BADANIA OPERACYJNE
Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2
Standardowe zadanie programowania liniowego
Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,..., x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci: a x + a x +... + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2... a x + a x +... + a x = b m 1 1 m 2 2 mn n m (1) a ij, b i znane współczynniki 4
Standardowe zadanie programowania liniowego Dopuszczamy jedynie nieujemne wartości x j, czyli: Zakładamy również, że: x 0, j = 1,2,..., n (2) j b 0, i = 1,2,..., m (3) i Z procesem jest związana funkcja Z: Z = cx 1 1+ cx 2 2 +... + cx n n (4) c j, j = 1, 2,...,n znane współczynniki 5
Standardowe zadanie programowania liniowego Zagadnienie polega na maksymalizacji (minimalizacji) funkcji Z (wzór (4)) spełniającej ograniczenia (1), (2), (3). Zapis: FC : Z n = cjxj j= 1 MAX m ax = b ij j i j = 1 (5) O : x j 0, j = 1,2,..., n bi 0, i = 1,2,..., m 6
Standardowe zadanie programowania liniowego Zapis w postaci macierzowej: FC : Z = T cx = Ax b O: x 0 b 0 MAX (6) a a a A = a a a am1 am2 amn 11 12 1n c1 21 22 2n c 2 x1 b1 = x c 2 b x = b = 2 cn xn bm 7
Standardowe zadanie programowania liniowego Bardzo powszechną wzagadnieniach i praktycznych odmianą ograniczeń są ograniczenia w postaci nierówności. To też są zagadnienia programowania liniowego ale nie w postaci standardowej. 8
Przykład 1. Standardowe zadanie programowania liniowego Zakład ad zamierza a rozpocząć opocąć produkcję podu wyrobów yobó W 1 i W 2.Wśródś środków produkcyjnych, które zostaną użyte w produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą: dlaśrodka S 1 63 jednostki, a dla środka S 2 64 jednostki. Aby wyprodukować ć jednostkę wyrobu W 1 potrzeba 9 jednostek środka S 1 i 8 jednostek środka S 2. Aby wyprodukować jednostkę wyrobu W 2 potrzeba 7 jednostek S 1 i 8 jednostek S 2. Wyroby W 1 i W 2 są niezbędne do produkcji urządzeniaą U. Jednourządzenieą U wymaga 3 jednostek wyrobu W 1 i 2 jednostek wyrobu W 2.Produkcjabędzie opłacalna, jeżeli zakład sprzeda wyroby W 1 i W 2 potrzebne do wytworzenia co najmniej j 6 jednostek urządzenia U. Wiedząc, że cenawyrobuw 1 będzie wynosić 6, acenawyrobu W 2 5 określ wielkość produkcji maksymalizującej zysk ze sprzedaży. 9
Standardowe zadanie programowania liniowego W 1 W 2 S 1 9 7 63 S 2 8 8 64 U 3 2 6 cena 6 5 10
Standardowe zadanie programowania liniowego Zmienne decyzyjne: x 1 wielkość produkcji wyrobu W 1 x 2 wielkość produkcji wyrobu W 2 11
Standardowe zadanie programowania liniowego Funkcja celu: Ograniczenia: Z ( x, x ) = 6 x + 5 x MAX 1 2 1 2 9x + 7x 63 1 2 8 x + 8 x 64 1 2 3x + 2x 6 1 2 Warunki brzegowe: x 0, x 0 1 2 12
Zadanie programowania liniowego: FC: 1 2 1 2 Standardowe zadanie programowania liniowego Z( x, x ) = 6x + 5x MAX O: 9x1+ 7x2 63 x1+ x2 8 3 x1 + 2 x2 6 WB: x1 0, x2 0 Ograniczenia w postaci nierówności. To nie jest standardowe zadanie programowania liniowego 13
METODA GEOMETRYCZNA
Metoda geometryczna Zadanie programowania liniowego z dwoma zmiennymi decyzyjnymi można rozwiązać metodą geometryczną (szczegóły na laboratorium). Na podstawie tej metody otrzymujemy zbiór punktów, a następnie sprawdzamy, w którym z nich wartość funkcji celu jest największa (lub najmniejsza). 15
Metoda geometryczna Rozwiązanie dla zadania z Przykładu 1.: A(2,0) B(7,0) Z (2,0) = 6 2 + 5 0 = 12 Z (7,0) = 6 7 + 5 0 = 42 C(3.5, 4.5) Z (3.5, 4.5) = 6 3.5 + 5 4.5 = 43.5 MAX D(0,8) Z (0,8) = 6 0 + 5 8 = 40 E(0,3) Z (0,3) = 6 0 + 5 3= 15 Odpowiedź: Aby zysk był maksymalny, należy wyprodukować 3.5 jednostki W 1 oraz 4.5 jednostki W 2. 16
ZADANIE DUALNE
Przykład 2. Zadanie dualne Zakład produkuje cztery wyroby W 1, W 2, W 3 i W 4. Wśród środków produkcyjnych, używanych w procesie wytwarzania wyrobów dwa są limitowane. Limity te, oraz ilości środków potrzebne do wytworzenia poszczególnych wyrobów zostałył przedstawione w tabeli. Znając jednostkowe ceny wyrobów, określić taki plan produkcji aby zysk był maksymalny. 18
Zadanie dualne W 1 W 2 W 3 W 4 S 1 1 3 1 1 600 S 2 4 1 1 5 1200 cena 8 9 6 10 Zmienne decyzyjne: x i wielkość produkcji wyrobu W i i = 1...4 19
Zadanie dualne Model matematyczny: FC: O: WB: Z ( x, x, x, x ) = 8 x + 9 x + 6 x + 10 x MAX 1 2 3 4 1 2 3 4 x + 3x + x + x 600 1 2 3 4 4x + x + x + 5x 1200 1 2 3 4 x 0, x 0, x 0, x 0 1 2 3 4 20
Zadanie dualne Zadanie pierwotne: FC: O: Ax b WB: x 0 T Z = cx MAX Zadanie dualne: FC: O: WB: T Z = by MIN T Ay y 0 c 21
Zadanie dualne Model matematyczny zadania dualnego: FC: O: WB: Z ( y, y ) = 600y + 1200y MIN 1 2 1 2 y1+ 4y2 8 3 y 1+ y 2 9 y1+ y2 6 y + 5 y 10 y 1 2 0, y 0 1 2 22
Zadanie dualne Interpretacja zadania dualnego Konkurent postanawia wykupić zapasy środków produkcji od producenta, i chce zminimalizować koszty materiałów (ma kupić 600 jednostek S 1 i 1200 jednostek S 2 ). Zmienne decyzyjne w zadaniu dualnym: y 1 cena jednostki środka produkcji S 1 y 2 cena jednostki środka produkcji S 2 Z ( y, y ) = 600y + 1200y MIN 1 2 1 2 23
Zadanie dualne Interpretacja zadania dualnego c. d. Wyprodukowanie wyrobów wiąże się zkosztemśrodków S 1 i S 2. Konkurent, aby zachęcić producenta do sprzedaży materiałów musi mu zapłacić co najmniej tyle, ile producent uzyskałby ze sprzedaży wyrobów, które produkuje. y + 4y 8 1 2 3y + y 9 y y 1 2 1+ y2 6 + 5y 10 1 2 24
Zadanie dualne Twierdzenie o dualności Zadanie pierwotne ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy zadanie dualne ma rozwiązanie, oraz: Z(MAX) = Z (MIN) wnioski: 1. Rozwiązując jedno z zadań, automatycznie rozwiązujemy też drugie. 2. Twierdzenie ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ czasami łatwiej jest rozwiązać zadanie dualne (mniej zmiennych). 25
Zadanie dualne Na podstawie metody geometrycznej: A(0,9) (A) 10800 Z = B(3/ 2,9 / 2) Z (B) = 6300 C(5,1) Z (C) = 4200 MIN D(10,0) 0) Z (D) = 6000 Aby koszt materiałów był najmniejszy i wynosił 4200, konkurent musi zapłacić za jednostkę S 1 5,azajednostkę S 2 1. 26
Zadanie dualne Na podstawie twierdzenia o dualności: Maksimum FC zadania pierwotnego jest równe minimum i FC zadania dualnego. Zysk producenta wyniesie również 4200 Jakie jest rozwiązanie zadania pierwotnego? Twierdzenie o równowadze. 27
Zadanie dualne Twierdzenie o równowadze Jeżeli i ty warunek zadania pierwotnego (ZP) jest (chociaż w jednym) optymalnym rozwiązaniu spełniony z nierównością (ostro), to odpowiadająca d mu i tat zmienna y i w (dowolnym) optymalnym rozwiązaniu zadania dualnego (ZD) przyjmuje wartość zero. eo Dla zmiennej x i >0 w rozwiązaniu optymalnym ZP odpowiadające jej i te ograniczenie w ZD jest ograniczeniem równościowym. ś Twierdzenie jest również słuszne w przeciwną stronę. 28
Zadanie dualne Rozwiązanie przykładu: y = 5 y = 1 1 2 Sprawdzenie ograniczeń ZD: j = 1: 5+ 4 1> 8 j = 2: 3 5+ 1> 9 j = 3: 5+ 1= 6 j = 4: 5+ 5 1= 10 Nierówności ostre dla j = 1 i j = 2: Dla rozwiązania optymalnego ZP x 1 = 0 i x 2 = 0 29
Zadanie dualne = 5> 0 y = 1> 0 Ponieważ: 1 2 y Ograniczenia i 1 i 2 w ZP są ograniczeniami i irównościowymi ś i (przy czym x 1 =0, x 2 =0): x3 + x4 = 600 x + 5x = 1200 3 4 x = 450 x = 150 3 4 30
Zadanie dualne Odpowiedź do zadania pierwotnego: Aby zysk był maksymalny, producent musi wyprodukować 450 jednostek W 3 i 150 jednostek W 4. Zysk wyniesie 4200. 31
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego Zadanie pierwotne Zadanie dualne maksymalizacja minimalizacja 33
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego Zadanie pierwotne Zadanie dualne Ograniczenia Zmienne i - te: y 0 i i - te: i - te: yi 0 = dowolne y i 34
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego Zadanie pierwotne Zadanie dualne Zmienne Ograniczenia x 0 j - te: x j x j x j 0 dowolne j - te: j -te: = 35
Przykład 3. Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego Dla podanego zadania pierwotnego zapisać zadanie dualne. FC : Z( x) = 2x + 3x + x + x MAX 1 2 3 4 O: x + 2x 3x + x = 20 1 2 3 4 2x + x + 3x x 50 1 2 3 4 3x x + x + 2x 40 1 2 3 4 WB : x 0 x 0 x 0 x dowolne 1 2 3 4 36
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego Zadanie dualne: FC : Z ( y) = 20y + 50y + 40y MIN y + 2y + 3y 2 O: 1 2 3 2 y1 + y2 y3 3 3y + 3y + y 1 1 2 3 y y + 2 y = 1 1 2 3 1 2 3 WB : y dowolne 1 y 2 0 y 3 0 37
Na dzisiaj wystarczy... 38