Krzywa uniwersalna Sierpińskiego
|
|
- Wacław Góra
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę otrzymania tego zbioru. Udowodnimy, że istotnie jest on krzywą (zarówno w sensie Cantora jak i Urysohna) oraz, że każda krzywa płaska jest homeomorficznie w nim zanurzalna. Na koniec wspomnimy o tzw. kostce Mengera i sformułujemy twierdzenie o jej uniwersalności dla krzywych w dowolnej przestrzeni metrycznej. Na początek chcemy uściślić,że za krzywą płaską będziemy uważali krzywą w sensie Cantora. Jest to zbiór punktów na płaszczyźnie będący continuum (zbiorem zwartym i spójnym) takim, że w dowolnie małym otoczeniu dowolnego punktu continuum istnieje punkt do niego nie należący. Ta definicja jest na płaszczyźnie równoważna z obecnie przyjmowaną ogólną definicją Urysohna w myśl której krzywa jest to continuum, którego wymiar w każdym punkcie wynosi 1, tj. każdy jej punkt posiada dowolnie małe otoczenia, których brzegi nie zawierają żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu. Implikacja w jedną stronę wynika z uniwersalności krzywej Sierpińskiego. Za ε-otoczenie sferyczne punku x, będziemy uważali kulę otwartą o promieniu ε i środku w x. Dywan Sierpińskiego został po raz pierwszy skonstruowany przez Stefana Mazurkiewicza, ale nie opublikował on swojego odkrycia. Pierwsza wzmianka o tej krzywej znalazła się w pracy Wacława Sierpińskiego z 1915r. Jest to zbiór powstały przez procedurę rekurencyjną, którą rozpoczynamy od ustalonego kwadratu S 0. Będziemy go nazywali dywanem stopnia zerowego. Dzielimy go na dziewięć (3x3) identycznych kwadratów i usuwamy wnętrze środkowego ( pozostałe osiem będziemy nazywali kwadratami stopnia pierwszego ). Oznaczmy je przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawego górnego, Q 1, Q 2,..., Q 8 (patrz rys.1). Sumę ośmiu kwadratów stopnia pierwszego nazywamy dywanem stopnia pierwszego S 1. Następnie powtarzamy 1
2 procedurę dzielenia i usuwania części środkowej dla każdego kwadratu stopnia pierwszego, oznaczając nowo otrzymane kwadraty Q i1 i 2 i 1, i 2 {1, 2,..., 8}, gdzie pierwszy indeks jest numerem kwadratu stopnia pierwszego, który dzielimy, a drugi indeks jest analogicznie nadanym numerem zawartego w nim kwadratu stopnia drugiego. Otrzymamy w ten sposób 8 2 kwadratów stopnia drugiego, których sumą jest dywan stopnia 2. Podobnie dostajemy kolejne stopnie S n, n N, z których każdy składa się z 8 n kwadratów n-tego stopnia Q i1 i 2...i n, i j {1, 2,..., 8}, j {1, 2,..., n}. Dywanem Sierpińskiego nazywamy zbiór S := n N S n. Q 3 Q 2 Q 1 Q 4 Q 8 Q 5 Q 6 Q 7 Rysunek 1: Dywan stopnia pierwszego, drugiego i trzeciego. Można łatwo dowieść, że pole dywanu jest równe 0. Jednocześnie jest to zbiór niepusty, gdyż należą do niego conajmniej krawędzie wyjściowego kwadratu S 0. Widać również, że średnica kwadratu n-tego stopnia ma zawsze długość d, gdzie d to długość średnicy kwadratu S 3 n 0. W związku z tym średnice kwadratów kolejnych stopni dążą do zera. Przypomnimy teraz kilka faktów, z których będziemy korzystać podczas dowodów. Każda przestrzeń metryczna jest T 4, tzn. dla każdych dwóch rozłącznych zbiorów domkniętych A i B istnieją rozłączne zbiory otwarte U i V, które zawierają odpowiednio zbiory A i B. Jeśli {C i } i N jest zstępującym ciągiem zbiorów zwartych oraz mamy zbiór otwarty Z i N C i, to istnieje w tym ciągu zbiór C n zawarty w Z. Przecięcie zstępującego ciągu zbiorów niepustych domkniętych będących podzbiorami zbioru zwartego w przestrzeni metrycznej zupełnej jest niepuste. Jeśli dodatkowo ciąg średnic tych zbiorów zmierza do zera, to te przecięcie składa się z dokładnie jednego punktu. Jeśli dwa zbiory A i B są rozłączne i równocześnie otwarte lub równocześnie domknięte oraz M A B, gdzie M jest zbiorem niepustym i spójnym, to M A, albo M B. Jeśli continuum K jest podzbiorem krzywej C to jest również krzywą. Homeomorficzny obraz krzywej jest krzywą. Twierdzenie 1 Przecięcie zstępującego ciągu continuów jest continuum. 2
3 Dowód Mamy C 1 C 2... C n..., gdzie dla każdego i N, C i jest continuum. Zbiory C i, i N są zwarte i zawierają się w C 1, więc są domknięte w C 1. Zdefiniujmy zbiór C := i N C i. Jest to przecięcie rodziny zbiorów domkniętych, a więc zbiór ten jest domknięty. Jako domknięty podzbiór zbioru zwartego C 1 jest również zwarty. Co więcej na mocy faktu 2-go jest to zbiór niepusty. Przypuśćmy, że zbiór zwarty C nie jest spójny, można go zatem przedstawić jako sumę zbiorów A i B niepustych, domkniętych w C i rozłącznych. Istnieją więc zbiory U i V otwarte i rozłączne, zawierające odpowiednio zbiory A i B. Zdefiniujmy W := U V. Ponieważ A U, B V, C = A B, więc C W. Z faktu 2 wynika, że istnieje continuum C n zawarte w W. Ponieważ C U i C V oraz C C n to C n U i C n V. Na mocy faktu 4-go otrzymaliśmy więc sprzeczność, która dowodzi spójności zbioru C. Twierdzenie 2 Dywan Sierpińskiego jest krzywą płaską. Dowód Aby pokazać, że krzywa Sierpińskiego jest continuum, pokażemy indukcyjnie, że jest nim dla każdego n dywan n-tego stopnia S n. Dywan pierwszego stopnia składa się z ośmiu kwadratów, które kolejno mają punkty wspólne na krawędziach, więc jest spójny. Jako skończona suma zbiorów zwartych jest również zwarty. Załóżmy, że dywan n-tego stopnia jest continuum. Wynika z tąd, że dywan n + 1-stopnia też nim jest, bo składa się on z ośmiu dywanów n- tego stopnia, mających kolejno punkty wspólne na krawędziach. Ponieważ S n+1 S n, n N, więc na mocy twierdzenia 1, ich przecięcie n N S n, czyli dywan Sierpińskiego jest continuum. Ustalmy dowolny punkt x należący do dywanu i dowolny ε > 0. Wykazaliśmy już wcześniej, że średnice kwadratów kolejnych stopni dążą do zera. Znajdziemy więc takie k N, że istnieje kwadrat należący do dywanu k-tego stopnia zawierający punkt x i mający średnicę mniejszą od ε, a więc zawierający się w ε-otoczeniu sferycznym punktu x. W dywanie k + 1-stopnia z wnętrza każdego kwadratu z dywanu stopnia k-tego usuwane są punkty, więc w dowolnie małym otoczeniu dowolnego punktu krzywej Sierpińskiego istnieją punkty do niej nie należące. Twierdzenie 3 Jeśli C jest krzywą płaską, to istnieje podzbiór C dywanu Sierpińskiego homeomorficzny ze zbiorem C. 3
4 Dowód Zbiór C jest zwarty, więc jest ograniczony, zatem istnieje prostokąt P go zawierający. Podzielmy go na dziewięć równych prostokątów o bokach równoległych do boków P. Jako krzywa w sensie Cantora zbiór C nie zawiera żadnego zbioru otwartego, więc również wnętrza środkowego prostokąta. Ze zwartości zbioru C wynika jego domkniętość. Jego dopełnienie i wnętrze środkowego prostokąta są zbiorami otwartymi, dlatego istnieje prostokąt P 0, zawarty we wnętrzu środkowego prostokąta i rozłączny z C. Przedłużmy boki prostokąta P 0, do przecięcia z bokami P, uzyskując podział wyjściowego prostokąta na dziewięć prostokątów, z których środkowy nie ma punktów wspólnych z krzywą C, następnie usuńmy jego wnętrze. Zbiór, który został po tej operacji nazwijmy S 1, a osiem prostokątów, które go tworzą podobnie jak przy konstrukcji dywanu Sierpińskiego nazwijmy prostokątami pierwszego stopnia P 1, P 2,..., P 8. Podzielmy każdy z prostokątów pierwszego stopnia na dziewięć równych części. Konstrukcję zacznijmy od prostokąta P 1, podobnie jak poprzednio we wnętrzu środkowego prostokąta równego podziału istnieje prostokąt R 10, który nie zawiera żadnego punktu krzywej C. Przedłużamy jego boki do przecięcia z bokami wyjściowego prostokąta P. Rysunek 2: Sposób konstrukcji continuum S 4
5 Analogicznie istnieje prostokąt R 20 zawarty w środkowej części równego podziału prostokąta P 2 i ograniczony prostymi, które są przedłużeniami boków R 10. Przedłużmy boki prostokąta R 20 do przecięcia z bokami P. Tak samo istnieje prostokąt R 30 rozłączny z krzywą C, zawarty wewnątrz centralnego prostokąta równego podziału P 3, ponadto leżący w części wspólnej pasów zawartych między prostymi, które są przedłużeniami boków prostokątów R 10 i R 20. Podobnie otrzymujemy kolejne prostokąty R i0, i {4, 5, 6, 7, 8}. Przez P i0, i {1, 2,..., 8} oznaczmy prostokąty zawarte odpowiednio w R i0 i złożone z punktów części wspólnej wszystkich pasów poziomych i pionowych utworzonych przez przedłużenia boków prostokątów R k0, k {1, 2,..., 8, } i przechodzących przez P i. Każdy prostokąt pierwszego stopnia P i, i {1, 2,..., 8} dzielimy przez przedłużenie boków prostokąta P i0, po czym usuwamy jego wnętrze. Pozostałe osiem prostokątów oznaczamy przeciwnie do ruchu wskazówek zaczynając od prawego górnego P ij, j {1, 2,..., 8}. W ten sposób otrzymamy 64 prostokąty rzędu drugiego P i1 i 2 i 1, i 2 {1, 2,..., 8}, dające zbiór S 2. Robimy to rekurencyjnie dla wszystkich następnych stopni, za każdym razem uzyskując zbiór S n składający się z 8 n prostokątów n-tego stopnia P i1 i 2...i n, i j {1, 2,..., 8}, j {1, 2,..., n}. Z faktu, że prostokąt który usuwamy z wnętrza prostokąta n-tego stopnia jest zawarty we wnętrzu środkowego prostokąta jego równego podziału wynika, iż powstałe prostokąty n + 1-tego stopnia mają boki o długości nie większej niż 2/3 odpowiednich boków prostokąta n-tego stopnia w którym są zawarte, a więc gdy utworzymy zstępujący ciąg prostokątów kolejnych stopni to ciąg ich średnic będzie zmierzał do zera. Podobnie jak przy konstrukcji dywanu Sierpińskiego otrzymujemy zstępujący ciąg continuów, których przecięcie, oznaczmy je jako S, jest również continuum. Krzywa C jest całkowicie w nim zawarta. Pokażemy teraz, że continuum S jest homeomorficzne z dywanem Sierpińskiego. Ustalmy dowolny punkt x S. Należy on do pewnego prostokąta pierwszego stopnia P i1, do pewnego prostokąta stopnia drugiego P i1 i 2 zawartego w prostokącie P i1, itd. Otrzymujemy ciąg prostokątów P i1 P i1 i 2 P i1 i 2 i 3..., taki, że x n N P i1 i 2...i n. Co więcej z faktu 3 i tego, że ciąg średnic prostokątów zmierza do zera mamy n N P i1 i 2...i n = {x}. Dzięki zgodności oznaczeń otrzymanemu ciągowi prostokątów odpowiada zstępujący ciąg kwadratów z dywanu Sierpińskiego Q i1 Q i1 i 2 Q i1 i 2 i Z faktu 2 wynika, że n N Q i1 i 2...i n jest zbiorem dokładnie jednoelemen- 5
6 towym. Możemy zatem punktowi x continuum S przyporządkować punkt x należący do dywanu Sierpińskiego, będący przecięciem ciągu kwadratów odpowiadającego ciągowi prostokątów do którego należy x. Zauważmy, że różnym punktom S będą odpowiadać różne punkty dywanu S, ponieważ dla każdych dwóch różnych punktów należących do S istnieje takie k, że dwa prostokąty k-tego stopnia zawierające odpowiednio te punkty są rozłączne, rozłączne będą więc również odpowiednie kwadraty k-tego stopnia. Odwracając to rozumowanie można łatwo dowieść, że podobnie każdemu punktowi dywanu odpowiada w ten sam sposób dokładnie jeden punkt continuum S. Możemy więc stworzyć bijekcję f : S S, udowodnimy teraz, że jest ona odwracalnie ciągła. Ustalmy dowolny punkt x S i dowolny ε > 0. Możemy znaleźć takie n, że kwadraty n-tego rzędu zawierające obraz punktu x zawierają się w jego ε-otoczeniu. Dobierzmy teraz δ tak, że δ-otoczenie sferyczne punktu x w przecięciu ze zbiorem S n jest zawarte w prostokątach, które odpowiadają powyższym kwadratom n-tego stopnia. Widać, że jeśli odległość dowolnego punktu y S od punktu x jest mniejsza od δ, to jego obraz jest odległy od obrazu punktu x o nie więcej niż ε. W analogiczny sposób można udowodnić ciągłość odwzorowania odwrotnego. Dowiedliśmy tym samym, że funkcja f jest szukanym przekształceniem homeomorficznym, a obraz zbioru C przez f jest szukanym zbiorem C. Twierdzenie 4 Dywan Sierpińskiego jest krzywą w sensie Urysohna. Dowód Udowodniliśmy już, że dywan Sierpińskiego jest continuum, pozostaje wykazać, że dowolny jego punkt posiada dowolnie małe otoczenie, którego brzeg nie zawiera continuów złożonych. Ustalmy dowolny x S, i dowolny ε > 0. Znajdziemy takie n N, że kwadraty n-tego stopnia będą miały średnicę mniejszą niż 1 ε. Wybierzmy teraz kwadrat (lub jeden z kwadratów) 2 zawierający punkt x. Punkt ten nie może leżeć na przecięciu przekątnych tego kwadratu, ponieważ, w następnym kroku konstrukcji dywanu zostałby usunięty. Musi więc istnieć trójkąt prostokątny wyznaczony przez boki kwadratu i jedną z przekątnych taki, że punkt x leży w jego wnętrzu. Za szukane otoczenie przyjmijmy kwadrat, który powstanie ze znalezionego trójkąta i trzech trójkątów będących jego odbiciami symetrycznymi odpowiednio wzdłuż przyprostokątnych oraz przecięcia przyprostokątnych. Brzeg tego otoczenia, przecina się z S po przekątnych kwadratów n-tego stopnia, czyli po zbiorze Cantora. 6
7 Z tego twierdzenia, oraz z faktów 5 i 6 wynika, że każda krzywa płaska w sensie Cantora jest krzywą w sensie Urysohna. Jak łatwo zauważyć, konstrukcja dywanu Sierpińskiego przypomina konstrukcję zbioru Cantora na prostej. Co więcej jego konstrukcję można uważać za dwuwymiarowe uogólnienie konstrukcji tego zbioru. Trójwymiarowym uogólnieniem konstrukcji zbioru Cantora jest tzw. kostka Mengera. Powstaje ona przez procedurę rekurencyjną, którą rozpoczynamy od ustalonego sześcianu. Dzielimy go na 27 (3x3x3) identycznych sześcianów i usuwamy środkowy oraz do niego przyległe (pozostałe dwadzieścia będziemy nazywali sześcianami stopnia pierwszego). Następnie powtarzamy procedurę dzielenia i usuwania odpowiednich części dla każdego sześcianu stopnia pierwszego (otrzymamy w ten sposób sześciany stopnia drugiego). Podobnie dostajemy kolejne stopnie. Kostką Mengera nazywamy zbiór punktów pozostałych po nieskończonej ilości kroków. Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego, a przekątna kostki jest zbiorem Cantora. Rysunek 3: Kostka Mengera stopnia trzeciego. Zbiór ten jest krzywą w przestrzeni trójwymiarowej o bardzo ciekawej własności: Twierdzenie 5 Dowolna krzywa w dowolnej przestrzeni metrycznej jest homeomorficznie zanurzalna w kostce Mengera. Ze względu na stopień trudności nie dowiedziemy tego twierdzenia. 7
8 Literatura [1] R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do Topologii Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa [2] A. Lelek, Zbiory, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa [3] A. S. Parchomienko, Co To Jest Linia, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoFRAKTALE. nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę, bądź za pomocą
Małgorzata Mielniczuk FRAKTALE Poniższy referat będzie traktować o fraktalach, majestatycznych wzorach, których kręte linie nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę,
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoNotatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowoCo należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu
Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna
Bardziej szczegółowoFRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO
FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO Mariusz Gromada marzec 2003 mariusz.gromada@wp.pl http://multifraktal.net 1 Wstęp Fraktalem nazywamy każdy zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)
Bardziej szczegółowoCzworościany ortocentryczne zadania
Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii continuów
Wybrane zagadnienia teorii continuów Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW Prezentacja wykładu Warszawa, maj 2011, (prezentacja dostępna na stronie http://www.mimuw.edu.pl/
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona
Bardziej szczegółowoGeometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:
Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoStereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Bardziej szczegółowow jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok
Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3a/15 Indukcja matematyczna Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Zasada
Bardziej szczegółowoKRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:
KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoLV Olimpiada Matematyczna
LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 15 (20.02.2010) Zbiory wypukłe Definicja. Zbiór
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.
Bardziej szczegółowoGeometrie Wszechświata. 5. Czwarty wymiar materiały do ćwiczeń
Geometrie Wszechświata. 5. Czwarty wymiar materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 30 marzec 2017 Prezentacja multimedialna do wykładu. 1 Zadania łatwe 1. Narysuj
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoZbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza
Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoLXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)
LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta
Bardziej szczegółowoII Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich
II Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich Rozwiązania zadań konkursowych 14 czerwca 2013 r. Zadanie 1. Rozłóż na czynniki
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 2 (14-19.10.2009) nalogie i różnice miedzy trójkątem
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoModel odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I
Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I
MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Topologia Topology Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Semestr: IV Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Liczba godzin/tydzień:
Bardziej szczegółowoZbiór Cantora. Diabelskie schody.
Zbiór Cantora. Diabelskie schody. Autor: Norbert Miękina Zespół Szkół nr 3 im. ks. prof. Józefa Tischnera ul. Krakowska 20 32-700 Bochnia tel. 14 612-27-79 Opiekun: mgr Barbara Góra 1 W matematyce sztuka
Bardziej szczegółowoKlasa 3.Graniastosłupy.
Klasa 3.Graniastosłupy. 1. Uzupełnij nazwy odcinków oznaczonych literami: a........................................................... b........................................................... c...........................................................
Bardziej szczegółowoZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki
ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. II Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych w ostatnich dwóch latach znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania w arkuszu podstawowymzdającymógłotrzymać2pkt,warkuszurozszerzonym4pktlub3pkt.przy
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoZadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest
Bardziej szczegółowoSchemat sprawdzianu. 25 maja 2010
Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,
Bardziej szczegółowoMetoda objętości zadania
Metoda objętości zadania Płaszczyzny i dzielą graniastosłup trójkątny na cztery bryły Znaleźć stosunki objętości tych brył 2 any jest równoległościan o objętości V Wyznaczyć objętość części wspólnej czworościanów
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoZadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoStożkiem nazywamy bryłę obrotową, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych.
1.4. Stożek W tym temacie dowiesz się: jak obliczać pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej stożka, jak obliczać objętość stożka, jak wykorzystywać własności stożków w zadaniach praktycznych.
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (27 listopada 2014 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje ostrosłup, który ma dokładnie 15 14 a) wierzchołków;
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoPytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoInwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Rozważmy sferę S o środku O i promieniu R. Inwersją względem sfery S nazywamy przekształcenie, które przekształca punkt A na punkt A leżący na półprostej
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowo