Programowanie liniowe

Transkrypt

1 Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki ograniczające zbiór rozwiązań dopuszczalnych (ZRD) funkcja celu (kryterium) Sytuacja decyzyjna Model matematyczny Rozwiązanie zadania Interpretacja wyników Analiza wrażliwości Przykład. Ustalanie struktury produkcji Warsztat produkuje dwa wyroby A i B, do produkcji których potrzebne są stal ( kg na wyrób A i kg na wyrób B) oraz siła robocza (odpowiednio rh i rh). Warsztat dziennie może wykorzystać kg stali, i h pracy zatrudnionych pracowników. Ustalić plan produkcji maksymalizujący łączny przychód ze sprzedaży, przy założeniu, że cena wyrobu A wynosi 000 zł/szt, a wyrobu B 000 zł/szt. Tabela parametrów Wyszczególnienie Jedn. Zapas

2 Zmienne Model matematyczny ZPL - zadanie programowania liniowego f(x) = c x + c max a x + a b a x + a b x, 0 Postać macierzowa ZPL c A = = b x = = f(x) = c T x max A x b x 0 x - wektor zmiennych c - wektor współczynników funkcji celu (wag) A - macierz współczynników (kombinacji równoważnej) b - wektor wyrazów wolnych (prawa strona - RHS) Rozwiązanie zadania metoda geometryczna

3 Interpretacja wyników Analiza wrażliwości Analiza wrażliwości Analiza wektorowa Co się zmieni w rozwiązaniu, jeżeli zmienimy cały wektor parametrów? Analiza parametryczna Jak może się zmieniać wybrany parametr, przy niezmienionych pozostałych parametrach, aby rozwiązanie optymalne pozostało stabilne.

4 Przykład: Co się stanie, jeżeli cena zarówno wyrobu A, jak i B wzrośnie o tys. zł? C 0 D () x () Przykład: W jakich granicach może zmieniać się cena wyrobu A, nie zmieniając rozwiązania optymalnego? C 0 D () x ()

5 c = Dopuszczalny spadek = / Dopuszczalny wzrost = / c = Dopuszczalny spadek = / Dopuszczalny wzrost = Przykład W jakich granicach może zmieniać się zapas stali, by zachować stabilność rozwiązania? C 0 D () x () C 0 D () x ()

6 b = Dopuszczalny spadek = 7 / Dopuszczalny wzrost = / b = Dopuszczalny spadek = / Dopuszczalny wzrost = Wrażliwość na zmiany wartości parametrów ZRD Gradient Współrzędne punktu optymalnego Wartość funkcji celu Badanie stabilności c Nie Nie Rozwiązanie szczegółowe b Nie Rozwiązanie ogólne Zadanie dualne ZP - zadanie prymalne f(x) = c T x max Ax b x 0 ZD - zadanie dualne g(y) = b T y min ya T c n y i 0 dla i : aij x j bi j= n y i 0 dla i : aij x j bi j= n y i R dla i : aij x j = bi j=

7 Typy rozwiązań ZPL Rozwiązanie ZPL Istnieje rozwiązanie optymalne Brak rozwiązania optymalnego Jedno Wiele Układ sprzeczny Niemożność wskazania rozwiązania optymalnego f(x)-> max f(x)-> max () x x () ZRD f(x)-> max x x 7

8 Rozwiązanie zadania w arkuszu Excel Stan wyjściowy Rozwiązanie końcowe Microsoft Excel 8.0 Raport wyników A B x 0 0 c 8 () () A B c 8 () () Komórka celu (Maks) Komórka NazwaWartość początkowwartość końcowa $D$ c 0 8 Komórki decyzyjne Komórka NazwaWartość początkowwartość końcowa $B$ x A 0 $C$ x B 0 Warunki ograniczające Komórka Nazwa Wartość komórki formuła Status Luz $D$ () $D$<=$E$ Wiążące 0 $D$ () $D$<=$E$ Wiążące 0 $B$ x A $B$>=0 Nie wiążące $C$ x B $C$>=0 Nie wiążące Microsoft Excel 8.0 Raport wrażliwości Komórki decyzyjne Wartość Przyrost Współczynnik Dopuszczalny Dopuszczalny Komórka Nazwa końcowa krańcowy funkcji celu wzrost spadek $B$ x A 0 0, 0, $C$ x B 0 0, Warunki ograniczające Wartość Cena Prawa strona Dopuszczalny Dopuszczalny Komórka Nazwa końcowa dualna w. o. wzrost spadek $D$ () 0,, 7, $D$ () 0,, 8

9 Przykład. Zagadnienie diety Stwierdzono, że należy spożywać co najmniej 0 g białka i co najmniej 0 g węglowodanów. Ser zawiera (w 00 g) po gramy białka i węglowodanów. Z kolei w chlebie założono, że jest gram białka i gramy węglowodanów. Ustalić najtańszą możliwą dietę, zakładając, że ser kosztuje 0 zł/kg, a chleb 0 zł/kg. Literatura. M.Anholcer, H.Gaspars, A.Owczrkowski Przykłady i zadania z badań operacyjnych i ekonometrii AE Poznań 00 (skrypt nr 0). E.Ignasiak (red.) Badania operacyjne PWE 000. B.Guzik (red.) Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe, (skrypt AE Poznań). B.Guzik (red.) Ekonometria i badania operacyjne. Uzupełnienia z badań operacyjnych, (skrypt AE Poznań). K.Kukuła (red.) Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN. T.Trzaskalik Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, PWE 00 9