AB = x a + yb y a + zb z a 1

1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor AA jest zerowy. Ka»de dwa wektory zerowe (o dowolnych poczatkach) sa sobie równe. Wektor zerowy oznaczamy przez 0. EFINICJA. wa niezerowe wektory AB oraz C maja ten sam kierunek (sa równolegªe), gdy proste wyznaczone przez te wektory (czyli prosta przechodzaca przez punkty A i B oraz prosta przechodzaca przez punkty C i ) sa równolegªe. EFINICJA. wa niezerowe wektory maja ten sam zwrot, gdy póªprosta wyznaczona przez jeden z tych wektorów mo»na przesuna równolegle tak, by pokryªa sia z póªprosta wyznaczona przez drugi z tych wektorów. Oczywi±cie wektory majace ten sam zwrot sa równolegªe. EFINICJA. Gdy dwa niezerowe wektory sa równolegªe, ale nie maja tego samego zwrotu, to mówimy,»e maja przeciwne zwroty. EFINICJA. ªugo± wektora AB, to dªugo± odcinka AB. ªugo± wektora oznaczamy AB. EFINICJA. wa wektory niezerowe sa równe, gdy maja ten sam kierunek, te sama dªugo± i ten sam zwrot. EFINICJA. Suma wektorów a oraz b nazywamy wektor a + b o poczatku w poczatku wektora a i ko«cu w ko«cu wektora b, o ile koniec wektora a jest poczatkiem wektora b. EFINICJA. Iloczynem wektora a przez liczbe λ nazywamy wektor λ a okre±lony nastepujaco: gdy a = 0 lub λ = 0, to λ a = 0; gdy a 0 i λ 0, to λ a ma kierunek wektora a, dªugo± λ a = λ a oraz zwrot zgodny ze zwrotem a gdy λ > 0, a przeciwny do zwrotu a gdy λ < 0. EFINICJA. Wektor przeciwny do wektora a to wektor a = ( 1) a. Odejmowanie wektorów deniujemy tak: a b = a + ( b). EFINICJA. Kat miedzy niezerowymi wektorami (przesuwamy je tak, by miaªy wspólny poczatek) to kat ( a, b) [0, π] jaki tworza póªproste wyznaczone przez te wektory. wa wektory sa prostopadªe, gdy kat miedzy nimi wynosi π. 2 EFINICJA. Wersory osi 0x, 0y, 0z ukªadu wspóªrzednych to wektory i, j, k o dªugo±ci 1 oraz o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem odpowiedniej osi. WŠASNO. la ka»dego wektora a (w przestrzeni trójwymiarowej) istnieja (jednoznacznie okre±lone) liczby a x, a y, a z takie,»e a = a x i + a y j + a z k. Liczby ax, a y, a z to wspóªrzedne wektora. Zapisujemy te» a = [a x, a y, a z ]. WŠASNO. Gdy a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], to a = x + y + z, λ a = [λa x, λa y, λa z ], a + b = [a x + b x, a y + b y, a z + b z ]. WŠASNO. Gdy A(x a, y a, z a ), B(x b, y b, z b ), to AB = [x b x a, y b y a, z b z a ], (xb ) 2 ( ) 2 ( ) 2. AB = x a + yb y a + zb z a 1

2 EFINICJA. Iloczyn skalarny wektorów a i b to liczba a b = a b cos ( a, b). TWIERZENIE. Gdy a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], to a b = a x b x + a y b y + a z b z. WŠASNO. a b a b = 0. EFINICJA. Iloczyn wektorowy wektorów a i b to wektor a b zdeniowany nastepujaco: gdy a = 0 lub b = 0, lub wektory a i b sa równolegªe, to a b = 0; w przeciwnym przypadku, a b = a b sin ( a, b), wektor a b jest prostopadªy do wektorów a i b oraz ma zwrot taki,»e patrzac z ko«ca wektora a b na pªaszczyzne wyznaczona przez wektory a i b (zakªadamy,»e te trzy wektory maja wspólny poczatek) kat skierowany od a do b jest mniejszy od π. WŠASNO. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny: a b = b a. WŠASNO. ªugo± iloczynu wektorowego dwóch wektorów jest równa polu równolegªoboku zbudowanego na tych wektorach. TWIERZENIE. Gdy a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], to a i j k b = a x a y a z. b x b y b z PRZYKŠA. Oblicz pole trójkata o wierzchoªkach A(15, 1, 2013), B(16, 1, 2014), C(17, 2, 2013). Pole trójkata to poªowa pola równolegªoboku zbudowanego na wektorach AB = [1, 0, 1], AC = [2, 1, 0] rozpinajacych ten trójkat. Iloczyn wektorowy: AB i j k AC = 1 0 1 2 1 0 = i + 2 j + k = [ 1, 2, 1], zatem pole ABC jest równe 1 AB AC = 1 2 2 ( 1)2 + 2 2 + 1 2 = 2 1 6. EFINICJA. Iloczyn mieszany trzech wektorów a, b, c, to liczba a b c = ( a b) c. INTERPRETACJA. Warto± bezwzgledna z iloczynu mieszanego trzech wektorów jest równa objeto±ci równolegªo±cianu zbudowanego na tych wektorach. TWIERZENIE. Gdy a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], c = [c x, c y, c z ], to ( a a x a y a z b) c = b x b y b z. c x c y c z PRZYKŠA. Oblicz objeto± czworo±cianu o wierzchoªkach A(15, 1, 2013), B(16, 1, 2014), C(17, 2, 2013). (18, 2, 2010). Objeto± V czworo±cianu rozpietego na wektorach AB = [1, 0, 1], AC = [2, 1, 0], A = [3, 1, 3], to 1 objeto±ci równolegªo±cianu zbudowanego na tych wektorach; 6 ( AB AC) 1 0 1 A = 2 1 0 3 1 3 = 4, zatem V = 1 ( AB AC) 6 A = 1 4 = 2. 6 3

3 2. Prosta, pªaszczyzna, powierzchnie drugiego stopnia Ogólne równanie pªaszczyzny: Ax + By + Cz + = 0. Pªaszczyzna ta jest prostopadªa do wektora n = [A, B, C]. Równanie pªaszczyzny prostopadªej do wektora n = [A, B, C] i przechodzacej przez punkt P (x 1, y 1, z 1 ): A(x x 1 ) + B(y y 1 ) + C(z z 1 ) = 0. Równanie odcinkowe pªaszczyzny nierównolegªej do»adnej osi ukªadu wspóªrzednych: x a + y b + z c = 1. Pªaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c). Odlegªo± punktu P 0 (x 0, y 0, z 0 ) od pªaszczyzny Ax + By + Cz + = 0: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + A2 + B 2 + C 2. Równanie parametryczne prostej przechodzacej przez punkt P (x 1, y 1, z 1 ) i równolegªej x = x 1 + at do wektora k = [a, b, c]: y = y 1 + bt z = z 1 + ct, dla t R. Równanie kierunkowe (kanoniczne) prostej przechodzacej przez punkt P (x 1, y 1, z 1 ) i równolegªej do wektora k = [a, b, c]: x x 1 = y y 1 = z z 1. a b c { A1 x + B Równanie krawedziowe prostej: 1 y + C 1 z + 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + 2 = 0 ; zakªadamy,»e pªaszczyzny opisane tymi równaniami nie sa równolegªe. Powierzchnia drugiego stopnia to zbiór punktów (x, y, z) opisanych równaniem: A 1 x 2 + A 2 y 2 + A 3 z 2 + A 4 xy + A 5 xz + A 6 yz + A 7 x + A 8 y + A 9 z + A 10 = 0, gdzie przynajmniej jedna ze staªych A 1,..., A 6 jest ró»na od zera. TWIERZENIE. Ka»da powierzchnie drugiego stopnia mo»na tak przesuna i obróci by przyjeªa jedna z nastepujacych postaci: (1) x2 + y2 + z2 c 2 (2) x2 (3) x2 (4) x2 (5) x2 + y2 + y2 + y2 + z2 c 2 + z2 c 2 = 1 (elipsoida), = 0 (punkt), = 1 (zbiór pusty), z2 = 1 c (hiperboloid jednopowªokowa), y2 z2 c 2 = 1 (hiperboloida dwupowªokowa), (6) x2 + y2 z2 = 0 (sto»ek), c 2 (7) x2 + y2 = z b (paraboloid eliptyczna), (8) x2 y2 = z b (paraboloid hiperboliczna),

4 (9) x2 + y2 (10) x2 (11) x2 (12) x2 (13) x2 y2 + y2 + y2 y2 = 1 (walec eliptyczny), = 1 (walec hiperboliczny), = 1 (zbiór pusty), = 0 (prosta), = 0 (dwie pªaszczyzny), (14) x2 = y (walec paraboliczny), (15) x2 = 1 (16) x2 (17) x2 (dwie pªaszczyzny równolegªe), = 0 (pªaszczyzna), = 1 (zbiór pusty). 3. Funkcje dwóch zmiennych EFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych okre±lona w zbiorze R 2, to przyporzadkowanie ka»demu punktowi (x, y) dokªadnie jednej liczby rzeczywistej f(x, y). EFINICJA. Wykres funkcji f : R, to zbiór W = {(x, y, z) : z = f(x, y), (x, y) }. EFINICJA. Otoczenie punktu (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. Sasiedztwo punktu (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór S δ (x 0, y 0 ) = {(x, y) : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. EFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: (1) punktem wewnetrznym zbioru, gdy istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze ; (2) punktem brzegowym zbioru, gdy ka»de otoczenie tego punktu zawiera jaki± punkt ze zbioru i jaki± punkt nienale»acy do ; (3) punktem skupienia zbioru, gdy w ka»dym sasiedztwie tego punktu istnieje jaki± punkt ze zbioru. EFINICJA. Zbiór wszystkich punktów wewnetrznych zbioru to wnetrze tego zbioru. Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru to brzeg tego zbioru. Zbiór jest otwarty, gdy ka»dy jego punkt jest punktem wewnetrznym tego zbioru. Zbiór jest domkniety, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Zbiór nazywamy obszarem, gdy jest otwarty i gdy ka»de dwa punkty tego zbioru mo»na poªaczy ªamana zawarta w tym zbiorze. EFINICJA. Zaªó»my,»e dziedzina funkcji f(x, y) jest zbiór. Ponadto niech (x 0, y 0 ) bedzie punktem skupienia zbioru. Mówimy,»e funkcja f jest ciagªa w punkcie (x 0, y 0 ), gdy ɛ>0 δ>0 (x,y) S δ (x 0,y 0 ) f(x 0, y 0 ) ɛ < f(x, y) < f(x 0, y 0 ) + ɛ.

Zaªó»my,»e ka»dy punkt ze zbioru jest punktem skupienia tego zbioru. Funkcja f jest ciagªa w zbiorze, gdy jest ciagªa w ka»dym punkcie tego zbioru. EFINICJA. Zaªó»my,»e funkcja f(x, y) jest okre±lona w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Je»eli istnieje sko«czona granica f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) lim, h 0 h to nazywamy ja pochodna czastkowa funkcji f wzgledem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy f x(x 0, y 0 ) lub f (x x 0, y 0 ). Podobnie deniujemy pochodna czastkowa f y = f funkcji f wzgledem zmiennej y y w punkcie (x 0, y 0 ): f y(x f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim. h 0 h Pochodne te nazywamy pochodnymi czastkowymi pierwszego rzedu. PRZYKŠA. Oblicz, z denicji, f x oraz f y, gdy f(x, y) = x 2 y. f x(x, y) = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y) h = lim h 0 x 2 y + 2xhy + h 2 y x 2 y h = lim h 0 (x + h) 2 y x 2 y h = lim h 0 (2xy + hy) = 2xy f y(x, f(x, y + h) f(x, y) x 2 (y + h) x 2 y y) = lim = lim h 0 h h 0 h x 2 y + x 2 h x 2 y = lim = x 2 h 0 h EFINICJA. Zaªó»my,»e n 2 jest liczba naturalna. Pochodna czastkowa n-tego rzedu to pochodna czastkowa pochodnej czastkowej rzedu n 1. PRZYKŠA. Oblicz pochodne czastkowe drugiego rzedu funkcji f(x, y) = x 2 y. f x = 2xy, f y = x 2, f xx = ( ) f x = ( 2xy) x x = 2y, f yy = 0, f xy = f yx = 2x. TWIERZENIE. Je»eli pochodne mieszane f xy, f yx sa ciagªe w pewnym obszarze, to sa równe. EFINICJA. Zaªó»my,»e funkcja f(x, y) jest okre±lona w pewnym otoczeniu Q punktu (x 0, y 0 ). Mówimy,»e funkcja f(x, y) osiaga w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne, gdy istnieje sasiedztwo S punktu (x 0, y 0 ) zawarte w zbiorze Q takie,»e f(x, y) > f(x 0, y 0 ). (x,y) S Mówimy,»e funkcja f(x, y) osiaga w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum lokalne, gdy istnieje sasiedztwo S punktu (x 0, y 0 ) zawarte w zbiorze Q takie,»e f(x, y) < f(x 0, y 0 ). (x,y) S 5

6 WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM. Je»eli funkcja f(x, y) ma ekstremum lokalne w punkcie (x 0, y 0 ) i je»eli istnieja pochodne czastkowe pierwszego rzedu w punkcie (x 0, y 0 ), to f x(x 0, y 0 ) = 0 i f y(x 0, y 0 ) = 0. OZNACZENIE. (x, y) = [ f xy(x, y) ] 2 f xx(x, y)f yy(x, y) Wyra»enie to nazywamy wyró»nikiem funkcji f w punkcie (x, y). WARUNEK WYSTARCZAJA CY ISTNIENIA EKSTREMUM. Zaªó»my,»e w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) istnieja ciagªe pochodne drugiego rzedu funkcji f(x, y) oraz»e f x(x 0, y 0 ) = 0 i f y(x 0, y 0 ) = 0. (1) Je»eli (x 0, y 0 )> 0, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie (x 0, y 0 ). (2) Je»eli (x 0, y 0 )< 0, to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie (x 0, y 0 ); gdy f xx(x 0, y 0 )< 0, to osiaga maksimum, a gdy f xx(x 0, y 0 )> 0 to osiaga minimum. PRZYKŠA. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 5 + 5xy + y 5. ziedzina: f = R 2. Pochodne czastkowe: f x(x, y) = 5x 4 + 5y, f y(x, y) = 5x + 5y 4 zeruja sie dla x 1 = 0, y 1 = 0 oraz x 2 = 1, y 2 = 1, zatem punkty podejrzane o ekstremum to P 1 (0, 0), P 2 ( 1, 1). Ponadto, f xx = 20x 3, f xy = 5, f yy = 20y 3. Wyró»nik: (x, y) = 5 2 20x 3 20y3. Badamy znak wyró»nika punktach podejrzanych: (0, 0) = 25> 0, zatem funkcja f nie osiaga ekstremum w punkcie P 1 (0, 0); ( 1, 1) = 25 400< 0, wiec funkcja f osiaga ekstremum w punkcie P 2 ( 1, 1). O tym, czy jest to minimum, czy maksimum decyduje znak pochodnej niemieszanej drugiego rzedu (oczywi±cie f xx(p 2 ) oraz f yy(p 2 ) sa tego samego znaku). W tym punkcie f xx( 1, 1) = 20( 1) 3 < 0, co oznacza,»e funkcja osiaga maksimum w P 2. TWIERZENIE. Funkcja ciagªa w zbiorze domknietym i ograniczonym osiaga w pewnych punktach tego zbioru swoja warto± najwieksza i najmniejsza (ekstrema globalne). UWAGA. Aby znale¹ ekstrema globalne funkcji f(x, y) w zbiorze domknietym i ograniczonym wystarczy: (1) znale¹ punkty podejrzane o ekstremum we wnetrzu zbioru (to znaczy punkty, w których obie pochodne czastkowe pierwszego rzedu sa równe zero lub przynajmniej jedna z nich nie istnieje); (2) obliczy warto±ci funkcji f w tych punktach; (3) znale¹ punkty podejrzane na brzegu zbioru (na ogóª dzielac brzeg na dogodne fragmenty) oraz obliczy warto±ci funkcji f w tych punktach; (4) z uzyskanych liczb wybra najwieksza i najmniejsza. PRZYKŠA 1A. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 oraz znale¹ warto± najwieksza i najmniejsza tej funkcji w zbiorze = {(x, y) : x 2 + y 2 100, y 8}.

Pochodne czastkowe f x(x, y) = 2x, f y(x, y) = 2y zeruja sie dla x = 0, y = 0, zatem punktem podejrzanym o ekstremum jest (0, 0). W tym punkcie funkcja f osiaga minimum lokalne, gdy» wyró»nik (0, 0) = 0 2 2< 0 oraz f xx(0, 0) = 2> 0. Punkt (0, 0) nie nale»y do zbioru, wiec nie uwzgledniamy go przy szukaniu ekstremów globalnych funkcji f w zbiorze. Pozostaje zbada zachowanie funkcji f na brzegu zbioru. ogodnie bedzie podzieli ten brzeg na dwa fragmenty: b 1 = {(x, y) : x 2 + y 2 = 100, 6 x 6} oraz = {(x, y) : y = 8, 6 < x < 6}. Zauwa»my,»e funkcja f(x, y) = 100 dla (x, y) b 1. Ponadto f(x, y) = x 2 + 64 dla (x, y). Niech f 2 (x) = x 2 + 64. Oczywi±cie f 2(x) = 2x. Pochodna ta sie zeruje dla x = 0. Obliczamy warto± funkcji: f 2 (0) = 64. Zatem warto±cia najwieksza funkcji f w jest 100, a warto±cia najmniejsza jest 64. PRZYKŠA 1B. Znale¹ warto± najwieksza i najmniejsza funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 w zbiorze = {(x, y) : x 2 + y 2 100, y 8}. Tym razem punkt (0, 0) (podejrzany) nale»y do zbioru, wiec go uwzgledniamy; f(0, 0) = 0. Badamy zachowanie funkcji f na brzegu zbioru. zielimy brzeg na dwa fragmenty: b 1 = {(x, y) : x 2 + y 2 = 100, y 8} oraz = {(x, y) : y = 8, 6 < x < 6}. Zauwa»my,»e funkcja f(x, y) = 100 dla (x, y) b 1. Ponadto f(x, y) = x 2 + 64 dla (x, y). Niech f 2 (x) = x 2 + 64. Oczywi±cie f 2(x) = 2x. Pochodna ta sie zeruje dla x = 0. Obliczamy warto± funkcji: f 2 (0) = 64. Zatem warto±cia najwieksza funkcji f w jest 100, a warto±cia najmniejsza jest 0. EFINICJA. Liczba M jest globalnym maksimum warunkowym funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0, je»eli speªnione sa dwa warunki: (1) istnieje punkt (x 0, y 0 ) taki,»e f(x 0, y 0 ) = M i g(x 0, y 0 ) = 0; (2) dla ka»dego (x, y) takiego,»e g(x, y) = 0 mamy f(x, y) M. Liczbe m nazywamy globalnym minimum warunkowym funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0, je»eli speªnione sa dwa warunki: (1) istnieje punkt (x 0, y 0 ) taki,»e f(x 0, y 0 ) = m i g(x 0, y 0 ) = 0; (2) dla ka»dego (x, y) takiego,»e g(x, y) = 0 mamy f(x, y) m. SCHEMAT ZNAJOWANIA EKSTREMÓW WARUNKOWYCH. Zakªadamy,»e funkcje f(x, y) oraz g(x, y) maja pochodne czastkowe pierwszego rzedu. Tworzymy funkcje Lagrange'a: F (x, y) = f(x, y) + λg(x, y). Punkty podejrzane o warunkowe ekstremum (lokalne) otrzymujemy rozwiazujac ukªad trzech równa«: F x(x, y) = 0, F y(x, y) = 