Matematyczne Podstawy Kognitywistyki

Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Funkcje Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 1 / 41

Wst p Ilo±ciowe opisy zjawisk Poj cie funkcji to jedno z najwa»niejszych poj matematycznych. W opisach ilo±ciowych, które s charakterystyczne dla wspóªczesnej nauki, u»ywa si powszechnie tego poj cia. Funkcje s formalnymi reprezentacjami sytuacji, gdy jaka± wielko± jest w sposób jednoznaczny zale»na od innych wielko±ci. Rozwa»a si jednak caªkiem ogólne sytuacje, a wi c równie» te, w których zale»no± funkcyjna nie wi»e wielko±ci liczbowych, lecz elementy jednego zbioru z elementami innego zbioru. Z funkcjami spotykamy si bardzo wcze±nie w procesie edukacji tabliczki dodawania i mno»enia charakteryzuj bowiem pewne funkcje, okre±lone dla liczb i maj ce warto±ci liczbowe. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 2 / 41

Wst p Uwaga na intuicyjne skojarzenia! W zale»no±ci od kontekstu, u»ywa si okre±le«: funkcja, przyporz dkowanie, odwzorowanie, przeksztaªcenie, operacja, i in. Nale»y jednak wyra¹nie podkre±li,»e funkcje w matematyce s pewnymi zbiorami, a dokªadniej: relacjami, speªniaj cymi stosowne warunki jednoznaczno±ci. Czasami trudno uwolni si od ró»nych intuicyjnych skojarze«, motywowanych uzusem j zykowym i skªaniaj cych np. do»ywienia przekona«,»e funkcje s jakimi± procesami,»e za ich przyczyn co± dzieje si z rozwa»anymi obiektami. Pewna praktyka posªugiwania si funkcjami pozwala na wyzwolenie si z tego typu zªudnych prze±wiadcze«. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 3 / 41

Denicje Poj cie funkcji Funkcj ze zbioru X w zbiór Y nazwiemy ka»d tak relacj mi dzy elementami zbiorów X oraz Y, która nie zawiera»adnych dwóch par uporz dkowanych maj cych te same poprzedniki oraz ró»ne nast pniki. Innymi sªowy, f jest funkcj ze zbioru X w zbiór Y, je»eli: 1 f X Y 2 dla dowolnych x X oraz y 1 Y, y 2 Y : je±li (x, y 1 ) f i (x, y 2 ) f, to y 1 = y 2. Je±li (x, y) f, to x nazywamy argumentem funkcji f, za± y nazywamy warto±ci funkcji f (dla argumentu x). Zamiast pisa (x, y) f zwykle piszemy f (x) = y. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 4 / 41

Denicje Dziedzina i przeciwdziedzina Dziedzin funkcji f X Y nazywamy zbiór dom(f ) wszystkich jej argumentów, czyli zbiór tych wszystkich x X, dla których istnieje y Y taki,»e y = f (x). Przeciwdziedzin (lub zbiorem warto±ci) funkcji f X Y nazywamy zbiór rng(f ) tych wszystkich y Y, dla których istnieje x X taki,»e y = f (x). Je±li f X Y jest funkcj oraz jej dziedzina jest równa caªemu zbiorowi X (czyli gdy dom(f ) = X ), to mówimy,»e f jest okre±lona w zbiorze X (lub: okre±lona na zbiorze X ). W takim przypadku u»ywamy (znanego ze szkoªy) zapisu f : X Y. U»ywa si wtedy okre±le«: 1 funkcja f odwzorowuje X w Y 2 funkcja f przeksztaªca X w Y. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 5 / 41

Denicje Przykªady Zbiór f = {(x, y) R 2 : x y = 1} jest funkcj. Zapisujemy j : y = 1 x lub f (x) = 1. Mamy w tym przypadku: dom(f ) = R {0}, x rng(f ) = R {0}. Relacja mniejszo±ci < liczb rzeczywistych nie jest funkcj. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x R, niech x b dzie najwi ksz liczb caªkowit, która nie przekracza x (czyli jest mniejsza lub równa x). Wtedy : R Z. T funkcj nazywamy funkcj podªogi. Dualna do niej jest funkcja sutu : R Z, która ka»dej liczbie rzeczywistej x przyporz dkowuje najmniejsz liczb caªkowit x, która jest wi ksza lub równa liczbie x. Dla przykªadu: π = 3, π = 4. Dla dowolnego ustalonego uniwersum U, funkcjami s : {(X, (X )) : X U} oraz {(X, X ) : X U}. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 6 / 41

Denicje Je±li f : X Y Z, to argumentami funkcji f s pary uporz dkowane (x, y) X Y, za± jej warto±ciami s elementy zbioru Z. W takich przypadkach warto± funkcji f dla argumentu (x, y) oznaczamy przez f (x, y). Mówimy te»,»e jest to funkcja dwuargumentowa. Nale»y przy tym pami ta,»e kolejno± argumentów funkcji dwuargumentowej jest istotna. W caªkiem podobny sposób okre±lamy funkcje trójargumentowe, czteroargumentowe, itd. Ogólnie, mówimy,»e f jest funkcj n n-argumentow (funkcj n zmiennych), gdy f : X i Y, dla pewnych zbiorów X 1, X 2,..., X n oraz Y. i=1 Dla dowolnego ustalonego uniwersum U, funkcjami dwuargumentowymi s : {((X, Y ), X Y ) : X U oraz Y Y } oraz {((X, Y ), X Y ) : X U oraz Y Y }. Funkcja f : R 3 R okre±lona wzorem: f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 jest trójargumentowa. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 7 / 41

Denicje Funkcje znane ze szkoªy B dziemy wielokrotnie korzysta w dalszych wykªadach niektórych funkcji, znanych s sªuchaczom ze szkoªy: Podstawowe dziaªania arytmetyczne: dodawanie, mno»enie, odejmowanie, dzielenie. Dalsze operacje: pot gowanie, pierwiastkowanie, funkcja wykªadnicza, funkcja logarytmiczna. Funkcje wielomianowe jednej zmiennej. W szczególno±ci: funkcja liniowa oraz funkcja kwadratowa. Funkcje wymierne. Funkcja homograczna. Funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Warto± bezwzgl dna. Zach camy sªuchaczy do przypomnienia sobie denicji wymienionych rodzajów funkcji. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 8 / 41

Rodzaje funkcji Wygodnie b dzie przyj oznaczenia: 1 N + : zbiór wszystkich dodatnich liczb naturalnych (czyli N + = N {0}) 2 Z + : zbiór wszystkich dodatnich liczb caªkowitych (co jest tym samym co zbiór N + ) 3 Q + : zbiór wszystkich dodatnich liczb wymiernych 4 R + : zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Iniekcje. Funkcja f : X Y jest iniekcj ze zbioru X w zbiór Y, gdy ró»nym argumentom funkcji f przyporz dkowane s ró»ne jej warto±ci. Tak wi c, f : X Y jest iniekcj ze zbioru X w zbiór Y, gdy dla dowolnych x 1 X oraz x 2 X, je±li x 1 x 2, to f (x 1 ) f (x 2 ). Je±li f jest iniekcj, to mówimy,»e f jest funkcj ró»nowarto±ciow. Je±li f : X Y jest ró»nowarto±ciowa, to stosujemy zapisy: f : X Y lub f : X 1 1 Y 1 1 Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 9 / 41

Rodzaje funkcji Surjekcje. Funkcja f : X Y jest surjekcj ze zbioru X na zbiór Y, gdy przeciwdziedzin funkcji f jest caªy zbiór Y. Tak wi c, f : X Y jest surjekcj ze zbioru X na zbiór Y, gdy dla ka»dego y Y istnieje x X taki,»e f (x) = y.je±li f : X Y jest surjekcj, to stosujemy zapisy: f : X Y lub f : X na Y na Bijekcje. Funkcja f : X Y jest bijekcj ze zbioru X na zbiór Y (albo: bijekcj mi dzy zbiorami X i Y ), gdy f jest jednocze±nie iniekcj z X w Y oraz surjekcj z X na Y. Bijekcje nazywamy funkcjami wzajemnie jednoznacznymi (tak»e: 1 1 funkcjami). Je±li f : X Y jest bijekcj, to stosujemy zapisy: f : X na Y lub f : X 1 1 1 1 na Y Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 10 / 41

Rodzaje funkcji Funkcja f (x) = 2x + 3 jest bijekcj z R w R. Funkcja f (x) = x 2 jest surjekcj z R na R +. Nie jest ona surjekcj z R na R. Funkcje sutu i podªogi s surjekcjami z R na Z. Nie s surjekcjami z R na R. Nie s bijekcjami z R na Z. Bijekcje f : X X nazywamy równie» (zwªaszcza w przypadku, gdy zbiór X jest sko«czony) permutacjami zbioru X. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 11 / 41

Rodzaje funkcji Dowoln funkcj, której dziedzin jest zbiór {1, 2, 3,..., n} dla pewnej n N + nazywamy ci giem sko«czonym (o dªugo±ci n). Warto±ci takiej funkcji nazywamy wtedy wyrazami tego ci gu: jej warto± dla k-tego argumentu nazywamy k-tym wyrazem ci gu. Zwykle ci gi sko«czone o dªugo±ci n zapisujemy tak samo jak n-tki uporz dkowane: (a 1, a 2,..., a n ). Je±li»adne dwa wyrazy ci gu nie s identyczne, to ci g nazywamy ró»nowarto±ciowym. Ci giem niesko«czonym nazywamy funkcj, której dziedzin jest zbiór N +. Ci g niesko«czony o n-tym wyrazie równym a n oznaczamy (a n ) n N+ (czasem przez: a n n N+ ). Cz sto pomijamy indeks n N +, gdy kontekst na to pozwala. Czasem wyrazy ci gu indeksujemy elementami zbioru N. Ci gi, których wyrazami s liczby, nazywamy ci gami liczbowymi. Podobnie, ci gi, których wyrazami s funkcje, nazywamy ci gami funkcyjnymi. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 12 / 41

Rodzaje funkcji Ci g (, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}) jest sko«czonym (ró»nowarto±ciowym) ci giem zbiorów. Ci g (1, 2, 3, 4, 3, 2, 1) jest sko«czonym ci giem liczbowym, który nie jest ró»nowarto±ciowy. Ci g (a n ) n N+, którego n-tym wyrazem jest a n = 1 jest wa»nym n niesko«czonym ci giem liczbowym (nazywanym ci giem harmonicznym), który wielokrotnie pojawi si w dalszych wykªadach. Ci g (f n ) n N+, którego n-tym wyrazem jest funkcja, zdeniowana wzorem f n (x) = 1 x jest przykªadem ci gu funkcyjnego (dla x R, n powiedzmy). Ci g (p n ) n N+, którego n-tym wyrazem jest n-ta liczba pierwsza p n jest niesko«czonym ci giem liczbowym. Rozwini cia dziesi tne liczb rzeczywistych traktujemy jako ci gi: zerowym elementem jest cz ± caªkowita liczby rzeczywistej, a kolejne dalsze elementy rozwini cia maj posta c n, gdzie n N 10 +, za± c n n jest liczb naturaln nie wi ksz od 10. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 13 / 41

Wizualizacje Pami tamy,»e relacje reprezentowa mo»na przez grafy. Poniewa» ka»da funkcja jest relacj, wi c równie» funkcje mog by reprezentowane przez grafy. Mo»na równie», w przypadku funkcji o dziedzinie sko«czonej, podawa jej reprezentacj w postaci tabeli: wertykalnie kolumna argumentów, kolumna odpowiadaj cych im warto±ci (albo horyzontalnie wiersz argumentów, wiersz odpowiadaj cych im warto±ci). Bardziej rozpowszechniona jest jednak dobrze znana sªuchaczom ze szkoªy reprezentacja graczna funkcji poprzez ich wykresy. Sªuchacze pami taj ze szkoªy ukªad wspóªrz dnych kartezja«skich na pªaszczy¹nie. Gdy rysujemy wykres funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, to argumenty x tej funkcji tworz o± odci tych, jej warto±ci f (x) znajduj si na takim wykresie pionowo nad x na takiej wysoko±ci, która odpowiada warto±ci f (x). Rysujemy wi c graf relacji {(x, y) R 2 : y = f (x)}. Nale»y przy tym pami ta,»e na osi odci tych oraz osi rz dnych mo»emy u»ywa ró»nej skali, co cz sto znakomicie uªatwia zarówno rysowanie wykresów, jak te» ich rozpoznawanie. Rozwa»my kilka przykªadów (¹ródªo: http://pgfplots.sourceforge.net/gallery.html). Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 14 / 41

Wizualizacje Funkcja kwadratowa f (x) = x 2 x 4 Skala na osi rz dnych taka sama, jak na osi odci tych: 2 x 2 x 4 2 1 1 2 x 2 4 Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 15 / 41

Wizualizacje Funkcja kwadratowa f (x) = x 2 x 4 Inne skale na obu osiach: 20 x 2 x 4 10 4 2 2 4 x Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 16 / 41

Wizualizacje Funkcja wykªadnicza f (x) = 2 x Skala na osi rz dnych taka sama, jak na osi odci tych: 4 2 x 3 2 1 2 1 1 2 x Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 17 / 41

Wizualizacje Funkcja wykªadnicza f (x) = 2 x Inne skale na obu osiach: 30 2 x 20 10 4 2 2 4 x Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 18 / 41

Wizualizacje Funkcja wykªadnicza f (x) = ( 1 2 )x 30 ( 1 2 )x 20 10 4 2 2 4 x Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 19 / 41

Wizualizacje Funkcja trygonometryczna sin(x) 1 sin x 0.5 4 2 2 4 x 0.5 1 Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 20 / 41

Wizualizacje Narz dzia do rysowania wykresów funkcji Sªuchacze znaj ze szkoªy pewne wykresy funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych: sfer, paraboloid, elipsoid, sto»ek, walec, itp. Przykªadowe prezentacje ukazuj ce jak rysowa takie wykresy: 1 https://www.youtube.com/watch?v=q_nebzfadde 2 https://www.youtube.com/watch?v=l3qekueslbm Narz dzia do rysowania wykresów funkcji, np.: 1 https://www.geogebra.org/ 2 https://www.medianauka.pl/portal:matematyka 3 http://www.matemaks.pl/index.html 4 http://www.scilab.org/ 5 http://fooplot.com/ 6 https://rechneronline.de/function-graphs/ 7 MATLAB, Mathematica, itp. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 21 / 41

Dalsze wa»ne poj cia Zªo»enie funkcji, funkcja odwrotna, obci cie funkcji Obci ciem funkcji f : X Y do zbioru Z X nazywamy funkcj f Z zdeniowan nast puj co: f Z = f (Z Y ) = {(x, y) f : x Z} Je±li funkcja g jest obci ciem funkcji f do pewnego zbioru, to f nazywamy przedªu»eniem g. Tak wi c, f jest przedªu»eniem g, gdy g = f dom(g). Zªo»eniem (superpozycj ) funkcji f oraz g nazywamy funkcj g f zdeniowan nast puj co: g f = {(x, z) dom(f ) rng(g) : istnieje y taki,»e (x, y) f oraz (y, z) g} Rozpatruj c zªo»enie g f, zwykle zakªada si,»e rng(f ) dom(g). Tak wi c, je±li f jest funkcj z X w Y, za± g jest funkcj z Y w Z, to ich zªo»enie, czyli g f jest funkcj z X w Z. Je±li nie prowadzi to do nieporozumie«, to warto± zªo»enia funkcji f oraz g dla argumentu x dom(f ) oznaczamy te» g(f (x)). Je±li f jest funkcj ró»nowarto±ciow, to zbiór {(y, x) : (x, y) f } równie» jest funkcj, nazywan funkcj odwrotn do funkcji f. Funkcj odwrotn do funkcji f oznaczamy zwykle przez f 1. Tak wi c, je±li f jest funkcj z X w Y, to funkcja do niej odwrotna, czyli f 1 jest funkcj z Y w X. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 22 / 41

Dalsze wa»ne poj cia Zªo»enie funkcji, funkcja odwrotna, obci cie funkcji Obci ciem ci gu (3, 5, 7, 9, 2, 2, 4) do zbioru {3, 4, 5} jest ci g (7, 9, 2). Niech f (x) = 2x + 3 dla x R oraz g(x) = x 2 dla x R. Wtedy (g f )(x) = (2x + 3) 2, natomiast (f g)(x) = 2x 2 + 3. Niech f (x) = x 2 dla x R oraz g(x) = x dla x 0. Wtedy (g f )(x) = x dla x R. Niech f (x) = x 2 dla x 0. Wtedy f 1 (x) = x dla x 0. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 23 / 41

Dalsze wa»ne poj cia Funkcja charakterystyczna zbioru Niech X b dzie dowolnym podzbiorem ustalonego uniwersum U. Funkcj charakterystyczn zbioru X (w tym uniwersum) nazywamy funkcj χ X : U {0, 1}, zdeniowan nast puj co: 1 Je±li x X, to χ X (x) = 1 2 Je±li x / X, to χ X (x) = 0. Funkcja charakterystyczna zbioru jest zatem indykatorem przynale»no±ci elementów uniwersum do tego zbioru. Funkcja charakterystyczna zbioru wszystkich liczb parzystych w uniwersum N przyjmuje warto± 1 dla ka»dej liczby parzystej, a warto± 0 dla ka»dej liczby nieparzystej. Rozwa»my funkcj charakterystyczn zbioru Q wszystkich liczb wymiernych w uniwersum R. T funkcj nazywamy funkcj Dirichleta. Czy potrasz wyobrazi sobie jak wygl da jej wykres? Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 24 / 41

Dalsze wa»ne poj cia Obrazy i przeciwobrazy zbiorów wzgl dem funkcji Niech f : X Y, A dom(f ), B rng(f ). 1 Obrazem zbioru A wzgl dem funkcji f jest zbiór: f [A] = {f (x) : x A}. 2 Przeciwobrazem zbioru B wzgl dem funkcji f jest zbiór: f 1 [B] = {x dom(f ) : f (x) B}. Rozwa»my funkcj f (x) = 2x oraz przedziaª otwarty (3, 4). Wtedy f [(3, 4)] = (6, 8). Proponujemy sporz dzi wykres. Jakie± reeksje? [R R + ] = R + {0}. Przeciwobrazem zbioru {1} wzgl dem funkcji Dirichleta jest zbiór wszystkich liczb wymiernych Q. Niech f (x) = x 2 dla x R oraz niech B = (1, 2). Wtedy f 1 [B] = {x R : 1 < x 2 < 2}. Wtedy f 1 [(1, 2)] = ( 2, 1) (1, 2). Narysuj wykres rozwa»anej funkcji, zaznacz na nim zbiór B i podaj interpretacj geometryczn zbioru f 1 [(1, 2)]. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 25 / 41

Dalsze wa»ne poj cia Sposoby deniowania funkcji Opis j zykowy. Funkcja mo»e zosta okre±lona przepisem otrzymywania jej warto±ci dla ustalonych argumentów. Przepis musi gwarantowa istnienie oraz jednoznaczno± warto±ci funkcji. Tak deniujemy np. funkcje podªogi oraz sutu. Jawny wzór. Funkcja mo»e zosta okre±lona w postaci jawnego wzoru, ustalaj cego zale»no± mi dzy argumentami a warto±ciami. Np.: funkcja liniowa, kwadratowa, pot gowa, itd. s tak wªa±nie deniowane. Deniowanie warunkowe. Funkcja mo»e by okre±lona ró»nymi wzorami dla ró»nych fragmentów swojej dziedziny. Np.: warto± bezwzgl dna x liczby rzeczywistej x: x = x dla x 0, a x = x dla x < 0. Denicje przez indukcj. Funkcja mo»e by okre±lona przez wzory rekurencyjne, okre±laj ce jej warto±ci dla wybranego pocz tkowego argumentu oraz formuªuj ce przepis, jak otrzymywa dalsze warto±ci, gdy obliczone s ju» warto±ci wcze±niejsze. Np.: dodawanie, mno»enie i pot gowanie liczb naturalnych, funkcja silnia. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 26 / 41

Dalsze wa»ne poj cia Šatwa rekursja: ci g Fibonacciego Nie±miertelne monogamiczne kazirodcze króliki Mamy Pierwsz Par królików (samca i samic ). Chcemy obliczy, ile par królików otrzymamy po n miesi cach przy zaªo»eniu,»e ka»da para królików rodzi co miesi c now par (samca i samic ), która staje si reproduktywna po miesi cu (i natychmiast z tego korzysta). Nadto, króliki»yj wiecznie, s monogamiczne i kazirodcze (pocz wszy od drugiej pary tylko brat z siostr daj potomstwo; Pierwsza Para te» kontynuuje prokreacj ), oraz nie ustaj w rozmna»aniu. [Jest równie» wersja ze ±miertelnymi królikami.] Ci g Fibonacciego: F (0) = 0 F (1) = 1 F (n) = F (n 1) + F (n 2) dla n 2 Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 27 / 41

Dalsze wa»ne poj cia Ci g Mosera-Steinhausa Ci g Mosera-Steinhausa Wprowad¹my oznaczenia (oryginalna symbolika Steinhausa byªa inna): 1 (n) oznacza n n 2 (n) oznacza iterowanie n razy operacji dla argumentu n 3 (n) oznacza iterowanie n razy operacji dla argumentu n. Czy potrasz obliczy (2)? 1 (2) = ( (2)) = ( ( (2))) 2 ( (2)) = (2 2 ) = (4) = 4 4 = 256 3 (2) = (256) = (... ( (256)...)), gdzie operacja wykonywana jest 256 razy. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 28 / 41

Dalsze wa»ne poj cia Ci g Mosera-Steinhausa Ci g Mosera-Steinhausa W notacji Steinhausa argumenty byªy umieszczane wewn trz wielok tów. Konstrukcj : n w m p-k tach (p 3) opisuje funkcja M(n, m, p): 1 M(n, 1, 3) = n n 2 M(n, 1, p + 1) = M(n, n, p) 3 M(n, m + 1, p) = M(M(n, 1, p), m, p). Liczba 2 (czyli 2 w pi ciok cie) nazywana jest czasem mega, za± 2 w mega-k cie (czyli wielok cie o mega bokach) nosi nazw moser. Liczb 10 (czyli 10 w pi ciok cie) nazywa si megiston: 1 mega=m(2, 1, 5) 2 megiston=m(10, 1, 5) 3 moser=m(2, 1, M(2, 1, 5)). Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 29 / 41

Wybrane prawa dotycz ce funkcji Dla dowolnej funkcji f : X Y : f [A B] = f [A] f [B]. f [A B] f [A] f [B]. f [A] f [B] f [A B]. Je±li A B, to f [A] f [B]. f 1 [A B] = f 1 [A] f 1 [B]. f 1 [A B] = f 1 [A] f 1 [B]. f 1 [A B] = f 1 [A] f 1 [B]. Je±li A B, to f 1 (A) f 1 (B). Je±li A dom(f ) i B rng(f ), to: A f 1 [f [A]], f [f 1 [B]] = B, f [A] B = f [A f 1 [B]]. f [A] B = wtedy i tylko wtedy, gdy A f 1 [B] =. f [A] B wtedy i tylko wtedy, gdy A f 1 [B]. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 30 / 41

Zbiory sko«czone i niesko«czone Dysponuj c poj ciem funkcji, mo»emy poda formaln denicj zbiorów sko«czonych oraz niesko«czonych. Mo»emy obieca sªuchaczom,»e nasza Matematyczna Przygoda Edukacyjna stanie si naprawd frapuj ca od momentu, gdy zaczniemy obcowa z Niesko«czono±ci. Mamy wszyscy do± dobre intuicje, je±li chodzi o sko«czone kolekcje przedmiotów, nawet je±li tych przedmiotów jest bardzo du»o. Nasuwaj c si charakterystyk zbiorów sko«czonych jest wyra»enie liczby ich elementów poprzez jak ± liczb naturaln : zbiór X jest sko«czony, gdy ma n elementów, dla pewnej n N. Taka charakterystyka zakªada,»e dobrze wiemy czym jest zbiór N. Zdarza si,»e potramy udowodni,»e jaki± zbiór jest sko«czony w powy»szym sensie, ale nie potramy okre±li w sposób wyra¹ny dokªadnej liczby jego elementów. Zdarza si i tak,»e potramy wyrazi liczb elementów jakiego± zbioru jako warto± stosownej funkcji liczbowej, ale dokªadne wypisanie tej warto±ci nie jest mo»liwe. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 31 / 41

Zbiory sko«czone i niesko«czone Równoliczno± Mówimy,»e zbiory X i Y s równoliczne, gdy istnieje bijekcja f : X Y. Zbiór pusty nie jest równoliczny z»adnym zbiorem niepustym. Zbiór wszystkich liczb parzystych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych. Funkcja f (n) = 2n jest bijekcj ze zbioru N na zbiór wszystkich liczb parzystych. Zbiór {1, 2, 3} nie jest równoliczny ze zbiorem ({1, 2, 3}). Za chwil zobaczymy,»e»aden zbiór nie jest równoliczny z rodzin swoich podzbiorów. Ka»de dwa przedziaªy domkni te (dªugo±ci dodatniej) w zbiorze liczb rzeczywistych s równoliczne. Niech a < b oraz c < d. Bijekcj mi dzy przedziaªami [a, b] oraz [c, d] jest funkcja okre±lona dla x [a, b] nast puj co: f (x) = (d c)x+bc ad. b a Przedziaª otwarty (0, 1) jest równoliczny ze zbiorem R +. Równoliczno± t ustala np. bijekcja okre±lona dla x (0, 1) nast puj co: f (x) = x 1 x. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 32 / 41

Zbiory sko«czone i niesko«czone Zbiory niesko«czone w sensie Dedekinda Denicja Dedekinda. Zbiór jest niesko«czony, gdy jest równoliczny z jakim± swoim podzbiorem wªa±ciwym. W przeciwnym przypadku jest sko«czony. Zbiór pusty jest sko«czony w sensie tej denicji. Zbiór {1, 2, 3} jest sko«czony w sensie tej denicji. Zbiór N jest niesko«czony w sensie tej denicji, albowiem jest równoliczny ze swoim podzbiorem wªa±ciwym: zbiorem wszystkich liczb parzystych. Zbiór Z wszystkich liczb caªkowitych jest niesko«czony w sensie tej denicji, albowiem jest równoliczny ze swoim podzbiorem wªa±ciwym N. Stosown bijekcj f : N Z otrzymujemy np. deniuj c: f (n) = n n+1 dla n parzystych oraz f (n) = dla n nieparzystych. 2 2 Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 33 / 41

Zbiory sko«czone i niesko«czone Liczby pierwsze Zbiór P wszystkich liczb pierwszych nie jest sko«czony. Udowodnimy to metod nie wprost. Przypu± my,»e jest tylko sko«czenie wiele liczb pierwszych (tj. takich liczb n, które maj dokªadnie dwa dzielniki: 1 oraz n): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...,p. Zatem p jest (rzekomo) najwi ksz liczb pierwsz. Tworzymy iloczyn: m = 2 3 5 7 11 13 17... p (rzekomo) wszystkich liczb pierwszych. Liczba m + 1 jest liczb pierwsz, poniewa» nie dzieli si bez reszty przez»adn z liczb pierwszych 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...,p. Nadto, m + 1 jest wi ksza od p. Otrzymujemy sprzeczno± : m + 1 jest liczb pierwsz wi ksz od (rzekomo) najwi kszej liczby pierwszej p. Zatem, musimy odrzuci przypuszczenie, i» liczb pierwszych jest sko«czenie wiele. W konsekwencji, liczb pierwszych nie jest sko«czenie wiele. Nie istnieje najwi ksza liczba pierwsza. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 34 / 41

Zbiory sko«czone i niesko«czone Twierdzenie Cantora Czy wszystkie zbiory niesko«czone s równoliczne? Twierdzenie Cantora. aden zbiór nie jest równoliczny z rodzin wszystkich swoich podzbiorów. Dowód. Przeprowadzimy dowód nie wprost. We¹my dowolny zbiór X i przypu± my,»e X jest równoliczny z rodzin wszystkich swoich podzbiorów (X ). Oznacza to, i» istnieje bijekcja f ze zbioru X na zbiór (X ). Okre±lmy nast puj cy element rodziny (X ): X f = {x X : x / f (x)}. Wtedy dla pewnego x f X musiaªoby by : f (x f ) = X f. St d i z denicji zbioru X f otrzymujemy, i»: x f X f wtedy i tylko wtedy, gdy / X f, a to jest sprzeczno±. x f Musimy zatem odrzuci przypuszczenie o istnieniu funkcji f. W konsekwencji, X oraz (X ) nie s równoliczne. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 35 / 41

Zbiory sko«czone i niesko«czone Twierdzenie Cantora Konsekwencje twierdzenia Cantora Jednym z wniosków z tego twierdzenia jest to,»e zbiór N nie jest równoliczny ze swoim zbiorem pot gowym (N). Oznacza to,»e nie mo»na ponumerowa w sposób wzajemnie jednoznaczny liczbami naturalnymi wszystkich zbiorów liczb naturalnych. Innym wnioskiem jest oczywi±cie to,»e je±li utworzymy niesko«czony ci g zbiorów niesko«czonych: (N, (N), ( (N)), ( ( (N))),...), to»adne dwa wyrazy tego ci gu nie b d równoliczne. Metoda u»yta w dowodzie twierdzenia Cantora nazywa si metod przek tniow. Wykorzystamy j teraz do pokazania,»e nie mo»na ponumerowa w sposób wzajemnie jednoznaczny liczbami naturalnymi wszystkich gaª zi peªnego drzewa dwójkowego. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 36 / 41

