Podstawy Fizyki III Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 4, 13.10.2017 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Mateusz Winkowski, Jan Szczepanek Radosław Łapkiewicz
wykład 3 przypomnienie źródła promieniowania EM promieniowanie ładunku przyspieszanego, formuła Larmora potencjały pola EM równania na potencjały promieniowanie dipola elektrycznego detektory promieniowania EM: termiczne, kwantowe
propagacja światła w dielektrykach, 1 H = D t (1) E = B t (2) H = 0 (3) E = 0 4 związki materiałowe: D = εε 0 E B = μμ 0 H dielektryk izolator, ośrodek materialny bez swobodnych ładunków czyli nośników prądu elektrycznego trwałe bądź indukowane elektryczne momenty dipolowe wyprowadzamy rnie falowe (patrz wykład 2): 2 E n2 2 E = 0 c 2 t 2 μμ 0 εε 0 = n2 c 2 n = με n współczynnik załamania światła w tym wykładzie nie będziemy rozważali ośrodków magnetycznych zatem przyjmiemy μ = 1. Wtedy n = ε. inna prędkość fazowa: υ = c n inna stała propagacji: k = nω c
propagacja światła w dielektrykach, 2 Dla materiałów niemagnetycznych n = ε q s q p = q s moment dipolowy atomu/cząsteczki P E polaryzacja ośrodka: P, D = ε 0 E P P to gęstość momentów dipolowych: P = N p p = αe gdzie α to polaryzowalność atomu/cząsteczki dla liniowej odpowiedzi ośrodka mamy: P = ε 0 χe χ podatność dielektryczna ośrodka i ostatecznie: D = ε 0 εe = ε 0 1 χ E oraz n 2 = ε = 1 χ
model Lorentza, 1 Założenia: x e F ciężkie, nieruchome jądro lekki elektron siła sprężysta: F k = kx = mω 0 2 x e atom mały w porównaniu z l: straty typu tarcie: F E t = ee(t) F T = mγ dx dt rnie ruchu elektronu: m d2 x = F dt 2 k F E F T czyli m d2 x dx 2 mγ dt ma rozwiązanie: x t = x 0 e iωt gdzie x 0 = e m dt mω 0 2 x = ee 0 e iωt E 0 ω 0 2 ω 2 iγω polaryzowalność atomu α można policzyć z momentu dipolowego atomu p: p = e x = e2 1 m ω 2 0 ω 2 iγω E = ε 0αE polaryzacja ośrodka: P = N e2 1 m ω 2 0 ω 2 E = ε iγω 0 χe 0 gdzie N to gęstość atomów
model Lorentza 2 Hendrik Antoon Lorentz (18531928) H. A. Lorentz, The Theory of Electrons and Its Applications to the Phenomena of Light and Radiant Heat, Leipzig, Teubner, 1916... elastic force, which must be considered to be exerted by the other particles in the atom, but about whose nature we are very much in the dark, [...] proportional to the displacement.
współ. zał. dla gazów, 1 gaz (mała gęstość) polaryzacja ośrodka nie zmienia pola elektrycznego fali (P ε 0 E) P = ε 0 χe = N e2 mε 0 1 ω 0 2 ω 2 iγω E n 2 = 1 χ = 1 N e2 mε 0 1 ω 0 2 ω 2 iγω 0 współczynnik załamania jest zespolony: n = n R in I? rozważmy płaską falę monochromatyczną: E x, t = E 0 e i(kz ωt) z liczbą falową k = nω c E x, t = E 0 e iω n R in I z t c = E0 e n I ω c κ/2 z e i n R ω z ωt c otrzymujemy prawo Beera: I z E z, t t 2 = I 0 e κz
współ. zał. dla gazów, 2 n 2 ω = 1 Ne2 mε 0 1 ω 0 2 ω 2 iγω, ω 0 częstość rezonansowa w atomie rachunki... n R (ω) 1 Ne2 2mε 0 n I (ω) Ne2 2mε 0 j j ω j 2 ω 2 ω j 2 ω 2 2 γ j ω 2 f j γ j ω ω j 2 ω 2 2 γ j ω 2 ale atom ma szereg częstości rezonansowych i każda z nich daje wkład do współczynnika załamania f j ω j 2 ω 2 iγ j ω, n 2 1 Ne2 mε j 0 f j siła oscylatora opisująca wkład danego rezonansu w pobliżu rezonansu, rachunki... n R (ω) 1 n I (ω) Ne2 ω j ω f j 4mε 0 ω j ω j ω 2 γ 2 j Ne2 f j γ j 4mε 0 ω j ω j ω 2 γ 2 j Rezonans: linia absorpcyjna Lorentz dyspersja anomalna
współ. zał. dla gazów, 3 n 2 1 Ne2 mε 0 j f j ω j 2 ω 2 iγ j ω gaz, 30g/mol warunki normalne VIS λ 1 = 0.2μm, λ 2 = 2μm, γ 1 ω1 = γ 2 ω2 = 1 50
wsp. zał. dla ośrodków skondensowanych, 1 moment dipolowy atomu/cząsteczki to p = ε 0 αe L gdzie α oznacza polaryzowalność atomu/cząsteczki zaś E L to całkowite pole elektryczne (pole lokalne) działające na atom/cząsteczkę. Nie możemy zaniedbać pola pochodzącego od innych (spolaryzowanych) atomów/cząsteczek. Rozważamy atom umieszczony w mikrownęce o promieniu R i liczymy dodatkowe pole elektryczne pochodzące od polaryzacji ośrodka P. Rachunki w sferycznym układzie odniesienia: E P = 0 2π dφ 0 π dθ PcosΘ 4πε 0 R 2 R2 sinθ = = P 3ε 0 E L n P P Całkowite pole elektryczne w miejscu atomu (pole lokalne stąd indeks L) E L = E P 3ε 0 polaryzuje atom p = ε 0 αe L co skutkuje polaryzacją ośrodka P = Nε 0 αe L = Nε 0 α E P 3ε 0 Wyliczamy: Nα P = ε 0 E 1 Nα 3 oraz n 2 Nα = 1 1 Nα 3 formuła ClausiusMossotti
wsp. zał. dla ośrodków skondensowanych, 2 n 2 1 Ne2 mε 0 j f j ω j 2 ω 2 iγ j ω szkło optyczne SF10 absorpcja w UV absorpcja IR przejścia elektronowe przejścia wibracyjne λ (μm)
fale EM w przewodnikach, 1 rotacja rnia (2) plus rnie (1) dają (dla materiałów niemagnetycznych B = μ 0 H): E = E 2 E = = μ 0 σ E t μ 0εε 0 2 E t 2 (5) załóżmy płaską falę monochromatyczną E = E 0 e i k r ωt i k r ωt, H = H 0 e wtedy: E = E E = k E k k 2 E i rnie (5) wygląda tak: k E k k 2 E ω2 σ c 2 ε i ωε 0 E = 0 (6) oznaczmy: n 2 σ = ε i ωε 0 co daje k E k k 2 E n2 ω 2 c 2 E = 0 H = σe εε 0 E t E = B t (2) (1) H = 0 (3) E = ρ ε 0 4 j = σe (prawo Ohma, σ to przewodność elektryczna) ε to stała dielektryczna materiału bez swobodnych nośników prądu (szkielet jonowy materiału)
ruch elektronów w przewodniku model Drude go rnie ruchu elektronu w polu fali e.m. E t = E 0 e iωt z uwzględnieniem tarcia γ : m d2 r d r dt2 mγ = ee dt 0e iωt ma rozwiązanie: r t = e mω ωiγ E(t) d r liczymy prąd elektryczny: j = Ne = i Ne 2 E = σe dt m ωiγ co pozwala wyliczyć tajże przewodność elektryczną σ = i Ne 2 m ωiγ Paul Karl Ludwig Drude 1863 1906 ostatecznie: n 2 = ε i σ Ne 2 = ε ωε 0 mωε 0 γ iω
fale EM w przewodnikach, 2 wracamy do rnia falowego w przewodniku (równanie w czerwonej ramce, slajd 15): k E k k 2 E n2 ω 2 c 2 E = 0 i rozważamy dwa szczególne przypadki 1. fale podłużne k E k E k = k 2 E n 2 = ε i Ne 2 mωε 0 γiω = 0 Załóżmy bardzo dobry przewodnik (γ ω). Wtedy warunek n 2 ε 1 Ne2 mεε 0 ω 2 = 0 pozwala zdefiniować częstość plazmową fale plazmowe: ω p = Ne2 mεε 0 Dla dobrych przewodników współczynnik załamania można zapisać jako n 2 ω = ε 1 ω p 2 ω 2 fale plazmowe
2. fale poprzeczne k E k E k = 0 Dostajemy równanie Helmhotza E k 2 E = 0, gdzie k = nω c jest liczbą zespoloną fale EM w przewodnikach, 3 k E k k 2 E n2 ω 2 c 2 E = 0 zespolone k oznacza absorpcję światła E x, t = E 0 e i(kx ωt) = E 0 e n Iω c x e i n Rω c ωt metal czy dielektryk? n 2 = ε 1 ω p 2 ω < ω p n n I ω > ω p n n R ω 2 iγω ε 1 ω p 2 ω 2
fale EM w przewodnikach, 4
fale EM w przewodnikach, 5
Natężenie spektralne (widmo) I ω, I λ : widmo światła I ω ω natężenie dla częstości z przedziału ω, ω ω I λ d natężenie dla długości fali z przedziału λ, λ λ Dla danego pola fali E(t) liczymy jego transformatę Fouriera i dostajemy amplitudę spektralną pola: E ω = 1 2π E(t)e iωt dt Mając amplitudę spektralną możemy wrócić do domeny czasu: E t = 1 2π E (ω)e iωt dω Twierdzenie Parsevala: E(t) 2 dt = E (ω) 2 dω I(t)dt = I(ω)dω widmo funkcja autokorelacji pola 1go rzędu: AC(τ) = E t E(t τ)dt twierdzenie WieneraChinczyna I ω = AC(τ)e iωτ dτ
widmo światła widmo ciągłe, np. rozgrzana powierzchnia I
widmo światła widmo dyskretne: Fe widmo ciągłe z dyskretnymi liniami absorpcyjnymi widmo Słońca na powierzchni Ziemi
barwy, 1
barwy, 2
wzrok Funkcje: obrazowanie detekcja obróbka danych przesyłanie danych
oko człowieka, 1
oko człowieka, 2 względna (unormowana do 1) czułość czopków
barwy, 1 ile jest barw? barwy czyste barwy mieszane synteza barw barwy czyste Dodawanie i odejmowanie barw
barwy, 2 Lata 20te XX wieku: synteza barw czystych z trzech kolorów RGB R 700nm, G 546 nm, B 436 nm R Y M G C B synteza (dodawanie) barw R = G = B = 0 0 0 I λ r λ dλ I λ g λ dλ I λ b λ dλ wynik r g b
barwy, 3 Lata 30te XX wieku: synteza barw czystych z trzech kolorów RGB, c.d. Liniowa transformacja sygnałów: x(λ) y(λ) z(λ) = M r(λ) g(λ) b(λ) X = Y = Z = 0 0 0 I λ x λ dλ I λ y λ dλ I λ z λ dλ x y z normujemy współczynniki: x = X XYZ, y = Y XYZ, z = 1 x y
barwy, 4 trójkąt barw: x y z = 1 x = 0.333, y = 0.333, światło białe temperatura barwna, np. dla 5000K x = 0.3478, y = 0.3595,
barwy, 5 odejmowanie barw (farby, druk, etc.): W biały M (Magenta) = W G C (Cyan) = W R Y (Yellow) = W B CMYK
formuły dyspersyjne Wzory dyspersyjne stosowane dla materiałów optycznych równanie Cauchy ego n = A B λ 2 C λ 4 równanie Sellmeiera n 2 = równanie Herzbergera j A j λ 2 λ 2 λ j 2 n = A BL CL 2 Dλ 2 Eλ 4, L = wzór katalogowy firmy Schott n 2 = A 0 A 1 λ 2 A 2 λ 2 A 3 λ 4 A 4 λ 6 A 5 λ 8 1 λ 2 0.028
związki KramersaKroniga 0 przyczynowość ε ω = 1 χ ω = 1 f(t)e iωt dt dla rzeczywistego ω bo przyszłość nie wpływa na teraźniejszość rozszerzenie analityczne: zespolone ω matematyka... wynik: χ ω = χ 1 ω iχ 2 ω (χ 1, χ 2 funkcje rzeczywiste, χ 1 opisuje współczynnik załamania a χ 2 tłumienie) χ 1 ω = 2 ω χ 2 ω π 0 dω ω 2 ω 2 χ 2 ω = 2 π 0 ω χ 1 ω ω 2 ω 2 dω gdzie oznacza wartość główną całki w rozumieniu Cauchy absorpcja współczynnik załamania współczynnik załamania absorpcja
związki KK: przykład woda
widmo Słońca na powierzchni Ziemi tabela Designation Element Wavelength (nm) Designation Element Wavelength (nm) y O 2 898.765 c Fe 495.761 Z O 2 822.696 F Hβ 486.134 A O 2 759.370 d Fe 466.814 B O 2 686.719 e Fe 438.355 C Hα 656.281 G' Hγ 434.047 a O 2 627.661 G Fe 430.790 D 1 Na 589.592 G Ca 430.774 D 2 Na 588.995 h Hδ 410.175 D 3 or d He 587.5618 H Ca 396.847 e Hg 546.073 K Ca 393.368 E 2 Fe 527.039 L Fe 382.044 b 1 Mg 518.362 N Fe 358.121 b 2 Mg 517.270 P Ti 336.112 b 3 Fe 516.891 T Fe 302.108 b 4 Fe 516.891 t Ni 299.444 b 4 Mg 516.733