Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17"

Arkadiusz Kurowski
5 lat temu
Przeglądów:

1 41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m = 15, n =, k = 1 ; c) m =, n =, k = 17 ; d) m = 5, n = 4, k = 46. Ponieważ z =1, zachodzi równość z =z 1, a w konsekwencji z n =z n. Zatem poprawna odpowiedź to k = m n. 4. Dla podanej liczby zespolonej z podać najmniejszą liczbę naturalną n > 1 taką, że z n = z. a) z = i, n = 5 ; b) z = 1+i, n = 9 ; c) z = 1 + i, n = 4 ; d) z = i, n = 1. Podane liczby zespolone mają moduł 1 i argumenty odpowiednio: π/, π/4, π/, π/6, skąd wynika, że są one pierwiastkami z jedności odpowiednio stopni 4, 8, i Rozwiązać równanie zz = z +z w liczbach zespolonych. Opisać, jaką figurą geometryczną na płaszczyźnie zespolonej jest zbiór rozwiązań. Sposób I Przekształacając dane w treści zadania równanie otrzymujemy kolejno równania równoważne: zz z z =, zz z z +1 = 1, z 1)z 1) = 1, z 1)z 1) = 1, z 1 = 1, z 1 = 1, skąd wynika, że zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb odległych na płaszczyźnie zespolonej o 1 od liczby 1, czyli okrąg o środku 1 i promieniu 1. Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) Strony 5-5

2 Sposób II Po podstawieniu z =x+yi, gdzie x, y R, dane w zadaniu równanie przyjmuje kolejno postać: x+yi)x yi) = x+yi+x yi, x +y = x, x x+y =, x x+1+y = 1, x 1) +y = 1, a zatem zbiorem rozwiązań jest okrąg o promieniu 1 i środku x,y) = 1,), czyli z = Czy nierówność z +1 < z 4 jest prawdziwa dla liczby zespolonej a) z = log +i log 7 ; NIE b) z = log 5+i log 4 9 ; TAK c) z = log 4 8+i log 5 1 ; NIE d) z = log 5 11+i log 6 14 ; TAK 45. Czy równość z = z uwaga na sprzężenie po lewej stronie) jest prawdziwa dla liczby zespolonej a) z = log 6 +i log 6 ; TAK b) z = log 1 +i log 1 4 ; TAK c) z = log 18 4+i log 18 5 ; NIE d) z = log 5+i log 6 ; TAK 46. Czy podana liczba zespolona spełnia równanie z 6 = 64 a) z = 1+i ; NIE b) z = 1+i ; NIE c) z = +i ; TAK d) z = +i ; TAK 47. Czy równość z 1 = z jest prawdziwa dla liczby zespolonej a) z = i ; TAK i b) z = ; TAK c) z = 1+i ; NIE d) z = 1+i ; TAK Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) Strony 5-5

3 48. Czy równość z 1 = z 1 uwaga na sprzężenie po lewej stronie) jest prawdziwa dla liczby zespolonej a) z = +4i 5 b) z = 5+8i 9 ; TAK ; NIE c) z = 5+i ; NIE 8 d) z = 6+i 1 ; TAK Niech Rm, n) będzie liczbą takich liczb zespolonych z, że Czy wtedy a) R,) = 5 ; NIE b) R,4) = 6 ; TAK c) R4,6) = 8 ; TAK d) R,6) = 8 ; NIE z m 1) z n 1) =. że 41. Czy dla podanych liczb zespolonych z 1, z, z istnieje taka liczba zespolona z, z z 1 = z z = z z a) z 1 = 1+i, z = +i, z = 1+4i ; TAK b) z 1 = 1+i, z = +i, z = 8+8i ; NIE c) z 1 = 1+i, z = +i, z = 5+9i ; TAK d) z 1 = 1+i, z = +i, z = 7+11i ; TAK 411. Czy podana liczba zespolona z spełnia nierówność z 1 z a) z = log +i log 7 TAK b) z = log 7+i log 5 NIE c) z = log +i log 11 TAK d) z = log 5+i log 1 NIE 41. Czy podana liczba zespolona z spełnia nierówność z i z 5i a) z = log +i log 7 TAK b) z = log 7+i log 5 TAK c) z = log +i log 11 NIE d) z = log 5+i log 1 NIE Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) Strony 5-5

4 41. Czy podana liczba zespolona z spełnia równanie z = z 1 a) z = i TAK b) z = 1 + i NIE c) z = +i NIE d) z = +4i NIE 414. Czy podana liczba zespolona z spełnia równanie z 6 = 1 a) z = + i NIE b) z = + 1 i NIE c) z = 1 + i TAK d) z = i NIE 415. Czy podana liczba zespolona z spełnia równanie z 8 = 1 a) z = + i TAK b) z = + 1 i NIE c) z = 1 + i NIE d) z = i TAK 416. Czy nierówność z 1 < z 5 jest prawdziwa dla a) z = 1+i TAK b) z = +i TAK c) z = +i NIE d) z = 4+4i NIE 417. Czy nierówność z < z 4i jest prawdziwa dla a) z = 1+i TAK b) z = +i NIE c) z = +i NIE d) z = 4+4i NIE 418. Czy nierówność z 5 5i < z +1+i jest prawdziwa dla a) z = 1+i NIE b) z = +i NIE c) z = +i TAK d) z = 4+4i TAK 419. Czy nierówność z 7 < z 7i jest prawdziwa dla a) z = 1+i NIE b) z = +i NIE c) z = +i NIE d) z = 4+4i NIE 4. Czy liczba +i ) n jest rzeczywista dla a) n = 1 NIE b) n = 1 NIE c) n = 14 NIE d) n = 16 TAK Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) Strony 5-5

5 41. Czy liczba 1 i ) n jest rzeczywista dla a) n = 1 NIE b) n = 1 TAK c) n = 14 NIE d) n = 16 TAK 4. Czy liczba 1+i) n jest rzeczywista dla a) n = 1 TAK b) n = 1 NIE c) n = 14 NIE d) n = 16 TAK 4. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania z 7 +z 16 =z 4 +z 19 w liczbach zespolonych. Podać liczbę rozwiązań, zapisać wszystkie rozwiązania w postaci kartezjańskiej można używać znaków ± i ± dla zapisania kilku rozwiązań jednym wzorem) oraz zaznaczyć wszystkie rozwiązania na płaszczyźnie zespolonej wykorzystując zamieszczony niżej rysunek, na którym narysowano okrąg jednostkowy oraz proste przechodzące przez punkt, co 15. Przekształcając dane równanie otrzymujemy kolejno: z 7 z 4 z 19 +z 16 =, Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) Strony 5-5

6 z 1 ) z 4 z 1 ) z 16 =, z 1 ) z 4 z 16) =, z 1 ) z 8 1 ) z 16 =, z = 1 z 8 = 1 z =. Zatem dane równanie ma 11 rozwiązań i są to: liczba, osiem pierwiastków ósmego stopnia z jedności w tym liczba 1) oraz dwa pierwiastki trzeciego stopnia z jedności bez liczby 1, którą już uwzględniliśmy). Odpowiedź: Dane równanie ma 11 rozwiązań:, ±1, ±i, ± ± i oraz 1 ± i. Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) - - Strony 5-5

7 44. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania z = i w liczbach zespolonych. Zapisać wszystkie rozwiązania w postaci kartezjańskiej bez używania funkcji trygonometrycznych) oraz zaznaczyć wszystkie rozwiązania na płaszczyźnie zespolonej wykorzystując zamieszczony niżej rysunek, na którym narysowano okrąg jednostkowy oraz proste przechodzące przez punkt, co 15. Dane w zadaniu równanie jest spełnione przez liczbę z = i, a pozostałe dwa rozwiązania tego równania leża na okręgu jednostkowym co 1. Inaczej: liczba i ma moduł 1 i argument π/, a zatem jej pierwiastki sześcienne mają moduł 1 i argumenty π/6+kπ/ dla k =,1,, czyli odpowiednio π/6, 5π/6, π/. Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) Strony 5-5

8 Odpowiedź: Dane równanie ma rozwiązania: i oraz ± + i. Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) - - Strony 5-5

9 45. Obliczyć wartość całki oznaczonej π cos 6 x dx. Korzystając z liczb zespolonych wyprowadzimy odpowiednią tożsamość trygonometryczną. Przyjmijmy z = cosx+isinx. Wówczas z n = cosnx+isinnx, z n = cosnx isinnx, cosnx = zn +z n. Zatem z +z cos 6 1 ) 6 x = = z6 +6z 4 +15z ++15z +6z 4 +z 6 = 64 = cos6x + cos4x + 15cosx Pamiętając, że całka oznaczona z cosinusa po pełnym okresie jest równa, otrzymujemy π cos 6 x dx = π cos6x + cos4x + 15cosx dx = Odpowiedź: Dana w zadaniu całka ma wartość 5π Obliczyć wartość całki oznaczonej Z równości oraz otrzymujemy cosx = sin x+ π ) sinx+π) = sinx 5 16 sin 16 x cos 16 x dx. cos 16 x dx = sin 16 x+ π ) π/ dx = sin 16 x+ π ) dx+ = π/ sin 16 x+ π ) dx+ π/ sin 16 x π ) = dx = sin 16 x dx, skąd wynika, że dana w zadaniu całka ma wartość zero. π/ dx = π 5π 16 = 5π 8. π/ sin 16 x dx+ Odpowiedź: Dana w zadaniu całka oznaczona ma wartość. sin 16 x+ π ) dx = π/ sin 16 x dx = Uwaga: Idea powyższych rachunków jest następująca: Funkcje sin 16 i cos 16 są całkowane po pełnym okresie równym π, a przy tym jest to ta sama funkcja, tylko przesunięta o π/. Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) - - Strony 5-5

10 47. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania z 4 = 4 w liczbach zespolonych. Zapisać wszystkie rozwiązania w postaci kartezjańskiej bez używania funkcji trygonometrycznych) oraz zaznaczyć wszystkie rozwiązania na płaszczyźnie zespolonej wykorzystując zamieszczony niżej rysunek, na którym narysowano okręgi o środku w zerze i promieniach n dla n = 1,,,4 oraz proste przechodzące przez punkt, co 15. Liczba zespolona 4 ma moduł 4 i argument π, w związku z czym jej pierwiastki czwartego stopnia mają moduł 4 4=, a jeden z nich ma argument π/4. Tym pierwiastkiem jest więc cos π 4 +i sin π 4 ) = 1+i. Pozostałe trzy rozwiązania danego w zadaniu równania leżą na okręgu o promieniu co 9. Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) Strony 5-5

11 Inaczej: liczba 4 ma moduł 4 i argument π, a zatem jej pierwiastki czwartego stopnia mają moduł i argumenty π/4+kπ/ dla k =,1,,, czyli odpowiednio π/4, π/4, 5π/4, 7π/4. Odpowiedź: Dane równanie ma 4 rozwiązania: ± 1 1± i. Lista 9R rozwiązania zadań 41-47) Strony 5-5

Podobne dokumenty

Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.