Podstawowe pojęcia geometryczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawowe pojęcia geometryczne"

Transkrypt

1 PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Aksjomaty w geometrii: Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi nieskończenie wiele prostych Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta Przez punkt nie leżący na prostej l przechodzi dokładnie jedna prosta k równoległą do prostej l. Pojęcia pierwotne w geometrii, to: punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń. FIGURY GEOMETRYCZNE Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył geometrycznych. Badaniem właściwości figur płaskich zajmuje się dział geometrii zwany planimetrią (geometrią płaszczyzny). Planimetria jest to geometria płaszczyzny. Dowolny zbiór punktów na płaszczyźnie nazywamy figura płaską. Figura geometryczna płaska każdy zbiór punktów na płaszczyźnie. Np. punkt, prosta, półprosta, odcinek, okrąg, koło, wielokąt. Prosta a punkt. Punkt najmniejszy, bezwymiarowy obiekt geometryczny. Jest to jedno z podstawowych pojęć geometrii. Punkt jest w przestrzeni euklidesowej pojęciem pierwotnym, co oznacza, że nie jest definiowany z użyciem formalizmu matematycznego. Punkty oznaczamy dużymi literami, proste małymi, płaszczyzny literami greckimi, np. π φ σ Prosta jest zbiorem punktów. Linia prosta lub prosta jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie Na prostej leży nieskończenie wiele punktów. Przez jeden punkt może przechodzić nieskończenie wiele prostych. Przez 2 punkty można poprowadzić jedną prostą. Półprostą określamy przez podanie jej początku i innego punktu, który należy do prostej. Np. AB

2 Pęk prostych zbiór wszystkich prostych, przechodzących przez ustalony punkt, który nazywamy środkiem pęku, Dwie proste są równoległe, jeżeli leżą w jednej płaszczyźnie i ich częścią wspólną jest zbiór pusty lub prosta (pokrywają się). Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się). m = n przyjmujemy, że m n

3 Dwie proste m i n się przecinają, jeżeli mają tylko jeden punkt wspólny. Proste przecinające się pod kątem prostym są to proste prostopadłe. Każdy punkt należący do prostej dzieli ja na 2 półproste. Dwa różne punkty na prostej wyznaczają odcinek w niej zawarty. Figury wypukłe i wklęsłe Figurę nazywamy wypukłą wtedy, gdy dla dowolnych2 punktów A, B należących do tej figury odcinek AB zawiera się w tej figurze. Gdy figura nie jest wypukła nazywamy ją wklęsłą albo niewypukłą.

4 Odległość między 2 punktami A i B odległość euklidesowa punktów na płaszczyźnie i oznaczamy AB Okrąg o(o, r), o środku O i promieniu r zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa promieniowi r. Okrąg oznaczamy o(o, r)

5 O - środek okręgu OE, OD, OC - promienie okręgu CD - średnica okręgu AB - cięciwa okręgu r = OE = OC = OD - długość promienia okręgu d = CD - długość średnicy okręgu Końce cięciwy AB dzielą okrąg na 2 figury zwane łukami okręgu. Łuk przechodzący przez punkt C oznaczamy ACB.

6 Koło zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie, nazywanego środkiem koła, jest mniejsza lub równa długości promienia koła. Koło k(o, r), o środku O i promieniu r zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r. Okrąg o(o, r) jest brzegiem koła k(o, r). K(O, r) \ r(o, r) wnętrze koła Wielokąt (albo wielobok) figura płaska ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną Wielokąt jest sumą łamanej zwyczajnej zamkniętej oraz części płaszczyzny ograniczonej tą łamaną. Łamana zamknięta wyznaczająca wielokąt jest brzegiem tego wielokąta. Część płaszczyzny ograniczona łamaną jest wnętrzem wielokąta. Boki tej łamanej nazywamy bokami wielokąta, zaś jej wierzchołki nazywamy wierzchołkami wielokąta Wielokąt o n bokach nazywamy również n -kątem. Wielokąt (n -kat) figura geometryczna ograniczona takimi n -odcinkami, gdzie n 3, że - koniec każdego odcinka, oprócz ostatniego jest początkiem następnego - koniec ostatniego odcinka jest początkiem pierwszego - żadne 2 odcinki o wspólnym końcu nie należą do jednej prostej - niesąsiadujące ze sobą odcinki nie mają punktów wspólnych. Najczęściej spotykanymi wielokątami są trójkąty i czworokąty

7 Odcinki, tworzące wielokąt, nazywamy jego bokami, a punkty ich przecięcia wierzchołkami wielokąta. Sumę wszystkich boków nazywamy obwodem wielokąta. Linię łamaną ABCDEA ograniczającą wielokąt nazywamy brzegiem wielokąta. Brzeg wielokąta dzieli płaszczyznę na dwa obszary, z których jeden jest ograniczony, nazywamy go wewnętrznym, drugi jest nieograniczony i nazywamy go obszarem zewnętrznym. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek, który łączy dwa niekolejne wierzchołki wielokąta. Liczba przekątnych n -kąta jest równa n(n 3) /2 Wielokąty wklęsłe i wypukłe Wielokąt nazywamy wypukłym, jeśli każde jego 2 punkty (leżące wewnątrz) można połączyć odcinkiem całkowicie zawartym w wielokącie. Wielokąt, który nie jest wypukły nazywamy wklęsłym. Jeżeli wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta są kątami wypukłymi, to wielokąt ten nazywamy wielokątem wypukłym. Jeżeli co najmniej jeden kąt wewnętrzny wielokąta jest kątem wklęsłym, to wielokąt ten nazywamy wielokątem wklęsłym.

8 Kąty wewnętrzne i zewnętrzne wielokąta Kąty utworzone przez dowolne dwa kolejne boki nazywamy kątami wewnętrznymi wielokąta. Suma miar kątów wewnętrznych n -kąta jest równa (n - 2) 180. Kąt zewnętrzny wielokąta - to kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego wielokąta. Współniniowość punktów. Nierówność trójkąta Punkty, które leżą na jednej prostej są współliniowe. Każde 2 punkty są współliniowe.

9 Punkty A, B i C są współliniowe, jeśli AB = AC + CB lub AB = AC - BC, gdzie AC - BC jest wartością bezwzględną różnicy długości odcinków AC i BC. Punkty A, B i C są niewspólliniowe, gdy spełnione są równocześnie 3 nierówności: AB < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC Warunek jest równoważny poniższemu: AC - BC < AB < AC + BC W trójkącie o bokach a, b, c muszą być spełnione warunki: a < b + c, b < a + c, c < a + b Nierówność trójkąta W dowolnym trójkącie suma długości dowolnych 2 boków jest większa od długości boku trzeciego.

10 Kąty i ich rodzaje Kąt to część płaszczyzny wyznaczona przez dwie półproste o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi Początek półprostych - wierzchołek kąta. Półproste ramiona kata Kąt płaski, część płaszczyzny ograniczona dwoma półprostymi (ramionami kąta) wychodzącymi z jednego punktu (wierzchołka kąta) Kąt płaski część płaszczyzny wyznaczone przez 2 półproste. Rodzaje kąta: zerowy - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się, a tym samym im równy. Miara kąta zerowego jest równa 0 [rad] =0. ostry - α < 90 - kąt o mierze większej od 0 [rad] =0, lecz mniejszej od π/2 [rad] =90. prosty - α = 90 - kąt przystający do swojego kąta przyległego. Miara kąta prostego wynosi π/2 [rad] =90. rozwarty - 90 < α < kąt o mierze większej od π/2 [rad] =90, lecz mniejszej od π [rad]=180.

11 półpełny - α = każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste uzupełniające się do prostej. Miara kąta półpełnego wynosi π [rad]=180. pełny - α =360 - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy całej płaszczyźnie. Miara kąta pełnego wynosi 2π [rad]=360. wypukły - α <= kąt, który jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest mniejsza lub równa π [rad]=180 albo równa 2π [rad]=360. wklęsły < α < kąt, który nie jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest większa niż π [rad=180 ], lecz mniejsza niż 2π [rad]=360. Kąty wypukłe < Kąty wklęsłe > i < Podział kątów Kąty wypukłe < 180

12 Kąt wypukły ma miarę od 0 do 180 a kąt wklęsły jest większy od 180 a mniejszy od 360 Kąty wklęsłe większe od 180 a mniejsze od 360 Dwa kąty są przyległe, jeżeli mają jedno ramię wspólne, a pozostałe dopełniają się do prostej. Tworzą w sumie kąt 180

13 Kąty wierzchołkowe pary kątów wypukłych o wspólnym wierzchołku, w których ramiona jednego kąta stanowią przedłużenia ramion drugiego. Kąty wierzchołkowe w takiej parze mają równe miary. Dwie pary kątów wierzchołkowych powstają w wyniku przecięcia dwóch prostych:

