In the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.

Transkrypt

1 !" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=<>6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"<E3"5"@"<EF *",3"4"3HG"3"4",4"A"6=I"67G"4"5"GE?4"675"/ JLKNMPO Q RTS O U In the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series. VXWZY\[]T^`_badcefgh f W programie analizy matematycznej studiów nauczycielskich wprowadza się funkcje trygonometryczne za pomocą szeregów potęgowych. Znane są także inne sposoby wprowadzania funkcji trygonometrycznych, o których student przyszły nauczyciel matematyki powinien wiedzieć. W niniejszym artykule funkcje trygonometryczne są wprowadzone za pomocą szeregów Eisensteina. Fakt, że jednowymiarowe szeregi Eisensteina są związane z funkcjami trygonometrycznymi, jest znany (Weil, Ale pytanie, czy można wprowadzić funkcje trygonometryczne poprawnie wyłącznie przez szeregi Eisensteina, zostało dopiero rozwiązane w niniejszym artykule. W punkcie. krótko opisujemy teorię Nowosiołowa funkcji trygonometrycznych (Nowosiołow, 1956 opartą na równaniach funkcyjnych. W punkcie 3. są podane podstawy teorii jednowymiarowych szeregów Eisensteina. Dowód poprawności wprowadzenia funkcji trygonometrycznych przez szeregi Eisensteina, oparty na rezultatach Nowosiołowa (Nowosiołow, 1956 został przeprowadzony w punkcie 4. i WZjkgl monpfepp]tqr^g^s$flpp]tqmlegfbat]tù _bgadgh a vpkgl mlqtnpgf S. I. Nowosiołow (1956, s określa aksjomatycznie funkcje trygonometryczne jako: funkcje mające pewne ściśle sformułowane własności charakterystyczne, na podstawie których mogą być ustalone wszystkie pozostałe własności tych funkcji, w następujący sposób. Definicja.1 Cosinusem C(x i sinusem S(x nazywamy funkcje, które spełniają następujące warunki:

2 wxzy {~}N `ƒ {~ X {ˆ L ˆŠˆ{T {ŒN ˆŽˆ X{ˆ {~ ˆ y ˆ ˆ ˆ ˆ 1 są określone dla wszystkich rzeczywistych wartości x, spełniają równanie funkcyjne dla dowolnych x, y R, S(x + y = S(xC(y + S(yC(x 3 są dodatnie w przedziale (0, λ, gdzie λ jest pewną liczbą dodatnią, tzn. C(x > 0, S(x > 0, gdy x (0, λ, 4 w punktach końcowych przedziału (0, λ zachodzą następujące równości: C(0 = S(λ = 1. Jak pokazano w pracy (Nowosiołow, 1956, na podstawie warunków podstawowych 1-4 można aksjomatycznie wprowadzić funkcje trygonometryczne. Wartość λ = w teorii Nowosiołowa odpowiada standardowym funkcjom sinus i cosinus. WZ Lfcg^`_bqs$h ad]t^`_bfbšef]tfrh h šfgšlppfh ga Definicja 3.1 Jednowymiarowym szeregiem Eisensteina nazywa się następujący szereg funkcyjny ε n (x = µ= gdzie µ = 0, ±1, ±,... oraz x / Z. 1, n = 1,, 3... (1 (x + µ n Definicja 3. Sumowaniem według Eisensteina nazywamy następujący sposób obliczenia sumy nieskończonej + µ= = lim +M M + µ= M Jeżeli szereg sumujemy według Eisensteina i jest on zbieżny, to mówimy, że szereg jest zbieżny według Eisensteina. Dalej będziemy korzystać z następujących twierdzeń przedstawionych szczegółowo w książce (Weil, Twierdzenie 3.3 i Szereg (1 przy n = 1 jest zbieżny według Eisensteina na zbiorze R\Z oraz. ε 1 (x > 0, 0 < x < 1. (

