LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

Transkrypt

1 LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTRUKCJA LABORATORYJNA Teat ćwiczenia: ZASTOSOWANIE RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO DO KORYGOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH URZĄDZEŃ CIEPLNYCH

2 . WPROWADZENIE Nie wszystkie wiekości występuące w ównaniach biansów substanci i enegii ożna łatwo ziezyć. Wiekości tudne do ziezenia staay się obiczyć za poocą ównań biansowych. W pzypadku gdy iczba niewiadoych est niesza od iczby ównań waunków występue nadia infoaci poiaowych. Poiay są obaczone nieuniknionyi błędai poiaowyi, co powadzi do konsekwenci: do obiczeń niewiadoych ożna wybać kika óżnych zestawów ównań; za każdy aze uzyska się inne wyniki, io fizyczne popawności wykozystywanych ównań, podstawienie wyników poiaów i obiczeń do nie wykozystanych ównań biansowych powadzi do niespełnienia się tych ównań, Tudności wynikaące z nadiau infoaci poiaowych ożna usunąć pzez odpowiednie skoygowanie wyników poiaowych. Koygowanie wyników poiaowych występuących w biansach substanci i enegii nazywa się uzgadnianie biansów substanci i enegii. Kozyści wynikaące z zastosowania uzgadniania: zapewnia ednoznaczne obiczenie nabadzie pawdopodobnych watości niewiadoych, zapewnia znieszenie niedokładności wyników poiaowych i uożiwia obiczenie pzedziału niedokładności wyników uzgodnionych oaz obiczonych watości niewiadoych, uożiwia skontoowanie dotzyania założone dokładności poiaów; bak dotzyania te dokładności oże świadczyć o występowaniu systeatycznych błędów poiaowych ub o błędności założeń pzyętych pzy foułowaniu ównań biansowych,. PROCEDURA UZGADNIANIA BILANSÓW SUBSTANCJI I ENERGII Pzepowadzenie uzgadniania est ożiwe, eżei znana est dokładność wyników poiaowych i odbywa się na podstawie kyteiu nawiększe wiaygodności. Powadzi ono do waunku iniu ważone suy kwadatów popawek. Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00

3 .. Kasyczna etoda uzgadniania W ogóny pzypadku funkca ceu pzy doboze popawek (kyteiu nawiększe wiaygodności) pzyue postać: n u + = = v y in. () W kasyczne etodzie uzgadniania pzyue się, że dokładność wstępnego oszacowania niewiadoych nie est znana, co est ównoznaczne z pzyęcie nieskończenie dużych śednich błędów oszacowania niewiadoych: () co w efekcie powadzi w etodzie kasyczne do iniu ważone suy popawek wiekości iezonych: n = v in. () Po pzyęciu funkci ceu (. ), ineayzaci ównań waunków popzez ozwinięcie w szeeg Tayoa oaz wykozystaniu etody nieoznaczonych czynników Lagange'a [] uzyskue się układ ównań do wyznaczenia popawek wiekości iezonych wyznaczonych niewiadoych : y v i popawek wstępnie n u kv + = = a b y = w k k () v = akkk () k= gdzie: k= b k k k = 0 () a = k =, b k - pochodne ównań waunków po wiekościach iezonych α i α β 0 niewiadoych β, 0 ν, y - popawki wiekości iezonych i niewiadoych, pzy czy indeksy w ównaniach - pzyuą watości: k=...; - iczba ównań waunków, Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00

4 =...n; n - iczba wiekości iezonych, =...u; u - iczba niewiadoych. W kasyczne etodzie uzgadniania powinna być spełniona nieówność u < < n (7). Jeżei iczba wiekości iezonych est niesza od iczby ównań, to pzedstawiona etoda uzgadniania nie oże być zeaizowana.. Uogóniona etoda uzgadniania Pzyęcie waunku () w kasyczne etodzie uzgadniania est zbyt pesyistyczne. Wstępne oszacowanie niewiadoych wynika bowie z zebanych doświadczeń abo wykozystania paw fizyki. Uogóniona etoda uzgadniania opiea się na ocenie dokładności wstępnego oszacowania wiekości nie iezonych. Wstępne oszacowanie niewiadoych wpowadza dodatkowe infoace i datego zwiększa dokładność uzgadniania. Metoda uogóniona nie nakłada żadnych oganiczeń na iczbę ównań biansowych, podczas gdy etoda kasyczna wyaga, iczba ównań była niesza od iczby wiekości iezonych (ównanie 7). W etodzie uogónione waunek iniu ważone suy kwadatów obeue zaówno popawki wiekości iezonych ak ównież popawki wstępnie oszacowanych niewiadoych: n u + = = v y in. (8) W taki pzypadku układ ównań do wyznaczenia popawek wiekości iezonych i niewiadoych pzyue postać: n u kv + = = a b y = w k k (9) vi = akkk (0) k= y = bkkk () k= Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00

5 . POSTĘPOWANIE W PROCEDURZE UZGADNIANIA.. Pzyęcie oznaczeń Poceduę uzgadniania naeży ozpocząć od ednoznacznego pzyęcia oznaczeń: α J - oznaczenie wiekości iezone ( - watość wiekości iezone), β - oznaczenie wiekości niewiadoe (x - wstępnie wyznaczona watość niewiadoe), - błąd bezwzgędny poiau -te wiekości iezone, - błąd bezwzgędny wstępnego oszacowania -te niewiadoe,. Pzygotowanie układu ównań waunków Da badanego pocesu ciepnego zapisać ównania waunków (bianse substanci i enegii) zgodnie z oznaczeniai pzyętyi w punkcie.. Ogóna postać ównania waunku: F ( α α, β, K β ) 0 K () k n, u =.. Wyznaczenie pochodnych cząstkowych Wyznaczyć pochodne cząstkowe wszystkich ównań waunków po wiekościach iezonych i po niewiadoych: a = k =, b k () α β Spawdzenie niezaeżności układu ównań waunków Da układu ównań waunków zbudować aciez Jaccobiego J. Wyznaczyć ząd aciezy Jaccobiego. W układzie ównań waunków est tye ównań niezaeżnych ie wynosi ząd aciezy J. Z układu ównań waunków wybać układ ównań niezaeżnych.. Wstępne wyznaczenie watości niewiadoych Pzepowadzić wyznaczenie wstępnych watości niewiadoych i ocenić niedokładność tego oszacowania. Błąd oszacowania wynikaącego z pawa fizyki ożna wyznaczyć za Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00

6 poocą pawa pzenoszenia błędów, któe okeśa niedokładność śednią f funkci f, eżei znane są niedokładności ziennych niezaeżnych x : f f f = () x x 0 0. Wyznaczenie niezgodności ównań waunków Wstawiaąc do ównań waunków watości wiekości iezonych oaz wstępnie wyznaczonych (oszacowanych) watości niewiadoych x wyznaczyć ożna niezgodności ównań waunków: F k (, K, n, x, K, xu ) = w k ().7 Wyznaczenie popawek wiekości iezonych i niewiadoych W ceu wyznaczenia watości popawek wiekości iezonych v oaz popawek wstępnie wyznaczonych watości niewiadoych y naeży da ozpatywanego pzypadku ozpisać układ ównań (),(),() etoda kasyczna, (9),(0),() etoda uogóniona. Rozwiązanie układu ównań są watości popawek wiekości iezonych i wstępnie wyznaczonych niewiadoych.. PRZEBIEG ĆWICZENIA Cee ćwiczenia est pzepowadzenie uzgadniania da zadanego pocesu ciepnego w opaciu od dane uzyskane od powadzącego ćwiczenia. Uzgadnianie naeży pzepowadzić w opaciu o kasyczną poceduę uzgadniania (p..) oaz powtónie w opaciu o uogóniona etodę uzgadniania (p..). Rezutate a być wyznaczenie skoygowanych watości wiekości iezonych i niewiadoych oaz poównanie niezgodności ównań po uzgadnianiu da obu oawianych etod uzgadniania. Waunkie dopuszczenia studenta do ćwiczenia est opanowanie wiedzy na teat uzgadniania biansów substanci i enegii z wykozystanie achunku wyównawczego (iniany zakes zawiea niniesza instukca). Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00

7 W takcie ćwiczenia studenci: pzygotowuą układ ównań waunków, wpowadzaą do ównań oznaczenia i pzekształcaą ównania do postaci (), (badaą niezaeżność ównań waunków), pzepowadzaą poceduę uzgadniania i obiczaą popawki wiekości iezonych i wstępnie wyznaczonych niewiadoych (da obu opisanych etod uzgadniania), obiczaą skoygowane wiekości iezone i skoygowane wstępnie wyznaczone niewiadoe (da obu opisanych etod uzgadniania). Efekte powinno być spawozdanie z pzepowadzoną poceduą uzgadniania oaz dyskusą uzyskanych wyników. Opis poceduy uzgadniania da etody kasyczne i uogónione oaz uzyskane wyniki naeży pzedstawić w postaci ak w Załączniku. Układ ównań do wyznaczania popawek wiekości iezonych i niewiadoych naeży ozwiązać pzy użyciu pogau EES - Engineeing Equation Sove. [] Szagut J., Ziębik A.: Podstawy enegetyki ciepne, PWN Waszawa 000. Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00 7

8 Na ysunku pzedstawiono scheat instaaci paowe. W tabicy pzedstawiono ziezone watości stuieni pay w poszczegónych punktach instaaci ( ), śednie błędy bezwzgędne poiaów oaz pzyęte oznaczenia. Wyznacz uzgodnione watości ziezonych stuieni pay oaz watość nieznanego stuienia pay w punkcie 7. I III 7 II Rys. Scheat instaaci paowe PROCEDURA UZGADNIANIA etoda kasyczna Tabica Wyniki poiaów, błędów poiaowych oaz pzyęte założenia Wiekość Ozn. Wyniki poiaów Śednie błędy bezwzgędne oznaczenie watość oznaczenie watość Wiekości iezone - stuień &G, kg/s α 0, - stuień G &, kg/s - stuień G &, kg/s - stuień G &, kg/s α 0,9 α, α,9 - stuień &G, kg/s α, - stuień &G, kg/s α,9 - stuień G & 7, kg/s Niewiadoe 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 β x Spoządzenie ównań waunków (bianse substanci węzłów I, II, III) Da pzedstawionego pzykładu ako ównania waunków naeży pzyąć bianse substanci da węzłów oznaczonych na ysunku: I, II, III. G & = G& + G& 7, () G & = G& + G&, () G & 7 = G& + G&, () Każde dodatkowe ównanie waunku (ównanie biansu substanci) będzie ównanie zaeżny. Po wpowadzeniu oznaczeń wiekości z tabicy : F = α α (a) β Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00 8

9 F (a) = α α α = β α α F (a). Wstępne wyznaczenie watości niewiadoe stuienia pay G & 7 W ozpatywany zadaniu wstępną watość niewiadoe ożna wyznaczyć z ównania waunku n ub. Wybó ównania powinien być dokonany w opaciu o anaizę wiekości błędu wyznaczenia niewiadoe. Na ninieszy pozioie ozważań nie pzepowadzono wyienione wyże anaizy. Do wyznaczenia wstępne watości niewiadoe G & 7 wybano ównani n : x = + =, +,9 9, kg/s. =. Obiczenie niezgodności ównań waunków ównanie n : w = x = 0, 0,9 9, = 0,kg/s, w = -0, kg/s. ównanie n : w = = 0,9 -, -,9 = -0, kg/s, w = 0, kg/s. ównanie n : w = 0.. Układ ównań do wyznaczania popawek n u I. ak v + bk y = wk, k =... = = v II. = a k, =...n k k, () k= III. = = bk kk 0,...u, k= pzy czy: ak =, bk =. () α β W ozpatywany pzypadku iczba ównań =, iczba wiekości iezonych n=, iczba wiekości niewiadoych u=.. Obiczenie watości współczynników a, b. k k Watości pochodnych cząstkowych a, b k k Tabica a k b k Indeksy = = = = = = = k= k= k= Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00 9

10 . Sfoułowanie układu ównań do wyznaczania popawek Równania gupy (I.) k=: v v y = w () k=: v v v = w (7) k=: v v + y = w (8) Równania gupy (II.) v =: = k (9) v =: = k + k (0) v =: = k () v =: = k () v =: = k () v =: = k () Równania gupy (III.) =: k + k 0 () = Z układu ównań ( ) wyznacza się poszukiwane watości popawek wiekości iezonych v, v, v, v, v, v, oaz y popawkę wstępnie wyznaczone niewiadoe x. Popawione watości wiekości iezonych wyicza się z eaci: = + v. () Popawione watości wstępnie wyznaczonych niewiadoych wyznacza się z eaci: x = x + y (7) Wyniki uzgadniania zestawiono w tabicy,. Tabica Wyniki obiczeń uzgadniaących Wyszczegónienie Wiekości iezone, kg/s Niewiadoa kg/s G & 0, G & 0,9 G &, G &,9 G &, G &,9 β x 9, Watość pzed uzgodnienie Popawki Watość po uzgodnieniu oznaczenie watość oznaczenie watość oznaczenie watość v -0,00 0,79 v 0,97 v -0,0 v -0,0 v 0,000 v 0,009 y 0,0097,97,9,89,00,909 x 9,097 Watości niezgodności ównań pzed i po uzgodnieniu Wyszczegónienie N ównania waunku k= k= k= Pzed uzgodnienie -0,0 0,0 0,00 Po uzgodnieniu 0,0000 0,000 0,0000 Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00 0

11 PROCEDURA UZGADNIANIA etoda uogóniona Tabica Wyniki poiaów, błędów poiaowych oaz pzyęte założenia Wiekość Ozn. Wyniki poiaów Śednie błędy bezwzgędne oznaczenie watość oznaczenie watość Wiekości iezone - stuień &G, kg/s α 0, - stuień G &, kg/s - stuień G &, kg/s - stuień G &, kg/s α 0,9 α, α,9 - stuień &G, kg/s α, - stuień &G, kg/s α,9 - stuień G & 7, kg/s Niewiadoe - oszacowane β x 9,. Spoządzenie ównań waunków (bianse substanci węzłów I, II, III) (patz punkt. etoda kasyczna). Obiczenie niezgodności ównań waunków ównanie n : w = x = 0, 0,9 9, = 0,kg/s, w = -0, kg/s. ównanie n : w = = 0,9 -, -,9 = -0, kg/s, w = 0, kg/s. ównanie n : w = x = 9,,,9 = 0, kg/s w = 0, kg/s. 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0,0 p. Układ ównań do wyznaczania popawek n u I. ak v + bk y = wk, k =... = = v II. = a, = k kk...n, () k= y III. = = = b k 0,...u, k k k= pzy czy: ak =, bk =. () α β W ozpatywany pzypadku iczba ównań =, iczba wiekości iezonych n=, iczba wiekości niewiadoych u=. Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00

12 . Obiczenie watości współczynników a, b. (patz punkt etoda kasyczna). Sfoułowanie układu ównań do wyznaczania popawek k k Równania gupy (I.) k=: v v y = w () k=: v v v = w () k=: v v + y = w () Równania gupy (II.) v =: = k () v =: = k + k (7) v =: = k (8) v =: = k (9) v =: = k (0) v =: = k () Równania gupy (III.) y =: k + k () p Z układu ównań (-) wyznacza się poszukiwane watości popawek wiekości iezonych v, v, v, v, v v,, oaz y popawkę wstępnie wyznaczone niewiadoe x. Popawione watości wiekości iezonych wyicza się z eaci: = + v. () Popawione watości wstępnie wyznaczonych niewiadoych wyznacza się z eaci: x = x + y (7) Wyniki uzgadniania zestawiono w tabicy,. Wyszczegónienie Wiekości iezone, kg/s Niewiadoa kg/s Wyniki obiczeń uzgadniaących G & 0, G & 0,9 G &, G &,9 G &, G &,9 β x 9, Tabica Watość pzed uzgodnienie Popawki Watość po uzgodnieniu oznaczenie watość oznaczenie watość oznaczenie watość v -0,09 0,700 v 0,70 v -0,08 v -0,08 v 0,000 v 0,00 y 0,0,700,0,80,000,900 x 9,00 Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00

13 Watości niezgodności ównań pzed i po uzgodnieniu Wyszczegónienie N ównania waunku k= k= k= Pzed uzgodnienie -0,0 0,0 0,0 Po uzgodnieniu 0,00 0,00 0,00 Stanek W.: Zastosowanie achunku wyównawczego do koygowania wyników poiaowych uządzeń ciepnych,..00