Przykład 10.. Obiczenie wartości obciażenia granicznego układu bekowo-słupowego Obiczyć wartość obciążenia granicznego gr działającego na poniższy układ. 1 1 σ p = 00 MPa = m 1-1 - - 1 8 1 [cm] Do obiczeń przyjąć, że materiał z jakiego wykonane są pręty jest jednakowy, zaś pręt nr jest zabezpieczony przed wyboczeniem. Rozwiazanie W ceu znaezienia obciążenia granicznego rozpatrzymy kinematycznie możiwe schematy zniszczenia, da każdego z nich obiczając odpowiadające mu obciążenie zapewniające równowagę układu. Obciążeniem granicznym gr będzie najmniejsze z tak obiczonych obciążeń. Upastycznienie prętów 1 i następuje w wyniku zginania, w przypadku pręta upastycznienie spowodowane jest siłą osiową. Odpowiednie wiekości charakterystyczne przekrojów prętów mają wartości: W p = 8 W p p = A p = 1 cm = 6 cm = 16 cm Tak więc momenty zginające, które powodują upastycznienie prętów 1 i są odpowiednio 1
równe: M p = σp W p = 00 10 6 10 6 = 19, knm M p p = σp W p p = 00 10 16 10 6 =,8 knm Do upastycznienia pręta dochodzi, gdy siła normana w tym pręcie ma wartość S p = σp A p = 00 10 1 10 = 0 kn p Rozpatruje się upastycznienie tych przekrojów prętów 1 i, w których występują ekstrema momentów zginających, bądź też w pręcie nr, na który działa obciążenie osiowe. Poniższy rysunek przedstawia układ rozłożony na pojedyncze pręty. Zaznaczono na nim również schematycznie punkty, w których można spodziewać się powstania przegubów (punkt B oznacza punkt naeżący do pręta, odpowiadający miejscu występowania okanego ekstremum momentu zginającego). B A S S S S D C Przy konstruowaniu kinematycznie dopuszczanych schematów zniszczenia naeży pamiętać, że naeży przyjmować kierunek przemieszczenia układu w taki sposób, aby praca sił zewnętrznych na tych przemieszczenia była dodatnia. Jednocześnie praca sił wewnętrznych musi być ujemna, a co za tym idzie, przyjęte momenty pastyczne muszą mieć takie zwroty, aby przeciwdziałać założonym obrotom.
Schemat I - upastycznienie przekrojów A i B S B M p p M p p A M p p x Z równania pracy wirtuanej otrzymujemy x + ( x) M p p x M p ( 1 = x + x p x = 0 ) M p p = + x x ( x) Nieznaną wartość x można łatwo obiczyć korzystając z faktu, że długość odcinka x musi odpowiadać minimanej wartości obciążenia, tak więc d(x) = 0. Stąd dx M p p d (x) dx = 0 x ( x) ( + x) ( x) x ( x) x x + x x + x x ( x) x + x x ( x) p Mp p Mp p Mp = 0 = 0 = 0 x + x = 0 pierwiastek z jest równy = + = Stąd d(x) dx = 0 da następujących wartości x: x 1 = x = + ( ) = + 1 = ( 1 ) Uwzgędnienie faktu, że x musi mieć wartość z przedziału (0, ) prowadzi do odrzucenia rozwiązania x 1, jako niespełniającego warunków zadania. Tak więc ( ) x = x = 1
Obciążenie odpowiadające rozpatrywanemu schematowi zniszczenia ma zatem wartość M p p = + x + ( 1 ) = ( ) [ ( ) ] M p p = x ( x) 1 1 = ( ) ( ) M p p = 1 + M p p = ( + ) = ( ) ( ) M p p = 1 + 8 M p ( p = + ) M p + 18 16 ( = + ),8 = 1 ( ) + 1,99 kn 5 m p = M p p = Schemat II - upastycznienie przekroju A i pręta S = S p p S = S p p A M p p S = S p p Wartość, odpowiadającego schematowi upastycznienia, obciążenia obiczamy z warunku zerowania się sumy momentów obiczanej wzgędem punktu A. S p p + M p p = 0 = Sp p + M p p = 0 +,8 =, kn m
Schemat III - upastycznienie przekrojów A i C A M p p C M p M p Z równania pracy wirtuanej otrzymujemy + M p M p p = 0 Mp = = ( M p + M p p ) + M p p = ( 19, +,8) = 7, kn m Schemat IV - upastycznienie przekrojów A i D A M p p D M p M p 5
Z równania pracy wirtuanej otrzymujemy + 1 Mp 7 = 8 M p = ( M p M p M p p + + M p ) p = 7 M p p = 0 ( 19, +,8) 7 = 0 5 5,8 kn m Schemat V - upastycznienie przekroju C i pręta S = S p p S = S p p S = S p p C M p M p Z równania pracy wirtuanej otrzymujemy Sp p M p Mp = 0 = + S p p = 19, + 0 = =,6 kn m 6
Schemat VI - upastycznienie przekroju D i pręta S = S p p S = S p p S = S p p D M p M p Z równania pracy wirtuanej otrzymujemy S p p Mp = 8 = M p M p M p = 0 + Sp p + S p p = 19, + 0 = 11, kn m 7
Schemat VII - upastycznienie przekrojów C i D D M p M p C M p Z równania pracy wirtuanej otrzymujemy M p = 0 = M p = 19, = 1, kn m Poszukiwana wartość obciążenia granicznego gr jest równa najmniejszej spośród obiczonych wartości, czyi ( ( ) ) 1 + gr = min 1,99;,; 7,; 0 5,8;,6; 11,; 1, = 5 5 = 0 5 kn m 5,8 kn m zaś konstrukcja przekształca się w mechanizm wg schematu IV. Sprawdźmy, czy uzyskane rozwiązanie jest rozwiązaniem zupełnym. gr H E V E E M p D gr M p G C M p p R F A H A V A F 8
W ceu wyznaczenia reakcji dokonano następujących obiczeń: M p G = 0 V A M p p gr = 0 V A =,8 + V A = 8 10 + 08 5 0 5 V A = 88 kn 8,kN 5 V A = 1 7 + 0 5 M g C = 0 V A M p p gr + H A CG = 0 M p G + H A CG = 0 0 + H A CG = 0 H A = 0 Px = 0 H E = H A H E = 0 M D = 0 V E M p = 0 V E = 19, V E = 19,kN Py = 0 V E gr gr + V F + V A = 0 V E = 19, + 0 5 88 5 V E = 19 10 V E = 96 5 + 96 5 V E = + 6 0 88 5 96 7 + 96 5 Siła normana w pręcie nr jest więc równa V E = 6 kn 7,5kN 5 S = gr V A = 0 5 88 5 = 10 5 = kn,kn < Sp p = 0kN 7 Stąd wykresy siły normanej i tnącej mają postać: N,.kN (-) 9
T 19, (+), (+) x (-) 8,. kn,11 (-) (-) 7,5 Zerowanie się wykresu siły tnącej w odegłości x od podpory A świadczy o występowaniu w tym miejscu okanego ekstremum momentu zginającego. V A gr x = 0 x = V A gr x = M max = V A x M p p gr x x 88 5 0 5 M max = 88 5 7 0,8 51 5 7 51 6 51 M max = 691 595 5 56 595 M max = 10 knm 1,01kNm 119 x = 7 51 m 1,1m M 1,01 1,1 m.knm,8 19, 15,09 Warunki pastyczności są spełnione ( M 19,kNm w przypadku pręta nr 1 i M,8kNm w przypadku pręta nr oraz S S p w przypadku pręta nr ). Oznacza to, że otrzymane rozwiązanie jest rozwiązaniem zupełnym, ponieważ spełnia wszystkie równania: warunki kinematyczne, równania równowagi i warunki pastyczności. Przewidując, że dany schemat zniszczenia odpowiada obciążeniu granicznemu wystarczy wyznaczyć siły przekrojowe i sprawdzić, czy spełniają one warunki pastyczności. Wyznaczenie sił przekrojowych nie zawsze jest proste, ponieważ nieruchoma cześć układu może pozostać układem statycznie niewyznaczanym. 10