1 Zbiór liczb rzeczywistych
|
|
- Eugeniusz Malinowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zbiór liczb rzeczywistych Pojęcieliczbyzmieniałosięwczasie.Najpierwbyłyliczbynaturalne:,,,...,potem ułamki, czyli liczby wymierne. W czasach Pitagorasa pojawiły się liczby niewymierne takiejaknp.,aznaczniepóźniejliczbyujemneiliczba0(dopierowviiiwieku). Wszystkie te liczby obejmujemy wspólną nazwą liczb rzeczywistych. Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; Q zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych. Podkreślamy, że 0 nie jest liczbą naturalną. Liczba wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy jest niewymierna. Inną ważną liczbą niewymierną jest ( e=lim n + n) n,78... nazywanateżliczbąeulera. Każda liczba niewymierna ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Jest to warunek konieczny niewymierności liczby. Nie jest on jednak dostateczny, bo liczby wymierne(a nawetnaturalne!)teżmogąmiećnieskończonerozwinięciadziesiętne,np. =0,(), =0,(9).(wtymzapisienawiasoznacza,żecyfrapowtarzasięnieskończeniewiele razy) Pojęcia definiowane dalej odnoszą się do zbiorów będących podzbiorami liczb rzeczywistych.. Zbioryograniczone DefinicjaZbiórXjestograniczonyzdołu,gdyistniejetakaliczbam,że x X x m. Analogicznie,Xjestograniczonyzgóry,gdyistniejetakaliczbaM,że x X x m. Liczby m, M nazywamy ograniczeniem dolnym i ograniczeniem górnym zbioru X. Przykłady.ZbiórA={,5,9,,...}jestograniczonyzdołu(ograniczeniemjestliczba,lub dowolna liczba mniejsza od ), nie jest natomiast ograniczony z góry..przedziałb=(,)niejestograniczonyzdołu,alejestograniczonyzgóry(liczbą lubliczbąwiększąod)..zbiórd={ n 7:n N}jestograniczonyzdołu(możnawykazać,żewszystkie pierwiastki sa większe od ), i z góry(łatwo wykazać, że wszystkie pierwiastki sa mniejsze od7). Więcejinformacjiwrozdzialeociągach.
2 . Kresyzbiorów Jak widzieliśmy, ograniczenia zbiorów(jeśli w ogóle istnieją) nie są wyznaczone jednoznacznie. Dość naturalne jest żądanie, by podać najmniejsze ograniczenie górne i największe ograniczenie dolne. Definicja Kresem dolnym zbioru X ograniczonego z dołu nazywamy największą liczbę a ograniczającą ten zbiór z dołu. Symbolicznie warunek ten możemy zapisać następująco: x X x a ǫ>0 x0 Xx 0 <a+ǫ. Piszemy:a=infX.DlazbiorunieograniczonegoinfX=. Definicja Kresem górnym zbioru X ograniczonego z góry nazywamy najmniejszą liczbę b ograniczającą ten zbiór z góry. Symbolicznie warunek ten możemy zapisać następująco: x X x b ǫ>0 x0 Xx 0 >b ǫ. Piszemy:b=supX.DlazbiorunieograniczonegosupX=. Przykłady(patrz przykłady wyżej).zbióra={,5,9,,...