Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji. W punktach (c) i (d) znaleźć także poziomice wykresów podanych funkcji i na tej podstawie naszkicować te wykresy.: (a) f(x, y) = ln( x y ) D f = {(x, y) : x y > } = {(x, y) : x + y < } jest to koło otwarte (czyli bez brzegu) o środku (, ) i promieniu.5 D f.5.5.5 (b) f(x, y, z) = e x+y z D f = {(x, y, z) : e x+y z } = {(x, y, z) : x + y z } jest to przestrzeń R 3 bez płaszczyzny o równaniu x + y z = 35 3 5 D f 5 5 x+y z= 3 4 D f 4 3
3 (c) f(x, y) = x + y D f = R Poziomice P h = {(x, y) : f(x, y) = h} to: P h = dla h < P = {(, )} P h = {(x, y) : x +y = h } dla h >, czyli okręgi o wspólnym środku (, ) i promieniach równych h.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 Wynika stąd, że wykres badanej funkcji to powierzchnia obrotowa, obracamy wokół osi Oz funkcję z = f(x, ) = x = x dla x z.5 z=x x.5.5
4 Otrzymujemy stożek.5.5.5.5
5 (d) f(x, y) = x + y D f = {(x, y) : x + y } - płaszczyzna bez prostej x + y = Poziomice P h = {(x, y) : f(x, y) = h} to: P h = dla h = P h = {(x, y) : x + y = } dla h, czyli proste równoległe do prostej x + y = h.8.8.6 x+y=.4..8..4.6.8.8.8.6.4...4.6.8 Wynika stąd, że wykres badanej funkcji to powierzchnia walcowa (w dwóch częściach, bo przerwa w dziedzinie) o przekroju hiperboli 5 4 3 przekroj plaszczyzna prostopadla do prostej y=x 3 4 5.5.5
6 Otrzymujemy wykres 4 3 x+y= 3 4.5.5
7 Przykłady do zadania 4.: Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji: (a) f(x, y) = xy + x + y x D f = R (x, y) = y + x x (x, y) = x + (b) f(x, y) = e x ln(x + y) D f : x + y >, x + y x (x, y) = ex ln(x + y) e x x+y ln (x + y) ( ) (x, y) = ex ln (x + y) x + y (c) f(x, y) = sin (x y ) D f = R x (x, y) = sin(x y ) cos(x y ) (x, y) = sin(x y ) cos(x y ) ( y) (d) f(x, y) = x y D f : x > (x, y) = yxy x (x, y) = xy ln x
8 (e) f(x, y, z) = y x + z 3 D f : x + z 3 x (x, y, z) = (x + z 3 ) / x dla x + z 3 > (x, y, z) = z (x, y, z) = (x + z 3 ) / 3z dla x + z 3 > (f) f(x, y, z) = 3 arctg(x + e yz ) D f = R x (x, y, z) = 3 (arctg(x + eyz )) /3 (x + e yz ) + (x, y, z) = 3 (arctg(x + eyz )) /3 (x + e yz ) + eyz z z (x, y, z) = 3 (arctg(x + eyz )) /3 (x + e yz ) + eyz y dla wszystkich pochodnych x + e yz Przykłady do zadania 4.3: Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane są równe: (a) f(x, y) = ln(x y) D f : x y > (x, y) = x x y, f (x, y) = x x f x (x, y) = f (x, y) = x f (x, y) = Sprawdzenie: f (x, y) = x y ( ) = y x ( ) = x y (x y) ( ) = x y (x y) ( ) ( ) = x y x (y x) ( ) ( ) = y x (y x) f x (x, y) = (x y) = f (x, y) x
9 (b) f(x, y) = e x y D f : y x (x, y) = y e x y, f x (x, y) = y e x y f x (x, y) = y e x y + y f x (x, y) = y e x y f x (x, y) = y e x 3 y Sprawdzenie: x y (c) f(x, y, z) = x + y 3 x x 3 y z 5 D f = R f (x, y) = x y e x y ( x y e x y x y y e x y ( ) x y e x y ) = x(x + y) e x y 4 y f + y (x, y) = x e x f x y 3 y = (x, y) x x (x, y, z) = x + y3 6x y z 5, f x (x, y, z) = xy z 5 f x (x, y, z) = 3y x yz 5 f z x (x, y, z) = 3x y z 4 Sprawdzenie: f x z (x, y, z) = 3x y z 4 f z (x, y, z) = x3 yz 4 f z (x, y, z) = 4x3 y z 3 f (x, y, z) = 3y x 4x 3 yz 5, f x (x, y, z) = 3y x yz 5 f (x, y, z) = 6yx 4x3 z 5 f z (x, y, z) = x3 yz 4 f x (x, y, z) = 3y x yz 5 = f (x, y, z) x f z x (x, y, z) = 3x y z 4 = f (x, y, z) x z f z (x, y, z) = x3 yz 4 = f (x, y, z) z f z (x, y, z) = x3 y z 4
Przykłady do zadania 4.4: Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji: (a) 3 ( ) f y x (x, y) dla f(x, y) = cos x D f : x Mamy obliczyć ( y (x, y) = sin x ( ) f (x, y) = ( x Odp.: 3 f x = x ) ( x ( ( y x sin x ( )) f ( )) f (x, y) = ( ( )) y x x cos = ( y x x cos 3 x 3 f x (x, y) = ( ) y x cos y ( ) y 3 x x sin 4 x )) = ( ) y x cos x x = ( ) y x cos x ) ( ( y sin ( x x)) y ) x (b) 5 f x z (x, y, z) dla f(x, y, z) = x y 3 z 4 D f = R 3 Mamy obliczyć 5 f x z = ( ( ( x x z ( )))) f (x, y, z) = 3x y z 4 ( ) f (x, y, z) = ( 3x y z 4) = 6x yz 4 ( ( )) f (x, y, z) = ( 6x yz 4) = 4x yz 3 z z ( ( ( ))) f (x, y, z) = ( 4x yz 3) = 48xyz 3 x z x ( ( ( ( )))) f (x, y, z) = ( ) 48xyz 3 = 48yz 3 x x z x Odp.: 5 f (x, y, z) = x 48yz3 z