Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
|
|
|
- Szymon Matuszewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
2 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2 / 126
3 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 3 / 126
4 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek Czy mo»liwe jest, aby wyruszy z dowolnej cz ±ci l dowej miasta przej± przez ka»dy z mostów dokªadnie jeden raz i powróci do punktu wyj±ciowego (bez przepªywania przez rzek )? 4 / 126
5 Mosty królewieckie Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 r. w Bazylei - Szwajcaria, zm. 18 wrze±nia 1783 r. w Petersburgu - Rosja) - szwajcarski matematyk, zyk i astronom, jeden z twórców nowoczesnej matematyki. 5 / 126
6 Mosty królewieckie 6 / 126
7 Mosty królewieckie 7 / 126
8 Mosty królewieckie 8 / 126
9 Mosty królewieckie 9 / 126
10 Mosty królewieckie 10 / 126
11 Podstawowe denicje Denicja Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª czonych kraw dziami. Ka»da kraw d¹ ma dwa ko«ce, które s wierzchoªkami w grae. 11 / 126
12 Podstawowe denicje Denicja Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª czonych kraw dziami. Ka»da kraw d¹ ma dwa ko«ce, które s wierzchoªkami w grae. 12 / 126
13 Podstawowe denicje Denicja Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª czonych kraw dziami. Ka»da kraw d¹ ma dwa ko«ce, które s wierzchoªkami w grae. 13 / 126
14 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 14 / 126
15 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 15 / 126
16 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 16 / 126
17 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 17 / 126
18 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 18 / 126
19 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 19 / 126
20 Podstawowe denicje Denicja Drog, w której»adna kraw d¹ si nie powtarza nazywamy drog prost. 20 / 126
21 Podstawowe denicje Denicja Drog, w której»adna kraw d¹ si nie powtarza nazywamy drog prost. 21 / 126
22 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 22 / 126
23 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 23 / 126
24 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 24 / 126
25 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 25 / 126
26 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 26 / 126
27 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 27 / 126
28 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 28 / 126
29 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 29 / 126
30 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 30 / 126
31 Podstawowe denicje Denicja Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo± kraw dzi wychodz cych z tego wierzchoªka. 31 / 126
32 Podstawowe denicje Denicja Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo± kraw dzi wychodz cych z tego wierzchoªka. 32 / 126
33 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 33 / 126
34 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 34 / 126
35 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 35 / 126
36 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 36 / 126
37 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 37 / 126
38 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 38 / 126
39 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 39 / 126
40 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 40 / 126
41 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 41 / 126
42 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 42 / 126
43 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 43 / 126
44 Cykl Eulera Twierdzenie (Euler, 1736) W grae istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie«parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si parzysta liczba kraw dzi. 44 / 126
45 Cykl Eulera Twierdzenie (Euler, 1736) W grae istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie«parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si parzysta liczba kraw dzi. 45 / 126
46 Mosty królewieckie 46 / 126
47 Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. 47 / 126
48 Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. Wiadomo,»e listonosz dor czaj c poczt musi przej± przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci na poczt. 48 / 126
49 Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. Wiadomo,»e listonosz dor czaj c poczt musi przej± przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci na poczt. Jak zaplanowa drog listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±nie pokonaª jak najkrótsz drog? 49 / 126
50 Kolorowanie kraw dzi Denicja Niech dany b dzie graf G. Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw dzi grafu G nazywamy takie pomalowanie wszystkich kraw dzi grafu,»e s siednie kraw dzie maj ró»ne barwy. 50 / 126
51 Kolorowanie kraw dzi Denicja Niech dany b dzie graf G. Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw dzi grafu G nazywamy takie pomalowanie wszystkich kraw dzi grafu,»e s siednie kraw dzie maj ró»ne barwy. 51 / 126
52 Kolorowanie kraw dzi Powy»sza denicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego danego grafu? 52 / 126
53 Kolorowanie kraw dzi Powy»sza denicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego danego grafu? Denicja Najmniejsz liczb barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw dzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem χ(g). 53 / 126
54 Kolorowanie kraw dzi Jest rzecz oczywist,»e je±li najwi kszy stopie«wierzchoªka grafu G jest równy d, to χ(g) d. 54 / 126
55 Kolorowanie kraw dzi Jest rzecz oczywist,»e je±li najwi kszy stopie«wierzchoªka grafu G jest równy d, to χ(g) d. 55 / 126
56 Kolorowanie kraw dzi Twierdzenie Je»eli graf G ma nieparzyst liczb wierzchoªków i ka»dy wierzchoªek ma stopie«d > 0, to χ(g) > d. 56 / 126
57 Kolorowanie kraw dzi Denicja Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª czona kraw dzi nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem K n. 57 / 126
58 Kolorowanie kraw dzi Denicja Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª czona kraw dzi nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem K n. 58 / 126
59 Kolorowanie kraw dzi Denicja Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª czona kraw dzi nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem K n. Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi ciu wierzchoªkach. 59 / 126
60 Kolorowanie kraw dzi Twierdzenie Indeks chromatyczny grafu peªnego K n wynosi: ( n 1 je»eli n parzyste χ(k n) = n je»eli n nieparzyste 60 / 126
61 Kolorowanie kraw dzi Twierdzenie Indeks chromatyczny grafu peªnego K n wynosi: ( n 1 je»eli n parzyste χ(k n) = n je»eli n nieparzyste χ(k 4) = 3 χ(k 5) = 5 χ(k 7) = 7 61 / 126
62 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. 62 / 126
63 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. 63 / 126
64 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku 64 / 126
65 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku 65 / 126
66 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku Zakªadamy,»e jedna ekipa, u»ywaj c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona dokªadne jedn napraw. 66 / 126
67 Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku Zakªadamy,»e jedna ekipa, u»ywaj c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona dokªadne jedn napraw. Nale»y opracowa taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª cznie trwaªy jak najmniejsz liczb dni. 67 / 126
68 Kolorowanie kraw dzi Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi za«jest pokazane na rysunku 68 / 126
69 Kolorowanie kraw dzi Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi za«jest pokazane na rysunku wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b d realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim. 69 / 126
70 Kolorowanie kraw dzi Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi za«jest pokazane na rysunku wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b d realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim. Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi χ(g) = 3, a zatem zgodnie z zaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszym ni» trzy dni. 70 / 126
71 Kolorowanie kraw dzi Inne rozwi zanie przedstawione jest na rysunku: 71 / 126
72 Kolorowanie kraw dzi Inne rozwi zanie przedstawione jest na rysunku: 72 / 126
73 Kolorowanie map Denicja Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw dzie mog mie co najwy»ej jeden punkt wspólny, b d cy wierzchoªkiem przylegªym do z tych kraw dziami. 73 / 126
74 Kolorowanie map Denicja Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw dzie mog mie co najwy»ej jeden punkt wspólny, b d cy wierzchoªkiem przylegªym do z tych kraw dziami. 74 / 126
75 Kolorowanie map 75 / 126
76 Kolorowanie map 76 / 126
77 Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. 77 / 126
78 Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw d¹ jest cz ±ci granicy dwóch ró»nych regionów. 78 / 126
79 Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw d¹ jest cz ±ci granicy dwóch ró»nych regionów. W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie. 79 / 126
80 Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw d¹ jest cz ±ci granicy dwóch ró»nych regionów. W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie. 80 / 126
81 Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw d¹ jest cz ±ci granicy dwóch ró»nych regionów. W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie. 81 / 126
82 Kolorowanie map Twierdzenie Map mo»na pokolorowa dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego. 82 / 126
83 Kolorowanie map Twierdzenie Map mo»na pokolorowa dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego. 83 / 126
84 Kolorowanie map Twierdzenie Map mo»na pokolorowa dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego. 84 / 126
85 Kolorowanie map 85 / 126
86 Kolorowanie map 86 / 126
87 Kolorowanie map Twierdzenie (O czterech kolorach, 1976) Ka»da mapa mo»e by pokolorowana wªa±ciwie co najwy»ej czterema kolorami. 87 / 126
88 Kolorowanie map 88 / 126
89 Kolorowanie map 89 / 126
90 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 90 / 126
91 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 91 / 126
92 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 92 / 126
93 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 93 / 126
94 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 94 / 126
95 Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 95 / 126
96 Problem komiwoja»era Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton ( ) w 1859 roku. 96 / 126
97 Problem komiwoja»era Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton ( ) w 1859 roku. Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w grae spójnym, ale do dzi± nie s znane warunki konieczne pozwalaj ce stwierdzi w przypadku ogólnym,»e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona. 97 / 126
98 Problem komiwoja»era Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton ( ) w 1859 roku. Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w grae spójnym, ale do dzi± nie s znane warunki konieczne pozwalaj ce stwierdzi w przypadku ogólnym,»e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona. Twierdzenie Graf peªny, posiadaj cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona. 98 / 126
99 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. 99 / 126
100 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. 100 / 126
101 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. 101 / 126
102 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? 102 / 126
103 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 (n 1)! 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. 103 / 126
104 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 (n 1)! 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: 104 / 126
105 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 (n 1)! 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! = , czas oblicze«wynosi ok. 0.18s / 126
106 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? (n 1)! Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! = , czas oblicze«wynosi ok. 0.18s 2 dla n = 20 ilo± cykli wynosi (20 1)! 2 = czas oblicze«wynosi ok. 2 tys. lat. 106 / 126
107 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? (n 1)! Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! = , czas oblicze«wynosi ok. 0.18s 2 dla n = 20 ilo± cykli wynosi (20 1)! 2 = czas oblicze«wynosi ok. 2 tys. lat. Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny. 107 / 126
108 Problem komiwoja»era Rozwa»my sie dróg pomi dzy pi cioma miastami jak na rysunku: 108 / 126
109 Problem komiwoja»era Rozwa»my sie dróg pomi dzy pi cioma miastami jak na rysunku: 109 / 126
110 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126
111 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126
112 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126
113 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126
114 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126
115 Problem komiwoja»era 115 / 126
116 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126
117 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126
118 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126
119 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126
120 Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: / 126
121 Problem komiwoja»era W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowali rozwi zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA. 121 / 126
122 Problem komiwoja»era W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowali rozwi zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA. 122 / 126
123 Problem komiwoja»era W 1998 opublikowano rozwi zanie obejmuj ce miast USA / 126
124 Problem komiwoja»era W 1998 opublikowano rozwi zanie obejmuj ce miast USA / 126
125 ródªa plików gracznych / 126
126 Dzi kuj za uwag!!! 126 / 126
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za
c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie
8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie
Teoria grafów i sieci 1 / 58
Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo
Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza
165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie
Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska
Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów
Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.
c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie
7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,
Stereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
10a: Wprowadzenie do grafów
10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci
Minimalne drzewa rozpinaj ce
y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego
Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB.
Biedronka Pªot ma D cm dªugo±ci i zbudowany jest z desek zako«czonych trójk tami równoramiennymi, poª czonych ze sob w jedn caªo±. Dªugo± ramienia ka»dego z trójk tów stanowi P % dªugo±ci podstawy. Po
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Podstawowepojęciateorii grafów
7 Podstawowepojęciateorii grafów Wiele sytuacji z»ycia codziennego mo»e by w wygodny sposób opisanych gracznie za pomoc rysunków skªadaj cych si ze zbioru punktów i linii ª cz cych pewne pary tych punktów.
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Wojewódzki Konkurs Matematyczny
sumaryczna liczba punktów (wypeªnia sprawdzaj cy) Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych.
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.
1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat
Wojewódzki Konkurs Matematyczny
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok
Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.
Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.
Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona
Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.
11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy
Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009
Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie
Grafy. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E.
Grafy 1. Denicja. Graf jest par G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchoªków, a E zbiorem kraw dzi. Kraw dzie s nieuporz dkowanymi parami wierzchoªków lub parami uporz dkowanymi (mówimy wtedy o grafach
Algorytmy i Struktury Danych
Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Wykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej.
Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Paulina Michta V Liceum Ogólnoksztaªc ce im. Augusta Witkowskiego w Krakowie Opiekun: dr Jacek Dymel 2 1 Wprowadzenie
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Teoria grafów i sieci 1 / 188
Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem
Algorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje
9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany
Algorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych Cz ± druga Prowadz cy: dr Andrzej Mróz, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 1 / 82 Rekurencja Procedura (funkcja) rekurencyjna wywoªuje sam siebie.
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2
Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Egzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie
Grafy i Grafy i 3: Spis zagadnie«grafy i drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci kodowanie Prüfera i zliczanie drzew etykietowanych (tw. Cayleya) drzewa drzewa zliczanie drzew binarnych (tw.
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz
Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia
O pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach
12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3:
1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
![1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,](/thumbs/93/111864182.jpg "1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,")
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie
Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania
Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem
Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
tylko poprawne odpowiedzi, ale nie wszystkie 2 pkt poprawne i niepoprawne odpowiedzi lub brak zaznaczenia 0 pkt
Wydziaª Matematyki i Informatyki UJ 14 wrze±nia 2017 TEST NA STUDIA DOKTORANCKIE Z INFORMATYKI Przed Pa«stwem test wielokrotnego wyboru. Po zapoznaniu si z pytaniami prosz zaznaczy w tabeli, na zaª czonej
Programowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
c Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie
4: Przeszukiwanie Grafów (, i zastosowania) Spis zagadnie«przeszukiwanie grafów (rola, schemat ogólny, zastosowania) realizacje (kolejka, stos, rekurencja) przeszukiwanie wszerz zastosowania przeszukiwanie
Strategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13
WST P DO KRYPTOGRAFII Grzegorz Szkibiel Jesie«2012/13 Spis tre±ci 1 Protokoªy o zerowej wiedzy i przekazy nierozró»nialne 3 1.1 Kolorowanie mapy........................ 3 1.2 Logarytm dyskretny.......................
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
XIII KONKURS MATEMATYCZNY
XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania
Niezmienniki i póªniezmienniki. Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Niezmienniki i póªniezmienniki Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel 2 3 Problemy 1 Wprowadzenie Niniejsza praca jest zbiorem problemów zwi zanych
Szeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013
Wykªad nr 6 11 kwietnia 2013 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Mierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie