Analiza Matematyczna. Przeglad własności funkcji elementarnych

Podobne dokumenty
Funkcje Elementarne. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2

1 Funkcje elementarne

Funkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska

Analiza Matematyczna. Własności funkcji różniczkowalnych

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Analiza Matematyczna. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28

Analiza Matematyczna. Właściwości funkcji ciagłych

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

III. Funkcje rzeczywiste

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.

7. Funkcje elementarne i ich własności.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

Funkcje trygonometryczne

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Analiza Matematyczna. Teoria Liczb Rzeczywistych

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Matematyka kompendium 2

Funkcje trygonometryczne

1 Zbiór liczb rzeczywistych

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

(a b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek

Funkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Funkcją sinus kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, i opisujemy jako:

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

Indukcja matematyczna

Analiza Matematyczna MAEW101

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Literatura podstawowa

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych

Właściwości funkcji Różniczkowalnych

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3

Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1. Równania i nierówności liniowe

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Repetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI

In the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Równania i nierówności trygonometryczne

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2

Ciągłość funkcji f : R R

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Funkcje ciagłe. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Lista 2 - Granica. 2n d) dn = ( 1 1 ) n 2. 2n+1 n; 1+x

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

Podstawy analizy matematycznej II

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Imię i nazwisko... suma punktów... ocena... Grupa 1

Trigonometria. Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

Analiza Matematyczna MAT1317

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Transkrypt:

Analiza Matematyczna. Przeglad własności Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk 4 marca 017 1 / 5

Przeglad własności Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem ØØÔ»»Ù Ö ºÔ Û Ø º ÙºÔл Ò Ù» / 5

Potęga wymierna Twierdzenie 1. Niechn N. Wtedy funkcjax n przyx [0,+ ) rośnie i jest ciagł a. Dowód. x n xn 1 = (x x 1 )(x n 1 +x n x 1 + +x n 1 1 ). Wniosek. Istnieje funkcja, odwrotna do x n : [0,+ ) [0,+ ), pierwiastek stopnian:y n y. Definicja 3. Niechαbędzie liczba wymiern określone jesta α w sposób następujacy: 1. Dlan > 0:x 1 n = n a,. dlam,n > 0:a m n = ( a 1 n) m, 3. a 0 = 1, 4. dlaα < 0:a α = 1 a α. a. Wtedy dlaa > 0 3 / 5

Własności wymiernej potęgi Twierdzenie 4. 1. (a α ) β = a αβ, a α b α = (ab) α, a α a β = a α+β.. Dlaa > 1 orazα > 0 a α > 1. 3. Dlaa > 1 funkcjaa x rośnie na zbiorze liczb wymiernych. Dowód.. Założymy, żea m n < 1. 3. a m 1 n 1 < a m n dla m 1 n 1 < m n. 4 / 5

Funkcja wykładnicza Twierdzenie 5. Niech dane będax,a R,a > 1. Istnieje jedyna liczba rzeczywistay, taka, że dla dowolnych liczbα,β Q, α < x < β a α y a β. Definicja 6. Definiujemy dlaa > 1,x R, potęgęa x jako jedyna liczbę, określon a w twierdzeniu 5. Dla0 < a < 1 definiujemy a x = ( 1 a) x. 5 / 5

Własności funkcji wykładniczej Twierdzenie 7. 1. (a α ) β = a αβ, a α b α = (ab) α, a α a β = a α+β.. Funkcjaa x dlaa > 1 rośnie, dla0 < a < 1 maleje na cała prosta. 3. Funkcjaa x jest ciagł 4. Funkcjaa x jest dodatni 5. Dlaa > 1 lim x ax = 0, a x R. a x R. lim x + ax = +, dla0 < a < 1 lim x ax = +, lim x + ax = 0. 6. Zbiorem wartości funkcjia x (a 1) jest półprosta(0,+ ). 6 / 5

Wykres funkcjiy = a x Rysunek 1: Wykres funkcji y = a x dla a > 1 (po lewej) oraz dla 0 < a < 1 (po prawej) 7 / 5

Logarytm Definicja 8. Funkcję log a x : (0,+ ) R,a (0,1) (1,+ ) definiujemy jako odwrotn a doa x : R (0,+ ). Własności logarytmu Twierdzenie 9. 1. log a (x 1 x ) = log a x 1 +log a x, log a ( x 1 x ) = log a x 1 log a x, log a (x α ) = α log a x, log a x = log b x log b a.. Funkcjay = log a x jest ciagł a i rosnac a na półprostej(0,+ ) dlaa > 1 oraz malejac a dla0 < a < 1. lim 3. lim log ax =, log ax = + przya > 1 oraz x 0+ x + lim log ax = +, lim log ax = przy0 < a < 1. x 0+ x + 8 / 5

Wykres funkcjiy = log a x 1.5 1 0.5 0-0.5 4 6 8 1.5 1 0.5 0-0.5-1 4 6 8-1 -1.5-1.5 - Rysunek : Wykres funkcji y = log a x dla a > 1 (po lewej) oraz dla 0 < a < 1 (po prawej) Uwaga 10. Logarytm przy podstawieenazywa się naturalnym i oznacza sięlnx. 9 / 5

Funkcja potęgowa Definicja 11. Dlaα R, określamy funkcję x α : (0,+ ) (0, ) w sposób następujacy:x α = e αlnx. Własności funkcji potęgowej Twierdzenie 1. 1. Funkcjax α jest funkcja ciagł a na(0,+ ).. Funkcjax α jest funkcja rosnac a przyα > 0 i malejac a przy α < 0 na przedziale(0,+ ). 3. lim x 0+ xα = 0 przyα > 0 oraz lim 4. lim x + xα = + przyα > 0 oraz x 0+ xα = + przyα < 0. lim x + xα = 0 przyα < 0. 10 / 5

Wykres funkcjiy = x α α >1 α =1 α = 1 α < 1 1.5 1 α <1 1.5 1 α > 1 0.5 0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 Rysunek 3: Wykres funkcji y = x α dla α > 0 (po lewej) oraz dla α < 0 (po prawej) 11 / 5

Podstawowe własności funkcji trygonometrycznych Twierdzenie 13. 1. sin(x+y) = sinxcosy +cosxsiny,. cos(x+y) = cosxcosy sinxsiny, 3. sin x+cos y = 1, 4. sin0 = 0,sin π = 1, 5. cos0 = 1,cos π = 0, 6. Dla0 < x < π 0 < sinx < x < sinx cosx. 1 / 5

Własności funkcji trygonometrycznych Wniosek 14. 1. sinx 1, cosx 1,. sin( x) = sinx,cos( x) = cosx, 3. sin(x y) = sinxcosy cosxsiny, 4. cos(x y) = cosxcosy +sinxsiny, 5. sinx+siny = sin x+y 6. sinx siny = sin x y cos x y, cos x+y, 7. cosx = sin( π x), 8. sin(x+π) = sinx,cos(x+π) = cosx, 9. sinx x. 13 / 5

Funkcje okresowe Definicja 15. Funkcjaf(x) nazywa się okresowa, jeżeli istnieje minimalna liczbat R, takia, że x zachodzif(x+t) = f(t). LiczbaT przy tym nazywa się okresem funkcji f(x). Uwaga 16. Własność 8 oznacza, że funkcjesinx icosx maja okres π. Można udowodnić, żeπ jest najmniejszym z okresów. Uwaga 17. Stała funkcja nie jest okresowa. 14 / 5

Własności funkcjisinx orazcosx. Cd. Twierdzenie 18. Funkcje sin x oraz cos x sa ciagłe na całej prostejr. Dowód. sinx jest ciagł a w zerze. sinx sinx n = cos x+x n jest ciagiem nieskończone małym dla ciagux n x. cosx = sin( π x). sin x n x Twierdzenie 19. Funkcjasinx rośnie na każdym z przedziałów [kπ π,kπ + π ] i maleje na każdym z przedziałów ], zaś funkcjacosx rośnie na [(k+1)π π,(k +1)π + π każdym z przedziałów[kπ,kπ+π] i maleje na każdym z przedziałów[kπ π, kπ]. Wszędzie k jest liczba całkowita, k = 0,±1,±,... 15 / 5

Wykresy funkcjisinx orazcosx 1 0.5 π π π π -10-5 0 5 10-0.5 1 0.5 5π/ 3π/ π/ π/ 5π/ -10-5 0 5 10-0.5-1 -1 Rysunek 4: Wykres funkcjiy = sinx (po lewej) orazy = cosx (po prawej) 16 / 5

Funkcjetgx,ctgx Definicja 0. 1. tgx = sinx cosx. ctgx = cosx sinx. Uwaga 1. W literaturze anglojęzycznej używa się oznaczeńtgx orazctgx. Własności funkcjitgx ictgx Twierdzenie. 1. Funkcja tg x jest ciagł a przyx π funkcja ctg x jest ciagł a przyx kπ.. Funkcjetgx orazctgx maja okresπ. +kπ, zaś 3. Funkcjatgx rośnie na każdym z przedziałów +kπ), zaś funkcjactgx maleje na każdym z ( π +kπ, π przedziałów(kπ,π+kπ) (k Z). 17 / 5

Wykresy funkcjitgx orazctgx 4 3π/ π/ π/ 3π/ -4-0 4-4 π π -4-0 4 - -4-4 Rysunek 5: Wykres funkcjiy = tgx (po lewej) orazy = ctgx (po prawej) 18 / 5

Funkcje kołowe (odwrotne trygonometryczne funkcje) ] jest funkcj a Definicja 3. arcsinx : [ 1,1] [ π, π odwrotna dosinx : [ π, π ] [ 1,1]. arccosx : [ 1,1] [0,π] jest funkcja odwrotna do cosx : [0,π] [ 1,1]. ) jest funkcj a odwrotna do arctgx : (,+ ) ( π, π tgx : ( π, π ) (,+ ). arcctgx : (,+ ) (0,π) jest funkcja odwrotna do ctgx : (0,π) (,+ ). Twierdzenie 4. 1. Wszystkie te funkcje sa ciagłe,. funkcjearcsinx iarctgx sa rosnace, 3. arccosx orazarcctgx sa malejace. 19 / 5

Wykresy funkcji arc sin x oraz arc cos x 1.5 π/ 3 π 1 0.5-1 -0.5 0 0.5 1-0.5-1.5 1.5 1 0.5-1.5 π/ -1-0.5 0 0.5 1 Rysunek 6: Wykres funkcji y = arcsinx (po lewej) oraz y = arccosx (po prawej) 0 / 5

Wykresy funkcjiarctgx orazarcctgx 1 0.5-3 - -1 0 1 3-0.5-1 π/ π/.5 1.5 1 0.5-3 - -1 0 1 3 Rysunek 7: Wykres funkcji y = arctgx (po lewej) oraz y = arcctgx (po prawej) π 1 / 5

Funkcje hiperboliczne Definicja 5. 1. Funkcjasinh = ex e x nazywa się sinusem hiperbolicznym. Funkcjacosh = ex +e x nazywa się cosinusem hiperbolicznym 3. Funkcjatgh = sinhx coshx = ex e x e x +e x nazywa się tangensem hiperbolicznym 4. Funkcjactgh = coshx sinhx = ex +e x e x e x nazywa się cotangensem hiperbolicznym Twierdzenie 6. Funkcje hiperboliczne sa ciagłe we wszystkich punktach prostejr(cotangens hiperboliczny oprócz punktux = 0). Twierdzenie 7. sinh(x+y) = sinhx coshy +coshx sinhy, cosh(x+y) = coshx coshy +sinhx sinhy. / 5

Wykresy funkcjisinhx orazcoshx 4-3 - -1 0 1 3-3.5 3.5 1.5 1 0.5-4 - -1 0 1 Rysunek 8: Wykres funkcji y = sinhx (po lewej) oraz y = coshx (po prawej) 3 / 5

Wykresy funkcjitghx orazctghx 1 4 0.5 - -1 0 1-0.5-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 - -1-4 Rysunek 9: Wykres funkcji y = tghx (po lewej) oraz y = ctghx (po prawej) 4 / 5

Dwie granice Twierdzenie 8. lim x 0 sinx x = 1. Twierdzenie 9. lim x 0 (1+x) 1/x = e. 5 / 5