Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126"

Transkrypt

1 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

2 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2 / 126

3 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 3 / 126

4 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek Czy mo»liwe jest, aby wyruszy z dowolnej cz ±ci l dowej miasta przej± przez ka»dy z mostów dokªadnie jeden raz i powróci do punktu wyj±ciowego (bez przepªywania przez rzek )? 4 / 126

5 Mosty królewieckie Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 r. w Bazylei - Szwajcaria, zm. 18 wrze±nia 1783 r. w Petersburgu - Rosja) - szwajcarski matematyk, zyk i astronom, jeden z twórców nowoczesnej matematyki. 5 / 126

6 Mosty królewieckie 6 / 126

7 Mosty królewieckie 7 / 126

8 Mosty królewieckie 8 / 126

9 Mosty królewieckie 9 / 126

10 Mosty królewieckie 10 / 126

11 Podstawowe denicje Denicja Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª czonych kraw dziami. Ka»da kraw d¹ ma dwa ko«ce, które s wierzchoªkami w grae. 11 / 126

12 Podstawowe denicje Denicja Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª czonych kraw dziami. Ka»da kraw d¹ ma dwa ko«ce, które s wierzchoªkami w grae. 12 / 126

13 Podstawowe denicje Denicja Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª czonych kraw dziami. Ka»da kraw d¹ ma dwa ko«ce, które s wierzchoªkami w grae. 13 / 126

14 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 14 / 126

15 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 15 / 126

16 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 16 / 126

17 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 17 / 126

18 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 18 / 126

19 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 19 / 126

20 Podstawowe denicje Denicja Drog, w której»adna kraw d¹ si nie powtarza nazywamy drog prost. 20 / 126

21 Podstawowe denicje Denicja Drog, w której»adna kraw d¹ si nie powtarza nazywamy drog prost. 21 / 126

22 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 22 / 126

23 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 23 / 126

24 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 24 / 126

25 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 25 / 126

26 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 26 / 126

27 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 27 / 126

28 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 28 / 126

29 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 29 / 126

30 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 30 / 126

31 Podstawowe denicje Denicja Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo± kraw dzi wychodz cych z tego wierzchoªka. 31 / 126

32 Podstawowe denicje Denicja Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo± kraw dzi wychodz cych z tego wierzchoªka. 32 / 126

33 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 33 / 126

34 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 34 / 126

35 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 35 / 126

36 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 36 / 126

37 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 37 / 126

38 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 38 / 126

39 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 39 / 126

40 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 40 / 126

41 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 41 / 126

42 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 42 / 126

43 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 43 / 126

44 Cykl Eulera Twierdzenie (Euler, 1736) W grae istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie«parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si parzysta liczba kraw dzi. 44 / 126

45 Cykl Eulera Twierdzenie (Euler, 1736) W grae istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie«parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si parzysta liczba kraw dzi. 45 / 126

46 Mosty królewieckie 46 / 126

47 Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. 47 / 126

48 Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. Wiadomo,»e listonosz dor czaj c poczt musi przej± przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci na poczt. 48 / 126

49 Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. Wiadomo,»e listonosz dor czaj c poczt musi przej± przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci na poczt. Jak zaplanowa drog listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±nie pokonaª jak najkrótsz drog? 49 / 126

50 Kolorowanie kraw dzi Denicja Niech dany b dzie graf G. Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw dzi grafu G nazywamy takie pomalowanie wszystkich kraw dzi grafu,»e s siednie kraw dzie maj ró»ne barwy. 50 / 126

51 Kolorowanie kraw dzi Denicja Niech dany b dzie graf G. Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw dzi grafu G nazywamy takie pomalowanie wszystkich kraw dzi grafu,»e s siednie kraw dzie maj ró»ne barwy. 51 / 126

52 Kolorowanie kraw dzi Powy»sza denicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego danego grafu? 52 / 126

53 Kolorowanie kraw dzi Powy»sza denicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego danego grafu? Denicja Najmniejsz liczb barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw dzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem χ(g). 53 / 126

54 Kolorowanie kraw dzi Jest rzecz oczywist,»e je±li najwi kszy stopie«wierzchoªka grafu G jest równy d, to χ(g) d. 54 / 126

55 Kolorowanie kraw dzi Jest rzecz oczywist,»e je±li najwi kszy stopie«wierzchoªka grafu G jest równy d, to χ(g) d. 55 / 126

56 Kolorowanie kraw dzi Twierdzenie Je»eli graf G ma nieparzyst liczb wierzchoªków i ka»dy wierzchoªek ma stopie«d > 0, to χ(g) > d. 56 / 126

57 Kolorowanie kraw dzi Denicja Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª czona kraw dzi nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem K n. 57 / 126

58 Kolorowanie kraw dzi Denicja Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª czona kraw dzi nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem K n. 58 / 126

59 Kolorowanie kraw dzi Denicja Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª czona kraw dzi nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem K n. Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi ciu wierzchoªkach. 59 / 126

60 Kolorowanie kraw dzi Twierdzenie Indeks chromatyczny grafu peªnego K n wynosi: ( n 1 je»eli n parzyste χ(k n) = n je»eli n nieparzyste 60 / 126

61 Kolorowanie kraw dzi Twierdzenie Indeks chromatyczny grafu peªnego K n wynosi: ( n 1 je»eli n parzyste χ(k n) = n je»eli n nieparzyste χ(k 4) = 3 χ(k 5) = 5 χ(k 7) = 7 61 / 126

62 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. 62 / 126

63 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. 63 / 126

64 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku 64 / 126

65 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku 65 / 126

66 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku Zakªadamy,»e jedna ekipa, u»ywaj c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona dokªadne jedn napraw. 66 / 126

67 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku Zakªadamy,»e jedna ekipa, u»ywaj c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona dokªadne jedn napraw. Nale»y opracowa taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª cznie trwaªy jak najmniejsz liczb dni. 67 / 126

68 Kolorowanie kraw dzi Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi za«jest pokazane na rysunku 68 / 126

69 Kolorowanie kraw dzi Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi za«jest pokazane na rysunku wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b d realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim. 69 / 126

70 Kolorowanie kraw dzi Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi za«jest pokazane na rysunku wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b d realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim. Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi χ(g) = 3, a zatem zgodnie z zaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszym ni» trzy dni. 70 / 126

71 Kolorowanie kraw dzi Inne rozwi zanie przedstawione jest na rysunku: 71 / 126

72 Kolorowanie kraw dzi Inne rozwi zanie przedstawione jest na rysunku: 72 / 126

73 Kolorowanie map Denicja Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw dzie mog mie co najwy»ej jeden punkt wspólny, b d cy wierzchoªkiem przylegªym do z tych kraw dziami. 73 / 126

74 Kolorowanie map Denicja Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw dzie mog mie co najwy»ej jeden punkt wspólny, b d cy wierzchoªkiem przylegªym do z tych kraw dziami. 74 / 126

75 Kolorowanie map 75 / 126

76 Kolorowanie map 76 / 126

77 Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. 77 / 126

78 Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw d¹ jest cz ±ci granicy dwóch ró»nych regionów. 78 / 126

79 Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw d¹ jest cz ±ci granicy dwóch ró»nych regionów. W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie. 79 / 126

80 Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw d¹ jest cz ±ci granicy dwóch ró»nych regionów. W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie. 80 / 126

81 Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw d¹ jest cz ±ci granicy dwóch ró»nych regionów. W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie. 81 / 126

82 Kolorowanie map Twierdzenie Map mo»na pokolorowa dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego. 82 / 126

83 Kolorowanie map Twierdzenie Map mo»na pokolorowa dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego. 83 / 126

84 Kolorowanie map Twierdzenie Map mo»na pokolorowa dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego. 84 / 126

85 Kolorowanie map 85 / 126

86 Kolorowanie map 86 / 126

87 Kolorowanie map Twierdzenie (O czterech kolorach, 1976) Ka»da mapa mo»e by pokolorowana wªa±ciwie co najwy»ej czterema kolorami. 87 / 126

88 Kolorowanie map 88 / 126

89 Kolorowanie map 89 / 126

90 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 90 / 126

91 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 91 / 126

92 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 92 / 126

93 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 93 / 126

94 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 94 / 126

95 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 95 / 126

96 Problem komiwoja»era Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton ( ) w 1859 roku. 96 / 126

97 Problem komiwoja»era Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton ( ) w 1859 roku. Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w grae spójnym, ale do dzi± nie s znane warunki konieczne pozwalaj ce stwierdzi w przypadku ogólnym,»e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona. 97 / 126

98 Problem komiwoja»era Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton ( ) w 1859 roku. Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w grae spójnym, ale do dzi± nie s znane warunki konieczne pozwalaj ce stwierdzi w przypadku ogólnym,»e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona. Twierdzenie Graf peªny, posiadaj cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona. 98 / 126

99 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. 99 / 126

100 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. 100 / 126

101 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. 101 / 126

102 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? 102 / 126

103 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 (n 1)! 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. 103 / 126

104 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 (n 1)! 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: 104 / 126

105 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 (n 1)! 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! = , czas oblicze«wynosi ok. 0.18s / 126

106 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? (n 1)! Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! = , czas oblicze«wynosi ok. 0.18s 2 dla n = 20 ilo± cykli wynosi (20 1)! 2 = czas oblicze«wynosi ok. 2 tys. lat. 106 / 126

107 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? (n 1)! Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! = , czas oblicze«wynosi ok. 0.18s 2 dla n = 20 ilo± cykli wynosi (20 1)! 2 = czas oblicze«wynosi ok. 2 tys. lat. Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny. 107 / 126

108 Problem komiwoja»era Rozwa»my sie dróg pomi dzy pi cioma miastami jak na rysunku: 108 / 126

109 Problem komiwoja»era Rozwa»my sie dróg pomi dzy pi cioma miastami jak na rysunku: 109 / 126

110 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126

111 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126

112 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126

113 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126

114 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126

115 Problem komiwoja»era 115 / 126

116 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126

117 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126

118 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126

119 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126

120 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126

121 Problem komiwoja»era W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowali rozwi zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA. 121 / 126

122 Problem komiwoja»era W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowali rozwi zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA. 122 / 126

123 Problem komiwoja»era W 1998 opublikowano rozwi zanie obejmuj ce miast USA / 126

124 Problem komiwoja»era W 1998 opublikowano rozwi zanie obejmuj ce miast USA / 126

125 ródªa plików gracznych / 126

126 Dzi kuj za uwag!!! 126 / 126

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie 2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie 8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na. Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 58

Teoria grafów i sieci 1 / 58 Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach 12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie 7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,

Bardziej szczegółowo

Stereometria (geometria przestrzenna)

Stereometria (geometria przestrzenna) Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy

Bardziej szczegółowo

10a: Wprowadzenie do grafów

10a: Wprowadzenie do grafów 10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinaj ce

Minimalne drzewa rozpinaj ce y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego

Bardziej szczegółowo

Podstawowepojęciateorii grafów

Podstawowepojęciateorii grafów 7 Podstawowepojęciateorii grafów Wiele sytuacji z»ycia codziennego mo»e by w wygodny sposób opisanych gracznie za pomoc rysunków skªadaj cych si ze zbioru punktów i linii ª cz cych pewne pary tych punktów.

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne 1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny sumaryczna liczba punktów (wypeªnia sprawdzaj cy) Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych.

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach. 1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Materiaªy do Repetytorium z matematyki Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}. Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d. 11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy

Bardziej szczegółowo

Grafy. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E.

Grafy. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E. Grafy 1. Denicja. Graf jest par G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchoªków, a E zbiorem kraw dzi. Kraw dzie s nieuporz dkowanymi parami wierzchoªków lub parami uporz dkowanymi (mówimy wtedy o grafach

Bardziej szczegółowo

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej.

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Paulina Michta V Liceum Ogólnoksztaªc ce im. Augusta Witkowskiego w Krakowie Opiekun: dr Jacek Dymel 2 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 188

Teoria grafów i sieci 1 / 188 Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów 18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010 WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych Algorytmy i struktury danych Cz ± druga Prowadz cy: dr Andrzej Mróz, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 1 / 82 Rekurencja Procedura (funkcja) rekurencyjna wywoªuje sam siebie.

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych 1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje 9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2 Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie

c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie Grafy i Grafy i 3: Spis zagadnie«grafy i drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci kodowanie Prüfera i zliczanie drzew etykietowanych (tw. Cayleya) drzewa drzewa zliczanie drzew binarnych (tw.

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawy matematyki dla informatyków Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt

Bardziej szczegółowo

Ukªady równa«liniowych

Ukªady równa«liniowych dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

O pewnym zadaniu olimpijskim

O pewnym zadaniu olimpijskim O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0, XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie fajne równania

Ekstremalnie fajne równania Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach

12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach 12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3:

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

tylko poprawne odpowiedzi, ale nie wszystkie 2 pkt poprawne i niepoprawne odpowiedzi lub brak zaznaczenia 0 pkt

tylko poprawne odpowiedzi, ale nie wszystkie 2 pkt poprawne i niepoprawne odpowiedzi lub brak zaznaczenia 0 pkt Wydziaª Matematyki i Informatyki UJ 14 wrze±nia 2017 TEST NA STUDIA DOKTORANCKIE Z INFORMATYKI Przed Pa«stwem test wielokrotnego wyboru. Po zapoznaniu si z pytaniami prosz zaznaczy w tabeli, na zaª czonej

Bardziej szczegółowo

Programowanie wspóªbie»ne

Programowanie wspóªbie»ne 1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,

Bardziej szczegółowo

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie

c Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie 4: Przeszukiwanie Grafów (, i zastosowania) Spis zagadnie«przeszukiwanie grafów (rola, schemat ogólny, zastosowania) realizacje (kolejka, stos, rekurencja) przeszukiwanie wszerz zastosowania przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13

WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13 WST P DO KRYPTOGRAFII Grzegorz Szkibiel Jesie«2012/13 Spis tre±ci 1 Protokoªy o zerowej wiedzy i przekazy nierozró»nialne 3 1.1 Kolorowanie mapy........................ 3 1.2 Logarytm dyskretny.......................

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

Niezmienniki i póªniezmienniki. Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel

Niezmienniki i póªniezmienniki. Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Niezmienniki i póªniezmienniki Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel 2 3 Problemy 1 Wprowadzenie Niniejsza praca jest zbiorem problemów zwi zanych

Bardziej szczegółowo

Szeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013

Szeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013 Wykªad nr 6 11 kwietnia 2013 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy

Bardziej szczegółowo

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017 i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Mierzalne liczby kardynalne

Mierzalne liczby kardynalne czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,

Bardziej szczegółowo

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Funkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Funkcje Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Uzasadnij,»e równanie x 3 + 2x 2 3x = 6 ma dwa niewymierne pierwiastki. Funkcja f dana jest wzorem f (x) = 2x + 1. Rozwi» równanie f (x +

Bardziej szczegółowo