WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH

STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36, T. 1 Sefan Grzesiak * WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH STRESZCZENIE W arykule podjęo problem wykorzysania rachunku wariacyjnego do opymalizacji rozkładu produkcji w czasie dla określonego produku. Zasosowanie rachunku wariacyjnego jes możliwe ylko w przypadku użycia deerminisycznych modeli decyzyjnych do opisu dynamiki rozkładu produkcji. Przeanalizowano wybrane posaci analiyczne funkcji koszów produkcji, kórych można użyć w funkcji kryerialnej wspomnianego modelu. Dzięki akiemu podejściu można w sosunkowo prosy sposób wyznaczyć funkcje, opisujące rozkład produkcji w czasie, kóre jednocześnie będą minimalizować całkowie koszy produkcji. Słowa kluczowe: rachunek wariacyjny, opymalizacja, funkcja koszów, równanie Eulera Wsęp Ważnym i jednocześnie ineresującym zagadnieniem jes określanie opymalnego rozkładu produkcji w czasie w przedsiębiorswach o różnym ypie produkcji. Wymaga o umiejęności konsruowania modeli decyzyjnych, charakeryzujących się odmiennymi właściwościami w zależności od paramerów jednosek gospodar- * Adres e-mail: segrz49@wneiz.pl

42 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII czych. Inaczej proces en wygląda w przypadku, gdy problem analizuje się w warunkach deerminisycznych, a inaczej w sochasycznych. W warunkach pewności, zadania decyzyjne są prossze i ławiejsze do rozwiązania. Takie warunki są spełnione, gdy decyden jes w posiadaniu w pełni wiarygodnych informacji o kszałowaniu się paramerów modelu decyzyjnego w całym analizowanym okresie. Przede wszyskim konieczna jes wiarygodna informacja o zaporzebowaniu na analizowany produk w określonych momenach (przedziałach) czasu. Taką gwarancję daje z reguły podpisanie umów na dosawę z odbiorcami, ściśle określających ilość i erminy dosaw. Jes o dla firmy syuacja zupełnie korzysna, gdyż umożliwia zamówienie z wyprzedzeniem surowców i urządzeń, niezbędnych do realizacji produkcji. Zasadniczy wpływ na dobór meod rozwiązywania zadań programowania produkcji w czasie ma eż rakowanie procesu produkcji jako dyskrenego lub ciągłego. Zależy o od ypu, a akże charakeru produkcji. W przypadku produkcji o charakerze masowym (pookowym) lub wielkoseryjnym możliwe saje się rakowanie jej jako procesu ciągłego. Można wedy przyjąć, że zarówno poziom zaporzebowania, jak i wielkość zapasów również są zmiennymi ciągłymi. Założenie o ciągłości zmiennych, opisujących produkcję, zaporzebowanie i zapasy, swarza możliwość wykorzysania przy rozwiązywaniu zadań programowania produkcji rachunku wariacyjnego. Taka możliwość wynika z faku, iż rachunek wariacyjny daje szansę znalezienie funkcji opisującej opymalny rozkład produkcji w czasie. W przypadku, gdyby zasosowanie rachunku wariacyjnego było niemożliwe, można wykorzysać rachunek różniczkowy, umożliwiający znalezienie eksremum funkcji wielu zmiennych. W efekcie orzymuje się nie funkcję rozkładu produkcji w czasie, ale ciąg wielkości dla poszczególnych podokresów uzyskanych jako rozwiązanie układu równań normalnych. Pełny wykład podsaw rachunku wariacyjnego można znaleźć m.in. w pracy [zob. Gelfand, Fomin 1975]. Kryerium i konsrukcja modelu decyzyjnego Jako zasadnicze kryerium przy rozwiązywaniu zadania programowania produkcji w czasie przyjęo koszy ponoszone przez przedsiębiorswo w związku z prowadzeniem działalności produkcyjnej. Koszy e można podzielić na rzy główne kaegorie:

STEFAN GRZESIAK WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH 43 bezpośrednio uzależnione od skali produkcji i będące pewną funkcją jej wielkości; ponoszone w związku z koniecznością przechowywaniu w magazynach części niesprzedanej lub nieodebranej w danym momencie produkcji, jako pokrycie przyszłego zaporzebowania; wynikające ze zby małej w danym momencie wielkości produkcji, swarzającej jej niedobór, a w związku z ym pewne dodakowe nakłady i sray. Największe problemy swarza kwanyfikacja koszów niedoboru produkcji. Okresowe braki w pokryciu zaporzebowania na określone zamówione produky mogą generować dodakowe koszy, wynikające z nakładanych kar umownych, konieczności nagłego zwiększenia rozmiarów produkcji i poniesienia dodakowych koszów (np. osobowych, z yułu wydłużonej eksploaacji urządzeń). Częse wysępowanie wahań poziomu produkcji prowadzi w dłuższym czasie do nieracjonalnej eksploaacji urządzeń i zakłóceń w pracy załogi zaangażowanej w produkcję. Tym samym można uznać koszy niedoboru jako niekoniecznie proporcjonalną funkcję odchyleń pomiędzy zgłaszanym zaporzebowaniem a rozmiarami produkcji. Koszy magazynowania goowych produków najczęściej przyjmuje się jako liniową funkcję wielkości przechowywanych zapasów. Wynika o z realnego założenia, iż koszy e zawierają elemeny sałe (np. urzymanie, amoryzację, obsługę i konserwację pomieszczeń) oraz zmienne, obejmujące głównie czynności ładunkowe, konserwację zapasów produków ip. Zasadniczą rolę pełnią jednak pierwsze wymienione kaegorie koszów. Załóżmy, że przedsiębiorswo produkuje masowo jeden wyrób. Zaporzebowanie na niego w każdym momencie badanego okresu jes znane i można je określić funkcją v³ () 0. Jeżeli jako x () określimy funkcję rozkładu produkcji w czasie, o f éx() ù ë û będzie oznaczać funkcję opisującą zależność koszów od wielkości produkcji w każdym momencie. Przyjmując założenia o masowym charakerze produkcji jednocześnie przyjmujemy, że x, () v () oraz poziom zapasu wywarzanego produku są ciągłymi funkcjami zmiennej czasowej. Niech h oznacza jednoskowy kosz magazynowania analizowanego produku w jednosce czasu. Jeżeli całkowie zaporzebowanie na analizowany produk od począku badanego okresu określimy jako: () () V = ò v d (1) 0

44 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII a łączną produkcję do momenu przez: X () () o zapas produku w dowolnym momencie wyniesie = ò x d (2) 0 () () () ( 0) Z = X - V + Z (3) W ej syuacji zadanie dynamicznego programowania produkcji w okresie (0,T) da się opisać przy pomocy modelu decyzyjnego minimalizującego całkowie koszy produkcji [Lange 1967, 256]: przy założeniach: T T é () ù é () () ( 0) ù ò ë û ò ë û (4) D = f x d + h X - V + Z d min 0 0 () () () ( ) Z ( 0) ³ 0 (5) Z = X - V + Z 0 ³ 0, 0 T (6) X( ) - V( T) = Z( T) (7) Założenie (5) oznaczające wielkość zapasu począkowego jes oczywise, naomias (6) oznacza nieujemność zapasu wyrobu w każdym momencie badanego przedziału czasu, a więc przyjęcie, że nie jes możliwe uzupełnienie ego zapasu z zewnąrz. Warunek (7) definiuje końcowy san zapasu w magazynie. Rozważymy eraz kwesię wyboru posaci analiycznych funkcji koszów f éx() ù ë û w zależności od skali produkcji. Biorąc pod uwagę możliwości wykorzysania różnych formuł przy opymalizacji rozkładu produkcji w czasie, dokonano wyboru akich, kórych posaci umożliwiają użycie rachunku wariacyjnego do opymalizacji. Do spełniających en warunek, a jednocześnie najczęściej spoykanych w lieraurze należą: 2 () () () K = a x + a x + a (8) 1 2 1 0 a > 0, a ³ 0, a ³ 0 (9) 2 2 0 3 2 () () () () K = b x - b x + b x + b (10) 2 3 2 1 0

STEFAN GRZESIAK WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH 45 b > 0, b ³ 0, b ³ 0, b ³ 0 (11) K 3 2 1 0 5 b 3 () a () K = x + g (12) a> 0, b> 1, g³ 0 (13) 4 0,5 () a () K = x + b (14) () a> 0, b³ 0 (15) () é ë x () éx () + ax + bù = û + l gù ë û (16) a> 0, b³ 0, g> 0, l³ 0, b¹ g (17) 6 () () K = ae bx (18) a> 0, b> 0 (19) gdzie a, b, c oraz, abgl,,, sałe paramery. Niekóre z wymienionych posaci funkcji koszów proponowano w pracy [Barczak 1971, 37]. Przedsawione posaci funkcji zosały wybrane głównie ze względu na możliwość ich wykorzysania przy określaniu opymalnego rozkładu produkcji w czasie z użyciem rachunku wariacyjnego. Zgodnie z ym każda z funkcji koszów musi posiadać rosnący krańcowy kosz produkcji oraz dodanią druga pochodną. Z ego względu nie proponowano innych funkcji o zby skomplikowanych posaciach analiycznych lub eż np. funkcji liniowej, kórej nie da się w akim przypadku wykorzysać. W syuacji, gdy przedsiębiorswo produkuje wiele wyrobów, należałoby oczywiście sworzyć je odrębnie dla każdego produku. Idea i wykorzysanie rachunku wariacyjnego Jednym z klasycznych zagadnień rachunku wariacyjnego jes wyznaczenie funkcji X(), dla kórej całka b é (), (), ù ò ë û (20) I = X X d min a

46 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII gdzie X () jes pochodną X(), osiąga minimum, a zapis en nazywany jes funkcjonałem. Funkcję kryerialną (4) da się przedsawić [Lange 1967, 261 262] w posaci (20). Rozwiązanie zadania (20) polegać będzie na znalezieniu eksremum funkcjonału. Poszukuje się go analogicznie, jak w przypadku eksremum zwykłej funkcji y= f ( x). Funkcja X() zasąpiona zosanie przez przekszałconą funkcję X() + dx(). Elemen d X() nazwiemy wariacją funkcji X(). Wsawienie zamias X() wielkości X() + dx() zmienia warość funkcjonału (20). Jego nową warość oznaczymy przez J + dj. W syuacjach, gdy d J > 0, lub d J < 0, funkcjonał (20) nie posiada eksremum. Jeżeli d J = 0, wedy en funkcjonał posiada eksremum. Isone jes, że usalając warunek isnienia eksremum funkcji y= f ( x) należy zmienić argumen funkcji, naomias przy badaniu eksremum funkcjonału warość argumenu nie ulega zmianie. Przyjmując, że X oraz x X mają pierwsze i drugie pochodne ciągłe wzgl ędem, nowy funkcjonał da się zapisać: b J J F X X ; X X ; ] d (21) a Przy założeniu, że X 0, obliczymy eraz J dla usalonego : F F J X d X d b b ' X X (22) a a Wykorzysując wyrażenie (22) zapiszemy warunek, jaki należy spełnić, aby wariacja funkcjonału była równa zeru: b F d F J X d 0 X d X a (23) Ponieważ J musi być równa zero dla każdego X, sąd J 0, gdy wyrażenie w nawiasie kwadraowym w (23) równa się zero: F d F 0 (24) X d X ' Jes o zw. równanie różniczkowe Eulera, kórego rozwiązanie pozwala na orzymanie funkcji X, sprowadzającej do minimum funkcjonał J.

STEFAN GRZESIAK WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH 47 Wyrażenie (24) wykorzysano do znajdowania funkcji, opisujących rozkład produkcji w czasie. Zauważmy, że x X, a V i Z 0 są dane i nie ulegają zmianie. Odnosząc równanie (24) do warunku isnienia eksremum funkcjonału (20) przy przyjęciu granic całkowania (a = 0, b =T) orzymujemy: F h oraz X d F d f x d X ' d Równanie Eulera (24) zapiszemy więc w posaci: d ' h h fx 0 lub x (25) d f " x Warunek (25) wskazuje, że dla minimalizacji funkcji rozkładu produkcji w czasie, kosz magazynowania powinien być równy zmianie (przyrosowi) koszu krańcowego, wynikającego ze zmiany rozkładu produkcji w czasie. Przeanalizujemy eraz, jakie posaci będą mieć funkcje rozkładu produkcji w czasie w zależności od przyjęej w funkcji celu posaci funkcji koszów. W ym celu wykorzysamy równanie Eulera (25), aby znaleźć odpowiednie posaci biorąc pod uwagę zadanie decyzyjne (4)-(7). Jeżeli funkcja koszów ma posać (8), równanie różniczkowe Eulera można zapisać: 1 x 0,5ha. Sąd po wykonaniu operacji całkowania: 0,5h x m (26) a2 Jeżeli f x jes wielomianem 3-ego sopnia ypu (10), wedy równanie Eulera ma posać: dx h6b 2b 1 (27) 3 2 d Przekszałcamy (27) do posaci, a nasępnie całkujemy obusronnie uzyskując: gdzie p sała całkowania. 2 3b x 2b x h p 3 2 2

48 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Uzyskane równanie rakujemy jako rójmian kwadraowy względem i orzymujemy dwa rozwiązania: x () 1 2 ( ) 0.5 1 1 = 0,33b - é 3 b2 + 3b3 h+ p ù ê + 0,33b2b ë úû - 3 Zakładając, że funkcja Eulera zapiszemy: 0,33 1 0,33 1 2 3 0.5 x b b b 2 2 3 3 b b h p 2 3 x f x ma posać opisaną wzorem (12), równanie dx h 1 1 x d (28) 2 Wedy po wymnożeniu obu sron przez x d i podsawieniu r h 1 całkujemy obusronnie uzyskując: 1 1 1 gdzie R sała całkowania. Osaecznie orzymujemy funkcję: 1 x r R 1 1 1 x r R (29) Jeżeli funkcja f x będzie mieć posać (14), wedy równanie Eulera ma posać: dx 0,5 4h x 1,5 d (30) 0,5 Po podsawieniu w 4h całkujemy równanie x 1,5 dx wd, uzyskując osaecznie: x 4w W 2 gdzie W sała całkowania (31) Dla funkcji f x w posaci (16) równanie różniczkowe Eulera przyjmie posać: dx d x 1 3 0,5h (32)

STEFAN GRZESIAK WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH 49 Po podsawieniu q 0,5 h( 1 x 3 dx qd i odpowiednim przekszałceniu orzymujemy. Po całkowaniu obu sron można zapisać nasępujące równanie: x 2 2 q Q gdzie Q sała całkowania. Osaecznie funkcja rozkładu produkcji w czasie będzie miała posać: x 2 q Q (33) Osania posać w posaci f x opisana funkcją (18) generuje równanie Eulera dx 1 2 h exp x (34) d 1 2 Jeżeli podsawimy s h, o mnożąc odpowiednio obie srony mamy: exp x dx sd Po obusronnym całkowaniu ego równania orzymujemy: 1 exp x s S lub exp x s S gdzie S sała całkowania. Po zlogarymowaniu obu sron osaecznie uzyskujemy: 1 x ln s S (35) Rozważymy eraz dokładniej przypadek opisany kwadraową funkcją koszów ypu (8). Funkcja rozkładu produkcji jes w akim przypadku rosnącą funkcją liniową, kórej nachylenie jes uzależnione od koszu magazynowania i parameru przy 2 x. Wyraz wolny m jes zależny od warunków (6) i (7) zadania wyjściowego. Wielkość produkcji w okresie (0, ) można więc wyznaczyć: h h (36) 2 X ( m) d mn 2a 4a 0 2 2 Na rys. 1 przedsawiono kszałowanie się produkcji w zależności od usalonego zaporzebowania. Przyjmując Z 0 0 w momencie 0, należy przez pewien czas produkować powyżej zaporzebowania, worząc zapas. W okresie ( 1, 2 ) zapas ulega likwidacji aż do przecięcia się prosej x i krzywej v. Przez pewien czas

50 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII produkcja równa się zaporzebowaniu, a nasępnie znów wzrasa. Odcinek prosej x jes u obniżony, a więc cały przebieg x składa się z szeregu odcinków prosej oraz pewnych części, dla kórych x v. Przebieg produkcji jes zaem bardziej wygładzony, niż krzywa zaporzebowania. Rys.1. Na rys. 2 przedsawiono krzywe X i V dla prezenowanego przykładu. X jes funkcją ypu (36). Założenie (6) o nieujemności zapasu powoduje, że linia X jes zawsze powyżej V, a jedynie na niekórych odcinkach się z nią pokrywa dla Z(0) = 0. Rys. 2.

STEFAN GRZESIAK WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH 51 Sprawdzimy jeszcze, jaki będzie efek, gdy założymy, że kosz magazynowania h wyniesie zero. Wedy x 0, czyli funkcja rozkładu produkcji w czasie będzie sałą prosą równoległą do osi. Poziom produkcji będzie aki sam aż do momenu wyczerpania zapasu. Poem ulegnie przesunięciu w górę lub dół, w zależności od krzywej zaporzebowania (rys. 3). Rys. 3. Wynika o z założenia, że w każdym momencie zapas produku musi być nieujemny. Przedsawiona na rys. 3 krzywa x nie jes jedną linią ciągłą, ale jes ciągła w przedziałach, kórych długość zależy od kszału krzywej zaporzebowania. Podsumowanie Przedsawione w arykule rozważania wskazują, że w zależności od posaci funkcji koszów można mieć do czynienia z różnymi formami opymalnego rozkładu produkcji w czasie. Zasadniczy problem sprowadza się więc do ego, aby każdorazowo dla produkowanego wyrobu usalić właściwą funkcję koszów, spełniającą podane warunki, a wedy przy użyciu rachunku wariacyjnego znaleźć najlepszą funkcję rozkładu produkcji. Taki scenariusz jes możliwy pod warunkiem, że produkcja określonych wyrobów ma charaker masowy, a problem analizuje się w warunkach

52 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII deerminisycznych. Przy innym ypie produkcji (np. w produkcji krókoseryjnej lub jednoskowej) albo w warunkach sochasycznych nie jes możliwe zasosowanie prezenowanego podejścia. Lieraura Barczak A. (1971), Ekonomeryczne meody badania koszów produkcji, PWN, Warszawa. Gelfand M., Fomin S.W. (1975), Rachunek wariacyjny, PWN, Warszawa. Lange O. (1967), Opymalne decyzje, PWN, Warszawa. ANALYSIS OF PRODUCTION FLUCTUATION IN ENTERPRISES WITH USE OF VARIATION CALCULATIONS Absrac The subjec of he aricle is a use of variaion calculaions o opimize producion imeable for he specific produc. Use of variaion calculaions is possible only in case of using a deerminisic decision-making model for descripion of dynamics of producion ime-able. In he aricle were analyzed seleced analyical forms of funcions of he producion cos, which can be used in he crieria funcion in he model menioned above. Through such approach he funcions ha describe producion ime-able can be designaed in relaively easy way. These funcions will simulaneously minimize oal cos of producion. Translaed by Maeusz Grzesiak Key words: variaion calculaions, opimizaion, cos funcion, Euler s equaion JEL Code: C61, C65