Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń R(A ) przestrzei geerowaą przez zakres fukcji : m f y = A y A M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-2 R A y y 1 Wszystkie obrazy odwzorowaia są liiowymi kombiacjami kolum 2 Ax A A... A 1 2 A macierzy A, tz, jeśli x = j1 1, 2,..., A więc przestrzeń R(A) to przestrzeń apięta przez kolumy macierzy A (przestrzeń kolumowa), tz. b A R x, b = Ax Podobie R(A ) to przestrzeń apięta przez kolumy macierzy A czyli wiersze macierzy A (przestrzeń wierszowa), tz. Ax a R A y, a = y A Przykład: Podaj iterpretację geometryczą przestrzei R(A) oraz R(A ) dla macierzy A 1 2 3 2 RA spaa 1, A 2, A3 R A spa12, liia w 2 4 6 R A spa A 1, A2 R A spa1, 2, 3 liia w j j 3
Podprzestrzeie macierzowe wierdzeie: Dla dwóch macierzy A i B o tych samych wymiarach zachodzi: wiersz a) R A R B A ~ B Dowód: wiersz a) A ~ B istieje P taka że PA = B b) RA RB A ~ B -1 z y P -1 a A R y : a y A = y P PA a z B a R B spa spa 1 2 2 3 1 2 0 1 A 2 4 1 3 0 0 1 1 E A B 0 0 1 1 1 2 0 1 E B 3 6 1 4 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 1 spa(a) = spa(b) poieważ iezerowe wiersze w macierzach E A i E B są takie same. M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-3 1 2 m 1 2 m kol wiersz R A R B A, A,..., A B, B,..., B A ~ B b) dowód przebiega aalogiczie jak w (a) zastępując odpowiedio A, B przez A, B. Przykład: Czy astępujące zbiory wektorów apiają tą samą podprzestrzeń : A = 1, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 3, 3, 6, 1, 4 B = 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4 Kostruujemy macierze A i B, których wierszami są wektory ze zbiorów A i B:
D: Podprzestrzeie macierzowe wierdzeie: Niech A będzie macierzą o wymiarach mâ, a U dowolą macierzą w postaci schodkowej otrzymaą z macierzy A: (a) iezerowe wiersze macierzy U apiają przestrzeń wierszową R(A ), (b) kolumy podstawowe w macierzy A apiają przestrzeń kolumową R(A). wiersz a) A ~ U R A R U b) Niech b 1, b 2,, b r oraz 1, 2,, t ozaczają odpowiedio podstawowe i iepodstawowe kolumy macierzy A. Macierz Q 1 iech będzie macierzą permutacji przestawiającą kolumy podstawowe a lewą stroę, tak że AQ1 B mr N mt Kolumy iepodstawowe są liiowymi kombiacjami kolum podstawowych i mogą być wyzerowae za pomocą operacji elemetarych a kolumach macierzy AQ 1 : AQ Q B N Q B 0 Q Q Q : AQ B 0 A ~ B 0 1 2 mr mt 2 1 2 Przykład: Zajdź zbiory apiające przestrzeie R(A) i R(A ), jeśli: 1 2 2 3 1 0 1 2 A = 2 4 1 3 A = spa, R 2 1 2 0 R A = spa, 3 6 1 4 0 1 3 1 1 1 M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-4 kol
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Jądrem odwzorowaia f : m azywamy zbiór f f M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-5 x x 0 wierdzeie: ( f ) jest podprzestrzeią. A1 : x 1, x2 f f x 1 + x2 f x1 f x2 0 N x 1 + x2 N f M1 : x N f i f x f x 0 x N f D: Defiicja: Przestrzeią zerową (jądrem) macierzy A mâ azywamy zbiór N A x Ax 0 1 Defiicja: Lewostroą przestrzeią zerową (lewostroym jądrem) macierzy A mâ azywamy zbiór m N A y m1 A y 0 Przykład: Zajdź zbiór apiający przestrzeń N(A) gdzie A = 1 2 3 2 4 6 Poszukiway zbiór to ogóle rozwiązaie rówaia Ax = 0 R 2 R 1 2 3 2 1 x1 2 x2 3 x3 2 3 E A x x x 1 x 0 x h x 0 0 0 x x 3 3 0 1 A = spa h 1,h2 A więc 2 2 2 3 2 1 3 2 h
Podprzestrzeie macierzowe Wiosek: Aby zaleźć zbiór apiający przestrzeń N(A) gdzie rz(a mâ ) = r ależy zredukować A do postaci schodkowej U, a astępie rozwiązać rówaie Ux = 0 wyrażając zmiee podstawowe przez zmiee swobode i zajdując w te sposób ogóle rozwiązaie rówaia Ax = 0 w postaci x = x f h x f h... x f h 1 1 2 2 r r Zbiór wektorów = h,h,...,h 1 2 r apia przestrzeń i jest iezależy od postaci U. wierdzeie: Jeśli macierz A ma wymiar mâ to zachodzi: ) A rza a N 0 b) NA 0 rza m Dowód: (a) Wiemy, że rozwiązaie zerowe x = 0 jest jedyym rozwiązaiem rówaia Ax = 0 wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy A jest rówy liczbie zmieych. (b) Podobie, że rozwiązaie zerowe y = 0 jest jedyym rozwiązaiem rówaia A y = 0 wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy rz(a ) = m. Ale zachodzi rz(a ) = rz(a) wierdzeie: Dwie macierze A i B o tych samych wymiarach mają jedakowe przestrzeie zerowe gdy: wiersz a) NA NB A ~ B b) N A N B A ~ B M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-6 kol
Podprzestrzeie macierzowe wierdzeie: Jeśli rz(a mâ ) = r oraz PA = U, gdzie P jest macierzą ieosobliwą, a U jest macierzą w postaci schodkowej, wtedy ostatie m-r wierszy macierzy P apia lewostroą przestrzeń zerową macierzy A. z. jeśli P = P1 P gdzie P 2 ma wymiar (m-r)âm 2 wtedy N A RP2 Dowód: (trudy) 1 2 2 3 Przykład: Zajdź zbiór apiający przestrzeń N(A ) gdzie A = 2 4 1 3 Szukamy macierzy P, takiej, że PA = E 3 6 1 4 A : A IB P 1 2 2 3 1 0 0 1 2 0 1 1 / 3 2 / 3 0 2 4 1 3 0 1 0 0 0 1 1 2 / 3 1 / 3 0 / / 3 6 1 4 0 0 1 0 0 0 0 1 3 5 3 1 Dygresja: Jeśli G 1,, G k są macierzami elemetarymi opowiadającymi kolejym operacjom wierszowym w redukcji wtedy k 2 1 k 2 1 k 2 1 G...G G A I G...G G A G...G G B P A więc: A = spa 1 / 35 / 3 1 1 / 3 2 / 3 0 P 2 / 3 1 / 3 0 / / 1 3 5 3 1 M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-7
Kombiacja liiowa wektorów Defiicja: Wektor z przestrzei wektorowej V azywamy liiową kombiacją u,u,...,u k V wektorów jeśli daje się przedstawić w postaci: 1 2 v v u u... u c1 1 c2 2 c k k Przykład: W zbiorze S wektorów z przestrzei M 2 2 wektor jest kombiacją liiową pozostałych wektorów S v 0 2, v 1 3, v 2 0, v 0 8 1 2 3 4 1 0 1 2 1 32 1 Szukamy takich stałych c i aby zachodziło v c v c v c v v 4 M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-8 v 4 4 1 1 2 2 3 3 c2 2c3 0 0 1 2 01 0 0 1 2c1 3c2 8 2 3 0 8 c c c 1 2 3 2 0 1 0 2 1 1 1 2 0 0 1 1 2c2 3c3 1 0 2 3 1 0 0 0 0 0 21 32 00 8 2 1 0 1 2 1 32 1
Liiowa iezależość wektorów S v 1, v 2,..., v k Defiicja: Zbiór wektorów z przestrzei wektorowej V azywamy liiowo iezależymi jeśli rówaie wektorowe: ma jedyie rozwiązaie trywiale c v 1 c v 1 2 2... c k v k 0 c1 0, c2 0,..., c k 0. Jeśli istieją rozwiązaia ietrywiale, to wektory ze zbioru S są liiowo zależe. wierdzeie: Dowoly układ wektorów z przestrzei lub jest liiowo iezależy wtedy i tylko wtedy gdy macierz której kolumami są te wektory, jest ieosobliwa. e 1, e 2,..., e A e 1 e 2...e Wiosek: Aby sprawdzić czy wektory są liiowo iezależe ależy zbudować z ich macierz i sprawdzić rząd tej macierzy, który określa liczbę liiowo iezależych wektorów w daym zbiorze. wierdzeie: Jeżeli pewie podukład m < wektorów z układu wektorów jest liiowo zależy, to cały układ jest też liiowo zależy. v 1, v 2,..., v M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-9
Baza w przestrzei wektorowej V Defiicja: Zbiór liiowo iezależych wektorów ależących do przestrzei wektorowej V azywamy bazą, jeśli dowoly wektor może być zapisay jako: v i1 M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-10 i v e e 1, e 2,..., e v V Liczbę azywamy wymiarem przestrzei V i ozaczamy dimv. wierdzeie: Rozkład wektora a składowe w ustaloej bazie jest jedozaczy. i 1 i e 1, e 2,..., e Dowód: Niech wektor x ma w bazie e i dwa zestawy współrzędych x i oraz y i : x xie i i 1 xi - yi ei 0 xi yi dla i 12,,..., x yie i1 i Uwaga: dowoly zbiór liiowo iezależych wektorów tworzy bazę w wymiarowej przestrzei wektorowej. W owej bazie zmieiają się współrzęde wektorów: x i i i 1 wierdzeie: W wymiarowej przestrzei wektorowej, każdy układ s wektorów wymiarowych dla s > jest układem wektorów liiowo zależych. xe
Baza w przestrzei wektorowej V S v, v,..., v u,u,...,u 1 2 Dowód: Niech zbiór wektorów będzie bazą w przestrzei V. Chcemy pokazać, że zbiór wektorów z przestrzei V gdzie m > jest liiowo zależy, tz. istieją stałe k 1, k 2,, k m (ie wszystkie rówe zero) takie, że: k u 1 1 k u 2 2... k u 0 m m Poieważ S jest bazą, więc: u1 c11 v1 c21 v 2... c1 v u2 c12 v1 c22 v 2... c2 v d v 1 1 d v 2 2... d v 0 u c v c v... c v gdzie di ci1k1 ci2k2... cimkm m 1m 1 2m 2 m v i S 1 1 2 Poieważ tworzą zbiór wektorów liiowo iezależych więc wszystkie d i = 0, czyli c11k1 c12k2... c1mkm 0 c21k1 c22k2... c2mkm 0 c k c k... c k 0 Poieważ w powyższym układzie jedorodym mamy miej rówań iż zmieych k i, więc musi posiadać o ietrywiale rozwiązaie, a więc zbiór S 1 jest liiowo zależy. M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-11 m 1 1 2 2 m m
Zbiór wektorów tworzących bazę Przykład: Sprawdzić czy astępujące wektory z przestrzei 3 tworzą bazę: e 1 2 1 e 1 1 1 e 1 3 2 1 2 3 Sprawdzamy czy te wektory są liiowo iezależe: 3 c1 c2 c3 0 1 1 1 c1 0 c e i i 0 2c1 c2 3c3 0 2 1 3 c2 0 i1 c1 c2 2c3 0 1 1 2 c3 0 Poieważ det A = 1, więc układ ma tylko rozwiązaie zerowe, a więc wektory są liiowo iezależe. e, e, e M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-12 A c c c 0 1 2 3 Aby przekoać się, że wektory tworzą bazę w 3 ależy pokazać, że dowoly v = a, b, c 1 2 3 wektor moża jedozaczie przedstawić jako ich kombiację liiową: Math Player a 3 v1 v2 v3 a v1 a 5a 3b 2c -1 b = vie i 2v1 v2 3v3 b v 2 = A b = a b c c i 1 v1 v2 2v3 c v 3 c 3a 2b c Uwaga: a, b, c to współrzęde wektora w bazie aturalej: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } v 1, v 2, v 3 to współrzęde tego samego wektora w bazie e 1, e 2, e3
Macierz przejścia pomiędzy bazami w Niech będą dae dwie dowole bazy w : oraz, i = 1,,. Szukamy macierzy przejścia pomiędzy tymi bazami, takiej że (k umeruje elemety wektorów e i i e i ): M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-13 e i e i e c e c e... c e e c e c e... c e ei c jie j j1 e c e c e... c e k1 11 k1 21 k2 1 k k2 12 k1 22 k2 2 k k 1 k1 2 k2 k W zapisie macierzowym mamy (E i E to macierze, których kolumami są wektory baz): e11 e12 e1 e11 e12 e1 c11 c12 c1 e e e e e e c c c 21 22 2 21 22 2 21 22 2-1 C = E E e e e e e e c c c 1 2 1 2 1 2 E E C e i e i -1 C = E E Macierz trasformacji pomiędzy bazami oraz daa jest za pomocą macierzy:
rasformacje współrzędych wektora Niech będą dae dwie dowole bazy w : oraz, i=1,,. Szukamy macierzy przejścia pomiędzy współrzędymi dowolego wektora w tych bazach: x xe x c e xc e x e e i e i i i i ji j i ji j j j i 1 i 1 j1 i, j1 j1 W zapisie macierzowym mamy: -1 x = Cx x = C x A więc macierz trasformacji współrzędych O daa jest przez: - 1-1 -1-1 O C E E E E x j xi c ji i 1 wierdzeie: Macierz trasformacji współrzędych pomiędzy bazami ortoormalymi, jest ortogoala. E E O E E E E = E E E E O E E -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 Uwaga: Macierz której kolumy (lub wiersze) są wzajemie ortogoalymi wektorami o jedostkowej długości, jest ortogoala. Math Player Uwaga: G k...g2g E E G k...g2g E G k...g2g E I E 1 1 1 1 E M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład 9-14