NAJWAŻNIEJSZE WZORY. Pozostałe miary ruchu wyrażone przez miary ruchu obrotowego: wektor prędkości v = ω r wektor przyspieszenia stycznego a s

Transkrypt

1 MIARY RUCHU W OPISIE WEKTOROWYM NAJWAŻNIEJSZE WZORY Wektor położeni r (t)=[ x (t) ; y(t) ; z(t)] Wektor prędkości (t )=ṙ(t)=[ ẋ(t) ; ẏ(t) ; ż(t)] Wektor przyspieszeni (t)= r(t)=[ ẍ(t ) ; ÿ(t) ; z(t)] Wektor przyspieszeni stycznego s = Wektor przyspieszeni normlnego n = s Miry ruchu obrotowego e ω Drog kątow α(t) Prędkość kątow (obrotow) ω(t) = α(t) ω=ω e Przyspieszenie kątowe ε(t ) = α( t) ε=ε e Pozostłe miry ruchu wyrżone przez miry ruchu obrotowego: wektor prędkości = ω r wektor przyspieszeni stycznego s = ε r wektor przyspieszeni normlnego n = ω e = r Dl ruchu po okręgu w płszczyźnie XY r(t) = [ R cos(α(t)) ; R sin(α(t)) ; 0 ] MIARY RUCHU W OPISIE NATURALNYM Prmetryczne równnie toru (trjektorii) ukłd równń określjących współrzędne punktów toru w zleżności od wybrnego prmetru Punkt początkowy toru Ω 0 {x = x(λ) y = y(λ) z = z(λ) Orientcj toru umow odnoście tego, po której stronie punktu początkowego mir długości toru przyjmown jest jko dodtni. Równnie ruchu określjące mirę pokonnej drogi w zleżności od czsu: s = s(t). Mir drogi ( więc mir długości ) ozncz, iż może być to wielkość zrówno dodtni jk i ujemn, w zleżności od przyjętej orientcji toru. Szczególnym przypdkiem jest sytucj, w której tor sprmetryzowny jest tzw. prmetrem nturlnym λ = s, tj. prmetrem, którego wrtość bezwzględn jest równ długości wycink toru zczynjącego się w punkcie początkowym. z x s s < 0 Ω 0 s > 0 [x(λ),y(λ),z(λ)] y

2 MIARY RUCHU W OPISIE NATURALNYM Wersor styczny do toru τ = dr d s Wersor normlny do toru ν = d τ dα Prędkość = ṡ τ Przyspieszenie = s τ+ ṡ ρ ν Przyspieszenie styczne s = s τ z x r y α ρ ν τ Przyspieszenie normlne n = ṡ ρ ν PRZEJŚCIE Z OPISU WEKTOROWEGO NA NATURALNY. Wektor wodzący r(t) dostrcz nm równń trjektorii, przy czym prmetr toru możn utożsmić tutj z czsem, tj. λ=t r(t) r(λ=t): { x = x(λ) y = y(λ) z = z(λ). Punkt początkowy Ω 0 określmy jko punkt odpowidjący chwili t=0. 3. Równnie ruchu otrzymujemy cłkując długość trjektorii począwszy od chwili t=0 : λ=t s = ds = λ 0 =0 ( d x dλ ) +( d y dλ ) +( d z dλ ) d λ s(t ) 4. Orientcję przyjmujemy w tki sposób, by mir długości łuku krzywej był odmierzn ze znkiem + w tą stronę, w którą porusz się ciło. PRZEJŚCIE Z OPISU NATURALNEGO NA WEKTOROWY. Mjąc krzywą sprmetryzowną przez λ, możemy wyznczyć mirę długości wycink trjektorii. Mir t wyznczn jest jko niezorientown cłk krzywoliniow po długości trjektorii, przy czym dolną grnicę cłkowni stnowi t wrtość prmetru krzywej, któr odpowid punktowi początkowemu. P λ s(λ) = ds = Ω 0 λ 0 ( d x d λ ) +( d y d λ ) +( d z d λ ) d λ. Mirę tę przyrównujemy do równni ruchu. λ s(λ) = λ 0 ( d x d λ ) +( d y d λ ) +( d z d λ ) d λ =±s(t) Określmy przy tym znk tej miry zgodnie z przyjętą orientcją poniewż wyrżenie s( λ) będzie zwsze rosło wrz ze wzrostem λ (cłk z funkcji dodtniej), ztem jeśli punkt porusz się od punktu początkowego zgodnie z przyjętą orientcją trjektorii (funkcj s( t)>0 ), wtedy w powyższym równniu przyjmujemy znk +. W przeciwnym wypdku, przyjmujemy znk Otrzymujemy w ten sposób zleżność λ(t), którą możemy podstwić do równń trjektorii otrzymując tym smym wektorowy opis ruchu.

