2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

Transkrypt

1 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym, to ilo± elementów w A oznaczamy symbolem A lub #A; tego drugiego symbolu u»ywamy zwªaszcza wtedy, gdy zbiór jest zadany przez list swoich elementów. 2.1 Niech A b dzie zbiorem so«czonym. Ci g nelementowy o warto±ciach w A zapisywany w postaci a 1, a 2,..., a n, gdzie a i A, jest funcj a : [n] A przy czym ai a i dla i 1, 2,..., n. St d w odniesieniu do ci gów mo»na u»ywa tych samych terminów, tórych u»ywamy w odniesieniu do funcji. Proste rozumowanie inducyjne poazuje,»e wszystich ci gów nelementowych o warto±ciach w zbiorze elementowym jest n. Denicja. Permutacj zbioru nelementowego A nazywamy a»dy ró»nowarto±ciowy ci g nelememntowy o warto±ciach w A. Zbiór wszystich permutacji zbioru A oznaczamy symbolem P A. Stwierdzenie. Je±li A jest zbiorem nelementowym, to ilo± wszystich permutacji A jest równa. Dowód. Niech p n oznacza ilo± permutacji zbioru n-elementowego. Stosujemy inducj wzgl dem n. Oczywi±cie p 1 1 1!. Niech teraz A b dzie zbiorem o n > 1 elementach i zaªó»my prawdziwo± twierdzenia dla wszystich zbiorów o n 1 elementach. Niech a 1, a 2,..., a n b dzie permutacj zbioru A. Wówczas a 1, a 2,..., a n 1 jest permutacj zbioru A \ {a n }. Odwrotnie, je±li b A i a 1, a 2,..., a n 1 jest permutacj zbioru A \ {b}, to a 1, a 2,..., a n 1, b jest permutacj zbioru A. St d p n n p n 1 i na mocy zaªo»enia inducyjnego p n n n 1!. 2.2 Uwagi na temat silni. Zatrzymajmy si na chwil nad wyst puj c w poprzednim twierdzeniu funcj silni. Warto±ci tej funcji dla maªych n podaje nast pj ca tabela. n Ze wzgl dów pratycznych warto zapami ta ostatni z podanych warto±ci, a przynajmniej pami ta,»e 10! to troch wi cej ni» 3 i póª miliona. Z tabeli wida,»e funcja silni ro±nie bardzo szybo co zreszt znalazªo odbicie w jej polsiej nazwie. Ja szybo? Zazwyczaj zadawalaj c odpowied¹ daje nast puj ce stwierdzenie. Stwierdzenie. Dla wszystich n naturalnych zachodzi n n nn+1 en 1 e n 1. 1

2 Dowód. Puntem wyj±cia jest nast puj ca, ªatwa do udowodnienia nierówno± : dla wszystich x R zachodzi 1 + x e x. Przyjmuj c x 1 i podnosz c obie strony do -tej pot gi, otrzymujemy + 1 e. Mo»emy teraz oszacowa iloraz nn w sposób nast puj cy n n n n 1 n 1 n n 1! n 1n 2 n 1 n 2! n 1 n 2 n n 1 n 2n 3 n 1 n 2 n 3! n 1 n 2 2 n n e n 1, n 1 n co daje lew nierówno± zapisan w tezie stwierdzenia. Analogicznie dla x 1 +1 otrzymujemy +1 e i mo»emy oszacowa n n+1 n n 1! n 1 n 2! n n n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 2 n 3! n n 1 n 2 n 2 n n n 1 n e n 1, n n co daje drug nierówno±. Z powy»szego stwierdzenia wynia,»e jest iloczynem n/e n przemono»onym przez pewien czynni zawarty pomi dzy e i en. Oazuje si,»e obserwacj t mo»na u±ci±li. Twierdzenie. Stirling 2πn n n. e 2.3 Denicja. Kombinacj elementow zbioru A nazywamy elementowy podzbiór A. Symbolem C n, b dziemy oznacza zbiór wszystich ombinacji elementowych zbioru [n]. Stwierdzenie. Zbiór C n, jest niepusty wtedy i tylo wtedy, gdy 0 n. Je±li ta nierówno± zachodzi, to C n,!n!. 2

3 Dowód. Deniujemy funcj ore±lon na P [n] o warto±ciach w C n, w sposób nast puj cy: a 1, a 2,..., a n {a 1, a 2,..., a }. Przeciwobraz a»dego zbioru A C,n sªada si z tych ci gów b 1, b 2,..., b n P [n], dla tórych podci g b 1, b 2,..., b jest permutacj zbioru A, a podci g b +1, b +2,..., b n jest permutacj zbioru [n] \ A. 2.4 Wyra»enie!n! nazywa si wspóªczynniiem dwumianowyn Newtona i oznacza symbolem n. W dalszym ci gu b dzie wygodniej rozszerzy nieco denicj. Denicja. Niech n b dzie liczb naturaln. Dla liczby caªowitej deniujemy symbol Newtona n nad w sposób nast puj cy n 2.5 Wzór dwumianowy Newtona Dla dowolnej liczby naturalnej n Dowód. { n!!, gdy 0 n; 0 w przeciwnym przypadu. x + y n n 0 Rozwijaj c lew stron, mamy n x y n. x + y n x + yx + y x + y. }{{} n razy Wymna»aj c powy»sze dwumiany, z a»dego z n nawiasów wybieramy czynni x lub y. Wspóªczynni przy x y n jest równy ilo±ci sposobów wybrania czynniów x spo±ród n dwumianów. Uwaga. Wzór dwumianowy obowi zuje nie tylo wtedy, gdy x i y s liczbami rzeczywistymi czy zespolonymi. Z dowodu wynia,»e obowi zuje w a»dym systemie z przemiennymi i ª cznymi dziaªaniami + i, w tórym obowi zuje rozdzielno± dodawania wzgl dem mno»enia, a wi c na przyªad dla wielomianów, w ciaªach so«czonych, w pier±cieniach reszt itp. 2.6 Doonuj c cz ±ciowego srócenia, mo»emy zapisa x x + 1 x 1x,! co pozwala zdeniowa symbol dwumianowy dla dowowolnej liczby naturalnej i dowolnej liczby rzeczywistej x. Zauwa»my,»e 3

4 1 przy ustalonej liczbie wyra»enie x jest wielomianem stopnia od x; 2 dla > 0, liczby 0, 1,..., 1 s pierwiastami wielomianu x, s to jego jedyne pierwiasti. 2.7 Reurencja dla symboli dwumianowych. Twierdzenie. a Dla dowolnych liczb naturalnych n > 0 zachodzi n n 1 n b Dla a»dej liczby naturalnej > 0 zachodzi x x 1 x Dowód. a Niech A b dzie elemnetowym pozbiorem [n]. Je±li n A, to A jest podzbiorem [n 1]. W przeciwnym przypadu A \ {n} jest 1 elementowym podzbiorem [n 1]. Otrzymujemy w ten sposób wzajemnie jednoznaczn odpowiednio± pomi dzy C n, oraz rozª czn sum C n 1, i C n 1, 1. b Na mocy 2.6 obie strony równo±ci s dla ustalonego wielomianami stopnia, a na mocy puntu a wielomiany te przyjmuj równe warto±ci dla nieso«- czenie wielu warto±ci x. St d s równe. 2.8 Uwaga. Wªasno± reurencyjna wraz z warunami pocz towymi n 0 1 dla wszystich n, 0 0 dla wszysich > 0 pozwala wyliczy n dla wszystich n, N trój t Pascala. 2.9 Symbole wielomianowe Newtona O elemtowym podzbiorze B zbioru nelementowego A mo»emy my±le jao o podziale zbioru A na dwie cz ±ci: elementow cz ± B i n elementow A \ B. Uogólnienie tego punt widzenia prowadzi do uogólnienia symboli dwumianowych. Denicja. Niech 1, 2,..., r b dzie ci giem liczb naturalnych z sum n. Rozªadem zbioru n elementowego A na bloi dªugo±ci 1, 2,..., r nazywamy ciag A 1, A 2,..., A r podzbiorów A tai,»e 1 A i i dla i 1, 2,..., r; 2 A i A j dla i j; 3 A 1 A 2 A r A. Twierdzenie. Niech r n. Wszystich rozªadów zbioru nelementowego na bloi dªugo±ci 1, 2,..., r jest ozn. n. 1! 2! r! 1, 2,..., r Twierdzenie. Dla a»dego ci gu 1, 2,..., r, gdzie r n i i > 0, zachodzi wzór reurencyjny n r n 1. 1, 2,..., r 1,..., i 1,..., r i1 4

5 Twierdzenie. Wzór wielomianowy Newtona x 1 + x x r n n x 1 1 1, 2,..., x xr r. r rn Dowody tych twierdze«s analogiczne do dowodów w przypadu r 2. 5