Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Transkrypt

1 Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1

2 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a liczby zaczynaj si od 2, 5 lub 6. Zad. 2. Ile jest permutacji liczb 1, 2,..., 6 w których: a) liczby 3, 4 s siaduj ze sob w kolejno±ci wzrastania b) liczby 3, 4 s siaduj ze sob w dowolnej kolejno±ci c) liczby 3, 4 nie s siaduj ze sob d) liczby 3, 4, 5 s siaduj ze sob w kolejno±ci wzrastania e) liczby 3, 4, 5 nie s siaduj ze sob. Zad. 3. Ile mo»na utworzy sze±ciocyfrowych liczb parzystych z cyfr 1, 2, 3, 4 przy zaªo»eniu,»e cyfra 2 powtarza si trzy razy. Zad. 4. Z siedmiu cyfr mo»na utworzy 42 liczby 7-cyfrowe. Ile w tym zestawie jest cyfr powtarzaj cych si. Zad. 5. Ile ró»nych liczb 5-cyfrowych mo»na utworzy z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 tak aby: a)»adna cyfra si nie powtarzaªa b) cyfry mog si powtarza c) tak aby na miejscu dziesi tek staªa cyfra 3 lub 4; cyfry nie mog si powtarza. Zad. 6. Ile jest trzycyfrowych liczb o ró»nych cyfrach wi kszych od 370. Zad. 7. Ze zbioru {2, 3, 4, 5, 6} losujemy kolejno dwie cyfr ze zwracaniem. Otrzymujemy liczb dwucyfrow. Ile w ten sposób mo»na otrzyma liczb: a) podzielnych przez 5 b) mniejszych od 40 c) wi kszych od 42. Zad. 8. Ze zbioru liczb {1, 2,..., 13} wybieramy jednocze±nie dwie. Na ile sposobów mo»na to zrobi aby: a) ich iloczyn byª liczb nieparzyst b) ich iloczyn byª liczb parzyst c) ich iloczyn byª podzielny przez 7 d) ich iloczyn byª podzielny przez 15 e) ich iloczyn byª podzielny przez 10 e) ich suma byªa liczb nieparzyst. 2

3 Zad. 9. Obliczy ile jest mo»liwo±ci otrzymania w±ród 13 kart: 4 asów, 4 króli, 4 dam. Zad. 10. Na ile sposobów 5 osób mo»e wysi ± z tramwaju, który skªada si z: a) dwóch ponumerowanych wagonów b) trzech ponumerowanych wagonów. Zad. 11. W pojemniku jest 5 kul biaªych i 4 czarne. Na ile sposobów mo»na wyj z pojemnika 3 kule tak, aby otrzyma : a) 3 kule biaªe b) 3 kule czarne c) 2 kule biaªe i 1 kul czarn d) co najmniej 1 kul biaª. Zad. 12. Na ile sposobów mo»na wyj ze skrzyni 5 butów, tak aby»aden nie miaª pary, je»eli w skrzyni jest 6 ró»nych par butów. Zad. 13. W 10-pi trowym bloku jest winda. Do windy wsiadªo 7 osób. Na ile sposobów mog wysi ± tak, aby: a) ka»da osoba mogªa wysi ± na innym pi trze b) ka»da osoba mogªa wysi ± na dowolnym pi trze c) tak aby wszyscy wysiedli na jednym pi trze. Zad. 14. Ile jest 6-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 3-elementowego {a, b, c}. Zad. 15. Ile jest rozwi za«caªkowitych równania t 1 + t 2 + t 3 + t 4 = 15, gdzie t i 0. Zad. 16. Na pªaszczy¹nie narysowano n prostych tak, aby»adne dwie proste nie byªy równolegªe ani»adne trzy nie przecinaªy si w jednym punkcie. Ile otrzymano wszystkich punktów przeci cia. Zad. 17. W klanie mamy 16 dziewcz t i 15 chªopców. Ile mamy mo»liwych wyborów 5-osobowej delegacji, w skªad której wejdzie co najmniej 3 chªopców. Zad. 18. Na ile sposobów mo»na rozmie±ci 20 identycznych kul w 5 ró»nych szuadkach tak, aby w ka»dej szuadce byªy przynajmniej dwie kule. Zad. 19. Na ile sposobów mo»na rozmie±ci 25 identycznych cukierków w 7 rozró»nialnych pudeªkach, je»eli pierwsze pudeªko mo»e zawiera co najwy»ej 10 cukierków, a pozostaªe mog zawiera dowoln liczb cukierków. Zad. 20. Ile ci gów binarnych dªugo±ci 16: a) zawiera dokªadnie 8 zer b) zawiera wi cej jedynek ni» zer. 3

4 Zad. 21. Na ile sposobów mo»na nawlec na sznurek o ustalonym pocz tku i ko«cu, 4 czerwone, 4 niebieskie i 2 biaªe koraliki. Zad. 22. W turnieju ka»da dziewczyna gra z ka»d inna. Ile jest dru»yn je»eli rozegrano 45 meczów. Zad. 23. Na przyj cie przyszªo 5 maª»e«stw. Ile b dzie powita«. Zakªadamy,»e witaj si pary nie z rodziny. Zad. 24. Ile przek tnych ma 7-k t wypukªy. Zad. 25. Pami tamy 3 pierwsze cyfry z 7 cyfrowego numeru. Ile jest mo»liwych numerów: a) je±li nast pne cyfry s dowolne b) w±ród pozostaªych nie ma 4 i 5 b) w±ród pozostaªych nie ma»adnych na pierwszych miejscach. Zad. 26. Ile istnieje funkcji ró»nowarto±ciowych okre±lonych na zbiorze X = {1, 2} o warto±ciach w zbiorze Y = {a, b, c, d}. Zad. 27. Ile ró»nych liczb 6-cyfrowych takich,»e»adna cyfra si nie powtarza i tak by 3 lub 4 byªa cyfr jedno±ci (Y = {0,..., 5}). Zad. 28. W urnie s 4 kule biaªe, 3 niebieskie, 2 czarne i 1 zielona. Na ile sposobów mo»na wyci gn 3 kule aby: a) byªy tego samego koloru b) byªy dowolnego koloru b) 2 kule byªy tego samego koloru a 1 kule innego. Zad. 29. Rzucamy 4 razy monet. Na ile sposobów mo»na wyrzuci tak aby: a) wypadª dokªadnie 1 orzeª b) cho raz wypadª orzeª b) wypadªy dokªadnie 2 orªy d) wypadªy przynajmniej 2 orªy e) wypadªy co najwy»ej 4 orªy. Zad. 30. Na ile sposobów mo»na podzieli zbiór [n] = {1,..., n} na dwa niepuste i rozª czne zbiory. Zad. 31. Na ró»nych niepustych paczek z owocami mo»na utworzy, maj c do dyspozycji jabªka i gruszki, przy zaªo»eniu,»e w paczce nie mo»e by wi cej ni» n jabªek i nie mo»e by wi cej ni» m gruszek. Zad. 32. Pewna grupa ludzi wita si podaj c sobie r ce. Nikt nie wita si z samym sob, a»adna para nie wita si wi cej ni» raz. Pokaza,»e b d istniaªy 2 osoby, które witaªy si tyle samo razy. 4

5 5