14 Kąty odpowiadające Leżą po tej samej stronie prostej Kąty naprzemianległe pary kątów utworzonych przez przecięcie dwóch prostych a i b trzecią prostą (sieczną) leżące po przeciwnych stronach siecznej i mające jednakowe miary, gdy prosta a jest równoległa do prostej b. Jeżeli 2 proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to kąty naprzemianległe wyznaczone przez te proste są równe oraz kąty odpowiadające równe

15 Jeżeli 2 proste równoległe a i b przetniemy trzecią prostą c, to kąty naprzemianległe wyznaczone przez te proste są równe oraz kąty odpowiadające są równe.

16 Suma kątów wewnętrznych trójkąta α + β + γ = 180 Suma kątów zewnętrznych trójkąta 360-2α β γ = (α + β + γ) = = 720 Twierdzenie Pitagorasa

17 Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych tego trójkąta. c 2 = a 2 + b 2 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości 2 boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny. Długości boków trójkąta prostokątnego na podstawie twierdzenie Pitagorasa: c = a = b = Jeśli a 2 + b 2 < c 2 to trójkąt jest rozwartokątny Jeśli a 2 + b 2 > c 2 to trójkąt jest ostrokątny Liczby naturalne k, m, n tworzą trójkę pitagorejską, gdy istnieje trójkąt prostokątny o bokach k, m, n. Szczególny przypadek trójkąta pitagorejskiego jest równy 3 : 4 : 5 trójkąt egipski. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie. Wielokrotności liczb 3, 4 i 5 też tworzą trójkąt prostokątny. Trójka pitagorejska a. liczby pitagorejskie takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają równanie Pitagorasa: c 2 = a 2 + b 2 a b c

18 Wzajemne położenie prostej i okręgu Prosta jest rozłączna z okręgiem o(o, r) wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu O od prostej jest większa od długości promienia r. Prosta jest styczna do okręgu, jeżeli ma z tym okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Punkt ten nazywany jest punktem styczności. Prosta jest styczna do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od punktu styczności jest równa długości promienia okręgu. Przez punkt P należący do okręgu możemy poprowadzić tylko jedną styczną do okręgu. Prosta ma 2 punkty wspólne z okręgiem o(o, r) jest sieczną okręgu, wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest mniejsza od długości promienia okręgu. Konstrukcja stycznej do okręgu o(o, r), przechodzącej przez dany punkt A na okręgu 1) Prowadzimy półprostą SA 2) Wyznaczamy na półprostej SA taki punkt B, że SB = 2* SA, czyli AB = AS. 3) Kreślimy symetralną odcinka SB - np. przecięcie 2 okręgów o1(s, r1), o2(b, r1), gdzie r1 > SA Symetralna odcinka SB jest styczną do okręgu o(o, r)

19 Styczne do okręgu z punktu zewnętrznego Wyznaczenie stycznej do okręgu o(o, r) z punktu zewnętrznego P, lezącego poza okręgiem Dany jest okrąg o środku w punkcie O i punkt P nie należący do danego okręgu. Skonstruować styczne do tego okręgu przechodzące przez punkt P. 1. Wyznaczamy środek S odcinka OP (symetralna odcinka OP na przecięciu 2 okręgów o1(r1, O) i o2(p, r1), gdzie r1 dowolne, większa o połowy odcinka OP 2. Promieniem SO = r2 kreślimy okrąg pomocniczy o2 (S, r2 ) 3. Na przecięciu okręgów o(o, r) i okręgu o2(s, r2) otrzymujemy punkty styczności A i B.

20 Wzajemne położenie 2 okręgów Jeżeli odległość środków okręgów s(o, R) i o(s, r) jest: - większa od sumy długości ich promieni to te okręgi nie mają punktów wspólnych są rozłączne zewnętrznie - mniejsza od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni to okręgi nie mają punktów wspólnych są rozłączne wewnętrznie i jeden z nich leży wewnątrz koła ograniczonego drugim okręgiem. Okręgi rozłączne wewnętrznie, mające wspólny środek są to okręgi współśrodkowe.

