M A T H E M A T I C A L E C O N O M I C S No. 3 () 6 (Wrocław) PORZĄDKI GENEROWANE KRZYWĄ LORENZA Abstract. O a set of distributios (desities) of earigs it is possible to itroduce sequece geerated with curves ad geeralied Lore curves. If (geeralied) Lore curve of the first distributio is over the Lore curve of the secod distributio, the we say that the first distributio domiates secod. Whe the curves itersect, they are ocomparable. It proves that these sequeces are equivalet to relatios arragig distributios i respect of the iequality of distributios of earigs, well-beigs ad the poverty. Key words: Lore curve, geeralied Lore curve, iequality of a distributio, well- -beig, poverty.. Wstęp Dae są rokłady dochodów dwóch społecości lub jedej, ale w dwóch różych okresach. Mając te dwa wektory dochodów x = (x,..., x ) ora y = (y,..., y ) chcemy uyskać odpowiedi a astępujące pytaia: a) w której populacji jest więksa ierówomierość rodiału dochodów? b) w której populacji jest więksy dobrobyt? c) w której populacji jest miejse ubóstwo? Pokażemy, że a te try pytaia moża odpowiedieć, wykorystując porądek geeroway pre krywe Lorea.. Krywa Lorea Załóżmy, że wektor dochodów x = (x,..., x ) jest realiacją mieej losowej X o rokładie i jest uporądkoway iemalejąco: x x... x. Empirycą krywą Lorea geerują pukty, których pierwsymi współrędymi są licby i/, gdie i =,,..., ; ustaloa licba, a drugie współręde są defiiowae astępująco: i si L () = i L =, gdie s s i = x + x +... + x i.
6 Krywa Lorea L(p) jest defiiowaa dla wsystkich puktów p (, ) popre liiową iterpolację. L(p) repreetuje p-tą frakcję ajmiejsymi wartościami (p. ajmiejsymi dochodami). Załóżmy, że roważae licby x i są próbką losową rokładu (x), który jest fukcją ściśle rosącą, < (x) <, ora że średia µ rokładu (x) istieje. Pierwse ałożeie implikuje, że (p) jest dobre defiiowae i jest to populacja p-tego kwatylu. Teoretyca krywa Lorea odpowiadająca temu rokładowi jest defiiowaa astępująco: p ( ) µ ( ). L p = t dt () W tabeli mamy krywe Lorea geerowae pre pewe ae rokłady (por. J. Gastwirth (97)). Jedostajy Tabela. Krywe Lorea geerowae pre rokłady Rokład Dystrybuata Krywa Lorea, ( x) =, x < µ x µ L( p) = p Wykładicy ( x) = e λx, x > p + ( p) l( p) Presuięty wykładicy ( x) Pareta ( x) ( ) ( x a ) = e λ, x > a = a x, x > a, > p + + λa p p ( ) ( ) l( ) ( p) a ( ) Źródło: J. Gastwirth (97). Jeśli L(p) jest krywą Lorea odpowiadającą rokładowi (x), to L(p) jest wypukła i jej pochoda L ( p) = dla p = ( µ ). 3. Nierówomierość rodiału dochodów Najbardiej aym mierikiem ierówości dochodów jest ideks Giiego (ay także pod awą współcyika kocetracji Lorea). Ideks Giiego G jest rówy podwojoemu polu kocetracji (S). Alteratywy wór dla ideksu Giiego G jest oparty a średiej różicy ( ) odpowiadającej rokładowi (x): G =, µ
Porądki geerowae krywą Lorea 7 gdie [ ] [ ] = x y d( x) d( y) = ( x) ( x) dx = 4 x ( x) d( x). S krywa Lorea akreskowaa powierchia aywa się polem kocetracji S Rys.. Geometryca iterpretacja ideksu Giiego Wór G = µ pokauje, że ideks Giiego miery relatywą ierówość jako stosuek miary roproseia średiej różicy do wartości średiej (µ). Pokażemy rówoważość tych dwu defiicji współcyika Giiego. j= x i y j j =, j= j j= j = = +, j= j= j j= x x = x ( + ) x x = 4 x ( + ) x, i j i i i i i j= j= j j= j= j x j j= G = ( + ) j = i i j = =.