Zbiory sko«czone i niesko«czone Twierdzenie Cantora Peªne drzewo dwójkowe 0 1 00 01 10 11 000 001 010 011 100 101 110 111..... Ka»dy z kolejnych wierzchoªków ma dwóch bezpo±rednich potomków. Wierzchoªki (oprócz korzenia) kodujemy ci gami zer i jedynek. Je±li jaki± wierzchoªek ma kod s, to jego bezpo±rednimi potomkami s wierzchoªki o kodach: s0 oraz s1. Gaª zi nazwiemy ka»dy niesko«czony ci g zªo»ony z zer i jedynek. Czy mo»liwe jest ponumerowanie (liczbami naturalnymi: 0, 1, 2, 3, 4, 5,... ) wszystkich gaª zi?... Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 37 / 41

Zbiory sko«czone i niesko«czone Twierdzenie Cantora Metoda przek tniowa Przypu± my,»e mo»na ponumerowa wszystkie gaª zie liczbami naturalnymi (ka»da a j jest zerem lub jedynk ): i g 1 = a1 1 a2 1 a3 1... g 2 = a2 1 a2 2 a3 2... g 3 = a3 1 a2 3 a3 3...... Rozwa»my ci g G = b 1 b 2 b 3..., gdzie: je±li a n n = 0, to b n = 1 je±li a n n = 1, to b n = 0. Wtedy ci g G ró»ni si od ka»dego z ci gów g n (co najmniej na n-tym miejscu). Tak wi c, jakkolwiek chcieliby±my ponumerowa wszystkie gaª zie peªnego drzewa dwójkowego liczbami naturalnymi, to zawsze pozostan gaª zie, dla których numerów nie starczy. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 38 / 41

Zbiory sko«czone i niesko«czone Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne Zbiory, które s równoliczne ze zbiorem N wszystkich liczb naturalnych nazywamy przeliczalnymi (czasem: przeliczalnie niesko«czonymi). Je±li zbiór jest sko«czony lub przeliczalny, to mawia si,»e jest co najwy»ej przeliczalny. Je±li zbiór X jest niesko«czony, ale nie jest przeliczalny, to mówimy,»e jest nieprzeliczalny. Je±li zbiór X jest równoliczny ze zbiorem (N), to mówimy,»e jest on zbiorem mocy kontinuum. Zbiór wszystkich liczb parzystych jest przeliczalny. Funkcja f (n) = 2n jest bijekcj ze zbioru N na zbiór wszystkich liczb parzystych. Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny. Ka»d liczb wymiern rozumie mo»emy jako par liczb caªkowitych: licznik oraz mianownik uªamka (przy zastrze»eniu,»e mianownik nie jest zerem). Jedna z bijekcji mi dzy zbiorami Q + oraz N jest wyznaczona przez funkcj pary Cantora: f (m, n) = (m+n)(m+n+1) 2 + m. Zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Jest zbiorem mocy kontinuum. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 39 / 41

Zach ta do reeksji My±l przekornie! Czy ka»da funkcja ma jaki± opis j zykowy? Czy mo»na sporz dzi wykres dowolnej funkcji? Co to znaczy,»e jedna funkcja ro±nie szybciej od drugiej? Czy argumentami funkcji mog by funkcje? Czy warto±ciami funkcji mog by funkcje? Ze szkoªy znasz funkcj silnia, zdeniowan dla liczb naturalnych. Czy istnieje podobna do niej funkcja dla liczb rzeczywistych? Przypu± my,»e Wszech±wiat jest sko«czony. Jaki jest wtedy sens mówienia o zbiorach niesko«czonych? Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 40 / 41

Podsumowanie Co musisz ZZZ (Zapami ta -Ze-Zrozumieniem) Denicja funkcji, argument i warto± funkcji, jej dziedzina i przeciwdziedzina, obrazy i przeciwobrazy zbiorów wzgl dem funkcji. Iniekcje, surjekcje, bijekcje. Zªo»enie funkcji, funkcja odwrotna, obci cie funkcji, funkcja charakterystyczna zbioru. Wykres funkcji (zmiennej rzeczywistej). Równoliczno± zbiorów. Zbiory niesko«czone (w sensie Dedekinda). Twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. Zbiory mocy kontinuum. Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Funkcje 41 / 41