Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Transkrypt

1 Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w kontekście praktycznym, c) znajduje związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym, d) określa wzajemne położenie prostej i okręgu. 1 Zadania zamknięte dotyczące tych wymagań: 1. Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa180. Jaka jest miara kąta środkowego? A. 60 B. 90 C. 120 D Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa A. 120 B. 90 C. 60 D. 30

2 3. Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy 2 A. 50 B. 40 C. 30 D Kąt między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A (zobacz rysunek) ma miarę = 62. Wówczas A. =118 B. =124 C. =138 D. = Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4 jest równe A. 64 B. 32 C. 16 D. 8

3 6. Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa A. 4 2 B. 2 2 C. 8 D Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość A. 3 B. 4 C. 34 D W trójkącie równoramiennym dane są = = 7 oraz =12. Wysokość opuszczona z wierzchołka C jest równa A. 13 B. 5 C. 1 D Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa 40. Miara kąta przy krótszej podstawie tego trapezu jest równa A. 120 B. 110 C. 80 D. 70

4 10. Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe 1, 3 i 9. Długość odcinka AD jest równa A. 2 B. 3 C. 5 D Odcinki BC i DE są równoległe. Długości odcinków AC, CE i BC są podane na rysunku. Długość odcinka DE jest równa A. 6 B. 8 C. 10 D Oblicz długość odcinka AE wiedząc, że = 6, = 4, = 8. A. =2 B. =4 C. =6 D. =12

5 Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi: 1. Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że = W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu. 3. Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym. Udowodnij, że = +.

6 4. Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M są środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M są wierzchołkami trójkąta równobocznego 6 5. Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d. Długość boku c to 90% długości boku a. Długość boku d to 120% długości boku b. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c i d.

7 6. Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym =. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że = = (patrz rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta ABC Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym = 24 i = =13.

8 8. Liczby 4,10, są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c Liczby 6,10, są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c. 10. Liczby 6,10, c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c. 11. Liczby 1,,5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz x.

9 12. Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50. Obwód trójkąta ABD jest równy 46, a obwód trójkąta BCD jest równy 36. Oblicz długość przekątnej BD Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że =. 14. Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by =. Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB. Udowodnij, że =.

10 Zadanie otwarte rozszerzonej odpowiedzi: 1. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym = 30, = 40, = 50. Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60. Jedna przyprostokątna jest o 7 dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

11 3. Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym = 90 oraz = 5, = 12 zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt = 90. Oblicz pole trójkąta HAE. 11