}makresdolny,aniemakresugórnego:infa=, supa=..przedziałb=(,)niemakresudolnego,akresemgórnymjest:infb=, supb=..dlazbiorud={ n 7:n N}mamy:infD=,supD=7. Zwróćmy uwagę, że kres może(lecz nie musi!) być elementem danego zbioru. W przykładzieinfa= A,wprzykładziesupB= B,wprzykładzieinfD= D, supd=7= 7 D.Zauważmyteż,żekresdolny(odp.:górny)jestelementemdanego zbioru, gdy w tym zbiorze istnieje element najmniejszy(odp.: największy). Pojęcie kresu jest wygodniejsze od pojęcia elementu najmniejszego, czy największego, bo te elementy niezawszeistnieją,akresy tak. Funkcje podstawowe pojęcia Definicja Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Piszemy np.f:x Y.Wartośćfunkcjifwpunkciexoznaczamyf(x). Funkcja jest więc zbiorem par liczb postaci(x, f(x)), a więc jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego X Y. Zaznaczając te pary jako punkty w układzie współrzędnych Oxyotrzymujemywykresfunkcji.ZbiórXnazywamydziedzinąfunkcji(ozn.D f ),ay przeciwdziedziną. Z kolei zbiór nazywamy zbiorem wartości funkcji. Wymienimy teraz ważniejsze typy funkcji. {f(x) Y :x D f }
3 Funkcjęf:X Rnazywamyokresową,gdy T>0 x X x±t Xorazf(x+T)=f(x). Warunek ten geometrycznie oznacza, że wykres funkcji nie zmienia się po przesunięciu owektor v=(t,0).liczbętnazywamyokresemfunkcji.okresniejestwyznaczony jednoznacznie,bojeślitjestokresemfunkcjif,tokażdaliczba±t,±t,...jestteż okresem. Najchętniej posługujemy się okresem minimalnym, np. dla funkcji sin x, cos x jestto,adlafunkcjitgx,ctgx liczba.jednakokresminimalnyniemusiistnieć każdafunkcjastałaf(x)=cjestfunkcjąokresową,aokresemjestdowolnaliczba! Innym przykładem funkcji okresowej bez okresu minimalnego jest funkcja Dirichleta: gdyx Q f(x)= 0 gdyx Q. Okresem tej funkcji jest każda liczba wymierna. Funkcjęf:X Rnazywamyparzystą,gdy x X x Xorazf( x)=f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy. Funkcjęf:X Rnazywamynieparzystą,gdy x X x Xorazf( x)= f(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Nazwy biorą się stąd, że wśród wielomianów funkcjami parzystymi są te, które mają wykładnikiparzyste,np.x,x 7x.Zkoleinieparzystetonp.x +x.funkcjami nieparzystymisateżsinx,ctgx,tgx,natomiastcosxjestfunkcjąparzystą. Jeżeli zbiór wartości funkcji jest ograniczony, to funkcję nazywamy ograniczoną. Ta własność istotnie zależy od dziedziny funkcji. Np. funkcja tg x rozpatrywana w przedziale [ /, /] jest ograniczona(zbiorem wartości jest przedział[, ]), a w przedziale ( /, /) jest nieograniczona(zbiorem wartości jest przedział(, )). Na koniec przypomnimy pojęcie funkcji monotonicznej. Ta nazwa obejmuje funkcje rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące. FunkcjafjestrosnącanazbiorzeA D f,jeżeli x,x A(x <x )= (f(x )<f(x )). FunkcjafjestmalejącanazbiorzeA D f,jeżeli x,x A(x <x )= (f(x )>f(x )). FunkcjafjestniemalejącanazbiorzeA D f,jeżeli x,x A(x <x )= (f(x ) f(x )). FunkcjafjestnierosnącanazbiorzeA D f,jeżeli x,x A(x <x )= (f(x ) f(x )). Monotonicznośćfunkcjistwierdzamybadającznakróżnicyf(x ) f(x )przyzałożeniu, żex >x.jeślijestonstały,tofunkcjajestmonotoniczna.rodzajznaku(>0,<0, 0, 0)wyjaśniajakijesttypmonotoniczności.
4 . Funkcjezłożone Definicja5Niechf:X Y,g:Z W,przyczymY Z.Wtedyfunkcję nazywamy złożeniem funkcji f i g. (g f)(x)=g(f(x)) dlax X Funkcję g f nazywamy funkcją złożoną; funkcje f nazywamy wewnętrzną, funkcję g zewnętrzną. Jak widać, złożenie istnieje tylko wtedy, gdy każda wartość funkcji wewnętrznej należy do dziedziny funkcji zewnętrznej(przykład niżej). Składaniefunkcjijestnieprzemienne,tzn.naogółg fjestczyminnymniżf g. Przykłady.Niechf(x)=x,g(x)= x.wtedy(g f)(x)= x dlax R,a(f g)(x)=xdla x 0..Niechf(x)=sinx,g(x)= x.wtedy(g f)(x)= sinx dlax R,a(f g)(x)=sin( x ) dlax R..Niechf(x)= x,g(x)=logx.wtedy(g f)(x)nieistnieje,a(f g)(x)= (logx) dlax>0.. Funkcjeodwrotne Definicja6FunkcjafjestróżnowartościowanazbiorzeA D f,jeżeli x,x A(x x )= (f(x ) f(x )). Znaczy to, że różnym wartościom argumentu odpowiadają różne wartości funkcji. Implikację powyższą można przekształcić korzystając z prawa transpozycji( patrz s.??): x,x A(f(x )=f(x ))= (x =x ). Warunek zapisany w tej postaci jest łatwiejszy do sprawdzenia. PrzykładWykażemy,żefunkcjaf(x)=x +x+jestróżnowartościowa.zakładamy, żef(x )=f(x ),czyli x +x +=x +x +, x x +x x =0, (x x )(x +x x +x )+(x x )=0, (x x )(x +x x +x +)=0. Alex +x x +x +=x +(x +x ) +x +>0,więcmusibyćx x =0, czylix =x. O funkcjach różnowartościowych mówimy też, że są wzajemnie jednoznaczne lub jednojednoznaczne. Totakjakzzakładaniemskarpetekibutów kolejnośćjestważna.
5 y y=x y=x y= x x Rysunek : Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych Definicja7Niechfunkcjaf :X Y będzieróżnowartościowanaxiniechjej zbioremwartościbędziecałyzbióry.funkcjęf :Y Xokreślonąwarunkiem: nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f. f (y)=x y=f(x) Zwyczajowo zamieniamy zmienne miejscami; chodzi o to, żeby argumentem był x, a wartością y. Skutkiem tej zamiany jest symetria wykresów funkcji wzajemnie odwrotnych. Pokazujemytonaprzykładziefunkcjiy=x iy= x. Przykład Znaleźć funkcję odwrotną do danej:.y= x + Tafunkcjajestróżnowartościowadlax Rijejzbioremwartościjest(0,).Aby znaleźć odwrotną traktujemy wzór określający funkcję jak równanie z niewiadomą x. Mamy zatem: y( x +)=, x += y, x = y, x=log ( y ). Zamieniamyxzy: y=log ( x ). Jesttofunkcja(0,) R.Jejwykresjestsymetrycznydowykresufunkcjiy= x + względemprostejy=x. 5
6 y y=log ( x ) y=x y= x + x Rysunek : Wykresy funkcji z przykładu.y= x+ x Dziedziną jest(, /) (/, ), zbiorem wartości(, /) (/, ). Wyliczamy x: y(x )=x+, Pozamianiexzy: xy x=y+, x(y )=y+, x= y+ y. y= x+ x. Jest to funkcja(, /) (/, ) (, /) (/, ). Wykres jest symetryczny dowykresufunkcjiy= x+ x względemprostejy=x. Funkcjewielomianowe Definicja 8 Funkcją wielomianową(krócej: wielomianem) nazywamy funkcję określoną wzorem: f(x)=a n x n +a n x n + +a x+a 0, a n 0. Liczbya k,gdziek=0,,...nnazywamywspółczynnikamiwielomianu.liczbęnnazywamy stopniem wielomianu. Jeżeli jest tylko jeden współczynnik niezerowy, to wielomian nazywamy jednomianem. Analogicznie używamy nazw: dwumian, trójmian. Dziedziną naturalną funkcji wielomianowej jest cały zbiór R. 6