21 Jeżeli odległość środków okręgów o(o, R) i o(s, r) jest równa: - sumie ich promieni, to te okręgi mają tylko jeden punkt wspólny są styczne zewnętrznie; - wartości bezwzględnej różnicy długości ich promieni, to te okręgi mają jeden punkt wspólny są styczne wewnętrznie. Jeżeli odległość środków okręgów o(o, R) i o(s, r) jest większa od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni, ale mniejsza od ich sumy, to te okręgi mają 2 punkty wspólne są okręgami przecinającymi się. Kąty środkowe, wpisane i dopisane Kąt środkowy, to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu. Kąt środkowy jest oparty na łuku okręgu. Przez każde 2 punkty okręgu oraz jego środek (jeśli punkty nie są współliniowe), są wyznaczone 2 kąty środkowe: - kąt środkowy wypukły α oparty na łuku ACB - kąt środkowy wklęsły β oparty na łuku BDA Suma tych katów wynosi 360.

22 Kąt wpisany kąt wypukły, którego wierzchołek należy do okręgu, a ramiona są półprostymi zawierającymi cięciwy tego okręgu. Kąt wpisany oparty jest na łuku okręgu. Miara kąta środkowego jest 2 razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku okręgu. Katy wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym.

23 Kąt dopisany kąt utworzony przez styczną do okręgu w punkcie A i półprostą zawierającą cięciwę, której końcem jest punkt styczności A - kąt dopisany do okręgu w punkcie A. Częścią wspólną kąta dopisanego i okręgu jest łuk, a kat dopisany jest opary na tym łuku.

24 Kąt dopisany i kąt wpisany oparte na tym samym łuku okręgu mają równe miary. Okrąg opisany na trójkącie Symetralna odcinka prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek. Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo odległych od końców odcinka. Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

25 Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest równo oddalony od jego wierzchołków.

26 Trójkąt równoboczny Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest punktem przecięcia jego wysokości,

27 R = 2/3 * h h = a* 3 / 2 R = a* 3 / 3 Okrąg wpisany w trójkąt W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środkiem okręgu jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta. Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kata, która dzieli ten kąt na 2 kąty o równej mierze.

28 Okrąg wpisany w trójkąt Okrąg wpisany w trójkąt przecięcie dwusiecznych kątów, równe odległości od punktu przecięcia do boków trójkąta długość promienia r

29 W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c, promień okręgu wpisanego przedstawia wzór: r = 1/2 * (a + b + c)

30 Jeżeli w trójkąt o bokach a, b, c jest wpisany okrąg o promieniu r to pole tego trójkąta: P = p * r, gdzie p = ½ * (a + b + c) czyli P = ½ * (a + b + c) * r Twierdzenie Talesa Jeżeli 2 proste równoległe przecinają ramiona kąta, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kata są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu. OA : OB = OA' : OB' OA : AB = OA' : A'B' Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Jeśli ramiona kąta przetniemy 2 prostymi i długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe. Jeżeli OA : AB = OA' : A'B' to AA II do BB Trójkąty i ich punkty szczególne Punkt przecięcia wysokości trójkąta - ortocentrum trójkąta

31 Odcinek łączący środki 2 boków trójkąta jest równoległy do boku trzeciego, a jego długość równa się połowie długości boku trzeciego.

32 Środkowe trójkąta Środkowa trójkąta odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku; czasem tak nazywa się też prostą zawierającą ten odcinek. Trójkąt ma trzy różne środkowe. Środkowe przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Środkowa dzieli trójkąt na 2 trójkąty o równych polach.

33 Środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 1: 2 licząc od boku lub 2: 1 licząc od wierzchołka. Każda ze środkowych dzieli trójkąt na dwie części o równych polach. Korzystając z twierdzenia Carnota można dowieść, że w trójkącie o bokach a, b, c, długość środkowej d opadającej na bok c wynosi: CD = d = ½ (2a 2 + 2b 2 c 2 ) analogicznie AE = ½ (2b 2 + 2c 2 a 2 ) BF = ½ (2a 2 + 2c 2 b 2 ) Dwusieczna kąta wewnętrznego w dowolnym trójkącie dzieli przeciwległy bok trójkąta na odcinki proporcjonalne do pozostałych jego boków:

34

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy

Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180. +

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ELEMENTARNA

GEOMETRIA ELEMENTARNA Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Geometria. Planimetria. Podstawowe figury geometryczne

Geometria. Planimetria. Podstawowe figury geometryczne Geometria Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Aksjomaty

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Projekt Zobaczę-dotknę-wiem i umiem, dofinansowany przez Fundację mbanku w partnerstwie z Fundacją Dobra Sieć

Projekt Zobaczę-dotknę-wiem i umiem, dofinansowany przez Fundację mbanku w partnerstwie z Fundacją Dobra Sieć Kartka papieru i własności trójkątów. Ćwiczenie 1 Uczniowie ustalają ile znają rodzajów trójkątów. Podział ze względu na miary kątów Podział ostrokątny prostokątny rozwartokątny ze względu na długości

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) PLNIMETRI pp 2015/16 WŁSNOŚI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) Zad.1 Wyznacz kąty trójkąta jeżeli stosunek ich miar wynosi 5:3:1. Zad.2 Znajdź

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk

Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk PLANIMETRIA Lekcja 102-103. Miary kątów w trójkącie str. 222-224 Nawiązanie do gimnazjum Planimetria to., czy planimetria zajmuje się. (Dział geometrii, który zajmuje się badaniem płaskich figur geometrycznych)

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje

Bardziej szczegółowo

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Planimetria: 5.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA. Klasyfikacja kątów ze względu na

GEOMETRIA. Klasyfikacja kątów ze względu na GEOMETRIA Geometrię należy zacząć od definicji najprostszych pojęć z nią związanych: z punktem i prostą. Są to pojęcia niedefiniowalne...na szczęście dla ucznia nie mają definicji. Punkty oznaczamy wielką

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16) Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Największy błąd: nie ma sformułowanej

Bardziej szczegółowo

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10 Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1. Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Bardziej szczegółowo

2 Figury geometryczne

2 Figury geometryczne Płaszczyzna, proste... 21 2 igury geometryczne 1 Płaszczyzna, proste i półproste P 1. Wypisz proste, do których: a) prosta k jest równoległa, o n k l b) prosta p jest prostopadła, m c) prosta k nie jest

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa. Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji liniowej. Monotoniczność funkcji liniowej. Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Funkcja liniowa. Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji liniowej. Monotoniczność funkcji liniowej. Miejsce zerowe funkcji liniowej. Funkcja liniowa. Funkcję f określoną wzorem ( ) = + dla,, należących do zbioru liczb rzeczywistych, nazywamy funkcją liniową. Liczbę nazywamy współczynnikiem kierunkowym, wyrazem wolnym. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:

Bardziej szczegółowo

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6)

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) MARIUSZ WRÓBLEWSKI IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Dany jest równoległobok ABCD. Narysuj za pomocą linijki i ekierki odcinek BF prostopadły do odcinka

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6

Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6 Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6 Lang: Długość okręgu. pole pierścienia będę chciał znaleźć inne wyrażenie na pole pierścienia. oszacowanie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie).

Bardziej szczegółowo

Tomasz Zamek-Gliszczyński. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy. Matematyka. atematyka

Tomasz Zamek-Gliszczyński. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy. Matematyka. atematyka atematyka Tomasz Zamek-Gliszczyński Matematyka Zadania powtórkowe przed maturą Zakres podstawowy Spis treści Wstęp 4 1 Liczby 5 2 Algebra 24 3 Funkcje 31 4 Ciągi 61 5 Geometria na płaszczyźnie 69 6 Trygonometria

Bardziej szczegółowo

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia Wielokąty i Okręgi- zagadnienia 1. Okrąg opisany na trójkącie. na każdym trójkącie można opisać okrąg, środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta, jeżeli

Bardziej szczegółowo

Szkolnictwa AS - Zasadnicza Szkola Zawodowa, Laubitza 9, 88-100 Inowroclaw, 694525, sklep.wsip.pl

Szkolnictwa AS - Zasadnicza Szkola Zawodowa, Laubitza 9, 88-100 Inowroclaw, 694525, sklep.wsip.pl kolnictwa AS - Zasadnicza Szkola Zawodowa, Laubitza 9, 88-100 Inowroclaw, Sz Autorzy: Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)

Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Zadania zamknięte (jedna poprawna odpowiedź) 1 punkt Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1. Wartość wyrażenia 3 x 3x

Bardziej szczegółowo

Odcinki, proste, kąty, okręgi i skala

Odcinki, proste, kąty, okręgi i skala Odcinki, proste, kąty, okręgi i skala str. 1/5...... imię i nazwisko lp. w dzienniku...... klasa data 1. Na którym rysunku przedstawiono odcinek? 2. Połącz figurę z jej nazwą. odcinek łamana prosta półprosta

Bardziej szczegółowo

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45 METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o SPRAWDZIAN NR 1 ANNA KLAUZA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Średnica koła jest o 4 cm dłuższa od promienia. Pole tego koła jest równe 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 3: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć Semestr zimowy 2018/2019

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 3: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć Semestr zimowy 2018/2019 Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 3: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć Semestr zimowy 2018/2019 Zasada trzech etapów (jeszcze raz) Trzy etapy, enaktywny, ikoniczny

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Matematyka

Spis treści. Matematyka ACE aktywna, kreatywna i przedsiębiorcza młodzież innowacyjne programy kształcenia w obrębie przedsiębiorczości i ekonomii Priorytet III Działanie 3.3 Poprawa jakości kształcenia, Poddziałanie 3.3.4 Modernizacja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM + 7. Równanie = 0 : + A. ma tylko jedno rozwiązanie równe 7 B. ma tylko jedno rozwiązania równe 7 C. ma tylko jedno rozwiązanie równe D. nie ma rozwiązań.. Do przedziału,

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

E-learning matematyka poziom podstawowy

E-learning matematyka poziom podstawowy Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego E-learning matematyka poziom podstawowy Temat: Planimetria I Materiały merytoryczne

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15 Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.

Bardziej szczegółowo

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum Umie obliczyć potęgę liczby wymiernej o wykładniku naturalnym. 1. Arytmetyka występują potęgi o wykładniku naturalnym. Umie zapisać i porównać duże liczby

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 9

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 9 Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Najlepsze: AO, LS. Największe

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12 168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie I gimnazjum str. 1 Wymagania edukacyjne niezbędne

Bardziej szczegółowo

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek

Bardziej szczegółowo

Matematyczne słowa Autorki innowacji: Jolanta Wójcik Magda Kusyk

Matematyczne słowa Autorki innowacji: Jolanta Wójcik Magda Kusyk Szkoła Podstawowa im Kornela Makuszyńskiego w Łańcuchowie Krzyżówki matematyczne klasy V, które powstały jako efekt realizacji innowacji pedagogicznej Matematyczne słowa Autorki innowacji: Jolanta Wójcik

Bardziej szczegółowo

POJĘCIE PIERWOTNE = pojęcie przyjęte bez definicji. Pojęcia pierwotne w geometrii to: PUNKT,

POJĘCIE PIERWOTNE = pojęcie przyjęte bez definicji. Pojęcia pierwotne w geometrii to: PUNKT, POJĘCIE PIERWOTNE = pojęcie przyjęte bez definicji. Pojęcia pierwotne w geometrii to: PUNKT, PROSTA, PŁASZCZYZNA, PRZESTRZEŃ. AKSJOMAT = zdanie, którego prawdziwość przyjmuje się bez dowodu. ur. ok. 365

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

Skrypt 30. Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany i opisany na wielokącie

Skrypt 30. Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany i opisany na wielokącie Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017

STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017 STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Obóz Naukowy OMJ Poziom OMJ 207 rok SZCZYRK 207 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana ze œrodków

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum

WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum Oceny z plusem lub minusem otrzymują uczniowie, których wiadomości i umiejętności znajdują się na pograniczu wymagań danej oceny głównej. (Znaki + i -

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II. Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I:

Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II. Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I: Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I: DZIAŁ 1. POTĘGI zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy VII szkoły podstawowej

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy VII szkoły podstawowej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy VII szkoły podstawowej Na ocenę dopuszczającą uczeń: definiuje liczbę naturalną, całkowitą, wymierną zaznacza liczbę wymierną na osi liczbowej zamienia ułamek

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

O kątach w wielokątach i nie tylko

O kątach w wielokątach i nie tylko Zespół Szkół nr 5 w Krakowie Samorządowe Przedszkole nr 30 Szkoła Podstawowa nr 109 im. Kornela Makuszyńskiego Gimnazjum nr 13 im. Adama Chmielowskiego- św. Brata Alberta Krakowskie Młodzieżowe Towarzystwo

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

Rozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328

Rozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328 Drogi Czytelniku 9 Oznaczenia matematyczne 11 Podstawowe wzory 15 Rozdział I. Zbiory. Działania na zbiorach 21 1. Zbiór liczb naturalnych 22 1.1. Działania w zbiorze liczb naturalnych 22 1.2. Prawa działań

Bardziej szczegółowo

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część VII: Planimetria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo