Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Transkrypt

1 Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki,

2 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie pokoje s zaj te. Przyczyna Ka»dy hotel ma tylko sko«czenie wiele pokoi.

3 Anegdota Hotel o niesko«czonej liczbie pokoi o numerach 0, 1, 2, 3,... mo»e przyj nowego go±cia nawet, gdy wszystkie pokoje s zaj te. Ksi»ka meldunkowa Pokoje Go±cie A B C D E F Co nam mówi intuicja? w zwykªym hotelu nie da si zameldowa dodatkowego go±cia, bo jest za maªo pokoi, pocz tkowo jest tyle samo go±ci, co pokoi, po przybyciu nowego go±cia jest ich wi cej ni» pokoi, w Hotelu Hilberta jest ci gle tyle samo pokoi co go±ci.

4 Co to znaczy tyle samo? Pytanie Kiedy dwa zbiory maj tyle samo elementów? Nasze przyzwyczajenie policzy elementy w jednym zbiorze, policzy elementy w drugim zbiorze, sprawdzi czy liczby elementów s równe. Prosta obserwacja Je»eli na sali balowej wszyscy jednocze±nie ta«cz w parach, to jest tyle samo kobiet i m»czyzn. Trudniejsza obserwacja Trzyletnie dziecko jest w stanie sprawdzi, czy w dwóch pudeªkach jest tyle samo zapaªek, pomimo»e umie liczy tylko do 20.

5 Równoliczno± Denicja Zbiory A i B s równoliczne, je»eli mo»na ich elementy poª czy w pary tak by: ka»dy element zbioru A miaª par w zbiorze B, ka»dy element zbioru B miaª par w zbiorze A, ka»dy element byª poª czony w par z tylko jednym elementem.

6 Równoliczno± w przykªadach Poª czenia w pary pary taneczne, pary zapaªek wyjmowane jednocze±nie z pudeªek, ª czymy w pary pokój hotelowy z go±ciem, który w nim mieszka.

7 Istota anegdoty o Hotelu Hilberta Przykªad bardziej matematyczny Zbiór liczb naturalnych N = {0, 1, 2, 3, 4...} jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych dodatnich N \ {0} = {1, 2, 3, 4...}. Dowód

8 Jeszcze jeden przykªad matematyczny Równoliczno± z podzbiorem wªa±ciwym Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych parzystych ze zbiorem liczb naturalnych nieparzystych. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...} Dowód. Naturalne Naturalne parzyste Naturalne nieparzyste

9 Wniosek dla hotelarzy Wniosek mo»e przyj nawet niesko«czon wycieczk. Ksi ga meldunkowa Pokoje Go±cie Pokoje Go±cie Wniosek Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb caªkowitych s równoliczne.

10 Paradoks zwi zany z równoliczno±ci Co nam si nie podoba? liczb naturalnych jest tyle samo co caªkowitych, liczb caªkowitych wydaje si du»o wi cej (bo jest jeszcze niesko«czenie wiele liczb ujemnych).

11 Wi cej, czyli...? Dwa znaczenia sªowa wi cej te same elementy co byªy oraz pewne dodatkowe, wi ksz (w szczególno±ci inn ) liczb elementów. Fakt Zbiór jest sko«czony wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest równoliczny z»adnym swoim wªa±ciwym podzbiorem.

12 David Hilbert Kilka haseª David Hilbert, przestrze«hilberta, program Hilberta, twierdzenie Hilberta o bazie, problemy Hilberta.

13 Georg Cantor Teoria mnogo±ci Inaczej teoria zbiorów dziaª matematyki zajmuj cy si zbiorami i ich wªasno±ciami. Georg Cantor, Teoria mnogo±ci uznawana jest za podstawow teori umo»liwiaj c formalizacj caªej matematyki.

14 Przeliczalno± Denicja Zbiór niesko«czony nazwiemy przeliczalnym, gdy jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Uwaga Zbiór jest A przeliczalny, wtedy i tylko wtedy, gdy jego elementy mo»na ustawi w ci g: A = {a 0, a 1, a 2, a 3, a 4,...}. Zbiory przeliczalne zbiór liczb naturalnych N, zbiór liczb caªkowitych Z, zbiór liczb naturalnych parzystych.

15 Zaskakuj cy przykªad Stwierdzenie Zbiór liczb wymiernych Q jest przeliczalny. Przypomnienie Liczby wymierne to uªamki p, gdzie p, q Z, q 0. q Dowód. Ustawimy w ci g pary liczb caªkowitych z intencj (p, q) p q (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), ( 1, 1), ( 1, 0), ( 1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (1, 2), (0, 2), ( 1, 2), ( 2, 2), ( 2, 1), ( 2, 0),... (1, 1), (0, 1), ( 1, 1), ( 1, 1), (0, 1), ( 1, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 2), (1, 2), (0, 2), ( 1, 2), ( 2, 2), ( 2, 1),... (p, q) p q, 1 1, 0 1, 1 1, 1 1, 0 1, 1 1, 2 1, 2 1, 2 2, 1 2, 0 2, 1 2, 2 2, 2 1, = 2 4 = 3 6 =..., usuwamy z ci gu powtórzenia.

16 Czy ka»dy zbiór niesko«czony jest przeliczalny? Stwierdzenie Zbiór wszystkich niesko«czonych ci gów zerojedynkowych nie jest przeliczalny. Dowód x 0 : x0 0 x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0 x6 0 x7 0 x8 0 x x 1 : x0 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 x6 1 x7 1 x8 1 x x 2 : x0 2 x1 2 x2 2 x3 2 x4 2 x5 2 x6 2 x7 2 x8 2 x x 3 : x0 3 x1 3 x2 3 x3 3 x4 3 x5 3 x6 3 x7 3 x8 3 x x 4 : x0 4 x1 4 x2 4 x3 4 x4 4 x5 4 x6 4 x7 4 x8 4 x x 5 : x0 5 x1 5 x2 5 x3 5 x4 5 x5 5 x6 5 x7 5 x8 5 x x 6 : x0 6 x1 6 x2 6 x3 6 x4 6 x5 6 x6 6 x7 6 x8 6 x x 7 : x0 7 x1 7 x2 7 x3 7 x4 7 x5 7 x6 7 x7 7 x8 7 x x 8 : x0 8 x1 8 x2 8 x3 8 x4 8 x5 8 x6 8 x7 8 x8 8 x x 9 : x0 9 x1 9 x2 9 x3 9 x4 9 x5 9 x6 9 x7 9 x8 9 x : yn = 1 x n n y5 x 5 5

17 Nieco inny przykªad Stwierdzenie Odcinek [0, 1] jest równoliczny z odcinkiem (0, 1). Dowód. [0, 1] = {0} (0, 1) {1} n n n 1 n n n+1... pozostaªych go±ci nie budzimy. Stwierdzenie Odcinek (0, 1) (a zatem i odcinek [0, 1]) jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych R.

18 Nie wszystkie zbiory niesko«czone s równoliczne Stwierdzenie Odcinek [0, 1] nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Dowód. przypu± my,»e jest: [0, 1] = {x 0, x 1, x 2, x 3,...}, [0, 1] = [0, 1 3 ] [ 1 3, 2 3 ] [ 2 3, 1] niech J 0 b dzie tym odcinkiem, do którego x 0 nie nale»y, dzielimy J 0 na 3 równe cz ±ci i wybieramy jako J 1 t, do której nie nale»y x 1, kontynuujemy: x n J n, istnieje liczba x, która nale»y do wszystkich odcinków J n, liczba x nie mo»e wyst powa na naszej li±cie.

19 Co wi cej wiadomo? Twierdzenie (Cantor) Ka»dy zbiór ma wi cej podzbiorów ni» elementów. Twierdzenie Zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny z rodzin wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Twierdzenie Zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny ze zbiorem punktów pªaszczyzny.

20 Hipoteza Continuum Nasza wiedza Liczb rzeczywistych jest wi cej, ni» liczb naturalnych. Hipoteza Continuum Nie istnieje zbiór, który ma wi cej elementów ni» N, ale mniej ni» R. Uwaga Hipoteza Continuum znalazªa si na pierwszym miejscu listy problemów Hilberta w 1900 r.

21 Skomplikowana odpowied¹ Twierdzenie (K.Gödel + P. Cohen) Je»eli matematyka jest niesprzeczna, to nie rozstrzyga Hipotezy Continuum, to znaczy nie dowodzi ani jej, ani jej negacji. System Hilberta i reguªa modus ponens je»eli umiemy udowodni p i p q, to umiemy udowodni q, musimy mie okre±lony zestaw aksjomatów. Aksjomatyka Zermelo Fraenkla ZFC Zestaw aksjomatów Teorii Mnogo±ci pozwalaj cy na sformalizowanie caªej matematyki.

22 Twierdzenia Gödla Twierdzenie adna rozs dna niesprzeczna teoria nie mo»e dowodzi swojej niesprzeczno±ci. Twierdzenie adna rozs dna niesprzeczna teoria nie rozstrzyga wszystkich zda«swojego j zyka.