BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

Transkrypt

1 BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda Pokój A405

2 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy dostarczyć od m dostawców { D 1,..,D m } do n odbiorców {O 1,,O n }. Znane są koszty jednostkowe c ij transportu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Znany jest również popyt a j u j-tego odbiorcy jak i podaż b i u i-tego dostawcy. Własności zadania transportowego: n zadanie nie jest sprzeczne n funkcja celu jest ograniczona n jeśli wszystkie wielkości popytu i podaży są liczbami całkowitymi, to rozwiązanie optymalne jest również całkowite. Metody rozwiązywania zadania transportowego można podzielić na dwie fazy: n wyznaczenie wstępnego planu przewozowego metoda kąta północnozachodniego, metoda minimalnego elementu, metoda VAM n poprawienie otrzymanego rozwiązania metoda potencjałów dr Adam SOJDA 2

3 Zagadnienie transportowe Zagadnienie nazywamy zbilansowanym, jeśli łączna podaż wszystkich dostawców jest równa łącznemu zapotrzebowaniu wszystkich odbiorców. Każde zadanie można zbilansować poprzez wprowadzenie fikcyjnego dostawcy bądź odbiorcy w zależności od potrzeb. Koszty na nowych trasach przyjmuje się równe zero. Rozwiązując zadanie transportowe posługujemy się zmiennymi bazowymi, każde rozwiązanie bazowe składa się z n + m 1 tras. Poprzez linię rozumieć będziemy wiersz albo kolumnę. dr Adam SOJDA 3

4 Zagadnienie transportowe Zadanie 1. Firma zajmująca się transportem dostała zamówienie na przewóz mąki z młynów do piekarń. Tabela podaje wielkości zmagazynowanej w młynach mąki, zamówienia z poszczególnych piekarni jak i również koszty jednostkowe transportu. Firma zgodziła się przewieźć towar za 500 zł. Określić ile firma może zarobić na tym zamówieniu. Wyznaczyć trasy przewozu towaru. Młyny Koszty jednostkowe transportu [zł/t] Piekarnie P1 P2 P3 Zapas [t] M M M Popyt [t] dr Adam SOJDA 4

5 Zagadnienie transportowe program liniowy zadania zbilansowanego Oznaczenia: x ij ilość towaru dostarczonego z i-tego młyna do j-tej piekarni Cel: minimalizacja kosztów: 9x x x x x x x x x 33 à min Ograniczenia: Zapas: x 11 + x 12 + x 13 = 15 x 21 + x 22 + x 23 = 25 x 31 + x 32 + x 33 = 35 Zamówienie: x 11 + x 21 + x 31 = 20 x 12 + x 22 + x 32 = 30 x 13 + x 23 + x 33 = 25 x ij 0 dr Adam SOJDA 5

6 Zagadnienie transportowe metoda kąta północno - zachodniego Dla danego zadania zbilansowanego wyznaczamy przewóz na trasie wysuniętej najdalej na północny zachód. Wielkość przewozu na tej trasie jest mniejszą z dwóch liczb: zaktualizowanej wielkości popytu oraz podaży. Po wyznaczeniu przewozu należy dokonać aktualizacji wielkości popytu i podaży. Co najmniej jedna z tych wielkości będzie równa 0. Linię, którą wskazuje 0 uzupełniamy 0, gdyż nie będzie już więcej przewozów na tych trasach. Jeśli dwie linie wypełniono zerami, to należy kreślić trasę z przewozem zdegenerowanym, czyli równym 0. Jest nią ta trasa, która leży najbliżej wyznaczonej oraz koszt przewozu na niej jest najmniejszy. Znów należy wyznaczyć przewóz na trasie wysuniętej najdalej na północnyzachód. W ten sposób zostają uzupełnione wielkości przewozu na wszystkich trasach dr Adam SOJDA 6

7 Zagadnienie transportowe metoda kąta północno - zachodniego Wyznaczenie trasy przewozów: Rozwiązanie P1 P2 P3 M M M Wyznaczenie początkowego kosztu: 9x15+8x5+7x20+3x10+5x25 = 470 dr Adam SOJDA 7

8 Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Dla i-tego dostawcy wprowadzamy zmienną u i, dla j-tego odbiorcy zmienną v j. Dla rozwiązań bazowych, czyli tras, na których ustalono przewóz wyznaczany układ n + m 1 równań o postaci: u i + v j + c ij = 0 Układ ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Wyznaczamy jedno z nich. Na podstawie tego rozwiązania wyliczamy wskaźniki optymalności: e ij = u i + v j + c ij Warunek optymalności: jeśli wszystkie współczynniki e ij są nieujemne otrzymane rozwiązanie jest optymalne. Jeśli liczba wskaźników równych 0 jest większa niż n + m -1, wówczas istnieje rozwiązanie alternatywne. Warunek następnego kroku: najmniejsza (ujemna) wartość wskaźnika e ij wskazuje na trasę, gdzie należy wprowadzić nowy przewóz. Dokonując przemieszczeń towaru na poszczególnych trasach (analizujemy tylko nową trasę i trasy bazowe) możemy stwierdzić, że na pewnych trasach wzrasta przewóz, na pewnych przewóz maleje. Najmniejsza wielkość przewozu na trasach o przewozach malejących jest maksymalną o jaką korygowane są wielkości przewozów. Co najmniej jeden z obecnych przewozów jest równy zero. Jeśli na więcej niż jednej trasie znikł przewóz należy wprowadzić przewozy bazowe zdegenerowane. dr Adam SOJDA 8

9 Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. I P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u M2 u M3 u Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 Koszty P1 P2 P3 M M M Rozw. II P1 P2 P3 M M M u 1 + v = 0 u 1 = 9 v 1 = 0 u 2 + v = 0 u 2 = 8 u 2 + v = 0 v 2 = 1 u 3 + v = 0 u 3 = 4 u 3 + v = 0 v 3 = -1 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M M M dr Adam SOJDA 9

10 Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. II P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u M2 u M3 u Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 Koszty P1 P2 P3 M M M Rozw. III P1 P2 P3 M M M * u 1 + v = 0 u 1 = 9 v 1 = 0 u 2 + v = 0 u 2 = 8 u 2 + v = 0 v 3 = 7 u 3 + v = 0 v 2 = 9 u 3 + v = 0 u 3 = 12 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M M M dr Adam SOJDA 10

11 Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. III P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u M2 u M3 u * Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 Koszty P1 P2 P3 M M M Rozw. IV P1 P2 P3 M M M * u 1 + v = 0 u 1 = -7 u 2 + v = 0 u 2 = 4 u 3 + v = 0 v 1 = -2 u 3 + v = 0 v 2 = -3 u 3 + v = 0 u 3 = 0 v 3 = -5 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M M M dr Adam SOJDA 11

12 Zagadnienie transportowe metoda potencjałów Wyznaczenie trasy przewozów: Rozw. IV P1 v 1 P2 v 2 P3 v 3 M1 u M2 u M3 u * Rozwiązujemy układ równań: u i + v j + c ij = 0 u 1 + v = 0 u 1 = -1 u 2 + v = 0 u 2 = 4 u 3 + v = 0 v 1 = -2 u 3 + v = 0 v 2 = -3 u 3 + v = 0 u 3 = 0 v 3 = -5 Koszty P1 P2 P3 M M M Otrzymane rozwiązanie jest optymalne, istnieje rozwiązanie alternatywne. Koszt = 170 Wyznaczamy wskaźniki e ij e ij P1 P2 P3 M M M dr Adam SOJDA 12

13 Zagadnienie transportowe metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Ustalamy przewóz na trasie, gdzie znajduje się najmniejszy koszt. Następnie wyznaczamy przewozy na linii, gdzie wartości zaktualizowane są równe zero. Czynność powtarzamy do momentu, gdy przewozy na wszystkich trasach będą ustalone. Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M M M Popyt Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M M M * Popyt dr Adam SOJDA 13

14 Zagadnienie transportowe metoda VAM Dla każdej linii znajdujemy bezwzględną wartość różnicy pomiędzy dwoma najmniejszymi kosztami jednostkowymi. Spośród tras leżących w linii odpowiadającej największej różnicy wybieramy ten, który ma najniższy koszt jednostkowy. Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M M M Popyt Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M1 25 M2 6 M3 1 Popyt Młyny Piekarnie P1 P2 P3 Zapas M M M * 15 0 Popyt dr Adam SOJDA 14