Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba

Transkrypt

1 Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb

2 Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii płszczyzny i trochę zdń z nimi związnych. Jest to oczywiście geometri euklidesow. Czytelnik może odświeżyć swoją szkolną wiedzę, być może poszerzyć ją, n pewne zgdnieni spojrzeć nieco inczej, często głębiej. M też okzję do poćwiczeni umiejętności rozwiązywni zdń. Do niektórych zdń, oznczonych symbolem *, podne są podpowiedzi, niekiedy nwet rozwiązni (rozdził 11). Nie jest to żden systemtyczny wykłd geometrii, wiele temtów zostło pominiętych n przykłd nie m w ogóle trygonometrii. Zkres mteriłu zostł z grubsz dostosowny do progrmów gimnzjlnych. Gwoli ścisłości dodm, że w podwnych twierdzenich kwntyfiktor ogólny ( dl kżdego ) występuje często w sposób niejwny jest w domyśle. Jest to zgodne z trdycją. N przykłd mówiąc, że kąt wpisny oprty n półokręgu jest prosty, mmy n myśli dowolny kąt wpisny oprty n półokręgu. 2

3 Spis treści 1 Izometri, jednokłdność, podobieństwo Przesunięci, obroty, symetrie osiowe Izometrie włsne figury Jednokłdność i podobieństwo Zdni Podstwowe włsności trójkąt Kąty i boki trójkątów Symetrlne, dwusieczne Wysokości Środkowe Zdni Twierdzenie Pitgors Twierdzenie Pitgors i odwrotne Uogólnienie n wielokąty podobne Ekierki Zdni Twierdzenie Tles Twierdzenie Tles i odwrotne Równowżność kilku proporcji Cechy podobieństw trójkątów Zdni

4 5 Okrąg i koło Kąty wpisne i środkowe Styczn do okręgu Zdni Wielokąty wpisne w okrąg Środek okręgu opisnego n dnym wielokącie Czworokąty wpisne w okrąg Zdni Wielokąty opisne n okręgch Środek okręgu wpisnego w dny wielokąt Czworokąty opisne n okręgch Zdni Konstrukcje Konstrukcje wykonlne i niewykonlne Zdni Obwód i pole Długość krzywej Pole figury Wzór Heron Zdni Zdni różne Podpowiedzi do niektórych zdń 52 4

5 1 Izometri, jednokłdność, podobieństwo Wszystkie przeksztłceni, o których mow w tym rozdzile, są przekszłcenimi podzbiorów płszczyzny n podzbiory płszczyzny. 1.1 Przesunięci, obroty, symetrie osiowe Według znnej definicji przeksztłcenie nzywmy izometrią, jeżeli zchowuje odległość, tzn. odległość między obrzmi dwóch dowolnych punktów jest równ odległości między tymi punktmi. Z definicji tej wynik od rzu, że: - identyczność jest izometrią, - izometri jest różnowrtościow, przeksztłcenie odwrotne jest też izometrią, - złożenie izomerii jest izometrią. Jk widomo dwie figury nzywmy przystjącymi, jeżeli istnieje izometri przeksztłcjąc jedną n drugą. Z włsności izometrii wynik, że przystwnie figur jest relcją typu równowżności, tzn. zwrotną, symetryczną i przechodnią. Możn udowodnić, że dw wielokąty są przystjące wtedy i tylko wtedy, kiedy kolejne kąty jednego wielokąt są równe kolejnym kątom drugiego, boki położone między tkimi smymi kątmi w jednym i drugim wielokącie są równe. Zuwżmy, że nie wystrczy zżądć, by w jednym i w drugim wielokącie były tkie sme kąty i boki istotn jest ich kolejność: 5

6 α α γ γ b b β β β α b γ γ b α β Wielokąty przedstwione n rysunku nie są przystjące. Mją tkie sme kąty i tkie sme boki, le nie występują one w tej smej kolejności. Aby wykzć, że dw trójkąty są przystjące, wystrczy posłużyć się jedną z tzw. cech przystwni trójkątów, które zpewne Czytelnik dobrze pmięt. Szczególnymi rodzjmi izometrii są przesunięci, obroty i symetrie osiowe (nzywne tkże odbicimi lustrznymi). Okzuje się, że te trzy przeksztłceni pozwlją otrzymć kżdą izometrię kżd izometri jest ich złożeniem. Co więcej kżdą izometrię możn otrzymć jko złożenie smych symetrii osiowych, i to njwyżej trzech. W przypdku, kiedy izometri jest przesunięciem lub obrotem wystrczą dwie. Nietrudno to zobczyć: A d f'(a) f''(a) przesunięcie o wektor długości 2d jest złożeniem dwóch symetrii, których osie są prostopdłe do wektor przesunięci i odległe od siebie o d, 6

7 A α f'(a) f''(a) obrót o kąt 2α względem punktu S jest złożeniem dwóch symetrii, których osie przecinją się w punkcie S i tworzą kąt α. Przypomnijmy, że obrót o 180 względem punktu S nzywmy inczej symetrią środkową o środku S. 1.2 Izometrie włsne figury Izometrie włsne dnej figury geometrycznej są to izometrie przeksztłcjące figurę n siebie. Oczywiście kżd figur m co njmniej jedną izometrię włsną, jest nią identyczność. Z reguły ją pomijmy, wymienijąc izometrie włsne różnych figur. N przykłd izometrie włsne koł (okręgu) są to wszystkie obroty względem środk orz symetrie względem jego średnic, izometrimi włsnymi prostej są przesunięci o wektory równoległe do prostej i symetrie środkowe względem wszystkich punktów prostej. Zuwżmy, że symetrie środkowe prostej pokrywją się z symetrimi osiowymi względem prostych do niej prostopdłych. Przypomnijmy, że figurę mjącą co njmniej jedną symetrię osiową włsną nzywmy osiowosymetryczną, oś tej symetrii nzywmy osią symetrii figury. Podobnie figurę mjącą co njmniej jedną symetrię środkową włsną nzywmy środkowosymetryczną, środek tej symetrii nzywmy środkiem symetrii figury. 7

8 1.3 Jednokłdność i podobieństwo Jk widomo podobieństwo jest przeksztłceniem zwiększjącym lub zmniejszjącym długości wszystkich odcinków tyle smo rzy. Mówiąc ściśle, przeksztłcenie f nzywmy podobieństwem, jeżeli istnieje tk liczb s > 0, że f(a)f(b) = s AB dl kżdych dwóch punktów A, B. Liczbę s nzywmy sklą (inczej współczynnikiem lub stosunkiem) podobieństw. Z definicji ntychmist wynik, że kżd izometri jest podobieństwem o skli 1. Pondto: - identyczność jest podobieństwem, - podobieństwo jest różnowrtościowe, przeksztłcenie odwrotne jest też podobieństwem, przy czym podobieństwo odwrotne do podobieństw o skli s m sklę 1 s. - złożenie podobieństw jest podobieństwem. Jk widomo dwie figury nzywmy podobnymi, jeżeli istnieje podobieństwo przeksztłcjące jedną n drugą. Anlogicznie jk przystwnie figur również ich podobieństwo jest relcją typu równowżności. Możn udowodnić, że dw wielokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, kiedy kolejne kąty jednego wielokąt są równe kolejnym kątom drugiego, boki położone między tkimi smymi kątmi w jednym i w drugim wielokącie są propocjonlne. Szczególnym przypdkiem podobieństw jest jednokłdność, inczej zwn homotetią. Przypomnijmy, że jeżeli s jest dowoln liczbą dodtnią, to jednokłdnością o środku O i skli s nzywmy tkie przeksztłcenie f, że dl kżdego punktu A O punkt f(a) jest współliniowy z punktmi A i O, punkt A leży między O i f(a) orz Of(A) = s OA. Niekiedy wprowdz się tkże pojęcie jednokłdności o skli ujemnej: jednokłdnością o środku O i skli s < 0 nzywmy tkie przeksztłcenie f, że dl kżdego punktu A O punkt f(a) jest współliniowy z punktmi A i O, punkt O leży między A i f(a) orz Of(A) = s OA. 8

9 Nietrudno zuwżyć, że jednokłdność o skli s i środku O jest złożeniem jednokłdności o skli s i środku O orz symetrii środkowej względem O. Anlogicznie jk w przypdku podobieństw również sklę jednokłdności nzywmy inczej współczynnikiem lub stosunkiem. Dwie figury nzywmy jednokłdnymi, jeżeli jedn jest obrzem jednokłdnym drugiej. Tk jk przystwnie i podobieństwo również jednokłdność figur jest relcją typu równowżności. Oczywiście figury jednokłdne są podobne, le nie n odwrót. Jko przykłd wystrczy wziąć dw trójkąty podobne (n przykłd przystjące), których boki nie są równoległe. Podobieństwo figur zleży tylko od ich włsności wewnętrznych, ntomist n jednokłdność wpływ tkże ich położenie n płszczyźnie. Jk widomo kżde podobieństwo jest złożeniem izometrii i jednokłdności. Ztem dwie figury są podobne, jeżeli istnieje trzeci figur przystjąc do jednej z nich i jednokłdn do drugiej. 1.4 Zdni 1. Wykzć, że trójkąt m oś symetrii wtedy i tylko wtedy, kiedy jest równormienny. 2. Dowieść, że jeżeli trójkąt m trzy osie symetrii, to jest równoboczny. 3. Wymienić izometrie włsne trójkąt równobocznego. 4. Posługując się pojeciem symetrii osiowej, zdefiniowć: ) symetrlną odcink, b) dwusieczną kąt. 5. Zbdć, czy nstępujące figury mją osie symetrii: ) dwie proste, b) dw okręgi, c) prost i okrąg. 6. Wykzć, że czworokąt jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, kiedy m środek symetrii. 9

10 * 7. Wykzć, że figur ogrniczon m co njwyżej jeden środek symetrii. 8. Wykzć, że wielokąt o nieprzystej liczbie wierzchołków nie m środk symetrii. 9. Wykzć, że złożenie dwóch symetrii osiowych, których osie są prostopdłe, jest symetrią środkową. * 10. Dn jest prost i dw punkty A i B poz nią. Znleźć n prostej tki punkt C, by sum odległości AC + BC był njmniejsz. 11. Dne są trzy punkty niewspółliniowe A, B i C, przy czym AB = BC AC. Znleźć tki punkt D, by figur ABCD mił oś symetrii. Ile jest rozwiązń? 12. Dne są dw okręgi o równych promienich. Jk dobudowć trzeci, by figur mił: ) oś symetrii, b) środek symetrii? 13. Znleźć symetrie włsne figury skłdjącej się z dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią. 10

11 2 Podstwowe włsności trójkąt 2.1 Kąty i boki trójkątów Jk widomo sum kątów trójkąt jest równ 180. Stąd wynik, że mmy trzy możliwości: - wszystkie kąty trójkąt są ostre, - dokłdnie jeden kąt trójkąt jest rozwrty, - dokłdnie jeden kąt trójkąt jest prosty. Trójkąt, który m co njmniej dw kąty równe, jest równormienny, trójkąt, który m wszystkie kąty równe, jest równoboczny. Równość trzech kątów trójkąt pociąg z sob równość trzech jego boków, i odwrotnie. Tk oczywiście nie jest w innych wielokątch: z równości kątów nie wynik równość boków, ni z równości boków nie wynik równość kątów. Przypomnijmy, że wielokąt, który m równe boki i równe kąty nzywmy foremnym. Trójkąty foremne są to dokłdnie trójkąty równoboczne. Twierdzenie o sumie kątów trójkąt pozwl obliczyć sumę kątów dowolnego n-kąt. Jest on równ (n 2) 180. Dowód tego jest ntychmistowy w przypdku wielokątów wypukłych, ntomist dl wielokątów wklęsłych jest dosyć skomplikowny. Twierdzenie o sumie kątów trójkąt pozwl wyznczyć jego kąt, jeżeli dne są dw pozostłe. Z bokmi tk nie jest, dw boki nie wyznczją trzeciego. Widomo tylko, że jest on dłuższy niż dw pozostłe w sumie: kżdy bok trójkąt jest większy od sumy dwóch pozostłych. Włsność t nosi nzwę wrunku trójkąt. 2.2 Symetrlne, dwusieczne Jk widomo (1) symetrlne boków trójkąt mją punkt wspólny. 11

12 Istotnie, niech A, B, C będą wierzchołkmi trójkąt i niech P będzie punktem wspólnym symetrlnych boków AB i BC. Tki punkt istnieje, bo symetrlne odcinków nierównoległych przecinją się. Poniewż AP = P B i BP = P C, więc z przechodniości relcji równości wynik, że AP = P C, to ozncz, że P jest tkże punktem symetrlnej boku AC. W nlogiczny sposób, rozptrując odległości od boków trójkąt, dowodzimy, że (2) dwusieczne kątów trójkąt mją punkt wspólny. Z włsności (1) wynik, że dl kżdego trójkąt istnieje punkt równo oddlony od wierzchołków, z włsności (2) wynik, że w kżdym trójkącie istnieje punkt równo oddlony od boków. N zkończenie udowodnimy pewną włsność dwusiecznej, któr przydje się przy rozwiązywniu zdń. Zuwżmy, że dl dowolnego odcink CD łączącego wierzchołek trójkąt ABC z przeciwległym bokiem C A D b B trójkąty ADC i DBC mją tkie sme wysokości, jeżeli z podstwy przyjąć odcinki i b. Ztem pole trójkąt ADC pole trójkąt DBC = b. 12

13 Jeżeli odcinek CD jest dwusieczną kąt w trójkącie ABC, to C c d A D B trójkąty ADC i DBC mją tkie sme wysokości, jeżeli z podstwy przyjąć odcinki c i d. Ztem pole trójkąt ADC pole trójkąt DBC = c d. W konsekwencji b = c d. Ozncz to, że dwusieczn kąt w trójkącie dzieli przeciwległy bok n odcinki proporcjonlne do pozostłych boków trójkąt. 2.3 Wysokości Z włsności (1) wynik również, że wysokości trójkąt lub ich przedłużeni mją punkt wspólny. Istotnie, rozwżmy dowolny trójkąt ABC. Przez kżdy jego wierzchołek poprowdźmy prostą równoległą do przeciwległego boku. W ten sposób powstnie nowy trójkąt; oznczmy jego wierzchołki litermi D, E, F : 13

14 D C F A B E Poniewż czworokąty ABCD i ABF C są równoległobokmi, w równoległobokch boki równoległe są równe, więc DC = AB = CF. Anlogicznie DA = CB = AE i EB = AC = BF. Ozncz to, że wierzchołki trójkąt ABC są środkmi boków trójkąt DEF. Ztem wysokości trójkąt ABC są zwrte w symetrlnych boków trójkąt DEF, te osttnie mją punkt wspólny. Rysunek zostł sporządzony w przypdku trójkąt ostrokątnego, le rozumownie nie zleży od rodzju trójkąt. Twierdzenie jest więc udowodnione. Możn wykzć, że jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to przecinją sie jego wysokości, jeżeli trójkąt jest rozwrtokątny, to przecinją się przedłużeni wysokości. W pierwszym przypdku punkt przecięci leży wewnątrz trójkąt, w drugim n zewnątrz. Jeżeli ntomist trójkąt jest prostokątny, to punktem wspólnym jego wysokości jest wierzchołek przeciwległy do przeciwprostokątnej. Przypomnijmy, że punkt wspólny wysokości lub ich przedłużeń nzywmy ortocentrum. 2.4 Środkowe Przypomnijmy, że środkow jest to odcinek łączący środek boku trójkąt z przeciwległym wierzchołkiem. Zuwżmy, że środkow dzieli trójkąt n dw trójkąty o równych polch. 14

15 Dowiedziemy, że (3) środkowe boków trójkąt mją punkt wspólny, przy czym dzieli on kżdą środkową w stosunku 1 : 2. Skorzystmy z włsności, że (4) odcinek łączący środki dwóch boków trójkąt jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie. Włsność t jest konsekwencją twierdzeni Tles, le może być dowiedzion tkże bezpośrednio. Istotnie, rozwżmy dowolny trójkąt ABC i złóżmy, że K jest środkiem boku AC, L jest środkiem boku CB: C K L A B Poprowdźmy odcinek KL równoległy do boku AB i odcinek L M równoległy do boku AC: C K L' A M B Ztem KC = AK = L M. Trójkąty KL C i MBL mją więc po jednym boku równym, poniewż mją równe kąty, więc są przystjące. Stąd wynik, że CL = L B. Ztem L = L, co kończy dowód (4). Aby dowieść włsności (3), rozwżmy dwie dowolne środkowe trójkąt ABC, oznczjąc ich wspólny punkt literą P : 15

16 C P A B Niech punkty E i F będą środkmi boków AC i BC, punkty G i H środkmi odcinków AP i P B: C E G P F H A B Z (4) wynik, że trójkąty EP F i P GH mją równe kąty orz EF = 1 AB = GH. Ztem trójkąty te są przystjące. W konsekwencji 2 AP = 2 P F i BP = 2 P E. Ozncz to, że kżd środkow dzieli kżdą inną środkową n dw odcinki, których stosunek wynosi 1 : 2. Niech terz s 1, s 2 i s 3 będą środkowymi trójkąt. Poniewż zrówno punkt wspólny środkowych s 1 i s 2, jk i punkt wspólny środkowych s 2 i s 3 dzielą środkową s 2 w tkim smym stosunku, więc punkty te pokrywją się. Ozncz to, że wszystkie środkowe mją punkt wspolny. Przypomnijmy, że punkt wspólny środkowych jest środkiem ciężkości trójkąt. 16

17 2.5 Zdni 1. Obliczyć kąt n kąt foremnego. 2. Czy istnieje wielokąt foremny o kącie 125? 3. Uzsdnić, że strtując z dowolnego punktu okręgu i odmierzjąc w znny sposób odcinek równy promieniowi koł wrócimy po sześciu rzch do punktu wyjści. * 4. Udowodnić, że nie istnieje trójkąt o wysokościch 1, 2 i Wykzć, że dwusieczne kątów przy podstwie trójkąt równormiennego są równe. 6. Dowieść, że jeżeli w trójkącie środkow jednego z boków pokryw się z dwusieczną przeciwległego kąt, to trójkąt jest równormienny. 7. Wysokość trójkąt dzieli podstwę n pół i jest od niej dw rzy krótsz. Dowieść, że trójkąt jest prostokątny. 8. W jkich trójkątch długość środkowej jednego z boków jest równ połowie długości tego boku? 9. Wykzć, że dw wierzchołki dowolnego trójkąt są równo oddlone od prostej zwierjącej środkową boku je łączącego. 10. Czy dwusieczne dwóch kątów trójkąt mogą przecinć się pod kątem prostym? * 11. Uczeń twierdzi, że jeżeli podstwę trójkąt równormiennego podzielić n trzy równe części i punkty podziłu połączyć z wierzchołkiem, to w ten sposób kąt przy wierzchołku zostnie podzielony n trzy równe części. Czy m rcję? Odpowiedź uzsdnić. 17

18 3 Twierdzenie Pitgors 3.1 Twierdzenie Pitgors i odwrotne Twierdzenie Pitgors jest chyb njbrdziej znnym twierdzeniem spośród wszystkich twierdzeń, które są w progrmch szkolnych. Możn je formułowć jko związek między bokmi trójkąt prostokątnego lub związek między polmi kwdrtów zbudownych n tych bokch. Jk widomo twierdzenie odwrotne do twierdzeni Pitgors jest również prwdziwe. Aby je podć, dobrze jest sformułowć twierdzenie Pitgors, nie używjąc nzw boków trójkąt prostokątnego n przykłd tk: jeżeli trójkąt jest prostokątny, to sum kwdrtów pewnych (lub: krótszych) dwóch jego boków jest równ kwdrtowi trzeciego (lub: njdłuższego) boku. Jest wiele rozmitych dowodów twierdzeni Pitgors i możn je bez trudu znleźć nwet w podręcznikch gimnzjlnych. Ntomist niełtwo znleźć dowód twierdzeni odwrotnego. Dowód ten jest prosty i krótki. Istotnie, złóżmy, że boki, b, c pewnego trójkąt T spełniją równość (*) 2 + b 2 = c 2 i rozwżmy trójkąt prostokątny T o przyprostokątnych, b. Oznczmy jego przyprostoktną literą x. Wtedy n mocy twierdzeni Pitgors zchodzi związek 2 + b 2 = x 2, co wobec (*) pociąg z sobą równość x = c. Ozncz to, że trójkąt T jest przystjący do trójkt T. W konsekwencji trójkąt T jest prostokątny. 3.2 Uogólnienie n wielokąty podobne Twierdzenie Pitgors m różne uogólnieni. W jednym z nich kwdrty n bokch trójkąt prostokątnego zstępujemy dowolnymi wielokątmi podobnymi, przy czym skl podobieństw jest równ stosunkowi odpowiednich boków trójkąt: jeżeli wielokąty W 1, W 2, W 3 są podobne w skli : b : c, gdzie, b, c są odpowiednio przyprostokątnymi i przeciwprostokątną trójkąt prostokątnego, to sum pól wielokątów W 1 i W 2 jest równ polu wielokąt W 3. 18

19 Dowód jest nietrudny. Istotnie, jeżeli oznczymy pol wielokątów odpowiednio P 1, P 2, P 3, to P 1 : P 2 : P 3 = 2 : b 2 : c 2. Ztem P 1 P 3 = 2 c 2 orz Stąd po dodniu stronmi otrzymujemy P 2 P 3 = b2 c 2. P 1 + P 2 P 3 = 2 + b 2 c 2. W konsekwencji z twierdzeni Pitgors wynik równość P 1 + P 2 = P Ekierki Twierdzenie Pitgors pozwl obliczyć bok trójkąt prostokątnego, jeżeli dne są dw pozostłe boki. W przypdku trójkąt prostokątnego z kątmi ostrymi 45 lub 30 i 60 wystrczy znć jeden bok, by n podstwie twierdzeni Pitgors móc obliczyć dw pozostłe. Wynik to stąd, że w pierwszym trójkącie przyprostokątne s równe: x x y w drugim jedn przyprostokątn jest połową przeciwprostokątnej: y 30 2x x 60 19

20 Znjąc ztem x, obliczymy y, i n odwrót. Nie trzeb tu posługiwć się funkcjmi trygonometrycznymi. Trójkąty, o których mow, nzywne są populrnie ekierkmi. Nzw wzięł się stąd, że owe przybory geometryczne mją ksztłt włśnie tkich trójkątów. 3.4 Zdni 1. Z jkiego twierdzeni trzeb skorzystć, by rozstrzygnąć, czy trójkąt o bokch: ) 5, 7, 8 b) 10, 11, 12 jest prostokątny? 2. Uczeń rozumuje: Liczby 2, 3, 4 nie są długościmi boków trójkąt prostokątnego. Wynik to z twierdzeni odwrotnego do twierdzeni Pitgors: jeżeli sum kwdrtów dwóch liczb jest równ kwdrtowi trzeciej liczby, to liczby te są długościmi boków trójkąt prostokątnego. W nszym przypdku złożenie tego osttniego twierdzeni nie jest spełnione, więc tkże i tez nie jest spełnion. Czy rozumownie uczni jest poprwne? 3. Uczeń pisze: Trójkąt o bokch 3, 4, 5 jest prostokątny, bo = 5 2, jeżeli trójkąt jest prostokątny, to sum kwdrtów przyprostokątnych jest równ kwdrtowi przeciwprostokątnej. Czy wnioskownie to jest poprwne? 4. Uczeń pisze: Trójkąt o bokch 3, 4, 6 nie jest prostokątny, bo , jeżeli trójkąt jest prostokątny, to sum kwdrtów przyprostokątnych jest równ kwdrtowi przeciwprostokątnej. Czy wnioskownie to jest poprwne? 5. Ile jest trójkątów prostokątnych, których boki są kolejnymi liczbmi nturlnymi? 6. Ile jest trójkątów prostokątnych, których boki są kolejnymi liczbmi przystymi? 20

21 7. Ile jest trójkątów prostokątnych, których boki są kolejnymi liczbmi nieprzystymi? 8. Dowieść, że w rombie sum kwdrtów przekątnych jest cztery rzy większ od kwdrtu boku. 9. Korzystjąc z twierdzeni Pitgors, udowodnić, że sum pól trójkątów równobocznych zbudownych n przyprostokątnych trójkąt prostokątnego jest równ polu trójkąt równobocznego zbudownego n przeciwprostokątnej. * 10. Udowodnić, że w twierdzeniu Pitgors kwdrty n bokch trójkąt możn zstąpić dowolnymi n-kątmi foremnymi: sum pól n-kątów foremnych zbudownych n przyprostokątnych jest równ polu n-kąt foremnego zbudownego n przeciwprostokątnej. * 11. Dny jest dowolny trójkąt prostokątny. Rysujemy okrąg, którego średnicą jest przeciwprostokątn i dw półokręgi, których średnicmi są przyprostokątne. W ten sposób tworzą się tzw. księżyce Hipokrtes: Dowieść, że sum pól księżyców Hipokrtes jest równ polu trójkąt. Przypominm, że w zdnich dotyczących ekierek nie posługujemy się funkcjmi trygonometrycznymi! 12. Jeden z kątów trójkąt prostokątnego wynosi 30 lub 45, jeden z boków jest równy. Znleźć dw pozostłe boki, rozwżjąc wszystkie możliwe przypdki. 21

22 * 13. Przekątne równoległoboku tworzą kąt 60, ich długości są równe 4 i 8. Obliczyć obwód równległoboku. * 14. Dw boki trójkąt s równe 4 i 6 i tworzą kąt 45. Obliczyć pole tego trójkąt. * 15. Dw boki trójkąt mją są równe 4 i 5 i tworzą kąt 30. Obliczyć pole tego trójkąt. 16. Obliczyć pole trpezu równormiennego, którego krótsz podstw wynosi 5, rmię wynosi 4, kąt ostry m W trójkącie równormiennym jest kąt 120, wysokośc poprowdzon z wierzchołk tego kąt wynosi 5. Obliczyć boki trójkąt. 22

23 4 Twierdzenie Tles 4.1 Twierdzenie Tles i odwrotne Twierdzenie Tles m wiele równowżnych sformułowń. Oto jedno z nich, pochodzące z Elementów Euklides. Odcinek łączący dw boki trójkąt i równoległy do trzeciego boku dzieli boki tego trójkąt w jednkowym stosunku: K d R c P L b Q jeżeli KL RQ, to (1) b = c d. Prosty dowód tego twierdzeni, w którym porównuje się pol pewnych trójkątów, możn również znleźć w Elementch. Zuwżmy, że z twierdzeni Tles ntychmist wynik twierdzenie do niego odwrotne. Istotnie, złóżmy nie wprost, że równość (1) jest spełnion, odcinek KL nie jest równoległy do boku RQ. Istnieje wtedy tki punkt K n boku P R, że K L RQ: K' K d R c P L b Q 23

24 Wtedy n mocy twierdzeni Tles otrzymujemy co jest sprzeczne z (1). b = P K K R, 4.2 Równowżność kilku proporcji Zuwżmy, że równość (1) jest równowżn kżdej z dwóch równości (2) + b = c c + d, (3) b + b = d c + d, co możn łtwo sprwdzić mnożeniem n krzyż. Mmy ztem różne możliwości sformułowni tezy twierdzeni Tles. Pondto stosując twierdzenie Tles do odcink LM równoległego do boku P R R e P L b M f Q i formułując tezę w postci równosci typu (3), otrzymmy + b = e e + f. Stąd i z (2) wynik, że + b = c c + d = e e + f. Ozncz to, że boki trójkąt P LK są proporcjonlne do boków trójkąt P QR: 24

25 P c L d e K R b e M f Q Mmy więc jeszcze jedną postć tezy twierdzeni Tles. 4.3 Cechy podobieństw trójkątów Tkże złożenie twierdzeni możn sformułowć inczej, rozwżjąc trójkąty o równych kątch. Jeżeli bowiem dw trójkąty mją równe kąty γ γ α β β α to istnieje izometri przeprowdzjąc mniejszy trójkąt w większy tk, by były położone jk n rysunku: γ α β β γ Ztem twierdzenie Tles możn w sposób równowżny sformułowć tk: jeżeli dw trójkąty mją równe kąty, to ich boki są proporcjonlne. Twierdzenie odwrotne m wtedy postć: 25

26 jeżeli dw trójkąty mją boki proporcjonlne, to mją równe kąty. Z tych dwóch twierdzeń wynik, że do podobieństw trójkątów wystrcz równość ich kątów lub proporcjonlność boków. Są to dwie spośród trzech cech podobieństw trójkątów. Trzeci cech podobieństw jest nstępując: jeżeli dw trójkąty mją tki sm kąt, boki ten kąt tworzące w jednym i w drugim trójkącie są proporcjonlne, to te trójkąty są podobne. Istotnie, złóżmy, że boki trójkątów α b ' α b' spełniją równość = b b. Przeksztłćmy mniejszy trójkąt w większy przez izometrię tk jk n rysunku: ' A C O α b B D b' Wtedy AB CD. W konsekwencji kąty mniejszego trójkąt są równe kątom większego. 26

27 Z pierwszej cechy podobieństw trójkątów wynik, że jeżeli trójkąty prostokątne mją tki sm kąt ostry, to są podobne. Wyprowdzimy stąd pewien wniosek dotyczący jednej z wysokości trójkąt prostokątnego tej, któr jest opuszczon n przeciwprostokątną. Wysokość t dzieli trójkąt n dw trójkąty prostokątne: h α β x y Poniewż α + β = 90, więc pozostłe kąty są tkie jk n rysunku: β α α x h y β Ztem trójkąty te są podobne. Z proporcjonlności odpowiednich boków wynik, że h x = y h, skąd Ozncz to, że h = xy. wysokość trójkąt prostokątnego opuszczon n przeciwprostokątną jest średnią proporcjonlną (inczej: geometryczną) dwóch odcinków, n które ją dzieli. 4.4 Zdni 1. Udowodnić, że odcinki równoległe do podstw trpezu i łączące punkt przecięci jego przekątnych z bokmi trpezu są równe. 27

28 2. Gimnzjlist rozwiązuje zdnie: Czy trójkąty o bokch: ) 3, 4, 5 i 15, 20, 25 b) 3, 4, 6 i 9, 12, 17 mją równe kąty? Pisze odpowiedź: ) Tk, bo boki są proporcjonlne, widomo, że jeżeli kąty są równe, to boki są proporcjonlne. b) Nie, bo boki nie są proporcjonlne, jeżeli kąty są równe, to boki są proporcjonlne. Czy odpowiedź jest poprwn? 3. Podstwy trpezu mją długości 3 i 7, jego pole wynosi 25. Obliczyć: ) odległość punktu przecięci przekątnych od krótszej podstwy, b) długość odcink przechodzącego przez punkt przecięci przekątnych i równoległego do podstw trpezu. 4. W trójkącie równobocznym o boku umieszczono kwdrt tk, że dw wierzchołki kwdrtu leżą n jednym boku trójkąt, pozostłe dw n różnych. Obliczyć pole tego kwdrtu. 5. Udowodnić, że jeżeli odcinek łączący dw boki trójkąt jest równoległy do trzeciego boku i jeden koniec odcink pokryw się ze środkiem odpowiedniego boku, to drugi koniec też. 6. Udowodnić, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąt jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie. 7. W trojkącie ABC wysokość CD wynosi 5, AD = 4 i DB = 8. Obliczyć długość odcink równoległego do CD, ktorego końce leżą n bokch trójkąt i który dzieli trójkąt ABC n dwie figury o równych polch. * 8. Udowodnić, że środki boków dowolnego czworokąt są wierzchołkmi równoległoboku. * 9. Dowieść, że odcinek łączący środki rmion trpezu jest równoległy do jego podstw i równy ich średniej rytmetycznej. 28

29 5 Okrąg i koło 5.1 Kąty wpisne i środkowe Niech będzie dne dowolne koło. Według definicji kąt wpisny jest to kąt między cięciwmi wychodzącymi z tego smego punktu, kąt środkowy jest to kąt między promienimi. Wiemy, że kąt wpisny jest dw rzy mniejszy od kąt środkowego oprtego n tym smym łuku. Przypomnijmy dowód tego twierdzeni, rozwżjąc trzy różne położeni kąt wpisnego względem środk koł: - środek koł leży n rmieniu kąt wpisnego, - środek koł leży wewnątrz kąt wpisnego, - środek koł leży n zewnątrz kąt wpisnego. W pierszym przypdku mmy α α β x skąd x + β = 180, 2α + β = 180, x = 2α. 29

30 Dw pozostłe przypdki sprowdzimy do pierwszego, prowdząc z wierzchołk kąt wpisnego średnicę koł. Przyjmując oznczeni jk n rysunkch, widzimy, że: - w drugim przypdku α β 2α 2β kąt wpisny jest równy α + β, odpowidjący mu kąt środkowy jest równy 2α + 2β, - w trzecim przypdku α β 2α 2β kąt wpisny jest równy α β, odpowidjący mu kąt środkowy jest równy 2α 2β. 30

31 Z udowodnionego twierdzeni wynik ntychmist, że kąty wpisne oprte n tym smym łuku są równe. Włsność tę możn uogólnić: kąty są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy są oprte n równych łukch. Istotnie, równość kątów wpisnych jest równowżn równości odpowidjących im kątów środkowych, kąty środkowe są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy są oprte n równych łukch. Z twierdzeni o kącie wpisnym i środkowym wynik też, że kąt wpisny oprty n półokręgu jest prosty. Włsność tę możn udowodnić tkże bezpośrednio, korzystjąc z twierdzeni o sumie kątów trójkąt: α β α β 2α + 2β = 180, skąd α + β = Styczn do okręgu W wielu zdnich korzystmy z włsności, że styczn do okręgu jest prostopdł do promieni wychodzącego z punktu styczności. Wynik to z symetrii osiowej figury złożonej z okręgu i stycznej do niego. Istotnie, niech k będzie prostą styczną do okręgu w punkcie P, l prostą 31

32 prostopdł do k i przechodząc przez środek okręgu. Symetri względem l przeprowdz okrąg n siebie, prostą k też n siebie. Stąd wynik, że punkt wspólny prostej k i okregu przechodzi n punkt wspólny prostej k i okręgu, poniewż P jest jedynym punktem wspólnym prostej k z okręgiem, więc jest on punktem stłym symetrii. Ztem P leży on n osi symetrii, co ozncz, że prost l przechodzi przez punkt styczności. W konsekwencji promień wychodzcy z punktu styczności jest zwrty w l, co kończy dowód. Często też korzystmy z włsności, że jeżeli A jest punktem wspólnym dwóch stycznych do tego smego okręgu, B i C są punktmi styczności, to AB = AC. Jest to ntychmistow konsekwencj tego, że A B C OO trójkąty ABO i ACO są prostokątne i mją po dw boki równe (w tym jeden wspólny), wiec są przystjące. 5.3 Zdni 1. Czy przez kżde trzy punkty przechodzi okrąg? Czy ustlone trzy punkty mogą leżeć n więcej niż jednym okręgu? 2. Wykzć, że kąt między styczną i cięciwą okręgu poprowdzoną z punktu styczności jest równy połowie kąt środkowego oprtego n łuku wyznczonym przez cięciwę tym, który leży między cięciwą styczną. 32

33 3. Udowodnić, że średnic koł połowi cięciwę wtedy i tylko wtedy, kiedy jest do niej prostopdł. 4. Przez punkt styczności dwóch okręgów prowdzimy prostą przecinjącą jeden okrąg w punkcie P, drugi w punkcie Q. Udowodnić, że styczne do okręgów w punktch P i Q są równoległe. * 5. Udowodnić, że dl dowolnego trójkąt ABC okrąg o średnicy AB przecin okrąg o średnicy AC w punkcie leżącym n prostej BC. * 6. Zbdć, w jkich trójkątch symetrlne boków przecinją się w punkcie leżącym: ) n zewnątrz trójkąt, b) n boku trójkąt, c) wewnątrz trójkąt. 7. W koło wpisno dw trpezy o bokch odpowiednio równoległych. Udowodnić, że przekątne jednego trpezu są równe przekątnym drugiego trpezu. * 8. Z punktu O leżącego n zewnątrz koł poprowdzono dwie sieczne. Jedn sieczn przecin okrąg w punktch A i A, drug w punktch B i B, przy czym A leży między A i O, B leży między B i O. Dowieść, że OA OA = OB OB. 33

34 6 Wielokąty wpisne w okrąg Uwg. Określenie wielokąt wpisny w okrąg możemy zstąpić określeniem wielokąt wpisny w koło. Zmist mówić, że wielokąt jest wpisny w okrąg (w koło) możemy powiedzieć, że okrąg (koło) jest opisny (opisne) n wielokącie. 6.1 Środek okręgu opisnego n dnym wielokącie Zgodnie z definicją, wielokąt nzywmy wpisnym w okrąg (w koło), jeżeli wszystkie jego wierzchołki leżą n pewnym okręgu. Jeżeli ztem wielokąt jest wpisny w okrąg, to środek okręgu jest punktem równo oddlonym od wszystkich jego wierzchołków - jest więc punktem wspólnym symetrlnych wszystkich boków wielokąt. Stąd wynik, że wielokąt jest wpisny w okrąg wtedy i tylko wtedy, kiedy symetrlne wszystkich jego boków mją punkt wspólny. W szczególności (zob. s. 11) kżdy trójkąt jest wpisny w okrąg. 6.2 Czworokąty wpisne w okrąg Do rozstrzygnięci, czy dny czworokąt jest czy nie jest wpisny w okrąg, służy znne kryterium dotyczące kątów czworokąt. Jk widomo, czworokąt jest wpisny w okrąg wtedy i tylko wtedy, kiedy sum przeciwległych kątów jest równ 180. Implikcj w jedną stronę jest konsekwencją twierdzeni o kącie wpisnym i środkowym. Jeżeli bowiem czworokąt jest wpisny w okrąg ośrodku S, to 34

35 α 2β 2α β 2α + 2β = 360, skąd α + β = 180. Równość t jest prwdziw tkże w przypdku, kiedy środek okręgu leży n zewnątrz wielokąt lub n jego brzegu sporządzenie odpowiednich rysunków zostwim Czytelnikowi. Zuwżmy, że implikcji tej możn też dowieść inczej, nie korzystjąc z twierdzeni o kącie wpisnym i środkowym. Wystrczy zuwżyć, że trójkąty powstłe przez połączenie środk okręgu z wierzchołkmi wielokąt są równormienne i skorzystć z tego, że sum kątów czworokąt jest równ 360. W przypdku, kiedy środek okręgu leży wewnątrz czworokąt mmy α δ α β δ γ β γ 35

36 2α + 2β + 2γ + 2δ = 360, skąd α + β + γ + δ = 180. Pozostłe przypdki pozostwim do rozptrzeni Czytelnikowi. Aby dowieść implikcji odwrotnej, złóżmy, że sum kątów przeciwległych czworokąt ABCD wynosi 180 i rozwżmy okrąg przechodzący przez trzy jego wierzchołki: A 2β B β C Oznczjąc przez δ kąt czworokąt przy wierzchołku D, mmy z złożeni równość β+δ = 180. Stąd 2β+2δ = 360, więc 2δ jest mirą kąt środkowego przedstwionego n rysunku: A 2δ 2β B β C 36

37 W konsekwencji δ jest kątem wpisnym oprtym n łuku ABC. Ztem wierzchołek D leży n tym smym okregu, co wierzchołki A, B, C. N zkończenie wspomnę jeszcze o jednym kryterium opisywlności okręgu n czworokącie, minowicie o twierdzeniu Ptolemeusz. Mówi ono, że czworokąt jest wpisny w okrąg wtedy i tylko wtedy, kiedy iloczyn jego przekątnych jest równy sumie iloczynów przeciwległych boków: D A B C AC BD = AB CD + AD BC. 6.3 Zdni 1. Dowieść, że jeżeli symetrlne n 1 boków n-kąt mją punkt wspólny, to jest on punktem wspólnym symetrlnych wszystkich boków tego n-kąt. * 2. Dowieść, że kżdy wielokąt foremny jest wpisny w okrąg. 3. Dowieść, że równoległobok jest wpisny w okrąg wtedy i tylko wtedy, kiedy jest prostokątem, nie korzystjąc z kryterium wpisywlności czworokąt w okrąg. 4. Dowieść, że równoległobok jest wpisny w okrąg wtedy i tylko wtedy, kiedy jest prostokątem, korzystjąc z kryterium wpisywlności czworokąt w okrąg. 37

38 * 5. Dowieść, że trpez jest wpisny w okrąg wtedy i tylko wtedy, kiedy jest równormienny, nie korzystjąc z kryterium wpisywlności czworokąt w okrąg. 6. Dowieść, że trpez jest wpisny w okrąg wtedy i tylko wtedy, kiedy jest równormienny, korzystjąc z kryterium wpisywlności czworokąt w okrąg. 7. Dowieść, że krwędzie boczne ostrosłup są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy jego wysokość przecin podstwę w środku okręgu n niej opisnego. * 8. N trójkącie, którego dw kąty są równe 37 i 86, opisno okrąg, nstępnie poprowdzono styczne do okręgu w wierzchołkch trójkąt. Obliczyć kąty trójkąt utworzonego przez te styczne. 9. Uczeń m udowodnić, że kżdy równoległobok wpisny w okrg jest prostokątem. Pisze tk: W kżdym czworokącie wpisnym w okrąg sumy przeciwległych kątów są równe. Jeżeli równoległobok nie jest prostokątem, to m dw kąty przeciwległe ostre, pozostłe dw rozwrte. Ztem ich sumy nie są równe i tki równoległobok nie jest wpisny w okrąg. Czy rozumownie uczni jest poprwne? 38

39 7 Wielokąty opisne n okręgch Uwg. Określenie wielokąt opisny n okręgu możemy zstąpić określeniem wielokąt opisny n kole. Zmist mówić, że wielokąt jest opisny n okręgu (n kole) możemy powiedzieć, że okrąg (koło) jest wpisny (wpisne) w wielokąt. 7.1 Środek okręgu wpisnego w dny wielokąt N mocy znnej definicji wielokąt nzywmy opisnym n okręgu, jeżeli wszystkie jego boki są styczne do tego okręgu. Jeżeli ztem wielokąt jest opisny n okręgu, to środek okręgu jest punktem równo oddlonym od wszystkich jego boków - jest więc punktem wspólnym dwusiecznych wszystkich kątów wielokąt. Stąd wynik, że wielokąt jest opisny n okregu wtedy i tylko wtedy, kiedy dwusieczne wszystkich jego kątów mją punkt wspólny. W szczególności kżdy trójkąt jest opisny n okręgu. Włsność tę możn uogólnić. Zuwżmy minowicie, że trzy kolejne boki kżdego wielokąt są styczne do pewnego okręgu. Jest to konsekwencj tego, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów wielokąt mją punkt wspólny. 7.2 Czworokąty opisne n okręgch Jk widomo czworokąt jest opisny n okregu wtedy i tylko wtedy, kiedy sumy przeciwległych jego boków są równe. Istotnie, jeżeli czworokąt ABCD jest opisny n okręgu, to 39

40 A B C D b b c c d d AB + CD = + b + c + d = BC + AD. Złóżmy terz, że sumy przeciwległych boków wielokąt ABCD są równe i rozwżmy okrąg styczny do trzech jego boków, przyjmując oznczeni jk n rysunku: A B C D b b c c d 40

41 Poniewż AB + CD = BC + AD, więc + b + c + d = b + c + AD, skąd AD = + d. Stąd wynik, że bok AD jest tkże styczny do okręgu, co kończy dowód. 7.3 Zdni 1. Dowieść, że jeżeli dwusieczne n 1 kątów n-kąt mją punkt wspólny, to jest on punktem wspólnym dwusiecznych wszystkich kątów tego n-kąt. * 2. Dowieść, że kżdy wielokąt foremny jest opisny n okręgu, przy czym środek tego okręgu pokryw się ze środkiem okregu opisnego n wielokącie. 3. Dowieść, że jeżeli w równoległobok możn wpisć okrąg, to jest on rombem. 4. Uczeń uzsdni, że jeżeli kolejne boki czworokąt są równe 3, 4, 5 i 6, to nie istnieje okrąg n nim opisny. Pisze: Wynik to stąd, że w kżdym czworokącie opisnym n okręgu sumy pr przeciwległych boków są równe, tutj tk nie jest, bo: Czy rozumownie uczni jest poprwne? 5. Uczeń uzsdni, że jeżeli kolejne boki czworokąt są równe 3, 4, 5 i 4, to istnieje okrąg n nim opisny. Pisze: Wynik to stąd, że w kżdym czworokącie opisnym n okręgu sumy pr przeciwległych boków są równe, tutj tk jest, bo: = Czy rozumownie uczni jest poprwne? 6. Uczeń m udowodnić, że kżdy równoległobok opisny n okręgu jest rombem. Pisze tk: W kżdym czworokącie opisnym n okręgu sumy przeciwległych boków są równe. Ztem dl równoległoboku o bokch i b jest spełniony wrunek + = b + b. Jeżeli równoległobok jest rombem, to = b i ten wrunek jest spełniony, co nleżło udowodnić. Czy rozumownie uczni jest poprwne? 41

42 7. Dłuższ przekątn rombu m długość 14, kąt ostry wynosi 60. Obliczyć stosunek pol koł wpisnego w ten romb do pol rombu. * 8. N okręgu o średnicy 7 opisno trpez równormienny. Rmię trpezu jest równe 9. Obliczyć pole tego trpezu. 9. Czy istnieje trpez nierównormienny opisny n okręgu? 10. Trpez równormienny o polu 45 i wysokości 3 jest opisny n okręgu. Oblicz rmię tego trpezu. 11. Kąt ostry trpezu prostokątnego opisnego n kole o promieniu 2.5 wynosi 60. Obliczyć pole trpezu. * 12. W trójkącie prostokątnym jedn przyprostokątn jest dw rzy krótsz od przeciwprostokątnej. Obliczyć stosunek pol koł opisnego n tym trójkącie do pol koł wpisnego w ten trójkąt. 42

43 8 Konstrukcje 8.1 Konstrukcje wykonlne i niewykonlne W progrmch szkolnych występują konstrukcje z pomocą cyrkl i linijki, czyli tzw. konstrukcje klsyczne. Konstruuje się m. in. symetrlną odcink, dwusieczną kąt, proste równoległe i prostopdłe. Możn konstrukcyjnie podzielić odcinek n dowolnie wiele równych odcinków, kąt n dw równe kąty. Jk widomo są tkże konstrukcje niewykonlne z pomocą cyrkl i linijki. N przykłd nie możn podzielić dowolnego kąt n trzy równe części (trysekcj kąt), nie możn wyznczyć boku kwdrtu o polu równym polu dnego koł (kwdrtur koł), nie możn znleźć krwędzi sześcinu, którego objętość jest dw rzy większ od objętości sześcinu o dnym boku (podwojenie sześcinu). Z pomocą cyrkl i linijki możn skonstruowć trójkąt równoboczny, kwdrt, pięciokąt foremny i sześciokąt foremny, le nie możn skonstruowć siedmiokąt foremnego. Znne jest kryterium konstruowlności wielokątów foremnych jest to twiedzenie Guss. Aby sprwdzić, czy n-kąt foremny jest konstruowlny, rozkłdmy liczbę n n czynniki pierwsze. Wielokąt jest konstruowlny wtedy i tylko wtedy, kiedy w tym rozkłdzie nie m w ogóle czynników nieprzystych (tzn. rozkłd m postć 2 m ) lub wszystkie czynniki nieprzyste są różne i kżdy z nich jest postci 2 2k + 1 dl pewnego kɛ{0, 1, 2,...}. Zuwżmy, że liczby postci 2 2k +1 (zwne liczbmi Fermt) brdzo szybko rosną wrz z k. Istotnie, - dl k = 0 otrzymujemy liczbę 3, - dl k = 1 mmy 5, - dl k = 2 mmy 17, - dl k = 3 mmy już 257, - dl k = 4 mmy ż Te liczby Fermt są pierwsze, nstępn jest złożon. Nie widomo, czy w ciągu liczb Fermt są jeszcze liczby pierwsze. 43

44 8.2 Zdni 1. Sprwdzić, które z n-kątów foremnych są konstruowlne dl 8 n Skonstruowć trójkąt, mjąc jeden bok, jeden kąt przy dnym boku i wysokość opuszczoną n dny bok. 3. Skonstruowć trójkąt, mjąc dne środki jego boków. * 4. Dne są trzy odcinki o długościch, b i c. Skonstruowć odcinki o długościch: b c, 2 b, 3 b 2, 2 + b 2 + b. * 5. Dne są odcinki o długościch x i y. Skonstruowć odcinek xy. 6. Wyznczyć konstrukcyjnie zbiór punktów, z których dny odcinek widć pod dnym kątem. 7. Opisć konstrukcję stycznej do koł przechodzącej przez: ) dny punkt n okręgu, b) dny punkt leżący n zewnątrz koł. 8. N prostej p wybrno punkt A. Skonstruowć zbiór punktów, których odległość od punktu A jest trzy rzy większ od odległości od prostej p. 44

45 9 Obwód i pole 9.1 Długość krzywej Pojęcie obwodu figury jest szczególnym przypdkiem pojęci długości krzywej. Jeżeli krzyw jest łmną, tzn. sumą skończenie wielu odcinków mjących co njwyżej wspólne końce, to jej długość w nturlny sposób określmy jko sumę długości tych odcinków. W przypdku krzywych nie będących łmnymi ścisłe określenie długości wymg przejści do grnicy lub posłużeni się pojęciem kresu. Rozptrujemy minowicie wszystkie łmne, których wierzchołki leżą n dnej krzywej nzwijmy je wpisnymi w krzywą. Kres górny zbioru długości łmnych wpisnych w krzywą, o ile istnieje, nzywmy długością krzywej. W przypdku okręgu zbiór długości tkich łmnych jest ogrniczony z góry n przykłd przez obwód kwdrtu opisnego n okręgu. Wobec tego istnieje kres górny tego zbioru. Jk widomo jest on równy 2πr, gdzie r ozncz promień okręgu. Są jednk krzywe, dl których zbiór długości łmnych wpisnych w krzywą nie jest ogrniczony. Krzywym tkim nie możn ztem przypisć długości. Mówimy, że są one nieprostowlne. Krzywą nieprostowlną jest n przykłd krzyw opisn wzorem: sin 1 dl 0 < x 2, y = x 1 y 1 dl x = 0. Wygląd on mniej więcej tk: y 1 2 x 1 45

46 9.2 Pole figury Definiując pol figur płskich, zczynmy od zdefiniowni pol prostokąt. Rozumiejąc je jko liczbę kwdrtów jednostkowych wypełnijących prostokąt, określmy pole jko iloczyn długości boków prostokąt. Pole prostokąt (ogólnie figury geometrycznej) możn tkże wprowdzić ksjomtycznie. Minowicie polem prostokąt nzwiemy dowolną funkcję f przyporządkowującą prostokątom liczby nieujemne, spełnijącą wrunki: - jeżeli prostokąty P 1 i P 2 są przystjące, to f(p 1 ) = f(p 2 ), - jeżeli prostokąt P jest sumą prostokątów P 1 i P 2, których wnętrz są rozłączne, to f(p ) = f(p 1 ) + f(p 2 ). Łtwo sprwdzić, że kżd funkcj przyporządkowując prostokątowi o bokch, b liczbę αb, gdzie α > 0 (w szczególności α = 1), jest polem w sensie ksjomtycznym. Pondto okzuje się, że jedynie funkcje tej postci spełniją wrunki pol. Przyjmując postult, by pole kwdrtu jednostkowego było równe 1, otrzymmy, że α = 1. Mjąc pole prostokąt, możemy określić pol figur geometrycznych, identyfikując je z tzw. mirą Jordn. Oto szkic postępowni. Rozwżmy dowolny prostokąt zwierjący dną figurę geometryczną i dzielimy go linimi prostopdłymi n mniejsze prostokąty. Tworzymy sumę s pól prostokątów zwrtych w figurze i sumę S pól prostokątów mjących punkty wspólne z figurą. Oczywiście s S. Kres górny wszystkich sum s nzywmy mirą wewnętrzną figury, kres dolny wszystkich sum S nzywmy jej mirą zewnętrzną. Obie te miry istnieją, jeżeli tylko figur jest ogrniczon. Figurę nzywmy mierzlną, jeżeli jej mir wewnętrzn jest równ zewnętrznej. Wtedy wspólną wrtość tych mir nzywmy mirą Jordn dnej figury. Widomo, że nie kżdy podzbiór płszczyzny m mirę Jordn są zbiory niemierzlne. N przykłd niemierzlny jest zbiór punktów dowolnego kwdrtu K, których obie współrzędne są wymierne. Kżd sum s jest równ 0, bo zbiór nie zwier żdnego prostokąt; ntomist kżd sum S jest równ polu kwdrtu K. Ztem zbiór m mirę wewnętrzną 0, jego mir zewnętrzn jest tk jk pole kwdrtu K. 46

47 Zrówno wielokąty, jk i koło, są mierzlne. Ich pole możn tkże określić inczej, w sposób równowżny określeniu miry Jordn. Pole trójkąt jest równe połowie pol odpowiedniego prostokąt: Kżdy wielokąt możn podzielić n trójkąty o rozłącznych wnętrzch, jego pole jest sumą pól tych trójkątów, przy czym sum t jest tk sm przy kżdym podzile. Pole koł jest kresem górnym pól wielokątów wpisnych w koło. N zkończenie przytoczę pewną ciekwą włsność wielokątów mjących równe pol. Okzuje się (twierdzenie Bolyi i Gerwien), że kżdy z nich m tki sm rozkłd n wielokąty. Mówiąc ściśle, jeżeli W i V są wielokątmi o równych polch, to istnieją wielokąty W 1, W 2,..., W n i wielokąty V 1, V 2,..., V n, wszystkie o rozłącznych wnętrzch i tkie, że W = W 1 W 2... W n, V = V 1 V 2... V n orz wielokąty W k i V k są przystjące dl kżdego k = 1, 2,..., n. Stąd w szczególności wynik, że dowolny wielokąt możn rozciąć n skończenie wiele części (wielokątów), z ktorych możn złożyć kwdrt o tym smym polu. 9.3 Wzór Heron Jest to wzór pozwljący obliczyć pole trójkąt o dnych bokch. Wyprowdzimy go, korzystjąc z twierdzeni Pitgors. Przyjmijmy oznczeni jk n rysunku: 47

48 c h b x Z twierdzeni Pigros mmy: c 2 = h 2 + x 2, b 2 = h 2 + ( x) 2. Odejmując równości stronmi, otrzymujemy po redukcji c 2 b 2 = 2x 2, skąd x = 2 b 2 + c 2. 2 Obliczmy terz wysokość h: h 2 = c 2 x 2 = c 2 ( 2 b 2 + c 2 2 = = 2c 2 + b 2 c 2 2 2c + 2 b 2 + c 2 2 ) 2 = (c 2 b 2 + c 2 2 (b + c)(b + c)( + c b)( + c + b) 4 2. Przyjmując stndrdowe oznczenie otrzymmy skąd Ztem + b + c = 2p, = b2 ( c) 2 2 )(c + 2 b 2 + c 2 ) = 2 ( + c)2 b 2 2 b + c = 2p 2, b + c = 2p 2c, + c b = 2p 2b, h 2 = 2p(2p 2)(2p 2c)(2p 2b) 4 2. h = 2 p(p )(p b)(b c). W konsekwencji pole trójkąt, równe 1 h, wynosi 2 p(p )(p b)(b c). = 48

49 9.4 Zdni * 1. Dowieść w sposób geometryczny, że wśród prostokątów o dnym obwodzie njwiększe pole m kwdrt. 2. Kwdrt i trójkąt równoboczny mją ten sm obwód. Któr z figur m większe pole? * 3. Wyprowdzić wzór n pole trpezu. * 4. Udowodnić, że stosunek pól wielokątów podobnych jest równy kwdrtowi skli podobieństw. 5. Wykzć, że pole wielokąt opisnego n okręgu jest równe iloczynowi połowy jego obwodu i promieni koł. 6. Przwciwprostokątn trójkąt prostokątnego równormiennego jest równ 5. Obliczyć pole tego trójkąt. 7. Wykzć, że pole kżdego trójkąt jest niewiększe od połowy iloczynu długości dowolnych dwóch jego boków. * 8. Wykzć, że jeżeli, b, c, gdzie b c, są bokmi trójkąt o polu 1, to b 2. * 9. Wykzć, że pole P dowolnego trójkąt spełni nierówność P 2 + b 2, 4 gdzie i b są dowolnymi bokmi tego trójkąt. 10. Trzy jednkowe okręgi o promieniu r, prmi styczne zewnętrznie, wycinją z płszczyzny cztery ogrniczone obszry, z których trzy są kołmi. Obliczyć pole czwrtego obszru. * 11. Łączymy odcinkmi środki boków dowolnego czworokąt. Wykzć, że pole powstłego w ten sposób czworokąt jest równe połowie pol czworokąt wyjściowego. * 12. Udowodnić, że jeżeli dw czworokąty mją te sme środki boków, to mją równe pol. * 13. Jk obliczyć pole trójkąt prostokątnego, jeżeli dn jest jego przeciwprostokątn i promień koł wpisnego? 49

50 10 Zdni różne * 1. Nie korzystjąc z twierdzeni o środkowych trójkąt, dowieść, że wysokosci trójkąt równobocznego przecinją się w punkcie dzielącym kżdą z nich w stosunku 1 : Wymienić izometrie włsne n-kąt foremnego. Rozwżyć przypdki: n przyste, n nieprzyste. 3. Udowodnić, że w trójkącie prostokątnym sum przyprostokątnych jest równ sumie średnic okręgu wpisnego i okręgu opisnego. * 4. W trójkącie równobocznym znleźć punkt, dl którego sum odległości od trzech boków jest njwiększ. * 5. Obliczyć pole trpezu równormiennego, którego przekątne są prostopdłe, wysokość wynosi. 6. Dne są podstwy trpezu i b orz jego wysokość h. Obliczyć: ) odległość punktu przecięci przekątnych od obu podstw, b) długość odcink przechodzącego przez punkt przecięci przekątnych i równoległego do podstw. 7. W trójkąt równoboczny wpisno kwdrt o polu 3 w ten sposób, że dw wierzchołki kwdrtu leżą n jednym boku trójkąt, dw n pozostłych bokch. Obliczyć bok trójkąt. 8. Uczeń uzsdni, że kżdy równoległobok, w który możn wpisć okrąg, jest rombem. Pisze: Wynik to stąd, że w kżdym czworokącie opisnym n okręgu sumy pr przeciwległych boków są równe, w rombie tk jest. Ocenić rozumownie uczni. 9. Udowodnić, że wielokąt jest foremny wtedy i tylko wtedy, kiedy istnieje okrąg wpisny w wielokąt i okrąg opisny n wielokącie, przy czym okręgi te mją wspólny środek. * 10. Obliczyć pole trójkąt prostokątnego wpisnego w koło o promieniu r, jeżeli widomo, że odległość stycznej do okręgu poprowdzonej z wierzchołk kąt prostego od jednego z pozostłych wierzchołków tego trójkąt jest rown d, gdzie d r. 50

51 11. Udowodnić, że trójkąt jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, kiedy sum kwdrtów dwóch krótszych boków jest większ od kwdrtu njdłuższego boku. 12. Udowodnić, że trójkąt jest rozwrtokątny wtedy i tylko wtedy, kiedy sum kwdrtów dwóch krótszych boków jest mniejsz od kwdrtu njdłuższego boku. * 13. Obliczyć kąty tójkąt, w którym środkow i wysokość poprowdzone z tego smego wierzchołk dzielą kąt przy tym wierzchołku n trzy równe części. 14. W trpez równormienny o polu S wpisno okrąg. Obliczyć promień tego okręgu, jeżeli wysokość trpezu jest dw rzy mniejsz od rmieni. * 15. N okręgu o promieniu r opisno trpez równormienny. Odcinek łączący punkty styczności rmion trpezu z okręgiem m długość d. Obliczyć pole trpezu. 51

52 11 Podpowiedzi do niektórych zdń s. 10, zd. 7. Niech S i S będą dwom różnymi środkmi symetrii dowolnej figury. Rozwżyć nstępujący ciąg punktów: A 1 obrz punktu S względem środk S, A 2 obrz punktu A 1 względem środk S, A 3 obrz punktu A 2 względem środk S, itd. A 3 A S S' A 1 2 Wykzć, że zbiór złożony z punktów A 1, A 2, A 3,... jest nieogrniczony. s. 10, zd. 10. Rozwżyć njpierw przypdek, kiedy punkty są po tej smej stronie prostej. Przypdek, kiedy są one po różnych stronch prostej, sprowdzić do poprzedniego, odbijjąc względem prostej jeden z punktów. s. 17, zd. 4. Wyrzić pole trójkąt z pomocą poszczególnych wysokości i odpowidjących im podstw. Porównując odpowiednie wyrżeni, otrzymmy związek między bokmi trójkąt sprzeczny z wrunkiem trójkąt. s. 17, zd. 11. Przypuśćmy, że uczeń m rcję: α α α x x x 52

53 Poniewż dwusieczn kąt w trójkącie ABD dzieli przeciwległy bok n odcinki proporcjonlne do pozostłych boków trójkąt (zob. s. 13), więc odcinek AD też m długość : A α α α B x C x D x E Stąd wynik, że okrąg o środku A i promieniu przechodzi przez punkty B, D, E, co jest sprzeczne z ich współliniowością. s. 21, zd. 10. Wystrczy zuwżyć, że wszystkie n-kąty foremne są podobne i skorzystć z uogólnieni twierdzeni Pitgors (zob. s 18) s. 21, zd. 11. Skorzystć z tego, że sum pól półkoli zbudownych n przyprostokątnych jest równ polu półkol zbudownego n przeciwprostokątnej. s. 22, zd. 13. Skorzystć z włsności, że jeżeli dw boki trójkąt, z których jeden jest dw rzy dłuższy niż drugi, tworzą kąt 60, to trójkąt ten jest prostokątny. Zstosowć tę włsność do trójkąt utworzonego przez połowy przekątnych tworzących kąt 60 i bok równoległoboku. s. 22, zd. 14 i 15. Obliczyć wysokość trójkąt opuszczoną n jeden z dwóch dnych boków. s. 28, zd. 8. Wykzć, że boki otrzymnego czworokąt są równoległe do przekątnych wyjściowego czworokąt. 53