. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja jest różnowartościowa: y = + 2 y = 2, [0, 3] y = 2, [, ] (4) Wyznaczyć wzór funkcji odwrotnej do danej: y = 2 y = 3 2 4, [, 4] y = + 2, [ 2, + ) (5) Naszkicować wykres funkcji: y = 2 + 7 y = 2 + y = y = 2 4 y = 2 9
2. Funkcje elementarne () Rozwiązać równanie: 2 5 + 6 = 0 3 = 0 4 4 = 0 ( 2 )( 2 4 + 4) = 0 2 3+2 ( 2 +)( 2) = 0 (2) Rozwiązać nierówność: 2 4 + 5 0 2 3+2 > 0 3 2 2 + 2 < 0 ( 2 7 + 6)( 2 + 2)( 2 5) 0 2 +5+6 2 +4 > 0 (3) Rozwiązać równanie lub nierówność wykładniczą: ( 4 = ) 32 3 = 9 4 6 2 + 8 = 0 3 8 ( 2 3 2) = 8 (4) Rozwiązać równanie lub nierówność logarytmiczną: log 2 = 2 2 log 2 (log 3 ) = 0 log( 2 5 + 7) = 0 log 3 2 + 2 log 2 4 + 4 2 2 (5) Rozwiązać równanie lub nierówność trygonometryczną: sin = 2 cos = 2 2 tg 2 = 3 sin 3 0 cos < 2
() Obliczyć granicę ciągu: a n = n 2 2n+3 a n = n2 +3 4n 3 2n+ a n = 3n2 4n+5 n a n = 4n2 + a n = 2n +3 n 3 n + a n = 2n 4n 2 + 2n (g) a n = n 2 n + 3 n (h) a n = sin n n (i) a n = ( )n n 2 + 3. Ciągi i szeregi liczbowe n (j) a n = log 2 0n 2 +6n (2) Stwierdzić, czy dany szereg jest zbieżny: n 2 + Σ n= Σ n= 0 n! Σ n= n 4 n Σ n= Σ n= n 3 4n 3 +2n 2 2n+
() Obliczyć granicę funkcji: (g) (h) (i) (j) 4. Granica funkcji + 3 2 3 2 3 + 2 2 4 + 5 ( 3 2 + + ) 2 2 4, +, 2 2 4 sin 2 0 sin 3 tg 2 0 5 2 5 5 0 2, 0 + 2
5. Ciągłość funkcji () Wykazać, że następujące funkcje są ciągłe: y = sin y = y = (2) Sprawdzić, czy dana funkcja jest ciągła: { 2 + dla < y = + 5 dla { e dla 0 y = 2 + + dla > 0 { 2 y = dla 3 dla = (3) Znaleźć wszystkie takie wartości parametru a, aby dana funkcja była ciągła: y = y = { 2 dla < 0 a 2 dla 0 { sin dla [0, π] 2 cos + a dla (π, 2π] ae dla < 0 y = 2 a dla 0 < ln dla
6. Pochodna funkcji () Obliczyć pochodne następujacych funkcji: (g) (h) (i) (j) (k) (l) y = 3 2 + 3 3 y = tg y = 2 2 ln 3e arc tg y = y = + sin y = ln 2 + y = 2 y = sin 3 + cos 3 y = tg 2 3 y = 4 sin ( y = ln + ) 2 + y = arc sin( 2 + ) { 2 sin dla 0 0 dla = 0
7. Monotoniczność i ekstrema funkcji () Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji: y = 3 2 + 5 y = e y = 2 2 y = cos ln y = (2) Wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji: y = 2 3 3 2 y = 4 2 +4 y = ln( + ) y = 2 e y = 3 + tg (3) Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą dla następujących funkcji: y = 4 2 2 + 5, [ 2, 2] y = +, [0, 4] y = 2 ln, [, e] y = 00 2, [ 6, 8] (4) Wyznaczyć asymptoty wykresów następujących funkcji: y = 3 2 2 y = e y = ln(4 2 ) (5) Korzystając z reguły de l Hospitala obliczyć granice: 2 3 + 2 cos 0 2 + e 2 5 + 2 ln 0 + ( + ) +
8. Całka nieoznaczona () Obliczyć całki nieoznaczone: (5 2 3 + 5 2 ) d (g) (h) (i) (j) (k) (l) ( ) 4 cos + + 2 d 2 e d e cos d 2 + d (2 + 7) 5 d 3 5 2 d e 2 d sin 5 cos d 3 4 2 6 d 2 + d 7 4 + 5 2 d (m) + 6 2 + 3 d
9. Całka oznaczona () Obliczyć całki oznaczone: 5 3 0 2 3 ( 4 2 ) d 2 4 d e d d 2 + 2 + (2) Obliczyć pole obszaru ograniczonego osią O i wykresem funkcji: y = sin, [0, π] y = 2 y = 3 (3) Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy parabolami y = 2 oraz y 2 =. (4) Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolą y = 2 2 oraz prostą + y = 0.