8 Poieważ L k = k stąd i G L. Jeśli S jest polem kocetracji, to ( ) G = S + = S + = S. Współcyik Giiego jest relatywym ideksem ierówości mierącym skale proporcji dochodów, a ie efektywą miarę ierówości. Krywa Lorea ie miei się, jeżeli wektor dochodów pomożymy pre dowolą dodatią licbę recywistą. Ideks Giiego ma jedak ważą własość: jeżeli robimy trasfer od osoby bogatsej do biediejsej, to ideks się miejsy i a odwrót. Zatem możemy powiedieć, że współcyik Giiego jest ideksem relatywej ierówości. Załóżmy, że mamy krywe Lorea dla różych populacji A i B. Będiemy mówić, że rokład populacji A domiuje ad rokładem populacji B w sesie Lorea LA ( x) LB( x) krywa Lorea dla populacji A jest ad krywą Lorea dla populacji B (jeżeli się preciają, to są ieporówywale). Łatwo auważyć, że jeżeli rokład populacji A domiuje ad rokładem populacji B w sesie Lorea, to pole kocetracji dla A jest miejse iż pole kocetracji dla B i tym samym w A jest miejsa ierówomierość rokładu dochodów iż w B. Zatem a biore wektorów (rokładów) dochodów porądek domiacji w sesie Lorea jest w pewie sposób rówoważy porądkiem ierówomierości rokładu dochodów. y y 4. Dobrobyt Okauje się, że porądek domiacji w sesie Lorea pokrywa się porądkiem dobrobytu. Wiadomo, że współcyik Giiego i krywa Lorea są miarami wględymi (t. iecułymi a prekstałceia jedorode dodatie). Zatem porówywaie a ich pomocą poiomu dobrobytu różych populacji może doprowadić do mylych wiosków. Cy moża poprawić i i,
Porądki geerowae krywą Lorea 9 te miary, aby móc imi mieryć dobrobyt populacji (lub porówywać dobrobyty różych populacji)? Jeżeli U(x) jest użytecością dochodu x, a f(x) jest gęstością rokładu dochodów, to średią użytecość dochodu oblica się e woru: SW = U( x) f ( x) dx. () Cęsto iterpretuje się ją jako dobrobyt społecy populacji o rokładie dochodów f(x). Twierdeie Atkisoa (A.B. Atkiso (97)). Niech (x) i G(x) będą dystrybuatami rokładów dochodów o takich samych dochodach preciętych µ = µ G. Wtedy L ( p) LG ( p) U ( x) f ( x) dx U ( x) g( x) dx (3) dla każdej U(x) takiej, że U(x) rośie wklęśle ( U ( x) > i U ( x) < ). Cyli dobrobyt populacji A (o dystrybuacie dochodów (x)) jest ie miejsy iż dobrobyt populacji B (pry takich samych dochodach preciętych) wtedy i tylko wtedy, gdy rokład populacji A domiuje w sesie Lorea ad rokładem populacji B. Twierdeie Atkisoa uogólił A.. Shorrocks (983), wprowadając uogólioą krywą Lorea GL(x): GL( x) = µ L( x), (4) gdie L(x) jest krywą Lorea, µ jest dochodem preciętym. Twierdeie Shorrocksa. Niech (x) i G(x) będą dystrybuatami rokładów dochodów ( f(x) i g(x) odpowiedio do ich gęstości). Wówcas GL ( p) GLG ( p) U ( x) f ( x) dx U ( x) g( x) dx (5) dla wsystkich U(x), takich że U ( x) > i U ( x) <, ora dla każdego p [, ]. Cyli dobrobyt populacji A (o dystrybuacie dochodów (x)) jest ie miejsy iż dobrobyt populacji B wtedy i tylko wtedy, gdy rokład populacji A domiuje w sesie uogólioych krywych Lorea ad rokładem populacji B.
3 Uogólioa krywa Lorea dla populacji o rokładie jest defiiowaa astępująco: p ( ; ) ( ) GL p = q dq, dla p [, ] (6) i stowarysoy ią cęściowy porądek GL jest defiioway astępująco: GLG GL( ; p) GL( G; p), p [, ] ora (7) GL( ; p) > GL( G; p) dla pewego p [, ]. A.K. Se (973) wyprowadił astępującą miarę dobrobytu: IS = µ ( G ). Moża łatwo pokaać, że porądek uogólioych krywych Lorea implikuje porądek według miary dobrobytu Sea. GLG GL ( p) dp GL ( p) dp µ L ( p) dp µ L ( p) dp G G G S S µ µ G µ ( G ) µ G( GG ) IS ISG, gdie S jest polem pod krywą Lorea dla, a S jest polem pod krywą Lorea dla G. W drugą stroę implikacja jest ieprawdiwa, poieważ porądek uogólioych krywych Lorea jest porądkiem cęściowym, a porądek według miary dobrobytu Sea jest porądkiem liowym. 5. Ubóstwo Kotyuacją tego podejścia jest praca J.E. ostera i A.. Shorrocksa (988). W tej pracy rokłady dochodów są repreetowae pre dystrybuaty e bioru: = { : R+ [,] : iemalejąca i prawostroie ciągła; ( ) = i ( s ) = dla pewego s < }, µ = sd(s)
Porądki geerowae krywą Lorea 3 ora ( p) = if { s : ( s) p}, p [, ]. Ideks ubóstwa jest fukcją P: R+ R, której wartości P(; ) są stowarysoe dystrybuatą pry ustaloej liii ubóstwa. Prykłady:. P ( ; ) = ( ) jest to procet ubogich. W prypadku dyskretym P = m/, gdie oaca moc całej populacji, m moc populacji ubogich.. Luka dochodów ubogich ( ) ( ; ) = ( ). P p dp P = 3. Ideks typu ostera: ( ) [ ( p ] m. (8) m P 3 ( ; ) = ) dp. P 3 = ( ). (9) 4. Uogólieie ideksu P 3 [ ( p ] ( ) ) P ( ; ) = dp,, P który awiera P, P i P 3. m = ( ), () Na biore określa się relację porądku, którą określa się symbolem P(), gdie jest ustaloe i Z. Z oaca pewie ustaloy prediał możliwych progów ubóstwa (a prykład od miimum biologicego, do 6% średich wydatków w daej populacji). Relacja ta jest defiiowaa astępująco (por. J.E. oster, A.. Shorrocks (988)): ora P( ) G P( ; ) P( G; ), Z () P( ; ) < P( G; ) dla pewego Z. Zapis P ( ) G oaca, że populacja dystrybuatą dochodów ma miejse ubóstwo iż populacja dystrybuatą dochodów G e wględu a ideks ubóstwa P i biór liii ubóstwa Z.
3 Dla daego iech = ora będie defiiowae rekurecyjie dla s () ( s) = ( t) dt i ( s) = ( s). Wówcas możemy defiiować relację domiacji stochastycej D stopia dla N astępująco: D G ( s) G ( s) dla wsystkich s > ora (3) ( s) < G ( s) dla pewego s >. Zauważmy, że P ( ; ) = ( y) d( y). (4) Całkując pre cęści prawą stroę, otrymamy: skąd mamy wiosek. ( y) d( y) = ( )! ( ), (5) Wiosek. Dla dowolego N Zauważmy też, że jeśli β, to P G D G. (6) P G P G. β Odpowiediość międy porądkami ubóstwa P i domiacjami stochastycymi D daje możliwość otrymaia iteresującej iterpretacji P w termiach fukcji dobrobytu społecego. Załóżmy, że U jest klasą fukcji dobrobytu postaci U ( ) = u( x) d( x), gdie u: R+ R jest fukcją ciągłą. Niech U U będie klasą tych fukcji, dla których u ( x) > i U U klasą tych fukcji, dla których u < i U3 U takich fukcji, że u >.
Porądki geerowae krywą Lorea 33 Dla =,, 3 U będą cęściowymi porądkami defiiowaymi astępująco: U G U ( ) > U ( G) dla wsystkich U U. (7) Wykorystując ay wyik domiacji stochastycych (V.S. Bawa (975)), otrymamy wiosek. Wiosek. Dla =,, 3 P G U G. Zatem stwierdeie, że w społecości o dystrybuacie dochodów jest miejse ubóstwo iż w społecości o dystrybuacie dochodów G dla P jest rówoważe stwierdeiu, że w społecości o dystrybuacie dochodów jest lepsy dobrobyt iż w społecości o dystrybuacie dochodów G dla wsystkich fukcji dobrobytu U. Moża pokaać stwierdeie bardiej ogóle, a miaowicie, że porądek domiacji stochastycych implikuje porądek ubóstwa. Wiosek 3. Jeżeli rokład domiuje ad rokładem G (3), to ubóstwo w populacji o rokładie dochodów jest miejse iż ubóstwo w populacji o rokładie dochodów G. Niech Φ : R+ R będie fukcją malejącą, taką że ora Wtedy Φ () = Φ ( ) = (() = ). ( ) ( t) d( t) ( t) ( t) ( t) d ( t) ( t) d ( ( t) ). (8) Φ = Φ = Φ Φ = Φ Stąd P(G, ) P(, ) = Φ( G) Φ ( ) = ( G( t) ( t) ) d ( Φ( t) ) dt, (9) gdyż pryrosty iemalejącej fukcji Φ ( t) wyacają miarę dodatią i ałożeia G ( D G ). Zatem, korystając twierdeia Bawy, mamy, że porądek dobrobytu implikuje porądek ubóstwa.
34 Literatura A.B. Atkiso (97). O the measurmet of iequality. Joural of Ecoomic Theory. Vol.. V.S. Bawa (975). Optimal rules for orderig ucertai prospects. Joural of iacial Ecoomics. Vol.. M. Bieracki (998). Problemy pomiaru ubóstwa. Praca doktorska. AE. Wrocław. J.E. oster, A.. Shorrocks (988). Poverty Orderigs. Ecoometrica. Vol. 56. L. Gastwirth (97). The estimatio of the Lore curve ad Gii idex. The Review of Ecoomics ad Statistics 63. Vol. 3. A.K. Se (973). O Igorace ad equal distributio. America Ecoomic Review. Vol. 63. A.. Shorrocks (983). Rakig Icome Distributios. Ecoomica. Vol. 5.