Olga Koacz, Kzysztof Kawczyk, Ada Łodygowski, Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Kzysztof Tye Konsultace naukowe: of. d hab. JERZY RAKOWSKI Poznań /3 MECHANIKA BUDOWLI. DRGANIA WYMUSZONE, NIETŁUMIONE W celu ułatwienia ozuowania oaz otzyania ładnego wyniku, zakładay, że siła wyuszaąca P( a chaakte oscylacyny, co sowodue, że szukana funkca zeieszczeń q( będzie ównież okesowa q( P( Rys.. Rozatywany zyadek dgań wyuszonych układ o edny stoniu swobody, utwiedzony sężyście. q( wsółzędna uogólniona. Równanie ogólne dgań:
q& ( + κq( = P( (.) Siła wyuszaąca a ostać: P ( = P sin t + P cos t = Psin( t + ε ) (.) Gdyby iała ona inna ostać ożna byłoby ą ozwinąć w nieskończony szeeg Fouiea, a ozwiązanie stanowiłaby sua oszczególnych ozwiązań zytoczonych oniże. Po odzieleniu zez ównanie zaisuey: q& & ( + q( = Qsin( t + ε) (.3) gdzie: P χ Q =, = częstość kołowa dgań wyuszonych (częstość siły wyuszaące) ε kąt fazowy P alituda siły okesowe, aksyalna watość siły wyuszaące Szukaąc ozwiązania zastosuey całkę ogólną wyowadzoną na wcześnieszy wykładzie: Q q ( = C sin t + C cost + sin( t + ε ) (.4) Można tak dobać waunki oczątkowe aby watości stałych całkowania C i C były ówne. Rozwiązanie zyie zate ostać: ( ) = Q q t sin( + ε ) t (.5) Pzyadkie szczególny będzie sytuaca, kiedy ε=, co nie włynie na ogólny chaakte analizy ozwiązania.
gdzie: Q WYKŁ ADY Z MECHANIKI BUDOWLI q = Q ( - est liczbą Q q( = sin t sin t (.6) (.7) Q Q Q P = = = κ κ κ P statyczna watość siły Κ sztywność sężyny P = A st - alituda statyczna κ q( = Astν sin t (.6) (.7) gdzie: ν = Jeżeli siła nie będzie się zieniać w czasie, to q(=a st, eżeli zacznie się zieniać, to ta watość ugięcia ulegnie zianie w czasie. Wływ na wielkość dgań a wsółczynnik ν. W szczególny zyadku, kiedy =, ugięcie oże dość do nieskończoności zy te sae sile. Ryzyko takie istniee w zyadku zgania częstotliwości. Taką sytuacę obazue wykes wsółczynnika ν w funkci częstości kolowe dgań /, a zawisko towazyszące takie sytuaci nazyway ezonanse. Obsza wykesu, w któy wsółczynnik ν zyue niebezieczne watości nazyway stefą ezonansu.
v w v,75,5 w Rys.. Wykes zależności wsółczynnika ν ukazuący stefę ezonansu Rezonans to zawisko olegaące na zbliżeniu częstości kołowe dgań wyuszenia do częstości kołowe dgań własnych. Badzo ważne est uwzględnienie obliczeń dynaicznych dynaicznych budownictwie zeysłowy. Należ zwócić uwagę, aby częstość kołowa acy uządzeń nie zbliżyła się do częstości ezonansowe konstukci.. DRGANIA WYMUSZONE, TŁUMIONE
q( P( Rys.. Sytuaca analogiczna do zyadku dgań nietłuionych Postęuąc analogicznie do dgań własnych widziy, że całka ogólna obazue dgania szybko zanikaąc. Nie będziey zaowali się tą częścią ozważań, zakładay, iż est ona ało znacząca w zyadku wystąienia tłuienia (ośodka tłuiącego ρ). Zaisuey ównanie ogólne dgań: q& ( + Cq( + κ q( = Psin( t + ε ) q ( + ρ q& ( + q( = Qsin( t + ε) (.) (.) Całka szczególna zyie ostać: q ( = a sin( t + ϕ),gdzie: (.3) a = Q ( + ) + 4ρ Zauważy, że w zyadku, gdy ρ=, ównanie zyie ostać ak wcześnie.
q( = A ν sin( t + ϕ) st (.4) wsółczynnik dynaiczny dgań a teaz ostać: ν = = 4ρ ( η ) + 4η γ ( ) + * ρ η = ; γ =,gdzie: Zawisko czystego ezonansu w ty zyadku nie zadzie, gdyż alituda nie osiągnie nieskończoności. Wykes zależności wsółczynnika ν będzie teaz wyglądał tak:
γ = γ =,5 γ =,5 γ =,5 γ = η = η =
v 4 3 zesuniete aksia w stosunku do Rys.. Wykes zależności wsółczynnika ν I większe tłuienie (γ=), ty bezieczniesze od ezonansu. Dla γ=,5 alituda est czteokotnie większa, a więc zbliża nas do zagożenia zaścia ezonansu. Ponadto zy: η< ówiy o wysoki stoeniu, natoiast zy η> ówiy o niski stoeniu konstukci. Tłuienie dgań ożey ozdzielić na: wewnętzne tłuienie wywołane ozoszenie enegii wewnątz układu (wynik tacia wewnętznego kyształów stuktualne) zewnętzne wszystkie zeszkody (ooy ośodków zeszkadzaących).in. tacie 3. DRGANIA UKŁADÓW O WIELU STOPNIACH SWOBODY
Zagadnienie dynaiki układów ętowych oówiy na zykładzie oste belki. 3. Dgania własne W analizie dgań wykozystuey układ asy ozłożony w sosób dysketny, odeluey go w okeślony sosób, ozez ganulacę asy całego układu do ewne liczby unktów asowych (Rys. 3..) P ( - P ( P ( + - + w ( - w ( w ( + Rys. 3 Ganulaca asy w belce ciągłe W naszy ozuowaniu wykozystay inteetacę etody sił. Doinuącą kwestią w zyadku ugięć są zeieszczenia ionowe, dlatego też oiniey w naszych ozważaniach zesunięcia ozioe. Zgodnie z zasadą sueozyci skutków, eżeli działaą siły zienne w czasie, P ( zawiea siły bezwładności, a układ est quasistatyczny. Dowolne zeieszczenie : n = n w ( = P ( = ( P ( w& ( ) = gdzie: n liczba węzłów obciążonych asą = liczba stoni swobody Siła P est wynikie działania obciążenia zewnętznego i bezwładności asy. Dgania własne ożey zate zaisać: (3..)
n w ( = ( w& ( ) = Czyli zykładowo dla układu o dwóch stoniach swobody otzyay zais: w ( = w& ( w& ( w ( = w& ( w& ( Waday zate na to zaisu aciezowego: [ F ]*[ M ]{ w& ( } + { w( } = {} gdzie: [F] est aciezą odatności (3..) (3..3) (3..4) w ( w ( {} w = ; [ F] = [ ] w ( n ik = Maciez [M] est aciezą diagonalną, co dae znaczne uoszczenie obliczeń: [ M ] = n Układ ównań óżniczkowych został wyowadzony zy oawianiu dgań układów o edny stoniu swobody. Zais w ostaci funkci eksotencalne, sinusowo cosinusowe, zduszone do sinusowe z zesunięcie, lub: () it w ( = w e (3..5) () w = w ik Otzyay układ ównań zaisany aciezowo:
( )[ F][ M ] {} w + {} w = {} [ F][ M ] = [] I = []{} I w {} (3..6) w = (3..7) w Taki układ ównań est układe ednoodny, oznacza to, że est on ozwiązywalny od waunkie, że ego wyznacznik ówny est. Pzyównuąc ównanie wyznacznika do zea otzya kolene, któe ozwoli na wyznaczenie watości. Dgania zadą tylko wtedy, kiedy otzyay tyle watości, ile wynosił ząd aciezy. det[ F] [ M ] [ I] = (3..8) Jeżeli dany układ ętowy (aowy) uda na się zedstawić ako odel asowy, obliczyy ik, to ożey zawsze oliczyć wszystkie częstości kołowe dgań własnych. Ganulaca asy est znakoity ostęowanie, wykozystuący odstawowe założenia i koki etody sił, czyli zasadę sueozyci, oaz wsółczynniki ik.