Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej (definicja jest dok ladnie taka sama) i rzeczywiście siȩ to robi jest szereg zastosowań przestrzeni metrycznych, gdzie metryki i zbiory s a dziwne my jednak skoncentrujemy siȩ na metryce euklidesowej na prostej, p laszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej. Definicja 1 Kul a (otwart a) o środku x i promieniu r > 0 nazywamy zbiór Zatem K(x, r) := {y : d(x, y) < r}. kula na prostej to odcinek otwarty K(x, r) = (x r, x + r); kula K(x, r) na p laszczyźnie (lub w C) to ko lo o środku x i promieniu r bez brzegu; kula K(x, r) w przestrzeni trójwymiarowej to kula (w sensie geometrii) o środku x i promieniu r. Definicja 2 Zbiór A jest otwarty jeśli wraz z każdym punktem zawiera pewn a kulȩ o środku w tym punkcie i dodatnim promieniu, tj. Przyk lady: x A r > 0 K(x, r) A. każdy odcinek otwarty na prostej (ale na p laszczyźnie odcinki nie s a otwarte); p laszczyzna, pó lp laszczyzna bez brzegu, ko lo bez brzegu, prostok at bez brzegu s a zbiorami otwartymi na p laszczyźnie (ale nie w przestrzeni trójwymiarowej); 1
walec bez brzegu, stożek bez podstawy i powierzchni bocznej, kula bez sfery j a ograniczaj acej s a otwarte w przestrzeni trójwymiarowej. Definicja 3 Punktem skupienia zbioru A nazywamy każdy taki punkt x, że każda kula o środku w tym punkcie (i dodatnim promieniu) zawiera inny niż x punkt należ acy do A, tj. r > 0 y x y a K(x, r). Przyk lady: 0 jest punktem skupienia zbiorów (0, 1), [0, 1), R, {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,... }, {z C : i z < 1}. (1, 1) jest punktem skupienia zbiorów: ko lo o środku (0, 0) i promieniu 2, prostok at o wierzcho lkach ( 2, 2), (2, 2), (2, 2), ( 2, 2). Definicja 4 Zbiorem domkniȩtym nazywamy zbiór który zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Przyk lady: zbiorami domkniȩtymi na prostej s a np.: zbiory skończone, odcinki domkniȩte, pó lproste domkniȩte, prosta; zbiorami domkniȩtymi na p laszczyznie s a np.: odcinek z końcami, prosta, pó lp laszczyzna z brzegiem, ca la p laszczyzna, zbiór pusty lub skończony. 2
Tablica 3.4 W lasności zbiorów otwartych i domkniȩtych (1) Zbiór A jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dope lnienie jest zbiorem domkniȩtym. (2) Suma teoriomnogościowa dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. (3) Przekrój skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. (4) Zbiór pusty jest zbiorem otwartym. (1 ) Zbiór A jest domkniȩty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dope lnienie jest zbiorem otwartym. (2 ) Przekrój dowolnej rodziny zbiorów domkniȩtych jest zbiorem domkniȩtym. (3 ) Suma teoriomnogościowa skończonej rodziny zbiorów domkniȩtych jest zbiorem domkniȩtym. (4 ) Zbiór pusty jest zbiorem domkniȩtym. 3
2. Zbiory zwarte W kombinatoryce znana jest tzw. zasada szufladkowa Dirichleta: Twierdzenie 5 (Zasada szufladkowa Dirichleta) Jeśli w lożymy do k, k N, szufladek n, n N, n > k kul to w którejś szufladce musieliśmy w lożyć conajmniej dwie kule. Oczywiście trudno jest takie twierdzenie przenieść na zbiory nieskończone w przestrzeni metrycznej. Ale s a zbiory nieskończone, w których jeśli wybierzemy nieskończony podzbiór A to bȩdzie istnia la kula o dowolnie ma lym promieniu zawieraj aca nieskończenie wiele elementów A. Definicja 6 Zbiór P R d (albo w dowolnej przestrzeni metrycznej) jest zwarty jeśli każdy jego podzbiór nieskończony A ma punkt skupienia należ acy do P. Oczywiście nie każdy zbiór jest zwarty: zbiór liczb naturalnych nie jest zwarty: wybierzmy jako A zbiór liczb parzystych, nie ma on punktów skupienia; zbiór (0, 1) nie jest zwarty, jego podzbiór {1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... } ma punkt skupienia 0 ale nie należy on do (0, 1). Dwa powyższe przyk lady pokazuj a dwa powody dla których zbiór w R d nie jest zwarty: nieograniczoność i niedomkniȩtość. Twierdzenie 7 Każdy zbiór zwarty jest ograniczony i domkniȩty. Okazuje sie, że implikacja odwrotna jest prawdziwa w R d. Twierdzenie 8 d-wymiarowa kostka domknieta w R d jest zwarta, w szczególności przedzia l domkniȩty, prostok at z brzegiem, prostopad lościan ze ścianami itp. s a zwarte. 4
Weżmy podzbiór domkniȩty A zbioru zwartego P, jesli U A jest nieskończonym podzbiorem to ze zwartości P ma punkt skupienia w P ale z domknietości ten punkt skupienia musi być w A zatem uzasadniliśmy, że A jest zwarty: Wniosek 9 (tw. Heine Borela) Podzbiór w R d jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony i domkniȩty. Wniosek 10 (tw. Bolzano-Weierstrassa) Każdy nieskończony i ograniczony podzbiór w R d ma punkt skupienia w R d. Aby udowodnić twierdzenie potrzebny jest interesuj acy sam w sobie lemat: Lemat 11 (Lemat Ascoliego) Zstȩpuj acy ci ag niepustych przedzia lów domkniȩtych ma niepust przekrój. Uwaga: Lemat Ascoliego ma duże znaczenie w teorii aproksymacji oznacza on bowiem, że jeśli aproksymujemy od góry ci agiem (b n ) nie rosn acym a od do lu ci agiem niemalej acym (a n ) i jeśli zawsze a n b n to istnieje liczba wiȩksza lub równa od wszystkich a n i mniejsza lub równa wszystkim b n. a wiȩc istnieje jakaś liczba któr a można traktować jako wartość aproksymowanej wielkości. Dowód: Niech (I n ), I n := [a n, b n ], jest zstȩpuj acym ci agiem niepustych przedzia lów domkniȩtych. Zatem ci ag (a n ) jest niemalej acy a ci ag (b n ) jest nierosn acy. Co wiȩcej ci ag (a n ) jest ograniczony z góry przez b 1, b 2 i dowolne b m : weźmy bowiem dowolne b m, wówczas: a n a n+m b n+m b m Definiujemy: x = sup{a n : n N}. Oczywiście x jest ograniczeniem górnym ci agu (a n ), ale ponieważ każde b m jest ograniczeniem górnym ci agu (a n ), to x b m i x jest ograniczeniem dolnym ci agu (b m ). St ad x należy do każdego odcinka I n. 5
Udowodnimy twierdzenie dla odcinka na prostej: Twierdzenie 12 Odcinek domkniȩty [0, 1] jest zwarty. Dowód: Weźmy dowolny podzbiór nieskończony A w I. Dzielimy odcinek I na dwie czȩśći: [0, 1/2], [1/2, 1] (nie s a roz l aczne!). Któraś z po lówek zawiera nieskończenie wiele elementów zbioru A. Tȩ po lówkȩ nazywamy I 1. Dzielimy teraz I 1 na dwie po lówki i któraś z nich znowu zawiera nieskończenie wiele elementów zbioru A. Nazywamy j a I 2 i tak dalej. Dostajemy ci ag zstȩpuj acy niepustych przedzia lów domkniȩtych I n. Z lematu Ascoliego istnieje punkt x należ acy do wszystkich tych przedzia lów. Weźmy teraz kulȩ K(x, r) o środku x i promieniu r > 0 tj. odcinek (x r, x + r). Ponieważ odcinek I n ma d lugość 1/2 n a x należy do tego odcinka wiȩc dla dostatecznie dużego n I n jest zawarty w rozpatrywanej kuli. Ale I n zawiera nieskończenie wiele elementów zbioru A wiȩc też kula K(x, r) zawiera nieskończenie wiele elementów zbioru A. Pokazalismy, że x jest punktem skupienia zbioru A, a x I. 6
3. Ci agi Ci ag to po prostu funkcja, której dziedzin a jest zbiór liczb naturalnych. Przyk lady: ci ag arytmetyczny, np.: ci ag geometryczny, np.: a n = 1 + 3n b n = 2 3 n. ci ag rekurencyjny, np. Fibonacciego: a 0 = 1, a 1 = 1, a n+2 = a n+1 + a n. W praktyce czȩsto pewien algorytm obliczania jakiejś wielkości produkuje ci ag kolejnych przybliżeń danej wielkości. Powstaje pytanie czy ta procedura jest poprawna. Aby by la poprawna musimy mieć pewność, że jeśli za lożymy sobie z góry jak aś dok ladność to po dostatecznie wielu krokach dostaniemy przybliżenie szukanej wielkości z za lożon a dok ladności a. Prowadzi to do definicji granicy ci agu (granic a naszego ci agu przybliżeń musi być szukana wielkość) oczywiście w praktyce ważne jest jeszcze oszacowanie b lȩdu pozwalaj ace zdecydować, któy wyraz ci agu jest przybliżeniem z szukan a dok ladności a i informacja o szybkości zbieżności (co pozwala oszacować nak lad obliczeniowy). Definicja 13 (granicy) Liczba g jest granica ci agu liczb (x n ) o ile tzn. w R lub C: ε > 0 N N n > N, n N d(x n, g) < ε. ε N N n > N, n N x n g < ε Oznaczenie: g = lim n x n. Ci ag maj acy granicȩ nazywamy zbieżnym. Ci ag nie zbieżny nazywamy rozbieżny. 7
Przyk lad: Szukamy rozwi azania równania: Procedura: cos x = x, x [0, π] x 0 = 0, x n+1 = cos(x n ), czy jest ona poprawna? w tym celu należa loby wiedzieć, czy lim n x n jest równe rowi azaniu. Odpowiedź brzmi TAK i wynika z tw. Banacha o kontrakcji, o którym bȩdziemy mówić poźniej. 8
Tablica 4.2 W lasności ci agów zbieżnych (1) Ci ag (x n ) n N w przestrzeni metrycznej X jest zbieżny do punktu x X wtedy i tylko wtedy, gdy każda kula K(x, r), r > 0, zawiera prawie wszystkie wyrazy ci agu (x n ) n N. (2) Zmiana skończenie wielu wyrazów ci agu nie wp lywa na jego zbieżność ani na wartość granicy. (3) Każdy ci ag ma co najwyżej jedn a granicȩ. (4) Każdy ci ag zbieżny jest ograniczony. (5) Punkt x jest punktem skupienia zbioru E w przestrzeni metrycznej X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ci ag (x n ) n N E taki, że x n x dla każdego n N oraz lim n x n = x. 9
Tablica 4.3 W lasności arytmetyczne i porz adkowe granic ci agów Niech (z n ) n N i (w n ) n N bȩd a zbieżnymi ci agami liczb zespolonych a c liczb a zespolon a. (1) lim n (z n + w n ) = lim n z n + lim n w n ; (2) lim n c z n = c lim n z n ; (3) lim n (c + z n ) = c + lim n z n ; (4) lim n z n w n = (lim n z n ) (lim n w n ); (5) jeśli z n 0, n = 0, 1,... i lim n z n 0, to lim n 1 1 lim n z n. (6) jeśli x n > 0, m N, to lim m x n = m lim x n. z n = Niech (x n ) n N, (y n ) n N bȩd a ci agami w R k a (α n ) n N bȩdzie ci agiem liczb rzeczywistych. (7) Ci ag (x n ) n N, x n := (ξ 1 n,..., ξ k n), jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla j = 1,..., k ci agi (ξ j n) n N s a zbieżne. Wówczas lim n x n = (lim n ξ 1 n,..., lim n ξ k n). (8) lim n (x n + y n ) = lim n x n + lim n y n ; (9) lim n x n, y n = lim n x n, lim n y n ; (10) lim n α n x n = (lim n α n ) (lim n x n ). (11) jeśli k = 1 oraz x n y n dla prawie wszystkich n N, to lim n x n lim n y n. 10
Przyk lady: granica ci agu sta lego x n = a. Hipoteza: lim x n = a. n Dla każdego ε > 0 i każdego n N: Granica ci agu 1/n. Hipoteza: d(x n, a) = x n a = a a = 0 < ε lim 1/n = 0. n Weźmy dowolny ε > 0. Z twierdzenia Eudoksosa istnieje N N takie, że 0 < 1/N < ε zatem dla n > N jest 1/n < 1/N wiȩc 0 < 1/n < ε, czyli 1/n 0 < ε Granica ci agu n p, p > 1. Hipoteza: Weźmy lim n Ze wzoru dwumianowego Newtona czyli Przenosz ac na druga stronȩ: n p = 1. x n := n p 1 > 0. 1 + nx n < (1 + x n ) n = ( n p) n = p 1 + n( n p 1) < p 0 < n p 1 < p 1 n. 11
Z w lasności arytmetycznych granic ci agów i poprzedniego przyk ladu: ci ag p 1 jest zbieżny do zera. Wiȩc ci ag n p 1 jest wepchniȩty n miȩdzy dwa ci agi zbieżne do zera. Jeśli wiȩc prawie wszystkie wyrazy pierwszego i drugiego s a bliskie zeru to i pośredni ciag musi mieć tȩ w lasność. Uzyskaliśmy, że lim( n p 1) = 0 Zatem z w lasności arytmetycznych: lim n p = lim( n p 1) + lim 1 = 0 + 1 = 1 Pomys l stosowany w ostatnim przyk ladzie powinien być sformalizowany: Twierdzenie 14 (twierdzenie o trzech ci agach) Jeśli x n y n z n dla n N oraz lim n = lim z n = x, n n to Przyk lad: Ci ag n 2 n + 3 n. Mamy: lim y n = x. n 3 n 3 n n 2 n + 3 n n 23 n = 3 n 2 Skrajne ci agi d aż a do 3 wiȩc z tw. o 3 ci agach pośredni też d aży do 3. Ci ag n n. Weźmy: x n = n n 1 > 0 Ze wzoru dwumianowego Newtona: ( ) n x 2 n < (x 2 n + 1) n = ( n n ) n = n. Zatem 0 < x n < 2n n(n 1) = 2 n 1. Latwo zobaczyć, że prawy skrajny ci ag d aży do zera. Zatem i pośredni d aży do zera i n n = 1. lim n 12
4. Ci agi monotoniczne i granice Twierdzenie 15 Ci ag niemalej acy liczb rzeczywistych (x n ) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z góry i wtedy lim x n = sup{x n : n n N}. Analogiczny wynik zachodzi dla ciagów nierosn acych i kresu dolnego. Dowód: Wiemy, że ci ag zbieżny musi być ograniczony wiȩc koniecznośc warunku wynika z tego. Dostateczność: Za lóżmy, że ci ag niemalej acy (x n ) jest ograniczony z góry zatem zbiór A := {x n : n N} jest ograniczony i ma kres górny x. Dla dowolnego ε > 0 liczba x ε jest mniejsza od najmniejszego ograniczenia górnego wiȩc nie jest ograniczeniem górnym zbioru A. Istnieje N N takie, że x ε < x N x. Dla każdego n > N zachodzi zatem x ε < x N x n x n > N x n x < ε W pliku granica ciagow w4.nb pokazane sa przyk lady wyliczania granic ci agów przy pomocy programu Mathematica. 13