Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Programowanie liniowe całkowitoliczbowe"

Transkrypt

1 Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. Jeżeli wszystkie zmienne musza przyjmować wartości 0 lub 1, to zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w każdym takim zadaniu występuja ograniczenia postaci 0 x i 1 i x i całkowite dla każdej zmiennej x i, co krótko oznaczamy jako x i {0, 1}.

2 Problem rozkroju Tartak posiada standardowe deski o szerokości 10 cali. Otrzymał zamówienie na 90 desek o szerokości 2 cale, 175 desek o szerokości 3 cale i 120 desek o szerokości 4 cale. Tartak chce wyznaczyć taki plan realizacji zamówienia, który zminimalizuje łaczny odpad wyrażony w calach. Możliwe sposoby cięcia deski 10 calowej podane sa w poniższej tabeli: Sposób deski 4-calowe deski 3-calowe deski 2-calowe Odpad

3 Problem rozkroju 1 Zmienne decyzyjne: x i - liczba standardowych desek ciętych i-tym sposobem y 1, y 2, y 3 - liczba desesk 4, 3 i 2-calowych wyprodukowanych ponad zamówienie 2 Funkcja celu: 3 Ograniczenia: min z = Całkowity odpad= x 3 + x 5 + x 7 + 4y 1 + 3y 2 + 2y 3 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 y 1 = 90 2x 2 + x 3 + 3x 5 + 2x 6 + x 7 y 2 = 175 x 1 + x 3 + 3x 4 + 2x 6 + 3x 7 + 5x 8 y 3 = 120 x 1,...,x 8, y 1, y 2, y 3 0 i całkowite. [deski 4-calowe] [deski 3-calowe] [deski 2-calowe] Optymalne rozwiazanie: x 1 = 24, x 2 = 42, x 6 = 45, x 7 = 2, y 2 = 1 i całkowity odpad wynosi 5 cali.

4 Planowanie komunikacji miejskiej [Taha 2008] Progress City planuje usprawnienie komunikacji miejskiej. Przeprowadzono badania, z których wynika że minimalna liczba potrzebnych autobusów zmienia się w ciagu dnia. W kolejnych, 4-godzinnych oknach czasowych, jest ona pokazana na poniższym rysunku. Każdy autobus rozpoczyna pracę na poczatku czterogodzinnego okna czasowego i pracuje bez przerwy przez kolejne 8 godzin. Celem jest wyznaczenie minimalnej liczby autobusów, które spełnia zapotrzebowanie komunikacyjne mieszkańców.

5 Planowanie komunikacji miejskiej [Taha 2008] 1 Zmienne decyzyjne: x i - liczba autobusów zaczynajacych pracę o 00:01, 4:01, 8:01, 12:01, 16:01, 20:01. 2 Funkcja celu: 3 Ograniczenia: min z = Liczba autobusów= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 x 1 + x 6 4 [0:01-4:00] x 1 + x 2 8 [4:01-8:00] x 2 + x 3 10 [8:01-12:00] x 3 + x 4 7 [12:01-16:00] x 4 + x 5 12 [16:01-20:00] x 5 + x 6 4 [20:01-24:00] x 1,...,x 6 0 i całkowite. Optymalne rozwiazanie: x 1 = 4, x 2 = 4, x 3 = 6, x 4 = 8, x 5 = 4, x 6 = 0 i minimalna liczba autobusów wynosi 26.

6 Problem plecakowy Jan zamierza wybrać się na wycieczkę. Rozważa zapakowanie do plecaka siedmiu przedmiotów. Każdy z nich ma określona wagę i wartość. Niestety pojemność plecaka Jana jest ograniczona i można do niego załadować przedmioty o wadze nie większej niż 15. Które przedmioty Jan powinien zabrać? Przedmiot Waga Wartość

7 Problem plecakowy 1 Zmienne decyzyjne: x i = { 1 jeżeli przedmiot i jest zabrany 0 w przeciwnym wypadku, i = 1,...,7. 2 Funkcja celu: max z = Wartość= 8x 1 + 3x x 3 + x 4 + 9x x 6 + 2x 7 3 Ograniczenia: 5x 1 + 2x 2 + 7x 3 + x 4 + 6x 5 + 8x 6 + 2x 7 15 x i {0, 1}, i = 1,...,7. [Poj. plecaka] Optymalne rozwiazanie: x 1 = 1, x 2 = 1, x 6 = 1, czyli Jan powinien zabrać przedmioty 1, 2 i 6. Wartość plecaka wyniesie wówczas 22.