3 TWIERDZENIA O ROZKŁADZIE PRĘDKOŚCI. Ruch płski bryły sztywnej w kżdej chwili czsu t możn interpretowć jko obrót wokół chwilowego środk obrotu. Środek ten w kżdej chwili czsu t jest z reguły w innym miejscu. Środek chwilowego obrotu może w szczególności znjdowć się w nieskończoności lecz n zdnym kierunku obrót stje się wtedy przesunięciem równoległym (trnslcją) w kierunku prostopdłym. O O. Dl punktów leżących n jednej prostej rzuty ich wektorów prędkości n kierunek tej prostej są równe. δ δ δ 3. Dl punktów leżących n jednej prostej, końcówki ich wektorów prędkości również tworzą prostą.

4 WNIOSKI DLA RUCHU PŁASKIEJ TARCZY SZTYWNEJ (D). Wektor prędkości jest zwsze prostopdły, do prostej łączącej dny punkt ze środkiem chwilowego obrotu. Jeśli znmy kierunki wektorów prędkości w dwóch punktch nie leżących n prostej prostopdłej do tych kierunków, to środek chwilowego obrotu leży n przecięciu się prostych prostopdłych do tych kierunków (w szczególności w nieskończoności). 3. Jeśli znmy wektory prędkości w dwóch punktch leżących n prostej prostopdłej do kierunku tych prędkości, to środek chwilowego obrotu leży w punkcie przecięci się tej prostej z prostą łączącą końcówki wektorów prędkości. O O O 4. Wektory prędkości punktów leżących n jednej prostej łączącej je ze środkiem chwilowego obrotu mją długość proporcjonlną do odległości od tego środk. Współczynnikiem proporcjonlności jest prędkość kątow. 5. Pionowe rzuty prędkości możemy przesuwć w pionie. Poziome rzuty prędkości możemy przesuwć w poziomie. 3 δ 3δ δ 4δ 4δ = ω R 3δ 3δ δ δ 3R R R ω = const. δ O 3δ δ δ O

5 ZADANIE Ruch punktu opisny jest równniem wektorowym: r(t) = {x(t) = 4t + y(t) = t z(t) = 3t wyzncz wektor prędkości, wektor przyspieszeni stycznego i wektor przyspieszeni normlnego. ROZWIĄZANIE: Wektor prędkości: (t ) = d r d t {d x dt = d y dt d z dt = 8 t = = 6t Wektor przyspieszeni: (t) = d dt {d x = 8 d t d y = = 0 d t d z d t = 6 Wektor przyspieszeni stycznego otrzymujemy rzutując wektor przyspieszeni n kierunek wektor prędkości: s = 8 (8t)+0 ( )+6 (6t ) = [8t ; ; 6t] = 00 t (8t) +( ) +(6t) 00 t t 5t + ; 50t 5t + ; 50t 5t +] =[ [8t ; ; 6t ] = Wektor przyspieszeni normlnego: 00t n = s 8 =[ 5t + ; 50t 5 t + 50t ; 6 5t +] = 8 [ 5t + ; 50t 5t + ; 6 5t +]

6 ZADANIE Punkt mterilny porusz się po okręgu o promieniu równnie s(t) = t. R = m. Przyrost drogi w czsie opisuje Wyzncz: Wektor prędkości orz wektor przyspieszeni Prędkość kątową i przyspieszenie kątowe Wektor prędkości obrotowej orz przyspieszeni obrotowego n ich podstwie wektory prędkości orz przyspieszeni stycznego i normlnego ROZWIĄZANIE: Wyznczmy wektor położeni punktu. Przyjmijmy prostokątny ukłd współrzędnych, którego początek leży w środku okręgu, punkt początkowy ruchu znjduje się n osi x. Wtedy położenie dowolnego punktu n okręgu opisują równni: r = { x = R cosα y = Rsin α Drog przebyt przez punkt poruszjący się po okręgu to długość łuku kołowego s( t)=ł, który wiąże się z drogą kątową (wyrżoną w rdinch!) zleżnością: s(t) = R α(t) α(t) = s(t) R = t { x (t) = Rcos t Wektor położeni m ztem postć: r(t) = y (t) = Rsin t Wektor prędkości: (t ) = ṙ(t) ={ẋ(t) = t R sin t ẏ(t) = t R cos t Wektor przyspieszeni: (t) = r (t ) = {ẍ (t ) = R sin t 4 t R cost ÿ (t ) = R cost 4 t Rsin t N podstwie funkcji przyrostu drogi kątowej α(t) prędkość kątową: ω = α = t przyspieszenie kątowe: ε = α = wyznczmy: Wektory prędkości i przyspieszeni kątowego w ruchu obrotowym są prostopdłe do płszczyzny ruchu, ztem: Wektor prędkości kątowej: ω = [0 ; 0 ; ω] = [0 ; 0 ; t ] Wektor przyspieszeni kątowego: ε = [0 ; 0 ; ε] = [0 ; 0 ; ]

7 Wektory prędkości i przyspieszeni wyznczmy z nstępujących zleżności: = ω r, s = ε r, n = ω, = s + n Wektor prędkości: = ω r = [0 ; 0 ; t ] [ R cost ; R sin t ; 0] = [ t R sin t ; t R cost ; 0] Wektor przyspieszeni stycznego: s = ε r = [0 ; 0 ; ] [ R cost ; R sin t ; 0] = [ R sin t ; R cost ; 0] Wektor przyspieszeni normlnego: n = ω = [0 ; 0 ; t ] [ t Rsin t ; t R cos t ; 0] = [ 4t Rcos t ; 4t Rsin t ; 0] Wektor przyspieszeni: = s + n = [ R sin t 4t R cost ; R cost 4t R sin t ; 0]

8 ZADANIE 3 Punkt mterilny porusz się po torze, który opisują równni prmetryczne: K : {x(λ) = λ y(λ) = 4 λ z(λ) = λ+3 Punktem początkowym ruchu jest punkt Ω 0 =(4 ; 0 ; 5). Tor zorientowny jest w tki sposób, że mir przebytej drogi s>0 dl z<5. Przyrost drogi w czsie opisuje funkcj s = t. Wyzncz wektor położeni w funkcji czsu (opis wektorowy). ROZWIĄZANIE: Musimy przejść z opisu nturlnego n opis wektorowy. Punktowi początkowemu Ω 0 odpowid wrtość prmetru λ=. Obliczmy przyrost drogi w zleżności od prmetru λ : λ s(λ) = λ 0 ( d x d λ ) + ( d y d λ ) + ( d z λ d λ ) d λ = λ ( ) +( ) +() d λ = 3 d λ = 3(λ ) Przyrównujemy uzyskny wynik do funkcji opisującej przyrost drogi w czsie: ±s(λ) = s(t ) ±3(λ ) = ±t Znk określmy sprwdzjąc czy znk przyrostu drogi w wyrżeniu po lewej i po prwej stronie jest tki sm. Zgodnie z orientcją toru mmy mieć s>0 z <5. Podstwijąc zleżność s( λ) orz osttnie z równń prmetrycznych toru otrzymujemy: ±3(λ )>0 λ+3<5 ±[3 λ 6 ]>0 λ< ±[λ]> λ< Przyrost miry drogi w wyrżeniu s( λ)=3(λ ) jest przeciwny do tego, jki wynik z orientcji toru. Przyjmujemy ztem zleżność: s(λ)=s(t). 3(λ ) = t λ = 3 t Podstwijąc do równni toru otrzymujemy wektor położeni w funkcji czsu: = 4 3 r(t) ={x(t) t y(t) = 3 t z(t ) = 5 3 t

9 ZADANIE 4 Znjąc wektory prędkości w dwóch punktch płskiej trczy sztywnej wyzncz wektory prędkości w punktch A, B, C, D. Oczko sitki m stłą jednostkową długość. ROZWIĄZANIE: D A F E C B PUNKT A: Rzut prędkości E n kierunek prostej poziomej AE jest zerowy, ztem rzut poziomy prędkości A jest zerowy. Rzut prędkości F n kierunek prostej pionowe FA jest zerowy, ztem rzut pionowy prędkości A jest zerowy. Skoro zrówno rzut pionowy jk i poziomy prędkości A jest zerowy, ztem wektor A musi być wektorem zerowym. PUNKT B: Rzut prędkości E n kierunek prostej poziomej AB jest zerowy, ztem rzut poziomy prędkości B jest zerowy, tzn. B jest wektorem pionowym. Punkty A, E, B leżą n jednej prostej, ztem końcówki wektorów prędkości muszą leżeć n jednej prostej. Z podobieństw trójkątów dostjemy B =. D A F E C B PUNKT D: Rzut prędkości F n kierunek prostej pionowej FD jest zerowy, ztem rzut pionowy prędkości D jest zerowy, tzn. D jest wektorem poziomym. Punkty A, F, D leżą n jednej prostej, ztem końcówki wektorów prędkości muszą leżeć n jednej prostej. Z podobieństw trójkątów dostjemy D = 3. 3 A D F E C B PUNKT C: Rzut prędkości D n kierunek prostej poziomej DC jest równy 3, ztem skłdow poziom prędkości C jest równ 3. Rzut prędkości B n kierunek prostej pionowej BC jest równy, ztem skłdow pionow prędkości C jest równ 3 3 D F A 3 E C B C = (3 ) +( ) = 3

10 ZADANIE 5 Wyznczyć wektory prędkości w punktch B, C, D, wiedząc, że prędkość punktu A jest równ: y =[8;0] A=(0;3) C=(6;4) A = [0,8] m/s. ROZWIĄZANIE: B=(4;0) x Wiemy, że ruch trczy sztywnej możemy interpretowć jko ruch obrotowy wokół chwilowego środk obrotu. Jeśli zloklizujemy środek chwilowego obrotu orz wyznczymy prędkość kątową, to będziemy mogli wyznczyć prędkość dowolnego punktu trczy. Chwilowy środek obrotu znjduje się zwsze w punkcie przecięci się prostych prostopdłych do kierunków prędkości dopuszczlnych. Podpor w punkcie A dopuszcz tylko przesuw pionowy. Podpor w punkcie B dopuszcz tylko przesuw poziomy. Stąd znjdujemy loklizcję środk obrotu. y A=(0;3) O=(4;3) B=(4;0) C=(6;4) x Prędkość styczn i prędkość kątow wiążą się wzorem = ω R, gdzie R jest odległością od środk obrotu. Długość wektor prędkości punktu A jest równ A = = 8 m/s. Odległość A od O jest równ 4 m, stąd ω = rd /s. N tej podstwie wyznczmy prędkość w punkcie B: y A = 8 4 m ω = B = ω R B = rd /s 3 m = 6 m/s. 3 m x B = 6 Aby wyznczyć skłdowe wektor prędkości w punkcie C, wyznczymy njpierw prędkości w dwóch fikcyjnych punktch nienleżących do trczy, które będą miły prędkości pionową i poziomą, równe odpowiednio rzutowi pionowemu i poziomemu prędkości w punkcie C. y A = 8 m ω = m 4 x B = 6

11 Skłdowe wektor prędkości punktu C wyznczmy przesuwjąc odpowiednie rzuty wzdłuż prostych do nich równoległych. y A = 8 C = [;-4] Osttecznie: A = [0 ; 8] m /s B = [ 6 ; 0] m /s C = [ ; 4] m /s B = 6 ω = x y A = C = [;-4] ω = 4 4 x B = 6

12 ZADANIE 6 Dny jest ukłd dwóch trcz krtowych połączonych przegubem nd środkową podporą. Wyzncz pole prędkości węzłów krtownicy po usunięciu środkowej podpory. ROZWIĄZANIE: Schemt sttyczny po usunięciu podpory. trcz I trcz II Wyznczmy środek obrotu dl trczy I. Poniewż jest on unieruchomion w jednym punkcie, to punkt ten stje się jej chwilowym środkiem obrotu O. Ndjemy jej pewną prędkość obrotową ω = /. O 3 Punkt wspólny dl obu trcz porusz się pionowo. Punkt podprci drugiej trczy może poruszć się jedynie poziomo. Wykreślmy proste prostopdłe do kierunków prędkości dopuszczlnych w tych dwóch punktch trczy II. W punkcie przecięci tych dwóch prostych znjduje się chwilowy środek obrotu trczy II O. O

13 Wyznczmy prędkości węzłów krtownicy odpowidjące prędkości obrotowej odpowidjącej prędkości liniowej w punkcie P. 3

14 ZADANIE 7 Wyzncz rozkłd prędkości w ukłdzie mechnicznym jk n rysunku. SCHEMAT ROZWIĄZANIA (zdnie z ukłdem trcz sztywnych połączonych przegubmi bez zdnych z góry prędkości punktów). Dl kżdej trczy musimy wyznczyć środek chwilowego obrotu orz prędkość kątową n ich podstwie wyznczmy wektory prędkości w wymgnych punktch.. Zczynmy od trczy, n którą nłożon njwięcej więzów ogrniczjących ruch. Njczęście będzie to trcz, przy której występują dwie podpory przegubowe przesuwne lub występuje podpor przegubow nieprzesuwn 3. Wyznczmy środek chwilowego obrotu. 4. Przyjmując dowolną prędkość kątową wyznczmy wynikjące z niej prędkości we wszystkich wymgnych punktch trczy, w szczególności w przegubie, w którym łączy się on z kolejną trczą. 5. N podstwie znjomości wektor prędkości w w przegubie orz znjomości podpór (lub prędkości w innych punktch) kolejnej trczy, wyznczmy jej środek chwilowego obrotu orz prędkość kątową. 6. Powtrzmy kroki 4 i 5 ż do wyznczeni wszystkich wektorów prędkości. UWAGI: Jeśli w którymś momencie rozwiązywni zdni dochodzimy do sprzeczności (np. n podporze wymgne jest przemieszczenie niedopuszczlne przez tą podporę, środek chwilowego obrotu m niezerową prędkość itp.), to znczy, że złożenie o ruchu pierwszej trczy jest błędne. Przyjmujemy wtedy, że trcz pierwsz jest nieruchom przegub, w którym łączy się on z kolejną trczą jest dl tej kolejnej trczy środkiem chwilowego obrotu (jest bowiem nieruchomy i dopuszcz obrót). Tk konieczność zminy złożeń początkowych może pojwić się wielokrotnie. Jeśli środek chwilowego obrotu jest punktem niewłściwym w nieskończoności (proste prostopdłe do kierunków prędkości dopuszczlnych są równoległe), wtedy trcz doznje przesunięci równoległego (trnslcji bez obrotu) i wektory prędkości wszystkich punktów trczy są tkie sme.

15 ROZWIĄZANIE: Zczniemy od trczy (oznczeni jk n rysunku) poniewż występują tm dwie podpory przegubowe przesuwne. Wyznczmy kierunki prędkości dopuszczlnych dl punktów podprci. W punkcie przecięci się prostych prostopdłych do kierunków prędkości dopuszczlnych znjduje się środek chwilowego obrotu trczy. O Zkłdmy prędkość kątową ω = / - zwrot możemy wybrć dowolnie. W kżdym punkcie odległym o od środk chwilowego obrotu, prędkość jest więc równ. Kierunek prędkości jest zwsze prostopdły do prostej łączącej dny punkt ze środkiem obrotu. Zwrot wynik ze zwrotu prędkości kątowej. O ω =/ Znjąc kierunek prędkości w przegubie orz kierunek prędkości punktu podprci trczy, kreślimy proste prostopdłe do tych kierunków i w punkcie ich przecięci wyznczmy środek chwilowego obrotu trczy. O Prędkość kątową dl drugiej trczy wyznczmy z zleżności ω= /r n podstwie znjomości prędkości przegubu. Znjduje się on w odległości r =, stąd prędkość kątow ω = /. N tej podstwie wyznczmy prędkości pozostłych wierzchołków trczy. ω =/ O ω =/ O