0. Całka niewłaściwa () Obliczyć całki niewłaściwe: 0 3 2 π 2 0 d d 2 4 + 3 tg d d 2 + e 2 0 + d d 4 + 2
() Wykonać mnożenie macierzowe: [ ] [ ] 3 2 3 4 5 4 2 5 [ 2 3 4 (g) [ 4 3 7 5 2 3 4 5 7 2 0. Macierze ] 3 ] [ 28 93 38 26 y z ] [ 7 3 2 ] 5 8 4 6 9 5 4 7 3 [ 0 2 3 5 [ 5 0 3 2 (h) 0 0 0 0 0 0 3 2 5 4 3 9 6 5 ] 3 7 5 0 2 ] [ 5 7 2 3 ] a b c d e f g h i (2) Znaleźć macierze odwrotne do danych macierzy (o ile istnieją): [ ] [ ] [ ] 2 2 cos α sin α 3 4 2 2 sin α cos α 2 2 2 (3) Rozwiązać równania macierzowe: [ ] [ 3 2 2 X = 5 4 5 6 ] [ 4 6 6 9 ] [ X = ] (4) Sprowadzić macierze do postaci trójkątnej zredukowanej: 2 7 3 3 2 2 2 2 3 2 5 3 5 2 2 9 4 5 9 4 7 2 2 3 4 7 6
2. Wyznaczniki () Obliczyć cos α sin α (g) sin α cos α 3 4 5 3 0 0 2 5 2 7 2 0 0 3 2 4 3 5 3 5 6 8 7 4 2 8 9 7 6 0 0 2 3 5 4 0 0 4 3 0 0 0 0 6 5 0 0 0 0 (h) 3 2 5 4 3 9 6 5 0 a b 0 0 y 0 5 0 2 8 3 4 5 7 2 4 0 4 0 2 2 3 2 3 2 7 5 3 5 3 2 5 6 4 2 4 2 3 3 2
() Rozwiązać układy równań: { 2 3y = 3 + 2y = 5 3. Układy równań liniowych { k + 4y = 2k + 2y = 5 (g) (h) + 2y + 3z = 4 3 + y + 2z = 2 + 3y + z = a + y + z = + ay + z = + y + az = k R parametr 4 6y + 2z + 3t = 2 2 3y + 5z + 75t = 2 3y z 5t = 3 5y + 2z + 4t = 2 7 4y + z + 3t = 5 5 + 7y 4z 6t = 3 3 + 5 = 0 2 4 + 6 = 0 2 + 5 6 = 0 2 3 + 6 = 0 4 + 5 = 0 a R parametr 2 + 7 2 + 3 3 + 4 = 5 + 3 2 + 5 3 2 4 = 3 + 5 2 9 3 + 8 4 = 5 + 8 2 + 4 3 + 5 4 = 2 (2) Dla jakich wartości parametru a R układ równań { ( + a) ay = + a a + ( a)y = a ma dokładnie jedno rozwiązanie? a + y = 2 3 y = + 4y = a ma rozwiązanie?