8 Problem lokalizacji W pewnym regionie znajduje się pięć miast. Władze regionu chca wybudować w miastach posterunki straży pożarnej tak aby czas dojazdu straży pożarnej do każdego miasta nie przekraczał 15 minut. Czasy przejazdu między miastami (w minutach) sa podane w poniższej tabeli. Miasto 1 Miasto 2 Miasto 3 Miasto 4 Miasto 5 Miasto 6 Miasto Miasto Miasto Miasto Miasto Miasto 6 0 W których miastach należy wybudować posterunki straży pożarnej aby liczba tych posterunków była najmniejsza?

9 Problem lokalizacji 1 Zmienne decyzyjne: { 1 jeżeli P.S. jest zbudowany w mieście i x i = 0 w przeciwnym wypadku 2 Funkcja celu:, i = 1,...,6. 3 Ograniczenia: min z = Liczba posterunków= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 x 1 + x 2 1 [Miasto 1] x 1 + x 2 + x 6 1 [Miasto 2] x 3 + x 4 1 [Miasto 3] x 3 + x 4 + x 5 1 [Miasto 4] x 4 + x 5 + x 6 1 [Miasto 5] x 2 + x 5 + x 6 1 [Miasto 6] x i {0, 1}, i = 1,...,6. Optymalne rozwiazanie: x 2 = 1, x 4 = 1, czyli należy wybudować posterunki w miastach 2 i 4.

10 Warunki logiczne Rozpatrzmy ponownie problem plecakowy (Slajd 6) i załóżmy, że Jan ma następujace dodatkowe wymagania: 1 Chce zabrać przedmiot 1 lub 5: x 1 + x 5 1 [1 5] 2 Nie chce zabrać jednocześnie przedmiotów 1 i 6: x 1 + x 6 1 [ (1 5)] 3 Jeżeli zabierze przedmiot 3, to chce również zabrać przedmiot 4: x 3 x 4 [4 3] 4 Chce zabrać albo przedmiot 5 albo przedmiot 6 (ale nie oba): x 5 + x 6 = 1 [5 6] Ponieważ x i {0, 1}, więc możemy identyfikować 1 z prawda a 0 z fałszem.

11 Ograniczenia dyzjunkcyjne i implikacje Firma DA wytwarza trzy typy samochodów: kompaktowe, średnie i duże. Wymagane zasoby oraz zyski jednostkowe ze sprzedaży sa podane w poniższej tabeli: Kompaktowy Średni Duży Wymagana stal (t./jedn.) Nakład pracy (godz./jedn.) Zysk ($/jedn.) Dostępnych jest 6000 ton stali i godzin pracy. Firma DA chce zmaksymalizować zysk. Model jest następujacy: max z = 2000x x x 3 1.5x 1 + 3x 2 + 5x [Stal] 30x x x [Praca] x 1, x 2, x 3 0 i całkowite

12 Ograniczenia dyzjunkcyjne i implikacje Jeżeli DA uruchomi produkcję samochodów kompaktowych, to co najmniej 1000 sztuk tych samochodów musi być produkowanych. Ograniczenie jest następujace: x 1 > 0 x lub równoważnie: x 1 0 lub x Modelujemy to w następujacy sposób: x 1 My x 1 M(1 y 1 ) gdzie y 1 {0, 1} i M jest duża stała (nie jest zmienna!).

13 Ograniczenia dyzjunkcyjne i implikacje Jeżeli liczba produkowanych dużych samochodów jest większa niż 500, to produkcja średnich samochodów musi być niewiększa niż 100 Ograniczenie jest następujace: x 3 > 500 x lub równoważnie: x lub x (x lub x ) Modelujemy to w następujacy sposób: gdzie M duża stała a y 2 {0, 1} x My 2 x M(1 y 2 )

14 Ograniczenia dyzjunkcyjne i implikacje W ogólnym przypadku chcemy zamodelować alternatywę ograniczeń: f(x 1,...,x n) 0 g(x 1,...,x n) 0 Chcemy zapewnić, żeby przynajmniej jedno z dwóch ograniczeń było spełnione. Wprowadzamy dodatkowa zmienna binarna y {0, 1} i dodajemy do modelu następujace ograniczenia: f(x 1,...,x n) My g(x 1,...,x n) M(1 y) (1) gdzie M jest dostatecznie duża liczba taka, że warunki f(x 1,...,x n) M i g(x 1,...,x n) M sa prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennych.