7 y=x y=x x Rysunek : Wykresy przykładowych wielomianów Funkcjewykładnicze Definicja 9 Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem: f(x)=a x, gdziea>0,a 8 7 ( )x = x 0 x e x x Rysunek : Wykresy niektórych funkcji wykładniczych 7
8 Dziedziną naturalną funkcji wykładniczej jest cały zbiór R. Funkcjawykładniczajestrosnącagdypodstawaajestwiększaod,amalejącagdya jest mniejsza od. 5 Funkcjelogarytmiczne Definicja 0 Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję określoną wzorem: f(x)=log a x, gdziea>0,a Naturalnądziedzinątejfunkcjijestzbiór R + liczbwiększychodzera. Funkcja logarytmiczna jest rosnąca gdy podstawa a jest większa od, a malejąca gdy a jest mniejsza od. log x lnx 0 log 0 x log 0.5 x Rysunek 5: Wykresy niektórych funkcji logarytmicznych 6 Funkcjetrygonometryczne Przyjmujemy, że Czytelnik zna określenia funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, i ogólniej: kąta skierowanego(kąt jest mierzony w stopniach). Podamy teraz określenia funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej. Zaczniemy od wprowadzenia innej niż stopnie miary kąta. Definicja Niech będzie dany dowolny kąt. Z jego wierzchołka zataczamy okrąg o dowolnym promieniu r. Niech l oznacza łuk będący częścią wspólną tego okręgu i obszaru danego kąta. Stosunek długości tego łuku do promienia nazywamy łukową miarą kąta. Zatem łukowamiarakąta= l r. Zauważmy, że przy zmianie promienia r zmienia się proporcjonalnie łuk l, zatem stosunek jest zawsze taki sam. 8
9 Jeżeli łukowa miara kąta jest równa, to kąt nazywamy radianem. Inaczej, radian jest miarą kąta w którym łuk jest równy promieniowi. Przykłady. Miarą łukową kąta pełnego jest, bo łuk zatoczony promieniem r ma wtedy długość r..kątpółpełnymamiarę. Każdy nieco lepszy kalkulator pozwala na przeliczenie miary łukowej na stopniową, i odwrotnie. Zasada zamiany jednej miary na drugą jest prosta. Jeśli miarę łukową danego kątaoznaczymyprzezϕ,akątową:ϕ,tozachodziproporcja czyli ϕ:=ϕ :80, ϕ = 80 ϕ oraz ϕ= 80 ϕ. Przykłady.Jakajestmiarałukowakąta?. Wyrazić radian w stopniach. ϕ= 80 =0,7505. ϕ = 80 =57,958. Cyfrypoprzecinkuoznaczają Zwyklestopieńdzielimynaminuty,ate nasekundy.zatem. radian= Poniższa tabelka pokazuje miary łukowe kątów podanych w stopniach. Stopnie Radiany Od tej pory przyjmujemy, że funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej to funkcje łukowej miary kąta. Definicja Sinusem liczby x nazywamy sinus kąta skierowanego, którego miarą łukowąjestx. Analogicznie określamy pozostałe funkcje trygonometryczne. Znane własności funkcji trygonometrycznych należy teraz wysłowić inaczej. Oto przykłady. Okresempodstawowymfunkcjisinxjestliczba.Zatemsin(x+k)=sinxdla dowolnej liczby całkowitej k. Analogicznie jest dla cosinusa. Okresempodstawowymfunkcjitgxjestliczba.Zatemtg(x+k)=tgxdladowolnej liczby całkowitej k. Analogicznie jest dla cotangensa. Funkcjesinxicosxsąokreślonewprzedziale(,+ ). 9
10 Funkcjatgxjestokreślonawkażdymprzedzialepostaci( +k, +k),gdziek= 0,±,±,... Funkcjactgxjestokreślonawkażdymprzedzialepostaci(k,(k+)),gdziek= 0,±,±,... Sinus jest funkcja nieparzystą, tzn. sin( x) = sin x. Cosinus jest funkcja parzystą, tzn.cos( x)=cosx. Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste. Poniższa tabelka zawiera wartości funkcji trygonometrycznych, które należy znać na pamięć. Symbol X oznacza, że wartość nie istnieje. Kąt 0 6 sinx 0 cosx tgx 0 ctgx X 0 X 0 Wartości funkcji trygonometrycznych dla innych kątów znajdujemy korzystając z tzw. wzorów redukcyjnych. Oto niektóre z nich. sin( x)=cosxsin( x)=sinx cos( x)=sinxcos( x)= cosx tg( x)=ctgx Ogólnezasadysątakie:jeżeliwewzorzewystępujekąt lub,tofunkcjazmieniasię na kofunkcję; jeżeli we wzorze występuje kąt lub, to funkcja pozostaje bez zmian. Natomiast znak po prawej stronie ustalamy posługując się wiedzą o znakach funkcji w poszczególnych ćwiartkach(każdy powinien znać wierszyk: w pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tanges i cotangens, a w czwartej cosinus). y y=sinx 5 6 x Rysunek 6: Wykres funkcji sinus. 0
11 y y=cosx 5 6 x Rysunek 7: Wykres funkcji cosinus. y x Rysunek 8: Wykres funkcji tangens. y x Rysunek 9: Wykres funkcji cotangens. Jakwiadomo,ctgx= tgx.zatemtam,gdzietangenswynosi0,cotangensnieistnieje (występują asymptoty pionowe), i na odwrót.
12 7 Funkcjecyklometryczne Funkcje trygonometryczne nie są wprawdzie różnowartościowe na całej swojej dziedzinie, ale dla każdej z nich można łatwo znaleźć przedział na którym są różnowartościowe, i wtedy można określić funkcję odwrotną. DefinicjaRozpatrzmyfunkcjęsinx:[ /,/] [,].Funkcjęodwrotnądo niej nazywamy funkcją arc sin x. Zatem: y=arcsinx x=siny x [,] y [ /,/]. DefinicjaRozpatrzmyfunkcjęcosx:[0,] [,].Funkcjęodwrotnądoniej nazywamy funkcją arc cos x. Zatem: y=arccosx x=cosy x [,] y [0,]. Definicja5Rozpatrzmyfunkcjętgx:( /,/) (, ).Funkcjęodwrotną doniejnazywamyfunkcjąarctgx.zatem: y=arctgx x=tgy x (, ) y ( /,/). Definicja6Rozpatrzmyfunkcjęctgx:(0,) (, ).Funkcjęodwrotnądoniej nazywamy funkcją arc ctg x. Zatem: y=arcctgx x=ctgy x (, ) y (0,). Te cztery funkcje obejmujemy wspólną nazwą funkcji cyklometrycznych. Skrót arc w nazwach tych funkcji oznacza łuk, bo każda z tych funkcji przyporządkowuje liczbie będącej wartością funkcji trygonometrycznej miarę łukową odpowiedniego kąta. Ważne jest, by pamiętać dziedziny i przedziały wartości funkcji cyklometrycznych. Np. funkcja y = sin x posiada funkcje odwrotne w rozmaitych przedziałach, ale tylko dla przedziału[ /, /] używamy oznaczenia arc sin x. Istnieje wiele tożsamości dla funkcji trygonometrycznych, a z nich wynikają tożsamości dla funkcji cyklometrycznych. Przykład Wykazać, że arcsinx+arccosx=. Dowód.Oznaczmyu=arcsinx,v=arccosx.Zatemx [,],u [ /,/], v [0,].Ponadto: x=sinu, x=cosv, oraz ze wzoru redukcyjnego: Zatem sinu=cos(/ u). cos(/ u)=cosv. Alezarówno/ ujakivnależądoprzedziału[0,],wktórymfunkcjacosxjest różnowartościowa.stądwynika,żeargumentymusząbyćrówne:/ u=v,więc u+v=/,czyli: arcsinx+arccosx=.
13 PrzykładObliczyćarcsin /. Niechx=arcsin /.Wtedyzdefinicjisinx= /orazx [/,/].Zatem x=/. PrzykładWykazać,żecos(arcsinx)= x dla x. Oznaczmyarcsinx=y.Wtedysiny=x,y [/,/]oraz cos(arcsinx)=cosy=± sin y=± x. Aleznakminusjestwykluczony,bocosx 0w[/,/].Zatem 8 Funkcjeelementarne cos(arcsinx)= x. Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne. Natomiast funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi. W szczególności są to: wartość bezwzględna, wielomiany, funkcje wymierne. Funkcjami elementarnymi są również tzw. funkcje hiperboliczne zdefiniowane następująco. Definicja 7 Sinusem hiperbolicznym, oznaczanym sinh x nazywamy funkcję: sinhx= ex e x. Definicja 8 Cosinusem hiperbolicznym, oznaczanym cosh x nazywamy funkcję: coshx= ex +e x. Definicja 9 Tangensem hiperbolicznym, oznaczanym tgh x nazywamy funkcję: tghx= sinhx coshx =ex e x e x +e x. Definicja 0 Cotagensem hiperbolicznym, oznaczanym ctgh x nazywamy funkcję: ctghx= coshx sinhx =ex +e x e x e x. Dla funkcji hiperbolicznych istnieją tożsamości przypominające te dla funkcji trygonometrycznych. Przykładowo: cosh x sinh x=, sinhx=sinhxcoshx, coshx=cosh x+sinh x. Tożsamości te łatwo sprawdzić rachunkowo.
14 y y=coshx y=sinhx x Rysunek 0: Wykresy sinusa i cosinusa hiperbolicznego Łatwo sprawdzić także, że sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą, a cosinus hiperboliczny parzystą. Oprócz powyżej wymienionych, będziemy posługiwać się dwiema funkcjami nieelementarnymi:. Funkcja część całkowita przyporządkowująca liczbie x największą liczbę całkowitą niewiększą niż x: [x]=k dla k x<k+, gdzie k Z. Np.[ ]=0,[,]=,[,56]= 5,[ ]=.
15 . Funkcja signum(znak), oznaczana sgn x, i zdefiniowana następująco: sgnx= dla x<0 0 dla x=0 dla x>0 5
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoFunkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoO funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Bardziej szczegółowo7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Bardziej szczegółowoFunkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część pierwsza Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? Funkcja dla każdego argumentu ma określoną dokładnie jedną
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoMatematyka kompendium 2
Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoW. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury
LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Katalog wymagań programowych
MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1 Liczby rzeczywiste: Uczeń otrzymuje ocenę ( jeśli rozumie i stosuje podpowiedź nauczyciela)oraz
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoMatematyka 1 wymagania edukacyjne
Matematyka 1 wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY PIERWSZEJ POZIOM PODSTAWOWY. I. Liczby (20 godz.) ( b ) 2
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY PIERWSZEJ POZIOM PODSTAWOWY I. Liczby (0 godz.) TEMAT ZAJĘĆ Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej Wzory skróconego mnoŝenia Nierówności liniowe Przedziały liczbowe Powtórzenie przedstawiać
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16
Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne dla klasy 1 Liceum zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania edukacyjne dla klasy Liceum zakres podstawowy i rozszerzony Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: ocena dopuszczająca (K) ocena dostateczna (K) i (P) ocena
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej
Rozdział. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Rodzaje funkcji elementarnych Kiedy mamy do czynienia z pojęciem funkcji? Każdy używany samochód ma swój nr rejestracyjny. Oczywiście niektóre tablice rejestracyjne
Bardziej szczegółowoZapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.
Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5
Funkcje elementarne Ksenia Hladysz 16.10.014 Spis treści 1 Funkcje elementarne. 1 Własności 3 Zadania 5 1 Funkcje elementarne. Są to funkcje określone wzorami zawierającymi skończoną ilość operacji algebraicznych
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA I TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoFUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Klasa pierwsza zakres rozszerzony. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowo