsnych elementów. c.d.n. LIERUR: [1]. Ż. DMR: Elementrn geometr, cz.ii, Stereometr, Uczpedgs, Moskw 1951r [2]. H. S. M. COXEER: Wstęp do geometr dwnej nowej, PWN, W-w 1967r [3]. D. HILBER, S. COHN-VOSSEN: Geometr poglądow, PWN, W-w 1956r - 48 -
[4]. S. OCHOŃSKI : Stożkowe jko zbory środków sfer przechodzących przez dw punkty stycznych do prostej płszczyzny bądź sfery. Mterły Konferencj o Geometr, Częstochow, 24-25 wrześn 1999r CONICS S SES OF CENERS OF SPHERES PSSING HROUGH WO POINS ND NGEN O HE SRIGH LINE, PLNE OR SPHERE he pper presents results of studes on sets of centers of spheres contnng two dfferent ponts or common pont, nd t the sme tme tngent to the strght lne, plne or sphere. he studes proved tht these sets re concs nd n the cse of spheres pssng through pont nd tngent to the plne or sphere surfces of revoluton n the form of sphere, ellpsod, prbolod nd double-sheet hyperbolod. Well known defnton of prbol, s set of eqully dstnt ponts from fed pont nd strght lne, hs been etended to the remnng nondegenerted concs v echnge strght lne nto crcle. In ths work ws gven lso orgnl generl defnton of nondegenerted concs s set of eqully dstnt ponts from two fed nd coplnr recproclly pssng crcles. Only one of these sets cn be the strght lne. It hs been proved tht two of these crcles defne nt-nverson nd t could be relsed on plne wth orthogonl cones wth common verte nd heght. he results of these studes were lso two lgorthms of unversl knemtc conc constructons whch let us determne tngent lne wth ts tngent pont. Solutons of two eercses re gven s lustrtng emples there. Rec. dr nż. Jnn GŁOMB - 49 -