16 Przybliżony obrz przemieszczeni trcz:

17 ZADANIE 8 Wyzncz rozkłd prędkości w ukłdzie mechnicznym jk n rysunku. ROZWIĄZANIE: Zczniemy od trczy (oznczeni jk n rysunku) poniewż występują tm dwie podpory przegubowe przesuwne. Wyznczmy kierunki prędkości dopuszczlnych dl punktów podprci. W punkcie przecięci się prostych prostopdłych do kierunków prędkości dopuszczlnych znjduje się środek chwilowego obrotu trczy. Okzuje się, że jest to punkt niewłściwy (leży w nieskończoności). O Skoro środek chwilowego obrotu jest punktem niewłściwym, to trcz doznje przesunięci równoległego (bez obrotu) wektory prędkości wszystkich punktów trczy są tkie sme. Podpory dopuszczją jedynie wektory poziome. Zwrot i wielkość prędkości przyjmujemy dowolnie. Niech będzie to w prwo. W szczególności, tę smą prędkość m przegub. Znjąc kierunek prędkości w przegubie orz kierunek prędkości punktu podprci trczy, kreślimy proste prostopdłe do tych kierunków i w punkcie ich przecięci wyznczmy środek chwilowego obrotu trczy. O

18 Prędkość kątową dl drugiej trczy wyznczmy z zleżności ω=/ r n podstwie znjomości prędkości przegubu. Znjduje się on w odległości r =, stąd prędkość kątow ω = /. N tej podstwie wyznczmy prędkości pozostłych wierzchołków trczy. ω =/ O 5 Przybliżony obrz przemieszczeni trcz: 5

19 ZADANIE 9 Wyzncz rozkłd prędkości w ukłdzie mechnicznym jk n rysunku. ROZWIĄZANIE: Zczniemy od trczy (oznczeni jk n rysunku), poniewż występuje tm podpor przegubow nieprzesuwn. W punkcie podprci znjduje się środek chwilowego obrotu trczy. Zkłdmy prędkość kątową ω = / - zwrot możemy wybrć dowolnie. W kżdym punkcie odległym o od środk chwilowego obrotu, prędkość jest więc równ. Kierunek prędkości jest zwsze prostopdły do prostej łączącej dny punkt ze środkiem obrotu. Zwrot wynik ze zwrotu prędkości kątowej. O ω =/ Znjąc kierunek prędkości w przegubie orz kierunek prędkości punktu podprci trczy, kreślimy proste prostopdłe do tych kierunków i w punkcie ich przecięci wyznczmy środek chwilowego obrotu trczy. Okzuje się, że jest to punkt niewłściwy (leży w nieskończoności). O

20 Skoro środek chwilowego obrotu jest punktem niewłściwym, to trcz doznje przesunięci równoległego (bez obrotu) wektory prędkości wszystkich punktów trczy są tkie sme. Skoro przegub przemieszcz się z prędkością pionową, to tką smą prędkość muszą mieć wszystkie pozostłe punkty trczy. O ω =/ Przybliżony obrz przemieszczeni trcz:

21 ZADANIE 0 Wyzncz rozkłd prędkości w ukłdzie mechnicznym jk n rysunku. ROZWIĄZANIE: Zczniemy od trczy (oznczeni jk n rysunku), poniewż występuje tm podpor przegubow nieprzesuwn. W punkcie podprci znjduje się środek chwilowego obrotu trczy. Zkłdmy prędkość kątową ω = / - zwrot możemy wybrć dowolnie. W kżdym punkcie odległym o od środk chwilowego obrotu, prędkość jest więc równ. Kierunek prędkości jest zwsze prostopdły do prostej łączącej dny punkt ze środkiem obrotu. Zwrot wynik ze zwrotu prędkości kątowej. O ω =/ Znjąc kierunek prędkości w przegubie orz kierunek prędkości punktu podprci trczy, kreślimy proste prostopdłe do tych kierunków i w punkcie ich przecięci wyznczmy środek chwilowego obrotu trczy. Okzuje się, że punkt przecięci się tych prostych występuje w punkcie, w którym prędkość jest niezerow to sprzeczność, poniewż środek chwilowego obrotu musi być punktem, w którym prędkość m być zerow. Pondto, gdybyśmy chcieli przenieść rzut pionowy prędkości przegubu do punktu podprci, okzłoby się, że n podporze musiłby pojwić się skłdow prędkości niedopuszczln przez tą podporę. To wszystko wskzuje, że pierwotne złożenie o obrocie trczy wokół podpory nieprzesuwnej było błędne. Poniewż jest to jedyny rodzj ruchu, jki t trcz może wykonywć, stąd wniosek, że musi pozostwć nieruchom.

22 Skoro trcz jest nieruchom, ztem i przegub pozostje w spoczynku. Jko punkt nieruchomy nleżący do trczy stje się jej środkiem chwilowego obrotu. Zkłdmy prędkość kątową ω = / - zwrot możemy wybrć dowolnie. W kżdym punkcie odległym o od środk chwilowego obrotu, prędkość jest więc równ. Kierunek prędkości jest zwsze prostopdły do prostej łączącej dny punkt ze środkiem obrotu. Zwrot wynik ze zwrotu prędkości kątowej. O ω =/ 5 Przybliżony obrz przemieszczeni trcz: 5

23 ZADANIE Wyznczyć rozkłd prędkości w ukłdzie mechnicznym przedstwionym n rysunku. Przyjąć L= m. 6 m/s P L L L L L L L L ROZWIĄZANIE: Anlizę zczynmy od trczy, któr m njwiększą liczbę odebrnych stopni swobody. Kolejnymi trczmi będą trcze sąsiednie. Dl pierwszej trczy wyznczmy środek chwilowego obrotu w punkcie przecięci się prostych prostopdłych do kierunków prędkości dopuszczlnych przez podpory. N początku prędkości wyznczmy z dokłdnością do prmetru, który wyznczymy po przyrównniu wektor prędkości w punkcie P do podnej w tym punkcie wrtości. ω = L O 3 Środek chwilowego obrotu trczy drugiej znjdujemy w punkcie przecięci się prostej prostopdłej do dopuszczlnego kierunku prędkości w przegubie (wyznczonej w poprzednim kroku) orz prostej prostopdłej do kierunku dopuszczlnego przesuwu n podporze. Widzimy przy tym, że prędkość w punkcie P wyznczon dl zwrotu prędkości kątowej złożonego dl trczy pierwszej jest przeciwn do kierunku rzeczywistego. Wszystkie wyznczone prędkości zmienimy ztem n przeciwne. 3 ω = L O O ω = L 3

24 Środek chwilowego obrotu trczy trzeciej znjdujemy w punkcie przecięci się prostej prostopdłej do dopuszczlnego kierunku prędkości w przegubie (wyznczonej w poprzednim kroku) orz prostej prostopdłej do kierunku dopuszczlnego przesuwu n podporze. Jest to punkt niewłściwy w nieskończoności, ztem trcz trzeci doznje jedynie przesunięci równoległego i wektory prędkości w kżdym punkcie są tkie sme. 3 ω = L O O ω = L 3 O 3 Z przyrównni wektor prędkości w punkcie P do podnej wrtości prędkości w tym punkcie otrzymujemy: 3 = 6 m/s = m/s ω = ω = L = rd/s Osttecznie rozkłd prędkości i przybliżon konfigurcj po deformcji wyglądją nstępująco: 6 m/s 5,657 m/s O 3 5,657 m/s 4 m/s 5,657 m/s ω = rd/s 4 m/s O O 5,657 m/s 5,657 m/s 4 m/s ω = rd/s 4 m/s