Matematyka dyskretna dla informatyków
|
|
- Sylwester Kowalik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007
2 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci kombinatorycznych mo»na wyrazi prosto w postaci równa«rekurencyjnych. Typowym przypadkiem jest, gdy rozwi zanie danego problemu mo»emy sprowadzi do rozwi za«mniejszych problemów tego samego typu Proste zale»no±ci rekurencyjne Przykªad 4.1. Wyznaczy przy pomocy zale»no±ci rekurencyjnej liczb wszystkich permutacji zbioru {1, 2,..., n}. Przykªad 4.2. Na ile spójnych obszarów dzieli pªaszczyzn n prostych, z których»adne dwie nie s równolegªe i»adne trzy nie przecinaj si w jednym punkcie? 4.2. Jednorodne zale»no±ci rekurencyjne Zajmiemy si teraz rozwi zywaniem tak zwanych jednorodnych (liniowych) równa«rekurencyjnych. S one postaci a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c r a n r, (4.1) gdzie c i, i = 1, 2,..., r, s zadanymi staªymi (niezale»nymi od n) i c r 0. Powy»sza zale»no± ma gª boko± r wi c, jak za chwil poka»emy, aby j rozwi za musimy mie zadanych r warunków pocz tkowych. Zauwa»my,»e to równanie ma zawsze rozwi zanie trywialne a n = 0, dla ka»dego n N. Ci g a n speªniaj cy (4.1), taki»e a k 0 dla pewnego k N, nazywamy rozwi zaniem nietrywialnym. Przykªad 4.3. Udowodni,»e je»eli ci gi a n i a n speªniaj równanie rekurencyjne (4.1), a c jest dowoln staª, to ci gi a n + a n oraz ca n speªniaj tak»e to równanie. Bezpo±redni konsekwencj powy»szego przykªadu jest fakt, i» kombinacja liniowa dwóch (sko«- czonej liczby) rozwi za«jednorodnego liniowego równania rekurencyjnego jest równie» rozwi - zaniem tego równania. Z ka»dym jednorodnym równaniem rekurencyjnym (4.1) zwi zane jest równanie algebraiczne x r c 1 x r 1 c 2 x r 2... c r = 0, (4.2) zwane jego równaniem charakterystycznym. Równanie (4.2) mo»emy otrzyma z (4.1) poprzez zamian a k na x k, a nast pnie podzielenie przez najmniejsz pot g x. Jak zobaczymy w dalszej cz ±ci, rozwi zanie ogólne zale»no±ci (4.1) zale»y od pierwiastków równania charakterystycznego (4.2) w zbiorze liczb zespolonych C. Przykªad 4.4. Udowodni,»e ci g a n = α n jest nietrywialnym rozwi zaniem równania rekurencyjnego (4.1) wtedy i tylko wtedy, gdy α jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (4.2).
3 20 4. Zale»no±ci rekurencyjne Przykªad 4.5. Udowodni,»e je»eli α jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego (4.2), to ci g a n = n i α n jest nietrywialnym rozwi zaniem równania rekurencyjnego (4.1), dla i = 0, 1,... k 1. W szczególnym przypadku, gdy zale»no± rekurencyjna (4.1) ma gª boko± dwa, to równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym, zatem mo»emy sformuªowa nast puj cy fakt. Lemat 4.1. Je»eli α i β s ró»nymi (nie koniecznie rzeczywistymi) pierwiastkami równania charakterystycznego x 2 = Ax + B, to równanie rekurencyjne ma rozwi zanie ogólne postaci a n = Aa n 1 + Ba n 2 W przypadku, gdy α = β, to rozwi zanie ogólne ma posta a n = C 1 α n + C 2 β n. (4.3) a n = (C 1 + C 2 n)α n. (4.4) Staªe C 1 oraz C 2 wyst puj ce powy»ej zale» od warunków pocz tkowych naªo»onych na równanie rekurencyjne. Zauwa»my,»e w powy»szym przypadku potrzebne s nam dwa warunki pocz tkowe, które dadz ukªad dwóch równa«z dwiema niewiadomymi C 1 i C 2. Przykªad 4.6. B dziemy mówili,»e rozwi zuj cy pewien problem student jest na n-tym etapie je»eli do rozwi zania problemu pozostaªo mu n (n 1) kroków. Na ka»dym etapie ma on pi mo»liwo±ci. Dwie z nich prowadz go z n-tego etapu do (n 1)-go etapu, a pozostaªe trzy prowadz go bezpo±rednio do (n 2)-go etapu. Niech a n oznacza liczb sposobów rozwi zania problemu zaczynaj c od n-tego etapu. Przyjmuj c,»e a 1 = 5 oraz a 2 = 13 wyznaczy wzór na a n. Przykªad 4.7. Rozwi za równanie rekurencyjne z warunkami pocz tkowymi a 0 = 1, a 1 = 9. a n = 6a n 1 9a n 2, Przykªad 4.8. Ile jest ró»nych sposobów wej±cia po schodach zbudowanych z n stopni, je±li w ka»dym kroku mo»na pokona jeden lub dwa stopnie? a n = a n 1 + a n 2, n 2, a 0 = 1 i a 1 = 1. (4.5) Zale»no± rekurencyjna (4.5) nazywa si równaniem Fibonacciego a ci g liczb 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... nosi nazw ci gu Fibonacciego. Przykªad Wyznaczy liczby Lucasa L n okre±lone wzorem L n = F n+1 + F n 1, gdzie F k oznacza liczb Fibonacciego z dodatkowym zaªo»eniem F 0 = 0. Przykªad Niech b n oznacza liczb n-elementowych ci gów o elementach ze zbioru {0, 1, 2} takich,»e»adne dwie po sobie nast puj ce jedynki ani»adne dwie po sobie nast puj ce dwójki nie s dozwolone. Wyznaczy wzór na b n. Lemat 4.1 jest szczególnym przypadkiem nast puj cego twierdzenia.
4 4.3. Niejednorodne liniowe zale»no±ci rekurencyjne 21 Twierdzenie 4.2. Je»eli α 1, α 2,..., α r s ró»nymi (nie koniecznie rzeczywistymi) pierwiastkami równania charakterystycznego to równanie rekurencyjne x r c 1 x r 1 c 2 x r 2... c r = 0, a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c r a n r, ma rozwi zanie postaci Ogólnie, je»eli a n = C 1 α n 1 + C 2 α n C r α n r. x r c 1 x r 1 c 2 x r 2... c r = (x α 1 ) m 1 (x α 2 ) m2... (x α k ) m k, gdzie m i 1, i = 1, 2,..., k oraz m 1 +m m k = r równania charakterystycznego), to (tzn. α i jest m i -krotnym pierwiastkiem a n = ( C 1 + C 2 n C m1 n m 1 1 ) α n 1 + ( D 1 + D 2 n D m2 n m 2 1 ) α n 2. + ( Z 1 + Z 2 n Z mk n m k 1 ) α n k. Staªe wyst puj ce powy»ej zale» od warunków pocz tkowych naªo»onych na równanie rekurencyjne. Przykªad Przypu± my,»e pewien prymitywny organizm osi ga dojrzaªo± po dwóch godzinach i ma wtedy pierwszych czterech potomków a nast pnie ju» co godzin ma sze±ciu kolejnych potomków. Zakªadaj c,»e wszystkie urodzone organizmy zachowuj si tak samo oraz,»e rozpoczynali±my z jednym nowourodzonym organizmem, znale¹ zale»no± rekurencyjn dla a n liczby organizmów po n godzinach. Przykªad Rozwi» równanie rekurencyjne z warunkami pocz tkowymi a n = 2a n a n 2 + 4a n 3 20a n 4, a 0 = 6, a 1 = 3, a 2 = 71, a 3 = Niejednorodne liniowe zale»no±ci rekurencyjne Niejednorodnym liniowym równaniem rekurencyjnym nazywamy równanie postaci a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c r a n r + f(n). (4.6) Funkcj f(n) wyst puj c w tym równaniu nazywamy wyrazem wolnym. Rozwi zanie ogólne tej zale»no±ci jest postaci a n = a (1) n + a (2) n, gdzie a (1) n jest rozwi zaniem ogólnym równania jednorodnego a (1) n = c 1 a (1) n 1 + c 2a (1) n c ra (1) n r, (4.7) które wyznaczamy zgodnie z zasadami poznanymi w poprzednim paragrae.
5 22 4. Zale»no±ci rekurencyjne Natomiast a (2) n jest dowolnym szczególnym rozwi zaniem równania niejednorodnego (4.6). Niestety, nie ma ogólnej metody znajdowania tego rozwi zania szczególnego. W dalszej cz ±ci tego paragrafu, b dziemy wykorzystywa metod przewidywania rozwi zania. Polega ona na tym,»e w zale»no±ci od postaci wyrazu wolnego, mo»emy odgadn posta rozwi zania. Najwa»niejsze przypadki, to 1 Je»eli wyraz wolny f(n) jest wielomianem (zmiennej n) stopnia d oraz rozwi zanie ogólne równania jednorodnego a (2) n nie jest wielomianem, to istnieje rozwi zanie szczególne, które jest równie» wielomianem stopnia d, czyli zakªadamy,»e a (2) n = C d n d + C d 1 n d C 0. 2 Je»eli f(n) jest wielomianem (zmiennej n) stopnia d oraz a (2) n jest wielomianem stopnia k, to przewidujemy rozwi zanie szczególne postaci a (2) n = n k+1 (C d n d + C d 1 n d C 0 ). 3 Je»eli f(n) jest funkcj wykªadnicz postaci f(n) = Cβ n i β nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to przewidywane rozwi zanie szczególne jest równie» funkcj wykªadnicz postaci a (2) n = Aβ n. 4 Je»eli f(n) jest funkcj wykªadnicz postaci f(n) = Cβ n i β jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotno±ci k, to przewidywane rozwi zanie szczególne jest równie» funkcj wykªadnicz postaci a (2) n = An k β n. 5 Je»eli natomiast wyraz wolny f(n) jest sum pewnych funkcji (zmiennej n), to przewidywane rozwi zanie szczególne jest sum przewidywanych rozwi za«dla poszczególnych skªadników. Zwró my uwag,»e staª mo»emy interpretowa jako wielomian stopnia zero lub jako funkcj wykªadnicz o podstawie 1. Przykªad Rozwi za równanie rekurencyjne z warunkami pocz tkowymi a 0 = 0 i a 1 = 1. a n = 7a n 1 10a n n Przykªad Znale¹ rozwi zanie ogólne równania rekurencyjnego a n = 3a n 1 2a n n. Przykªad Znale¹ rozwi zanie ogólne równania rekurencyjnego a n = 2a n 1 + 7n 2. Przykªad Korzystaj c z faktu,»e liczba podziaªów zbioru {1, 2,..., n} na dwa niepuste zbiory równa jest 2 n 1 1 (patrz Przykªad??) pokaza,»e a n okre±laj ce liczb podziaªów zbioru {1, 2,..., n} na trzy niepuste zbiory, speªnia dla n 1 zale»no± a n = 1 6 3n 1 2 2n Na zako«czenie tego paragrafu zwró my uwag,»e równania tu prezentowane mo»na równie» rozwi za innymi metodami, np. wykorzystuj c aparat funkcji tworz cych (patrz nast pny rozdziaª).
6 4.4. Zªo»one zale»no±ci rekurencyjne Zªo»one zale»no±ci rekurencyjne W paragrae tym przedstawimy przykªady nieliniowych równa«rekurencyjnych oraz sposoby ich rozwi zywania. Zwró my uwag,»e nie ma ogólnego sposobu rozwi zywania wszystkich zale»no- ±ci rekurencyjnych. Przykªad Niech D n b dzie liczb permutacji rz du n bez punktów staªych (nieporz dków). Znale¹ równanie rekurencyjne dla ci gu D n. Przykªad Niech B n oznacza liczb wszystkich podziaªów zbioru mocy n na rozª czne i niepuste podzbiory, których kolejno± nie jest wa»na. Liczby B n s znane w kombinatoryce jako liczby Bella. Wyznaczy równanie rekurencyjne na B n+1. Jednym, ze sposobów rozwi zywania zªo»onych zale»no±ci rekurencyjnych jest metoda podstawiania nowych zmiennych i sprowadzania równania do znanej postaci. Przykªad Rozwi za zale»no± rekurencyjn a 2 n = 2a 2 n z warunkiem pocz tkowym a 0 = 2 i zaªo»eniem,»e a n 0 dla ka»dego n naturalnego. Przykªad Rozwi za zale»no± rekurencyjn a 2 n 2a n 1 = 0 z warunkiem pocz tkowym a 0 = 4 i zaªo»eniem,»e a n > 0 dla ka»dego n naturalnego. Przykªad Rozwi za zale»no± rekurencyjn z warunkiem pocz tkowym a 0 = 4. a n = an 1 + a n 2 + a n a 0 (4.8) Przykªad Niech { n k } oznacza liczb podziaªów zbioru n-elementowego na k niepustych i rozª cznych podzbiorów. Liczby te s znane jako liczby Stirlinga drugiego rodzaju i s okre±lone dla n, k 0. Znale¹ zale»no± rekurencyjn i warunki pocz tkowe dla liczb Stirlinga drugiego rodzaju. Oczywi±cie, bezpo±rednio z denicji zachodzi n { n } = B n, (4.9) k k=0 gdzie B n jest liczb Bella. Istniej równie» liczby Stirlinga pierwszego rodzaju. Oznaczamy je [ ] n k i speªniaj one równanie rekurencyjne [ ] [ ] [ ] n n 1 n 1 = + (n 1). k k 1 k Przykªad Wyznaczy liczb suriekcji zdeniowanych na zbiorze [n] i o warto±ciach w zbiorze [k]. Przykªad Udowodni,»e x n = n k=0 { n k } (x) k. (4.10)
7 24 4. Zale»no±ci rekurencyjne Zale»no±ci rekurencyjne znajduj mi dzy innymi zastosowanie przy rozwi zywaniu z wykorzystaniem komputerów zada«numerycznych, które polegaj na obliczaniu wielko±ci zdeniowanych za pomoc zale»no±ci matematycznych. Jako pierwszy przykªad opiszemy pewien sposób obliczania warto±ci wielomianu dla danego argumentu. Przykªad Obliczy warto± wielomianu dla ustalonej warto±ci argumentu x = z. w n (x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n (4.11) Przykªad Zadanie polega na wyznaczeniu przybli»enia pierwiastka równania f(x) = 0, gdzie f(x) jest zadan funkcj Zadania Zadanie 4.1. Znale¹ i udowodni wzór na wyraz ogólny ci gu, dla którego zachodzi nast puj ce równanie rekurencyjne a n = n 2 a n 1 przy zaªo»eniu,»e a 1 = 1. Zadanie 4.2. Ka»dego roku pewna populacja królików podwaja si. Je»eli pocz tkowo byªo sze± królików, to ile ich b dzie po n latach? Zadanie 4.3. Niech b n oznacza liczb takich n-elementowych ci gów binarnych,»e»adne dwa po sobie nast puj ce 0 nie s dozwolone. Znale¹ zale»no± rekurencyjn dla b n. Zadanie 4.4. Niech h(k, n) b dzie liczb rozsadze«w okre±lonym porz dku k pacjentów w poczekalni, w której jest n krzeseª, tak aby»aden pacjent nie siedziaª bezpo±rednio obok drugiego. Znale¹ zale»no± rekurencyjn dla h(k, n). Zadanie 4.5. Niech p n b dzie liczb podziaªów zbioru {1, 2,..., n} na dwa niepuste zbiory? Znale¹ zale»no± rekurencyjn dla p n i na jej podstawie wyznaczy wzór na liczb takich podziaªów. Zadanie 4.6. Niech s n b dzie liczb podzbiorów zbioru {1, 2,..., n}, wliczaj c zbiór pusty, które nie zawieraj s siednich liczb? Znale¹ zale»no± rekurencyjn dla s n i na jej podstawie wyznaczy wzór na liczb takich podzbiorów. Zadanie 4.7. Przypu± my,»e dowolna nowourodzona para królików ma swoj pierwsz par potomstwa po dwóch miesi cach, a pó¹niej ju» co miesi c rodzi now par. Zakªadaj c,»e zaczynamy od jednej pary, znale¹ zale»no± rekurencyjn dla k n - liczby par po n miesi cach. Zadanie 4.8. Rozwi za równania rekurencyjne: (a) a n = 2a n 1 + 3a n 2, a 0 = a 1 = 1. (b) a n = 2a n 1 a n 2, a 0 = a 1 = 2. (c) Korzystaj c z faktu,»e (x 2) 2 (x + 1)(x 3) = x 4 6x 3 + 9x 2 + 4x 12 poda wzór na wyraz ogólny ci gu, dla którego zachodzi nast puj ce równanie rekurencyjne a n = 6a n 1 9a n 2 4a n a n 4.
8 4.5. Zadania 25 Zadanie 4.9. Stosuj c równanie charakterystyczne rozwi za zale»no± rekurencyjn z warunkami pocz tkowymi a 0 = 4, a 1 = 4. a n = a n 1 + 6a n 2 Zadanie Rozwi za równania rekurencyjne: (a) a n + 6a n 1 + 9a n 2 = 3, a 0 = 0, a 1 = 1. (b) a n = 4a n 1 4a n n, a 0 = a 1 = 2. (c) a n = a n 1 + 7n, a 0 = 0. Zadanie Rozwi za równanie rekurencyjne z warunkiem pocz tkowym a 0 = 1, a 1 = 4. a n + 5a n 1 + 6a n 2 = 3n 2, Zadanie Rozwi za nast puj ce liniowe równania rekurencyjne (a) a n+1 = 2a n 1, gdzie a 0 = 3, (b) a n = 6a n 1 9a n 2, gdzie a 0 = 1 i a 1 = 2, (c) a n = 3a n n, gdzie a 0 = 2, (d) a n = a n 1 + n 3, gdzie a 0 = 0, (e) a n = 3a n 1 4n, gdzie a 0 = 2, (f) a n = 5a n 1 6a n 2, gdzie a 0 = 2, (g) a n = 3a n n, gdzie a 0 = 2 i a 1 = 1. Zadanie Znajd¹ rozwi zanie ogólne nast puj cych liniowych równa«rekurencyjnych (a) a n+2 = 4a n, (b) a n+2 + 4a n a n = 0. Zadanie Dane jest równanie charakterystyczne x 4 5x 3 + 6x 2 + 4x 8 = 0 pewnego liniowego równania rekurencyjnego z warunkami pocz tkowymi a 0 = 1, a 1 = 9, a 2 = 1 i a 3 = 2. Wyznaczy a n. Zadanie Rozwi za równanie rekurencyjne gdzie a n + 3a n 1 + 2a n 2 = f(n), f(n) = z warunkiem pocz tkowym a 0 = a 1 = 0. { 1, dla n = 5, 0, dla n 5, Zadanie Niech a n oznacza liczb rozª cznych cz ±ci na jakie dziel n-k t wypukªy jego przek tne. Zakªadamy,»e»adne 3 przek tne nie przecinaj si w jednym punkcie. (a) Poka»,»e oraz a 0 = a 1 = a 2 = 0. (b) Wyznacz a n. a n = a n 1 + (n 1)(n 2)(n 3) 6 + n 2 dla n 3
9 26 4. Zale»no±ci rekurencyjne Zadanie Rozwi za równanie rekurencyjne z warunkiem pocz tkowym a 0 = na n + na n 1 a n 1 = 2 n Zadanie Rozwi za równanie rekurencyjne z warunkiem pocz tkowym a 0 = 2. Zadanie Znale¹ warto± wielomianu dla x = 7 korzystaj c ze schematu Hornera. a n = na n 1 + n! w n (x) = 9x 5 + 8x 4 + 7x 3 + 6x 2 + 5x + 4 Zadanie Korzystaj c z metody Newtona znale¹ z dokªadno±ci do 10 6 pierwiastek równania e x = x Zadanie Udowodni,»e dla liczb Fibonacciego speªnione s to»samo±ci (a) F 1 + F F n = F n+2 1, (b) F 1 + F F 2n 1 = F 2n, (c) F 2 + F F 2n = F 2n+1 1, (d) F F F 2 n = F n F n+1. Zadanie Udowodni,»e liczby Fibonacciego speªniaj to»samo± znan jako równo± Cassiniego. F n+1 F n 1 F 2 n = ( 1) n, (4.12) Zadanie Udowodni,»e dla liczb Lucasa speªnione s równania (a) L 0 + L 1 + L L n = L n+2 1, (b) L 1 + L 3 + L L 2n+1 = L 2n+2 2.
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoWst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoRekurencja. Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Wst p. Fibonacci. Liniowe 2. rz du. Wie»e Hanoi. Wa»ne 3 przypadki
Rekurencja Zawarto± wykªadu: Wprowadzenie: czym jest rekurencja ci g ego Przykªad: liniowe równania rekurencyjne 2. Przykªad: zagadka wie»e Hanoi 3 cz sto spotykane rekurencyjne schematy równa« Rekurencja
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoLiczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Wojciech Rytter Podziaªy liczb s bardzo skomplikowanymi obiektami kombinatorycznymi, przedstawimy dwa algorytmy liczenia takich oblektów. Pierwszy prosty algorytm
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoOpis matematyczny ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowo2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowoSemestr letni 2014/15
Wst p do arytmetyki modularnej zadania 1. Jaki dzie«tygodnia byª 17 stycznia 2003 roku, a jaki b dzie 23 sierpnia 2178 roku? 2. Jaki dzie«tygodnia byª 21 kwietnia 1952 roku? 3. W jaki dzie«odbyªa si bitwa
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowoWielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Bardziej szczegółowo1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowoProste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Bardziej szczegółowoWykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj
Bardziej szczegółowo