0, g(x, y) = 0. Je»eli krzywa opisana warunkiem (tzn. zbiór punktów opisanych równaniem g(x, y) = 0) jest krzywa zamknieta, to liczymy warto±ci funkcji f w punktach podejrzanych i wybieramy z nich warto± najwieksza i najmniejsza. Je»eli krzywa opisana warunkiem ma ko«ce, to liczymy warto±ci funkcji f w punktach podejrzanych le»acych na tej krzywej oraz liczymy warto±ci f na ko«cach krzywej i nastepnie z uzyskanych warto±ci wybieramy warto± najwieksza i najmniejsza. 7

8 PRZYKŠA 2A. Zale¹ najwieksza i najmniejsza warto± funkcji f(x, y) = xy przy warunku x 2 + y 2 = 2. Tworzymy funkcje Lagrange'a: Rozwiazujac ukªad otrzymamy cztery rozwiazania: F (x, y) = xy + λ(x 2 + y 2 2). y + 2xλ = 0, x + 2yλ + 0, x 2 + y 2 2 = 0 x 1 = 1, y 1 = 1; x 2 = 1, y 2 = 1; x 3 = 1, y 3 = 1; x 4 = 1, y 4 = 1 (tutaj lambdy nas nie interesuja). Zatem sa cztery punkty podejrzane: P 1 (1, 1), P 2 ( 1, 1), P 3 (1, 1), P 4 ( 1, 1). Krzywa opisana warunkiem to okrag (krzywa zamknieta). Wystarczy zatem obliczy warto±ci funkcji f w punktach podejrzanych f(1, 1) = 1, f( 1, 1) = 1, f(1, 1) = 1, f( 1, 1) = 1. Warto±cia najwieksza jest 1, a najmniejsza jest 1. PRZYKŠA 2B. Zale¹ najwieksza i najmniejsza warto± funkcji f(x, y) = xy przy warunku x 2 + y 2 = 2 dla x 0, y 0. Tym razem krzywa opisana warunkiem to (pierwsza) wiartka okregu razem z ko«cami: K 1 (0, 2), K 2 ( 2, 0). Z przykªadu 2A wiemy,»e sa cztery punkty podejrzane: P 1 (1, 1), P 2 ( 1, 1), P 3 (1, 1), P 4 ( 1, 1). Na naszej krzywej le»y jedynie punkt P 1. Wystarczy zatem obliczy warto±ci funkcji f w P 1 i na ko«cach krzywej: f(p 1 ) = f(1, 1) = 1, f(k 1 ) = f(0, 2) = 0, f(k 2 ) = f( 2, 0) = 0. Warto±cia najwieksza jest 1, a najmniejsza jest 0. EFINICJA. Ró»niczka funkcji f(x, y) w punkcie (x 0, y 0 ) (dla przyrostów dx, dy) nazywamy wyra»enie df(x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 )dx + f y(x 0, y 0 )dy (zakªadamy tu,»e funkcje f, f x, f y sa ciagªe w pewnym obszarze). Precyzyjniejszy zapis ró»niczki to: df(x 0, y 0, dx, dy). PRZYKŠA 3A. Oblicz ró»niczke funkcji f(x, y) = x 2 y 3 w punkcie (2, 1). Obliczamy: f x(x, y) = 2xy 3, f x(2, 1) = 2 2 1 3 = 4, Zatem df(2, 1) = 4dx + 12dy. f y(x, y) = 3x 2 y 2, f y(2, 1) = 3 2 2 1 2 = 12. PRZYKŠA 3B. Oblicz ró»niczke funkcji f(x, y) = x 2 y 3 w punkcie (2, 1) dla przyrostów dx = 0, 5, dy = 0, 3. Z poprzedniego przykªadu: df(2, 1) = 4 0, 5 + 12 0, 3 = 5, 6.

WŠASNO. czyli df(x 0, y 0 ) f = f(x 0 + dx, y 0 + dy) f(x 0, y 0 ), f(x 0 + dx, y 0 + dy) f(x 0, y 0 ) + df(x 0, y 0 ). PRZYKŠA. Stosujac powy»sza wªasno± oblicz przybli»ona warto± wyra»enia (8, 02) 2 + (6, 03) 2. Przyjmujemy: f(x, y) = x 2 + y 2, x 0 = 8, dx = 0, 02, y 0 = 6, dy = 0, 03. Wtedy f x(x, y) = f y(x, y) = 2x 2 x 2 + y 2, f x(8, 6) = 2y 2 x 2 + y 2, f y(8, 6) = 8 = 0, 8, 82 + 62 6 = 0, 6. 82 + 62 Zatem (8, 02)2 + (6, 03) 2 = f(x 0 + dx, y 0 + dy) f(x 0, y 0 ) + df(x 0, y 0 ) = 8 2 + 6 2 + f x(8, 6)dx + f y(8, 6)dy = 10 + 0, 8 0, 02 + 0, 6 0, 03 = 10, 034. WŠASNO. Pewne wielko±ci zyczne sa powiazane wzorem z = f(x, y) (zakªadamy tu,»e funkcje f, f x, f y sa ciagªe). Je»eli x, y oznaczaja bªedy (bezwzgledne) przy pomiarze wielko±ci x oraz y, to bªad (bezwzgledny) przy obliczeniu wielko±ci z jest w przybli»eniu równy z f x(x 0, y 0 ) x + f y(x 0, y 0 ) y. PRZYKŠA. Zmierzono objeto± ciaªa V 0 = 10cm 3 z dokªadno±cia V = 0, 01cm 3 oraz mase m 0 = 6g z dokªadno±cia m = 0, 05g. Z jaka, w przybli»eniu, dokªadno±cia obliczymy gesto± tego ciaªa stosujçac wzór ϱ = m V? Zastosujemy wzór: ϱ ϱ m(m 0, V 0 ) m + ϱ V (m 0, V 0 ) V. Poniewa» ϱ m = 1 V, ϱ m(m 0, V 0 ) = 1 10, ϱ V = m V 2, ϱ V (m 0, V 0 ) = 6 10 2, wiec ϱ 0, 1 0, 05 + 0, 06 0, 01 = 0, 0056. Oznacza to,»e bªad bezwzgledny przy obliczaniu gesto±ci wynosi w przybli»eniu 0, 0056 g cm 3. PŠASZCZYZNA STYCZNA do wykresu funkcji z = f(x, y) w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) ma równanie z z 0 = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ) (zakªadamy tu,»e funkcje f, f x, f y sa ciagªe w pewnym obszarze). PRZYKŠA. Napisz równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = 9 x 2 y 2 w punkcie (1, 2, 2). 9

10 f x = x 9 x2 y 2, f x(1, 2, 2) = 1 2, f y = y 9 x2 y 2, f y(1, 2, 2) = 1; pªaszczyzna ma równanie: z 2 = 1(x 1) + (y + 2), czyli 1 x + y z + 4, 5 = 0. 2 2 4. Caªki podwójne EFINICJA. Obszar normalny wzgledem osi 0x, to zbiór x = {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)}, gdzie a < b oraz funkcje g(x) i h(x) sa ciagªe w przedziale [a, b] i speªniaja w nim warunek g(x) h(x). EFINICJA. Obszar normalny wzgledem osi 0y, to zbiór y = {(x, y) : c y d, p(y) x q(y)}, gdzie c < d oraz funkcje p(y) i q(y) sa ciagªe w przedziale [c, d] i speªniaja w nim warunek p(y) q(y). EFINICJA. Obszarem regularnym nazywamy sume sko«czonej liczby obszarów normalnych. EFINICJA. Zaªó»my,»e funkcja f(x, y) jest ograniczona w obszarze regularnym. zielimy zbiór na n dowolnych obszarów regularnych 1,..., n o parami rozªacznych wnetrzach. Niech i, dla i = 1, 2,... n, oznacza pole obszaru i. Najwieksza ze ±rednic zbiorów 1,..., n oznaczamy przez δ n i nazywamy norma podziaªu. W ka»dym zbiorze i wybieramy dowolnie punkt (x i, y i ). Tworzymy sume caªkowa σ n = f(x 1, y 1 ) 1 + f(x 2, y 2 ) 2 + + f(x n, y n ) n. Tak postepujemy dla n = 2, 3,... otrzymujac pewien ciag podziaªów zbioru. Ciag ten nazywamy ciagiem normalnym podziaªów, je»eli lim n δ n = 0. Je»eli dla ka»dego ciagu normalnego podziaªów zbioru istnieje sko«czona granica lim n σ n (taka sama bez wzgledu na wybór zbiorów i oraz punktów (x i, y i )), to granice te nazywamy caªka podwójna funkcji f(x, y) w zbiorze i oznaczamy f(x, y)dxdy. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA. Je»eli funkcja f jest caªkowalna i nieujemna w, to objeto± bryªy B = {(x, y, z) : 0 z f(x, y), (x, y) } jest równa f(x, y)dxdy. TWIERZENIE. Funkcja ciagªa w obszarze regularnym jest w nim caªkowalna. WŠASNO CI. Zakªadamy,»e funkcje f(x, y) oraz g(x, y) sa caªkowalne w obszarze regularnym. (1) [ ] f(x, y) ± g(x, y) dxdy = f(x, y)dxdy ± g(x, y)dxdy (2) λf(x, y)dxdy = λ f(x, y)dxdy

(3) Gdy jest suma obszarów regularnych 1 i 2 o rozªacznych wnetrzach, to f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy 1 2 TWIERZENIE. Gdy f jest ciagªa w obszarze normalnym x, to b [ h(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy ] dx. x a g(x) TWIERZENIE. Gdy f jest ciagªa w obszarze normalnym y, to d [ q(y) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx ] dy. y c p(y) PRZYPOMNIENIE. Zwiazek miedzy wspóªrzednymi kartezja«skimi (x, y) punktu, a jego wspóªrzednymi biegunowymi jest nastepujacy: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Przyjmujemy tu: r 0, 0 ϕ 2π. TWIERZENIE. Gdy funkcja f jest ciagªa w obszarze regularnym i gdy Ω = {(r, ϕ) : (r cos ϕ, r sin ϕ) }, to f(x, y)dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ. Ω Czynnik r wystepujacy pod caªka to warto± bezwzgledna z jakobianu. Ogólnie jakobian odwzorowania x = x(u, v), y = y(u, v) to nastepujacy wyznacznik J = x u x v y u y, zatem v jakobian przej±cia ze wspóªrzednych kartezja«skich do biegunowych wynosi J = x r x ϕ cos ϕ r sin ϕ = = rcos 2 ϕ + rsin 2 ϕ = r. y r y ϕ sin ϕ r cos ϕ PRZYKŠA. Obliczy objeto± bryªy ograniczonej powierzchniami z = 0, z = 1 x 2 y 2. Zgodnie z interpretacja geometryczna caªki podwójnej, V = (1 x 2 y 2 )dxdy, gdzie = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. Podstawiamy wspóªrzedne biegunowe; odpowiedni obszar Ω = {(r, ϕ) : 0 r 1, 0 ϕ 2π}. Zatem [ V = 1 (r cos ϕ) 2 (r sin ϕ) 2] 1 [ 2π rdrdϕ = (r r 3 )dϕ ] dr = 1 0 Ω [ (r r 3 )ϕ ] ϕ=2π ϕ=0 dr = 1 0 0 0 [ 1 (r r 3 )2πdr = 2π 2 r2 1 ] r=1 4 r4 = 2π( 1 2 1 4 ) = 1 2 π. TWIERZENIE. Je»eli funkcje f, f x, f y sa ciagªe w obszarze regularnym, to pole powierzchni S = {(x, y, z) : z = f(x, y), (x, y) } wynosi 1 + (f x) 2 + (f y) 2 dxdy. r=0 11