DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 27 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaa Kopernika w Toruniu Małgorzaa Borzyszkowska Uniwersye Gdański Analiza empiryczna wybranych zmiennych wchodzących w skład funkci popyu na pieniądz. Wprowadzenie Celem arykułu es porównanie wyników doyczących esowania niesaconarności oraz esymaci parameru inegraci ułamkowe dla szeregów, kóre będą podsawą budowy modeli popyu na pieniądz w gospodarce Polski. Analizę przeprowadzono w celu określenia rzędu inegraci długookresowe (czyli dla częsości zerowe). Podsawą analizy są publikowane przez NBP agregay pieniężne: M, M, M2, M3, obliczone według nowych sandardów Europeskiego Banku Cenralnego, kóre Narodowy Bank Polski rozpoczął wdrażać od końca marca 22 r. Dane przeliczone według ww. sandardów dosępne są od końca 996 r. Do analizy wykorzysano szeregi kwaralne od 996Q4 do 27Q, łącznie 42 obserwace. Lieraura ekonomiczna w zakresie podsawowych eorii popyu na pieniądz, wskazue, że funkca popyu przymue zazwycza posać: M f ( Yoc, ), P = gdzie: M - ilość pieniądza w wyrażeniu realnym, Y - zmienna P wyrażaąca wielkość dochodu, oc - określa kosz alernaywny urzymywania zasobów pieniądza, P - ogólny poziom cen. Zaem do budowy modeli realnego popyu na pieniądz, wykorzysue się posać funkci nieliniowe. W związku z ym szeregi zosały urealnione za pomocą wskaźnika cen owarów i usług konsumpcynych, a nasępnie poddane logarymowaniu. Dodakowo szeregi e poddano procesowi odsezonowania za pomocą programu kompuerowego Demera (procedurą Tramo/Seas), w celu ewenualnego porównania z wynikami dla szeregów nieodsezonowanych. Procedura wykazała, że wszyskie szeregi nie wymagały odsezonowania. Pozosałe obliczenia wykonano w programach: STATA, Microfi.

3 Małgorzaa Borzyszkowska 2. Tes pierwiaska ednoskowego Dickey-Fullera Zaproponowany przez Dickey-Fullera es zakłada w hipoezie zerowe, że badany szereg es niesaconarny z powodu wysępowania pierwiaska ednoskowego. Hipoeza alernaywna mówi o saconarności szeregu. Do przeprowadzenia esu porzebna es częso zmodyfikowana wersa esu (ADF) dana nasępuącą relacą: Δ y = δ y + α Δ y + ε, gdzie: { k = } - o szereg obserwaci badane zmienne, k liczba opóźnionych warości przyrosów zmienne (dobrana ak, aby wyeliminować wysępowanie auokorelaci składnika losowego). Decyzę o odrzuceniu bądź nie, hipoezy zerowe podemue się na podsawie saysyki DF liczone za pomocą ilorazu -Sudena. Jeżeli obliczona warość saysyki DF es większa niż warość kryyczna, o nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowe o niesaconarności badanego szeregu, w przeciwnym wypadku należy ą dorzucić. Odpowiednie warości kryyczne dane są w pacy MacKinnon (99) lub Franses, Hobin (997). y 3. Tes Phillipsa-Perrona Tes pierwiaska ednoskowego (ego rozkład asympoyczny es aki sam ak rozkład esu ADF) es odporny względem auokorelaci i heeroscedasyczności o nieznane posaci (por. Syczewska, 22). W odróżnieniu od esu ADF, dodakowe składniki wprowadzane są do wzoru określaącego samą saysykę esu, a podsawowa regresa ma posać: Δ y = α + βy +ε, zaem odpowiada modelowi AR() dla szeregu { y }. Dokładny opis zawary es w pracach Phillips, Perron (988), Hamilon (994). Hipoeza zerowa esu zakłada niesaconarność badanego szeregu, naomias alernaywna ego saconarność. Jeżeli obliczona saysyka es większa od warości kryyczne, o nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowe o niesaconarności szeregu, wskuek wysępowania pierwiaska ednoskowego. Odpowiednie warości kryyczne można znaleźć w Hamilon (994). 4. Tes DF-GLS Ellioa, Roenberga i Socka Zaproponowany przez Ellioa, Roenberga i Socka (996) es es zmodyfikowanym esem ADF, poprzez przekszałcenie obserwaci danego szeregu y = według poniższe relaci: d( y ) = dla, gdzie: α - oznacza sałą y α y > dobraną odpowiednio: 7/T dla modelu ze sałą, 3,5/T dla modelu ze sałą i rendem (T liczba obserwaci). Analogicznie przekszałcane są wekory rendu i warości sałe, d( x ). Regresa ADF szacowana es dla warości: d y = y xδ ( α), ednak bez sałe i rendu. Jeżeli odpowiednia warość kry-

Analiza empiryczna wybranych zmiennych wchodzących w skład 3 yczna es niższa niż obliczona warość saysyki (es lewosronny) wyzna- d d d czone na podsawie regresi posaci: Δ y = δ y + γ Δ y +ε, o nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowe o niesaconarności badane zmienne (warości kryyczne dane są w pracy Cook-Manning, 24). 5. Tes Kwiakowskiego, Phillipsa, Schmida i Shina Tes KPSS w hipoezie zerowe zakłada rendosaconarność badanego szeregu, wobec niesaconarności w hipoezie alernaywne. Posiada dwie werse: z rendem oraz bez rendu. Saysyka esu dana es wzorem: 2 2 2 ˆ η = T S / s ( l), gdzie: S oznacza sumy częściowe resz ( e ) regresi badane zmienne odpowiednio względem rendu linowego lub względem sałe. Wyrażenie: s 2 () l przymowane es ako esymaor warianci długookresowe k = T l T 2 2 = + (, ) = s= l = s+ dane wzorem: s () l T e 2 T w(,) s l ee s, gdzie: wsl o wagi wyznaczone na podsawie funkci gęsości Barlea wsl (, ) = s/( l+ ). Jeżeli obliczona warość saysyki es wyższa niż odpowiednia warość kryyczna (podane są w pracy Kwiakowskiego, Phillipsa, Schmida i Shina, 992), o odrzucamy hipoezę zerową. 6. Inegraca ułamkowa i procedura esymaci Lo (99) Sopień inegraci szeregu niesaconarnego definiowany es ako namniesza całkowia liczba przyrosów, dla kóre szereg sae się saconarny. Inegraca ułamkowa sprowadza się do uogólnienia ego poęcia i oznacza, że sopień inegraci szeregu może być określony przez warości rzeczywise (d). Wyrażenie różnicuące przymue wówczas posać: k d d d k k Γ( k d) L Δ = ( L) = ( ) L = k= k k= Γ( d) Γ ( k + ), gdzie: L operaor opóźnień, a paramery rozwinięcia określone są przy użyciu funkci gamma (za Syczewska (25)). Jeżeli <d<.5, proces es saconarny, a ego funkca auokorelaci zmniesza się powoli i nie es sumowalna (szereg posiada zw. długą pamięć). Dla.5 d< warianca es skończona, proces es niesaconarny, lecz wciąż powracaący do średnie (wpływ szoku zakłócaącego w długim okresie zaniknie). Gdy d szereg es niesaconarny i niepowracaący do średnie, efeky szoku są rwałe (persysenne). W przypadku -.5 < d<, szereg zawiera króką pamięć (por. Osińska, 26). Saysyka R/S i uogólniona procedura według Lo (99) zaproponowana zosała przez Hursa (95). Klasyczna wersa saysyki zosała zmodyfikowana (ze

32 Małgorzaa Borzyszkowska względu na e wrażliwość na krókoerminowe zależności w szeregu) przez Lo (99) do posaci: k k Qn = max ( ) min ( ) ˆ X X X X, σ k n k n n = = z esymaorem warianci n q 2 2 ˆ ( q) = ( X ) 2 ( ) ˆ X + q n = =, σ ω γ 3n 2ˆ ρ gdzie: ω ( q) =, wagi Barlea, q= [ kn ] = q + 2 2 ˆ ρ dana ako nawiększa liczba całkowia niższa niż q, q< n, ˆρ - współczynnik auokorelaci I rzędu, X - warość średnia próby. Modyfikaca polegała eż na normalizaci saysyki ako Qn / n. Hipoeza zerowa zakłada, że szereg posiada króką pamięć, a alernaywna, że szereg ma długą pamięć. 7. Inerpreaca orzymanych wyników Wyniki esu DF(ADF) Tablica przedsawia wyniki badania inegraci szeregów. Wyniki pokazuą, że badane szeregi zinegrowane są rzędu pierwszego, są więc niesaconarne i zawieraą pierwiasek ednoskowy. Wyniki esu Phillipsa-Perrona Obliczenia (Tablica 2) wykonano za pomocą programu STATA, gdzie podawane są również odpowiednie warości kryyczne (por. Hamilon (994), s. 762-763). Dla liczby obserwaci równe 42 oraz dla %, 5%, % poziomu isoności i warości kryyczne dla saysyki Z(ρ) wynoszą odpowiednio: - 8.288, -3. 2, -.52 (-24.548, -9.6, -6.368 w wersi z rendem). Naomias dla saysyki Z() warości e wynoszą: -3.64, -2.955, -2.6 (-4.233, - 3.536, -3.22 z rendem). W nawiasach z kropką podano warość poziomów isoności według MacKinnona. Na podsawie oszacowanych warości swierdzić można, że dla wszyskich poziomów isoności nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowe o niesaconarności badanych szeregów. /3 2/3

Analiza empiryczna wybranych zmiennych wchodzących w skład 33 Tablica. Obliczone warości saysyk dla odpowiednich szeregów Saysyka [] DF/ADF Sa. G [2] DF/ADF Sa. G [3] DF/ADF Sa. G [4] DF/ADF Sa. G Szeregi badanych zmiennych LMR LMR LM2R LM3R.2348 2.743 4.4 -.38556 I(2) 4 3.2229 7.364 2.3537 4.6345 -.4429.996 -.73953 -.58724 3.3325.2839 2.2382.9978 -.37 -.2895 -.5422 -.4845 3.6225 6.276 3.3793 3.2222 -.977 2.275 -.7622 -.5787 5.2926 5.5644 4.372 4.327 F sa. 3.298** 8.4624*** 3.3965** 3.276** [5] DF/ADF -.8222 -.2935 -.4 -.357 Sa. G 5.285 5.658 5.7447 5.675 F sa. 3.498** 7.49*** 3.482** 2.936** Oznaczenia: L logarymy, R realne wielkości; [] regresa: nc, n, nd; warość kryyczna: -.86, [2] regresa: c, n, nd; warość kryyczna: -2.79, [3] regresa c,, nd; warość kryyczna: -3.34, [4] regresa: c, n, d; warość kryyczna: -2.77, [5] regresa: c,, d; warość kryyczna: -3.34. oznacza liczbę dołączonych opóźnień przyrosów zmienne w regresi. Sa. G oznacza warość saysyki Godfrey a. Liczba gwiazdek oznacza isoność saysyki (***, **, *) na poziomie odpowiednio: %, 5%, %. Warości kryyczne dla α=.5 pobrano z pracy Franses, Hobin (997), s. 29. Tablica 2. Obliczone saysyki dla szeregów ze sałą (a) oraz ze sałą i z rendem (b) Saysyka Szeregi badanych zmiennych LMR LMR LM2R LM3R a: Z(ρ) -6.2 2.5 -.792 -.597 a: Z() -.58 2.3 -.747 -.598 a: (. ).5247.9987.8342.875 b: Z(ρ) -.654-3.342-4.732-4.732 b: Z() -2.337 -.96 -.67 -.565 b: (. ).434.9297.7896.86 Wyniki esu DF-GLS Ellioa, Roenberga i Socka Obliczenia wykonano za pomocą programu STATA, maksymalny rząd opóźnienia równy 9 zosał usalony za pomocą kryerium Schwer a. Warości kryyczne dla poziomów isoności: %, 5% podane w pracy Cook-Manning (24), s. 27-272, (gdzie maksymalny sopień opóźnienia usalany es na pod-

34 Małgorzaa Borzyszkowska sawie sekwencyne reguły Ng i Perrona (995) w wersi z rendem wynoszą: - 4.5, -3.52 oraz w wersi bez rendu odpowiednio: -3.9, -2.48. Tablica 3. Obliczone warości saysyk DF-GLS dla odpowiednich szeregów w wersi z rendem (τ) i bez rendu (μ) Saysyka Szeregi badanych zmiennych LMR LMR LM2R LM3R (τ) -.622 -.287-3.34-3.385 (μ).473.45 2.453 2.64 L oznacza wielkości logarymowane, R wielkości realne. Porównuąc orzymane warości z warościami kryycznymi, można powiedzieć, że dla % i 5% poziomu isoności nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowe o nie saconarności wszyskich szeregów. Wyniki powierdzaą wcześniesze usalenia, ednak w przypadku szeregów LM2R i LM3R dla wersi z rendem, warości saysyk są bliskie warościom granicznym. Wyniki esu KPSS Warości kryyczne dla poziomów isoności %, 5% wynoszą: dla wersi z rendem liniowym:.9,.46, naomias w wersi bez rendu odpowiednio:.347,.463. Obliczenia wykonano za pomocą programu STATA, maksymalny rząd opóźnienia określony wg kryerium Schwer a wynosi 3. Tablica 4. Obliczone warości saysyki KPSS dla wersi z rendem(τ) i bez rendu (μ) Saysyka Szeregi badanych zmiennych LMR LMR LM2R LM3R (τ).82.25.69.6 (μ).574.4.2.4 Uzyskane warości wskazuą, że należy odrzucić hipoezę zerową o rendosaconarności na korzyść hipoezy alernaywne. Wszyskie szeregi zaem na poziomie isoności 5% są niesaconarne. Wyniki esu dla zmodyfikowane saysyki Lo Warości kryyczne dane są w posaci przedziałów: dla (α=.) 9% [.86,.747], dla (α=.5) 95% [.89,.862], dla (α=.) 99% [.72, 2.98]. Obliczone warości saysyk zawiera ablica poniże. Tablica 5. Obliczone warości saysyk Miara LMR LMR LM2R LM3R Saysyka Lo saysyka.922 2.34 2.25 2.3

Analiza empiryczna wybranych zmiennych wchodzących w skład 35 Wykroczenie policzone saysyki poza dany przedział skukue odrzuceniem hipoezy zerowe, zaem szeregi LMR, LM2R i LM3R powinny posiadać długą pamięć. 8. Podsumowanie Przeprowadzona analiza miar pieniądza, poencalnych zmiennych funkci popyu na pieniądz, sanowi część wyników esów, zasosowanych do zbadania ich własności dynamicznych. Analiza wykazała, że badane szeregi są niesaconarne (wyniki esów: DF-GLS, PP, powierdzone esem KPSS) i zinegrowane rzędu pierwszego (es DF/ADF). Dodakowo es badania inegraci ułamkowe (zmodyfikowana saysyka R/S według Lo) dae przesłanki do dalszych prac nad zmiennymi w celu doboru właściwe meody esymaci modeli. Lieraura Anoruo, E., Braha, H. (25), Fracional Inegraion Analysis of Real Shor-Term Ineres Raes: Evidence from Selec African Counries, Global Review of Business and Economic Research, USA. Baillie, R.T. (996), Long Memory Processes and Fracional Inegraion in Economerics, Journal of Economerics, 73, 5 59. Barro, R.J. (997), Makroekonomia, PWE, Warszawa. Baumol, W.J. (lisopad 952), The Transacions Demand for Cash: An Invenory Theoreic Approach, The Quarerly Journal of Economics, Vol. 66, 545 556. Cook, S., Manning, N. (24), Lag Opimisaion and Finie-Sample Size Disorion of Uni Roo Tess, Economics Leers, 84, 267-274. Duwendag, D., Keerer, K.H., Kösers, W., Pohl, R., Simmer, D.B. (995), Teoria pieniądza i poliyka pieniężna, Polex, Warszawa. Ellio, G., Roenberg, T.J., Sock, J.H. (996), Efficien Tess for an Auoregressive Uni Roo, Economerica, Vol. 64, No. 4, 83 836. Franses, P.H, Hobin, B. (997), Criical Values for Uni Roo Tess in Seasonal Time Series, Journal of Applied Saisics, Vol. 24, No., 25 47. Friedman, M. (sierpień 959), The Demand for Money: Some Theoreical and Empirical Resuls, The Journal of Poliical Economy, Vol. 67, No. 4, 327 35. Goldfeld, S.M., Chandler, L.V. (98), The Economics of Money and Banking, Harper and Row Publisher, New York. Hamilon, J.D. (994), Time Series Analysis, Princeon Universiy Press, New Jersey. Keynes, J.M. (956), Ogólna eoria zarudnienia, procenu i pieniądza, PWN, Warszawa. Kwiakowski, J. (999), Procesy z długą pamięcią i modele ARFIMA, Zeszyy Naukowe AUNC, 329, Toruń, 57 7. Kwiakowski, D., Phillips, P.C.B., Schmid, P., Shin, Y. (992), Tesing he Null Hypohesis of Saionary Agains he Alernaive of a Uni Roo, Journal of Economerics, 54, 59 78. Laidler, D.E.W. (985), The Demand for Money: Theories, Evidence, and Problems, Harper & Row, Publishers, New York.

36 Małgorzaa Borzyszkowska Lo, A.W. (99), Long-erm Memory in Sock Marke Prices, Economerica, 59, 279 33. MacKinnon, J.G. (99), Criical Values for Coinegraion Tess, rozdział 3, w: Engle, R.F., Granger, C.W.J. (red.), Long-Run Economic Relaionships: Readings in Coinegraion, Oxford Universiy Press, Oxford. Mishkin, F.S. (22), Ekonomika pieniądza, bankowości i rynków finansowych, PWN, Warszawa. Ng, S., Perron, P. (995), Uni Roo Tess in ARMA Models wih Daa-Dependen Mehods for Selecion of he Truncaion Lag, Journal of he American Saisical Associaion, 9, 268 28. Osińska, M. (26), Ekonomeria finansowa, PWE, Warszawa. Phillips, P.C.B., Perron, P. (988), Tesing for a Uni Roo in Time Series Regression, Biomerika, No. 75, 335 346. Sowell, F. (99), The Fracional Uni Roo Disribuion, Economerica, Vol. 58, No. 2, 495 55. Schwer, G.W. (989), Tess for Uni Roos: A Mone Carlo Invesigaion, Journal of Business and Economic Saisics, 7, 47 6. Syczewska, E.M. (22), Niesaconarność nominalnego i realnego kursu wymiany dla danych sezonowych, Bank i Kredy, 3, 44 52. Syczewska, E. (25), Aggregaion of Exchange Rae Daa and Long Memory Measures, Prace i Maeriały Insyuu Rozwou Gospodarczego, 75, 55 73. Syczewska, E.M. (25b), Wpływ agregaci kursów złoowych na wyniki esymaci parameru inegraci ułamkowe meodą Phillipsa, UMK w Toruniu, IX 25, Konferenca: Dynamiczne Modele Ekonomeryczne, 2 36. Tobin, J. (956), The Ineres Rae Elasiciy of he Transacions Demand for Cash, Review of Economics and Saisics,. 38, 24 247. Tobin, J. (958), Liquidiy Preference as Behavior Towards Risk, Review of Economic Sudies,. 25, 65 86.