3 œt ožˆÿ {~ ˆŽˆ ˆŠˆ ˆŠˆ X} o ˆ ˆž Šˆž o ˆ}NŽˆŠˆ ˆ}N ožˆ ˆŽ ˆŽˆ ˆ o ˆ ˆ ˆ ˆ ˆŠˆ ˆŠˆ{ ww ii Szereg (1 dla n jest bezwzględnie i prawie jednostajnie zbieżny na zbiorze R\Z. iii Dla ε 1 (x i ε (x zachodzi następujący związek różniczkowy: ε 1 (x = ε (x, x R\Z. (3 iv Dla szeregów ε 1 (x i ε (x zachodzi następujący związek algebraiczny: v Jest spełniona równość ε (x = ε 1(x +, x R\Z. (4 ε (xε (y = ε (x + y[ε 1 (x + ε 1 (y], x, y R\Z. (5 vi Szereg Eisensteina ε (x i funkcja ctg(x są związane w następujący sposób ε 1 (x = ctg x, x R\Z. (6 vii Szereg Eisensteina ε 1 (x i funkcja sin(x są związane w następujący sposób sin x = 1 ( x ε 1 1 ( x + 1 ε 1, x R\Z. (7 viii Ma miejsce wzór sin x = ε (x, 0 < x < 1. (8 ix Funkcje ε 1 (x i ε (x są okresowe o okresie 1. Lemat 3.4 Zachodzi tożsamość ( ( ε 1 (xε 1 (y = 1 1 ε (xε (y, ε (y ε (x x, y ( 0, 1. (9 Dowód. Najpierw zauważmy, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie co wynika z równości (. Po pomnożeniu pierwszego wyrażenia w nawiasie przez ε (y, a drugiego przez ε (x, otrzymujemy: ( ( 1 1 ε (xε (y = (ε (y ε (y ε (x (ε (x, co wobec (4 i ( jest równe ε 1 (yε 1 (x = ε 1(yε 1 (x, a więc otrzymaliśmy lewą stronę równania (9. Lemat został udowodniony.

4 7 y {~}N `ƒ {~ X {ˆ L ˆŠˆ{T {ŒN ˆŽˆ X{ˆ {~ ˆ y ˆ ˆ ˆ ˆ WZjkgl monpfepp]tqr^g^s$flpp]tqmlegfbatšef]tfrh h šfgšlppfh ga Wzór (6 można przyjąć za podstawę do definicji funkcji cotangens. W ten sposób otrzymujemy inne podejście do wprowadzenia funkcji trygonometrycznych. Definicja 4.1 Funkcją cotangens nazywamy funkcję określoną wzorem: ctg x = 1 ( x ε 1 (10 dla x k, k Z. Wiemy, że szereg ε 1 (x jest funkcją o dziedzinie R\Z, okresową o okresie równym 1. Stąd dziedzina funkcji ctg(x jest R\ {k, k Z}, a okres tej funkcji wynosi zgodnie z ix w twierdzeniu 3.3. Rozpatrzmy teraz funkcję tangens i cotangens. Zachodzi równość ( tg x = ctg x. Korzystając z ostatniej zależności, wprowadzamy tangens w następujący sposób: Definicja 4. Funkcją tangens nazywamy dla x + k, k Z. tg x = 1 ε 1 ( 1 x (11 Do wyznaczenia dziedziny funkcji tangens wykorzystamy własności funkcji ε 1. Łatwo zauważyć, iż ( 1 lim ε x +k 1 x =. Z powyższego faktu, oraz z tego, że funkcja ε 1 jest określona dla x R\Z wnioskujemy, że dziedziną funkcji tangens jest zbiór R\{ + k, k Z}. Korzystając z tożsamości (7, potrafimy za pomocą szeregów Eisensteina zdefiniować funkcję sinus. Definicja 4.3 Funkcją sinus nazywamy sin x = ( ε x ( 1 x+. (1 ε1

5 œt ožˆÿ {~ ˆŽˆ ˆŠˆ ˆŠˆ X} o ˆ ˆž Šˆž o ˆ}NŽˆŠˆ ˆ}N ožˆ ˆŽ ˆŽˆ ˆ o ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆŠˆ ˆŠˆ{ 7 Dziedziną funkcji sin x jest zbiór liczb R (co później będzie udowodnione. Okresem funkcji sinus jest, co wynika z twierdzenia 3.3 (patrz punkt ix. Rozpatrzmy tożsamość trygonometryczną cos x = 1 sin x. (13 Korzystając z zależności (8 i podnosząc ją obustronnie do kwadratu, otrzymujemy ( ε (x = sin x, x 0, 1. (14 Korzystając z twierdzenia 3.3, można uzasadnić, że równość w warunku (14 jest spełniona dla x R. Otrzymaną zależność podstawiamy do (13, korzystając z (4. Wówczas cosinus można wprowadzić w następujący sposób. Definicja 4.4 Funkcją cosinus nazywamy cos x = 1 ( ε x, x R. ( Dziedziną funkcji cosinus jest zbiór R. Twierdzenie 4.5 Zachodzi następująca tożsamość: cos x = 1 ε (x. (16 Dowód. Dla dowodu posługujemy się zależnością (14, jak również znaną następującą tożsamością: tg x = 1 ctg x. Wykorzystując (10, otrzymujemy tg(x = ε 1 (x. Otrzymaną zależność różniczkujemy obustronnie ze względu na zmienną x cos (x = ε 1(x ε 1 (x. Korzystając z (3 i dokonując przekształceń ostatniego równania, otrzymujemy cos (x = ε 1(x ε (x.

6 7 y {~}N `ƒ {~ X {ˆ L ˆŠˆ{T {ŒN ˆŽˆ X{ˆ {~ ˆ y ˆ ˆ ˆ ˆ Korzystając dalej z (4, mamy co jest równoważne równości (16. Twierdzenie zostało udowodnione. cos (x = ε (x, ε (x Twierdzenie 4.6 Funkcje sinus i cosinus wprowadzone przez szeregi Eisensteina spełniają tożsamość sin(x + y = sin(x cos(y + cos(x sin(y, x, y R. (17 Dowód. W dalszym ciągu będą przedstawiane tylko przejścia równoważne. Rozpatrzmy równość (5, podnosząc do kwadratu wyrażenie w nawiasie po prawej stronie tej równości oraz dodając i odejmując, mamy: ε (xε (y = ε (x + y[ε 1(x + + ε 1 (xε 1 (y + ε 1(y + ]. (18 Korzystając ze wzoru (4, otrzymujemy: ε (xε (y = ε (x + y[ε (y + ε 1 (xε 1 (y + ε (x]. (19 Ostatni wzór można zapisać w postaci ε (xε (y (1 ε (x + y = ε (y + (1 ε (x + ε 1 (xε 1 (y. ε (y ε (x Podstawiając za ε 1 (xε 1 (y prawą stronę (9, mamy: ε (xε (y (1 ε (x + y = ε (y + ε (y + ( 1 (1 ε (x ε (x ( 1 ε (xε (y. ε (y ε (x Pierwiastkując obustronnie ostatnią równość, otrzymujemy: ( ( ε (xε (y ε (x + y = 1 ε (y + 1 ε (y ε (x ε (x. Mnożąc obie strony przez, jednocześnie dzieląc przez ε (x oraz ε (y, mamy: 1 ε (x + y = ε (y 1 ε (x +. (0 ε (x ε (y Korzystając z (16 oraz (8, otrzymujemy (17. Twierdzenie zostało udowodnione.

7 œt ožˆÿ {~ ˆŽˆ ˆŠˆ ˆŠˆ X} 7 o ˆ ˆž Šˆž o ˆ}NŽˆŠˆ ˆ}N ožˆ ˆŽ ˆŽˆ ˆ o ˆ ˆ ˆ ˆ ˆŠˆ ˆŠˆ{ 7 Z (14 wynika, że gdyż ε (x =. Analogicznie sin 0 = 0, (1 cos = 0, ( co wynika ze wzoru (16 przy x = 1 oraz z równości Nierówność + m= 1 ( 1 + m =. (3 sin x > 0 dla 0 < x < (4 wynika ze wzoru (8. Podstawimy do (14 x = 1. Na mocy (3 uzyskujemy sin = 1. (5 Podstawimy do (17 y =. Wówczas z ( i (5 mamy Skąd na mocy (1 (4 wnioskujemy, że sin(x + = cos x. (6 cos x > 0 dla 0 < x <. (7 Wobec tego funkcje sin x i cos x wprowadzone przez szeregi Eisensteina spełniają wszystkie warunki wymagane w definicji Nowosiołowa dla λ = (zob. punkt. Jest to dowód poprawności definicji sinus i cosinus zdefiniowanych za pomocą szeregu Eisensteina. â «~ Nowosiołow, S. I.: 1956, Specjalny wykład trygonometrii, PWN, Warszawa. Weil, A.: 1976, Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker, Springer- Verlag, Berlin. Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny ul. Podchorążych PL Kraków smklakla@ap.krakow.pl vmityu@yahoo.com

8