15 Ograniczenia dyzjunkcyjne i implikacje Implikację f(x 1,...,x n) > 0 g(x 1,...,x n) 0. zastępujemy równoważnym logicznie warunkiem: f(x 1,...,x n) 0 g(x 1,...,x n) 0. Implikację f(x 1,...,x n) > 0 g(x 1,...,x n) 0 zastępujemy równoważnym logicznie warunkiem: f(x 1,...,x n) 0 g(x 1,...,x n) 0,

16 Modelowanie iloczynu zmiennych 0-1 Fabryka rozważa 5 miejsc w celu lokalizacji nowych magazynów. W miejscach tych można wybudować magazyny o pojemnościach odpowiednio 120, 200, 180, 150 i 300. Odległości pomiędzy każda para miejsc sa podane w poniższej tabeli: Fabryka chce zbudować 3 magazyny o maksymalnej sumarycznej pojemności. Magazyny powinny być tak ulokowane aby odległość pomiędzy każda para magazynów była niewiększa niż 10.

17 Modelowanie iloczynu zmiennych Zmienne decyzyjne: x i = { 1 jeżeli magazyn jest w miejscu i 0 w przeciwnym wypadku, i = 1,...,5. 2 Funkcja celu: 3 Ograniczenia: max z = Pojemność = 120x x x x x 5 12x 1 x 2 10 [Odległość między 1 i 2] 3x 1 x 3 10 [Odległość między 1 i 3]... x i {0, 1}, i = 1,...,5. Ograniczenia nie sa liniowe!

18 Modelowanie iloczynu zmiennych 0-1 Ograniczenie 12x 1 x 2 10 nie jest liniowe. Zmieniamy je na liniowe wprowadzajac zmienna y 12 {0, 1} i zastępujac ograniczeniami: 12y y 12 x 1 y 12 x 2 y 12 x 1 + x 2 1

19 [Algorytm 1.] Usuń warunki całkowitoliczbowości. Rozwiaż model algorytmem sympleksowym i zaokraglij wyniki do najbliższej liczby całkowitej. 3 x max z = 21x1 + 12x2 7x1 + 4x2 < 13 x1, x2 > 0, integer x 1 Optymalnym rozwiazaniem jest(13/7, 0). Zaokraglaj ac do(1, 0) otrzymujemy rozwiazanie nieoptymalne. Zaokraglaj ac do (2, 0) otrzymujemy rozwiazanie niedopuszczalne.

20 [Algorytm 2.] Wygeneruj wszystkie rozwiazania dopuszczalne i wybierz najlepsze z nich. Problem plecakowy ze zmiennymi binarnymi x 1,...,x n posiada nie więcej niż 2 n dopuszczalnych rozwiazań. Przypuśćmy, że jedno rozwiazanie można sprawdzić w czasie 10 6 sekundy. Jak długo potrwaja obliczenia? n n s s lat lat

21 Zadanie programowania liniowego całkowitoliczbowego jest dużo trudniejsze do rozwiazania niż zwykłe zadanie programowania liniowego. Do chwili obecnej nie jest znany szybki algorytm dla tej klasy problemów i uważa się, że taki algorytm nie istnieje. Do rozwiazania zadania programowania liniowego całkowitoliczbowego powszechnie stosuje się algorytm podziału i ograniczeń, który można traktować jako znacznie ulepszona wersję metody pełnego przegladu.

22 Liniowa relaksacja Jeżeli usuniemy ograniczenia na całkowitość zmiennych w problemie P, to otrzymamy zadanie programowania liniowego, które nazywamy relaksacja P. Dla problemu maksymalizacji, optymalna wartość funkcji celu relaksacji jest górnym ograniczeniem na wartość funkcji celu optymalnego rozwiazania P. 3 x P: max z = 21x x2 7x 1 + 4x 2 < 13 x1, x2 > 0, integer relaxation of P: max z = 21x1 + 12x2 7x 1 + 4x 2 < 13 x1, x2 > x 1 Optymalnym rozwiazaniem P jest (0, 3), z = 36. Optymalnym rozwiazaniem relaksacji P jest (13/7, 0), z R = 39.

23 max z = 8x 1 + 5x 2 6x x x 1 + 5x 2 45 x 1, x 2 0, x 1, x 2 całkowite x (3.75,2.25) x 1 Rozwiazuj ac relaksację otrzymujemy x 1 = 3.75, x 2 = 2.25, zr =

24 x x 1 1 = 3, x 2 = zr = 37.5 x 1 = 3.75, x 2 = 2.25 z R = x 1 4 x 1 = 4, x 2 = 1.8 z R = (3,2.7) (4,1.8) 5 Wartość zmiennej x 1 = 3.75 nie jest całkowita. Rozpatrujemy dwa podproblemy 1 i 2 dodajac odpowiednio ograniczenia x 1 3 i x 1 4.

25 x x 1 = 3.75, x 2 = 2.25 z R = x 1 4 x x 1 = 4, x 2 = = 3, x 2 = z zr R = 37.5 = 41 x 2 1 x 2 2 x 3 1 = 4.44, x 2 = 1 4 zr = sprzeczny W podproblemie 2 wartość zmiennej x 2 = 1.8 nie jest całkowita. Rozpatrujemy dwa kolejne podproblemy 3 i 4 dodajac odpowiednio ograniczenia x 2 1 i x 2 2. Podproblem 4 jest sprzeczny, dlatego wierzchołek odpowiadajacy temu podproblemowi zamykamy.

26 x x 1 = 3.75, x 2 = 2.25 z R = x 1 4 x x 1 = 4, x 2 = = 3, x 2 = z zr R = 37.5 = 41 x 2 1 x 2 2 x 3 1 = 4.44, x 2 = 1 4 zr = x 1 4 x 1 5 x 5 1 = 4, x 2 = 1 x 6 1 = 5, x 2 = 0 zr = 37 zr = 40 sprzeczny W podproblemie 3 wartość zmiennej x 1 = 4.44 nie jest całkowita. Rozpatrujemy więc kolejne dwa podproblemy 5 i 6 dodajac ograniczenia x 1 4 i x 1 5. W obu podproblemach otrzymujemy optymalne rozwiazanie całkowite i zamykamy wierzchołki im odpowiadajace. Zamykamy też wierzchołek 1, popnieważ w problemie odpowiadajacym temu wierzchołkowi zr = 37.5 < 40. Optymalne rozwiazanie: x 1 = 5, x 2 = 0, z = 40.

27 1 Algorytm konstruuje binarne drzewo przeszukiwania. W każdym wierzchołku tego drzewa rozwiazywane jest zadanie programowania liniowego. 2 Istnieje kilka metod wyboru kolejnego wierzchołka do podziału. Jedna z najbardziej popularnych jest wybór wierzchołka z największa wartościa zr. 3 Wierzchołek drzewa zamykamy jeżeli: 1 rozwiazanie otrzymane w tym wierzchołku jest całkowitoliczbowe; 2 problem odpowiadajacy temu wierzchołkowi jest sprzeczny; 3 wartość funkcji celu optymalnego rozwiazania w tym wierzchołku jest niewiększa niż wartość funkcji celu dla pewnego znanego rozwiazania dopuszczalnego. 4 Jeżeli wszystkie wierzchołki sa zamknięte, to najlepsze znalezione rozwiazanie całkowitoliczbowe jest optymalne.

28 Mieszany problem liniowy całkowitoliczbowy Jeżeli w zadaniu programowania liniowego tylko niektóre zmienne musza być całkowite, to zadanie takie nazywamy mieszanym zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. max z = 2x 1 + x 2 5x 1 + 2x 2 8 x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0, x 1 całkowite

29 Mieszany problem liniowy całkowitoliczbowy x x 1 = 0, x 2 = 3 zr = 3 x 1 = 2/3, x 2 = 7/3 z R = 11 x x 1 = 1, x 2 = 3/2 z R = 7/2 Przy podziale bierzemy pod uwagę tylko zmienna x 1. Optymalne rozwiazanie wynosi x 1 = 1, x 2 = 3/2.

30 Problem plecakowy Relaksacja: max z = 5x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 6x 4 + 2x 5 5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 6x 4 + 2x 5 15, x 1,.., x 5 {0, 1} max z = 5x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 6x 4 + 2x 5 5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 6x 4 + 2x 5 15, 0 x i 1, i = 1,...,5

31 Problem plecakowy Relaksacja może być efektywnie rozwiazana za pomoca algorytmu zachłannego: i c i w i c i /w i / / Zatem bie- Wybieramy przedmioty zgodnie z nieroznac a wartościa c i /w i. rzemy całe przedmioty 1, 4, 5 i 2/7 przedmiotu 3. W optymalnym rozwiazaniu relaksacji co najwyżej jedna zmienna jest niecałkowita.

32 Problem plecakowy 1 0 zr = (1, 0, 2, 1, 1) 7 x 3 = 0 x 3 = 1 zr = 14 1 z 2 R = 14 2 (1, 1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 1, 0) 2 2 x 2 = 0 x 2 = 1 x 4 = 0 x 4 = 1 zr = 13 zr = 14 zr = 13 3 z 4 R = (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 0, 1, 0) (1, 1, 1, 0, 1) ( 2, 0, 1, 1, 0) 4 5 W każdym wierzchołku wybieramy zmienna niecałkowita x i i rozpatrujemy dwa przypadki x i = 1 (bierzemy przedmiot i) oraz x i = 0 (nie bierzemy przedmiotu i). Optymalne rozwiazanie znajduje się w wierzchołku 4. Zatem bierzemy przedmioty 1, 2 i 4.

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego

Bardziej szczegółowo

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie całkowitoliczbowe

Modelowanie całkowitoliczbowe 1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

etody programowania całkowitoliczboweg

etody programowania całkowitoliczboweg etody programowania całkowitoliczboweg Wyróżnia się trzy podejścia do rozwiazywania zagadnień programowania całkowitoliczbowego metody przegladu pośredniego (niebezpośredniego), m.in. metody podziału i

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych.

Algorytmy i struktury danych. Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Krzysztof M. Ocetkiewicz Krzysztof.Ocetkiewicz@eti.pg.gda.pl Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów, WETI, PG Problem plecakowy mamy plecak o określonej pojemności

Bardziej szczegółowo

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych & " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Definicja problemu programowania matematycznego

Definicja problemu programowania matematycznego Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i

Bardziej szczegółowo

) a j x j b; x j binarne (j N) całkowitoliczbowe; przyjmujemy (bez straty ogólności): c j > 0, 0 <a j b (j N), P n

) a j x j b; x j binarne (j N) całkowitoliczbowe; przyjmujemy (bez straty ogólności): c j > 0, 0 <a j b (j N), P n PDczęść4 8. Zagadnienia załadunku 8.1 Klasyczne zagadnienia załadunku (ozn. N = {1, 2,..., n} Binarny problem ( (Z v(z =max c j x j : a j x j b; x j binarne (j N zakładamy, że wszystkie dane sa całkowitoliczbowe;

Bardziej szczegółowo

1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC

1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC Metody optymalizacji, wykład nr 9 Paweł Zieliński Programowanie całkowitoliczbowe PLC Literatura [] S.P. Bradley, A.C. Hax, T. L. Magnanti Applied Mathematical Programming Addison-Wesley Pub. Co. (Reading,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE

PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE METODA PODZIAŁU I OGRANICZEŃ Przykład 6. Metoda podziału i ograniczeń Rozwiązać zadanie z Przykładu 1. metodą podziału i ograniczeń, przy czym wielkość produkcji wyrobu

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny. Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Metody Optymalizacji. Wstęp. Programowanie matematyczne. Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt

Metody Optymalizacji. Wstęp. Programowanie matematyczne. Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt Metody Optymalizacji Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt Wstęp W ogólności optymalizacja związana jest z maksymalizowaniem lub minimalizowaniem pewnej wielkości np. maksymalizacja zysku

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23

Wykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23 Wykład 7 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 1 / 23 Programowanie liniowe Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 2 / 23

Bardziej szczegółowo

Adam Kasperski, Michał Kulej, Badania Operacyjne, Wykład 3, Programowanie całkowite(plc)1 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE(DYSKRET- NE)

Adam Kasperski, Michał Kulej, Badania Operacyjne, Wykład 3, Programowanie całkowite(plc)1 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE(DYSKRET- NE) Adam Kasperski, Michał Kulej, Badania Operacyjne, Wykład 3, Programowanie całkowite(plc)1 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE(DYSKRET- NE) Zadanie programowania liniowego w którym zmienne decyzyjne

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja. Algorytmy dokładne

Optymalizacja. Algorytmy dokładne dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Organizacja zbioru rozwiązań w problemie SAT Wielokrotny podział na dwia podzbiory: x 1 = T, x 1

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B),(A, D),(A, C),(B, C),...,} Ścieżki i cykle Ciag wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne

Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na

Bardziej szczegółowo

Firma JCo wytwarza dwa wyroby na dwóch maszynach. Jednostka wyrobu 1 wymaga 2 godzin pracy na maszynie 1 i 1 godziny pracy na maszynie 2.

Firma JCo wytwarza dwa wyroby na dwóch maszynach. Jednostka wyrobu 1 wymaga 2 godzin pracy na maszynie 1 i 1 godziny pracy na maszynie 2. Przykład Elementy analizy wrażliwości Firma JCo wytwarza dwa wyroby na dwóch maszynach. Jednostka wyrobu 1 wymaga 2 godzin pracy na maszynie 1 i 1 godziny pracy na maszynie 2. Dla wyrobu 2 czasy te wynosza

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy

Bardziej szczegółowo

Temat: Algorytmy zachłanne

Temat: Algorytmy zachłanne Temat: Algorytmy zachłanne Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje się w danej chwili najkorzystniejsze. Wybiera zatem lokalnie optymalną możliwość w nadziei,

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja. Algorytmy dokładne

Optymalizacja. Algorytmy dokładne dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Organizacja zbioru rozwiązań w problemie SAT Wielokrotny podział na dwia podzbiory: x 1 = T, x 1

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania

METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania Przedstawione dalej zadania rozwiąż wykorzystując Excel/Solver. Zadania 8 są zadaniami optymalizacji liniowej, zadania 9, dotyczą optymalizacji nieliniowej. Przed

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Algorytmy zachłanne, programowanie dynamiczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. IX Jesień 2014 1 / 26 Algorytmy zachłanne Strategia polegająca

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ

ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar

Bardziej szczegółowo

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe

Programowanie nieliniowe Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Metody konstrukcji algorytmów: Siłowa (ang. brute force), Dziel i zwyciężaj (ang. divide-and-conquer), Zachłanna (ang.

Bardziej szczegółowo

7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100

7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100 ZADANIE 1 (1 PKT) Dane sa zbiory A = ( 6 7, 6) i B = N liczb naturalnych dodatnich. Wówczas iloczyn zbiorów A B jest równy A) {1, 2,, 4, 5} B) (, 5 C) {1, 2,, 4, 5, 6} D) (, 6) ZADANIE 2 (1 PKT) Jeśli

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Programowanie Dynamiczne dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 14 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych.

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład:

Zagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład: Programowanie liniowe. 1. Aktywacja polecenia Solver. Do narzędzia Solver można uzyskać dostęp za pomocą polecenia Dane/Analiza/Solver, bądź Narzędzia/Solver (dla Ex 2003). Jeżeli nie można go znaleźć,

Bardziej szczegółowo

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli

Bardziej szczegółowo

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody

Bardziej szczegółowo

Wykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ

Wykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ Wykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ dr hab. Krzysztof SZKATUŁA, prof. PAN Instytut Badań Systemowych PAN Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Programowanie dynamiczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. X Jesień 2013 1 / 21 Dziel i zwyciężaj przypomnienie 1 Podział problemu na 2 lub

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew 1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.)

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.) 14. Zadanie przydziału z ustalonym poziomem produkcji i limitowanym czasem pracy planowanie wielkości produkcji (wersja uproszczona) Producent może wytwarzać n rodzajów wyrobów. Każdy z wyrobów można być

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy

Bardziej szczegółowo

[1] R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, J. B. Orlin, Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Prentice Hall, 1993.

[1] R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, J. B. Orlin, Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Prentice Hall, 1993. Metody optymalizacji, wykład nr 11 Paweł Zieliński 1 1 Relaksacja Lagrange a Literatura [1] R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, J. B. Orlin, Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Prentice Hall,

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja decyzji

Optymalizacja decyzji Optymalizacja decyzji Dr hab. inż Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Przykłady problemów optymalizacyjnych

Przykłady problemów optymalizacyjnych Przykłady problemów optymalizacyjnych NAJKRÓTSZA ŚCIEŻKA W zadanym grafie G = (V, A) wyznacz najkrótsza ścieżkę od wierzchołka s do wierzchołka t. 2 7 5 5 3 9 5 s 8 3 1 t 2 2 5 5 1 5 4 Przykłady problemów

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych

Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski PhD Open, listopad 12-13, 2008 - p. 1/45 Plan Wykład I - 2-etapowe algorytmy stochastyczne: Wstęp Wykład II

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE NIELINIOWE

PROGRAMOWANIE NIELINIOWE PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i

Bardziej szczegółowo

Pyt.1. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami programowania liniowego.

Pyt.1. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami programowania liniowego. Firma produkująca płatki śniadaniowe rozważa wypuszczenie na rynek nowego produktu. Ma to być mieszanka pszenicy, ryżu i kukurydzy. Normy zawartości przedstawia tabela: Dane Pszenica Ryż Kukurydza Zawartość

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo