Warszawa 7
Cel ćwiczeia rachuowego Podczas ćwiczeia poruszae będą asępujące zagadieia: obliczaie odpowiedzi impulsowej i soowej uładu; wyzaczeia charaerysy częsoliwościowych (ampliudowo-fazowej oraz logarymiczej: modułu i fazy) uładu. Celem ćwiczeia jes zdobycie umiejęości prayczej realizacji powyższych zagadień. Wymagaia wsępe Przed rozpoczęciem ćwiczeń sude zobowiązay jes do zapozaia się z reścią iiejszej isrucji. W szczególości isoe jes posiadaie wiedzy eoreyczej z zaresu poruszaego podczas ćwiczeia rachuowego. Poado sude zobowiązay jes prześledzić ze zrozumieiem wszysie zamieszczoe przyłady, aby wiedzieć w jai sposób rozpocząć rozwiązywaie zadań podczas ćwiczeń. W przypadu posiadaia wąpliwości po zapozaiu się z reścią isrucji w celu ich wyjaśieia zaleca się osulacje się z prowadzącym przed ermiem ćwiczeń rachuowych. 3 Obliczaie odpowiedzi impulsowej i soowej Aalizując i projeujące ułady serowaia, musimy mieć możliwość porówywaia ich właściwości. W ym celu sosuje się oreśloe esowe sygały wejściowe, umożliwiające porówywaie odpowiedzi badaych uładów a e sygały. Wiele meod projeowaia oparo a aich sygałach lub a odpowiedziach uładów a zmiay waruów począowych bez żadych sygałów esowych). Wyorzysaie sygałów esowych wyia z ego, że isieje orelacja pomiędzy odpowiedziami uładu a ypowy sygał wejściowy, a zdolością uładu do radzeia sobie z rzeczywisymi sygałami wejściowymi. Powszechie wyorzysywaymi esowymi sygałami wejściowymi są fucje: soowa, liiowa, impulsowa, siusoidala, ip. Dla ych sygałów moża ławo przeprowadzić aalizę maemayczą i esperymealą uładów serowaia, poieważ sygały e są bardzo prosymi fucjami do wygeerowaia. Poado przeszałceie Laplace a umożliwia wyzaczeie rasmiacji operaorowej liiowego uładu, óra rówież oreśla własości dyamicze uładu (model) iezależie od rodzaju sygału wejściowego. rasmiacja operaorowa jes bardzo wygoda dla aalizy pracy liiowych uładów i dlaego jes powszechie sosowaa. Umożliwia oa rówież przedsawieie zasadiczych cech uładów w posaci graficzej, pozwalającej a pierwszy rzu oa oceić właściwości dyamicze. Biorąc pod uwagę dziedzię, w jaiej przedsawia się e właściwości, moża wyróżić: charaerysyi czasowe; charaerysyi częsoliwościowe. ZAiUL WML WA
Charaerysyi czasowe dają możliwość (w odiesieiu do uładów jedowymiarowych) bezpośrediej ocey uładu, poieważ charaerysya czasowa jes przebiegiem w czasie odpowiedzi uładu dyamiczego y() a oreśloe wymuszeie x(). Najczęściej sosowaymi wymuszeiami są: So jedosowy () (zw. fucja Heaviside a) mówimy wówczas o odpowiedzi (charaerysyce) soowej h(): x dla dla Impuls Diraca () (zw. fucja wagi uładu) mówimy wówczas o odpowiedzi (charaerysyce) impulsowej g(): x g dla dla Charaerysyą (odpowiedzią) soową uładu dyamiczego azywamy odpowiedź uładu a wymuszeie w posaci sou jedosowego przy zerowych waruach począowych modelu. Odpowiedź soową uładu dyamiczego wyzacza się ze wzoru: Gs () L h s () W zależości od modelu uładu (model zmieych sau lub model rasmiacyjy) wyzaczeie charaerysyi soowej polega a rozwiązaiu rówań zmieych sau dla wymuszeia () lub zalezieiu rasformay odwroej rasmiacji obieu, pomożoej przez rasformaę operaorową fucji (). Oczywiście, rodzaj sosowaej rasformay operaorowej zależy od charaeru badaego uładu (ciągły lub dysrey). Charaerysya soowa poazuje, w jai sposób zachowuje się uład przy ciągłym dosarczaiu mu sałych porcji eergii. Odpowiedź soową moża wyzaczyć rówież doświadczalie. Zajomość odpowiedzi a so jedosowy h() pozwala wyzaczyć jego odpowiedź a dowoly sygał wejściowy x(), z zależości zwaej całą Duhamela: lub y y h x h x d h x h x d ZAiUL WML WA 3
Charaerysyą impulsową uładu dyamiczego azywamy odpowiedź uładu a wymuszeie w posaci impulsu Diraca przy zerowych waruach począowych modelu. Odpowiedź impulsowa daa jes wzorem: g L G s () W zależości od modelu uładu (model zmieych sau lub model rasmiacyjy) wyzaczeie charaerysyi impulsowej polega a rozwiązaiu rówań zmieych sau dla wymuszeie () lub zalezieiu rasformay odwroej rasmiacji obieu pomożoej przez rasformaę operaorową fucji (). Oczywiście, rodzaj sosowaej rasformay operaorowej zależy od charaeru badaego uładu (ciągły lub dysrey). W przypadu uładu dysreego ależy pamięać o ym, że impuls Diraca jes zasępoway impulsem jedosowym. Charaerysya impulsowa poazuje, w jai sposób zachowuje się uład przy jedorazowym dosarczaiu mu jedosowej porcji eergii. Pomiędzy omawiaymi charaerysyami (gdy rząd względy fucji wymierej, z órej ma być obliczoa rasformaa jes więszy od zera)zachodzą asępujące związi: oraz d g h dla h()= (3) d h Odpowiedź impulsowa jes więc pochodą odpowiedzi soowej. Zając odpowiedź impulsowa g(), moża wyzaczyć, orzysając z wierdzeia o splocie, odpowiedź y() uładu a dowole wymuszeie x(): y g d g x g x d g x * d 4 Odwroe przeszałceie Laplace a Ja wyia ze wzorów () i () odpowiedzi soowe oblicza się z wyorzysaiem odwroego przeszałceia Laplace a z. zając fucję zmieej zespoloej F(s), ależy wyzaczyć fucję f(), dla órej F(s) jes obrazem. Zachodzą asępujące pyaia: ja wyzaczyć orygiał f(), zając jego rasformaę (obraz) F(s)? czy ażdej rasformacie odpowiada ylo jede orygiał? jaie warui powia spełić fucja F(s) zmieej zespoloej s = u + jv, aby była rasformaą? ZAiUL WML WA 4
4. Defiicja odwroego przeszałceia Laplace a F s e s f d (4) Jeżeli fucja f() jes rozwiązaiem rówaia (4), o e fa będziemy zapisywać w posaci wzoru: f s óry azwiemy odwroym przeszałceiem Lapalce a. L F (5) Jeżeli fucja F(s) jes rasformaą orygiału f() o wyładiu wzrasaia m, o w ażdym pucie ciągłości fucji f() zachodzi wzór: f j j s Fse ds lim Fs j j j j e s ds (6) gdzie: Re s = > m. Ze wzoru (6), óry azywamy wzorem Mellia-Fouriera, wyia, że jeżeli dwa orygiały f () i f () mają ę samą rasformaę, o orygiały f () i f () mogą być róże ylo w swoich puach ieciągłości, aomias poza ymi puami są ideycze. Jeżeli fucja F(s) spełia warui: Jes fucją aaliyczą w półpłaszczyźie Re s > > m ; lim Fs ; Re s j Cała Fs j e s ds jes bezwzględie zbieża; o fucja F(s) jes rasformaą, a jej orygiał ma posać: f j j F j s e s ds (7) 4. Właściwości odwroej rasformay Laplace a:. liiowość: L F ( s) F ( s) L F ( s) L F ( s) f ( ) f ( ) (8). jedorodość: L cf s cl F s cf ( ) ( ) (9) ZAiUL WML WA 5
4.3 Meody obliczaia odwroej rasformay Laplace a wierdzeie o rozładzie Orygiał rasformay F(s) jes rówy sumie residuów fucji F(s)e s s,s,,s (dla sopia miaowia więszego od sopia m liczia), czyli: w bieguach L s () s f L F s L res F s e M s ss Residuum fucji F(s) jes w bieguie s o roości i oblicza się ze wzoru: s d res F s e lim F s s s e ss ss i i i s i! ds () a dla jedoroego biegua ze wzoru uproszczoego: ss s res F s e F s s s e () s lim ss Wzór Heaviside a Jeżeli F(s) jes fucją wymierą oraz >m: F s m Ls () bms b s... b s b M ( s) a s a s... a s a m m (3) a rówaie M(s)= ma jedoroe pierwiasi s,s,,s będące bieguami jedoroymi fucji F(s), o a podsawie wzoru oreślającego residuum moża apisać: s L() s e L s s s s res e (4) ss M () s M s ss dla =,,,. W powyższym wyrażeiu ależy ajpierw podzielić M(s) przez (s-s ), a asępie podsawić s=s (iaczej orzyma się wyrażeie ieozaczoe): s L() s e L s e res ss M () s M s s (5) Na podsawie wierdzeia o rozładzie moża apisać wzór Heaviside a: Ls () s s f L Ae Ae... Ae M() s s (6) przy czym: A L s s s L s lim ss M s M s (7) ZAiUL WML WA 6
Pierwiasi zespoloe Pierwiasi rówaia M(s)=, będące bieguami fucji wymierej F(s), są rzeczywise lub zespoloe sprzężoe. Niech s,s + ozaczają parę sprzężoych pierwiasów zespoloych (jedoroych) rówaia M(s)=, wedy: s j s j (8) Zgodie ze wzorem Heaviside a współczyi A, A + moża przedsawić w posaci wyładiczej: A L s s j j Ae (9) M s ss A L s s j j Ae () M s wobec czego suma sładiów odpowiadających pierwiasom s,s + we wzorze Heavisidea a wyosi: Pierwiasi wieloroe ss s s s Re A e A e A e () Jeżeli rówaie M(s)= posiada pierwiasi wieloroe s,s,,s i oraz pierwiasi jedoroe s i+,s i+,,s o załadając >m rasformaę odwroą oblicza się jao: L( s) L( s) e f L res A e Meoda rozładu a ułami prose i s s () M ( s) ss M ( s) i Jeżeli rasformaa F(s)=L(s)/M(s) jes fucją wymierą, gdzie: L(s) = b l s l + b l s l + + b s + b (3) M(s) = s + a s + + a s + a (4) przy czym l < oraz wszysie współczyii a,, a -,, b,, b l są liczbami rzeczywisymi, o jedą z meod wyzaczaia fucji f() jes meoda opara a zaym z algebry rozładzie fucji wymierej a ułami prose i wyoaiu odwroego przeszałceia Lapalce a L - ażdego z ułamów z osoba. Po rozłożeiu miaowia M(s) a czyii sopia pierwszego orzymujemy: M(s) = (s s ) α (s s ) α (s s ) α (5) ZAiUL WML WA 7
gdzie s, s,, s są pierwiasami, ogólie biorąc, zespoloymi o roościach rówych odpowiedio α, α,, α (jes ich różych), przy czym: α + α + α = (6) Rozład (5) będziemy azywać rozładem zespoloym. Jeśli N ozacza liczbę różych pierwiasów rzeczywisych wielomiau M(s), o: N + = (7) gdzie jes liczbą różych par pierwiasów sprzężoych. Zaem orzymamy rozład fucji wymierej a ułami prose o posaci: L(s) M(s) = C s s + C (s s ) + + C α (s s ) α + C s s + C (s s ) + + C α C α (s s ) α + + + C + C + + = α i C i s s (s s ) (s s ) α i= = (8) (s s i ) przy czym współczyii C i są, ogólie biorąc, zespoloe. Moża je wyliczyć w zay sposób, sprowadzając prawą sroę wzoru (8) do wspólego miaowia M(s) i przyrówując ożsamościowo liczii. Uwzględiając wzór: f() = L(s ) M () (s ) es = dla mamy: L [ (s s i ) ] = ( )! es i (9) Dla dowolych zespoloych s i, wyoując odwroe przeszałceie Laplace a obu sro rówości (8), orzymujemy ogóly wzór w posaci: L [ L(s) ] = α i C i M(s) i= = e s i (3) ( )! Współczyii C i moża rówież obliczyć bezpośredio ze wzoru: gdzie: =,,, α i ; i=,,,. C i = lim dαi (α i )! s s i α d i [ L(s) (s s M(s) i) α i] (3) s W prayce iżyiersiej ajczęściej spoyamy się z przypadiem, iedy wszysie pierwiasi s i miaowia M(s) są pojedycze. Poieważ wszysie współczyii α i dla ego przypadu są rówe jedości, o możemy zapisać α i =; i=,,, =, zaem wszysie sumy względem wsaźia (wzór 5) oraz (wzór (3)) reduują się do pojedyczych wyrazów dla =. Ozaczając C i =C i, orzymujemy rozład a ułami prose w posaci: L(s) = C + C + + C C = i M(s) s s s s s s i= (3a) ZAiUL WML WA 8 s s i
oraz dla wieloroych pierwiasów: L(s) M(s) = C (s s i ) + C (s s i ) + C 3 (s s i ) + + C s s i (3b) Poieważ >, po wyoai odwroego przeszałceia Laplace a L - rówości (3a) dla przypadu pojedyczych pierwiasów s i orzymujemy: L [ L(s) ] = C M(s) i= i e s i (33) Współczyii możemy obliczać, sprowadzając prawą sroę wzoru (3a) do wspólego miaowia, lub ze wzoru ogólego (3), óry przybiera posać: a dla przypadu wieloroych pierwiasów s i : C i = L(s) M(s) (s s i) s=si (34) C i = i [dα (α i )! α d i ( L(s) (s s M(s) i) α i)] (35) s s=s i 5 Charaerysyi częsoliwościowe W doychczasowych rozważaiach elemey liiowe auomayi charaeryzowae były między iymi przez odpowiedzi a sygał soowy. Poiższe zagadieia będą doyczyły ylo elemeu liiowego, a órego wejście podao sygał harmoiczy x() = A () si(). Wówczas sygał odpowiedzi uładu ma rówież przebieg harmoiczy opisay zależością y() = A () si(+). Schema aiego uładu przedsawioo a rys.. Rys.. Ogóly symbol graficzy elemeu liiowego ZAiUL WML WA 9
Moża o przedsawić graficzie jao odpowiedie rzuy weorów A i A a oś x i y, wirujących z prędością ąową - rys.. Rys.. Przebiegi czasowe wymuszeia x() i odpowiedzi y() Wyróżia się asępujące rodzaje charaerysy częsoliwościowych uładu:. charaerysyę ampliudowo-fazową;. charaerysyę ampliudową; 3. charaerysyę ampliudową; 4. charaerysyę fazową; 5. charaerysyi logarymicze (ampliudową i fazową). Charaerysyą ampliudowo fazową F af () ciągłego uładu liiowego opisaego rasmiacją operaorową G(j) azywamy fucję zespoloą zmieej rzeczywisej, w órej warości są oreśloe asępującym wzorem: ( ) G j P( ) jq( F af ) Rys.3. Charaerysya ampliudowo - fazowa rasmiacja widmowa dla ażdej pulsacji, p. =, jes liczbą zespoloą, a więc wyzacza a płaszczyźie P(), jq() pu o współrzędych P( ), Q( ). Pu e jes ońcem weora G(j ) o długości M( ) i ącie achyleia ( ). ZAiUL WML WA
Charaerysya ampliudowo fazowa jes więc miejscem geomeryczym puów, jaie zareśla oiec weora G(j) a płaszczyźie zmieej zespoloej przy zmiaie pulsacji sygału wejściowego od do. Charaerysya ampliudowo fazowa uładu rzeczywisego, dla órego sopień wielomiau liczia rasmiacji jes iższy od sopia wielomiau miaowia, dążą do począu uładu współrzędych: G ( j), gdy Charaerysyą ampliudową F a () ciągłego uładu liiowego opisaego rasmiacją operaorową G(j) azywamy fucję rzeczywisą zmieej rzeczywisej, órej warości są oreśloe asępującym wzorem: F a ( ) G j Charaerysyą fazową F f () ciągłego uładu liiowego opisaego rasmiacją operaorową G(j) azywamy fucję rzeczywisą zmieej rzeczywisej, órej warości są oreśloe asępującym wzorem: F f ( ) arg G j Charaerysyi ampliudowa i fazowa, wyreśloe w uładach współrzędych, w órych oś odcięych wyrażoa jes w sali logarymiczej azywamy charaerysyami logarymiczymi L( ) log G j log M Rys.4. Charaerysyi logarymicze: ampliudowa i fazowa ZAiUL WML WA
6 Charaerysyi czasowe i częsoliwościowe podsawowych elemeów auomayi 6. Elemey iercyje i beziercyje Elemeem iercyjym pierwszego rzędu azywać będziemy eleme opisay rówaiem różiczowym o posaci: y y u gdzie: współczyi wzmocieia oreśloy jao sosue odpowiedzi y do wymuszeia u w saie usaloym, sała czasowa. i rasmiacją operaorową posaci: G( s) s Szczególym przypadiem elemeu iercyjego pierwszego rzędu dla = jes eleme beziercyjy (proporcjoaly, wzmaciający). Elemeem beziercyjym azywać będziemy eleme opisay rówaiem algebraiczym o posaci: i rasmiacja operaorową posaci: y u G( s) Charaerysya ampliudowo-fazowa jes wyresem rasmiacji widmowej: G( j) j órą orzymujemy z rasmiacji operaorowej G( s) podsawiając s = j. s Charaerysya a ma posać półoręgu o średicy, położoego w czwarej ćwiarce (rys.5b). Zależość oreślającą logarymiczą charaerysyę ampliudową L( ) lg G( j) lg ( ) moża aprosymować wyrażeiem: lg dla L( ) lg lg dla ZAiUL WML WA
Asympoycza logarymicza charaerysya ampliudowa ma więc posać łamaej złożoej z dwóch półprosych (rys.5c). Puem załamaia ej charaerysyi jes pu = /. Najwięsza różica między logarymiczą charaerysyą ampliudową rzeczywisą i asympoyczą wysępuje w pucie załamaia i wyosi: lg ( ) lg lg 3dB Logarymiczą charaerysyę fazową elemeu iercyjego pierwszego rzędu (rys.5d) oreśla wzór: ( ) arg G( j) arcg a) c) h() L() db 3dB rzeczywisa asympoycza =/ b) d) Q() = / = φ=45 P() φ() -45 -/ =/ G(j)=P()+jQ() -9 Rys.5. Charaerysyi elemeu iercyjego pierwszego rzędu: a) soowa, b) ampliudowo-fazowa, c) logarymicza ampliudowa, d) logarymicza fazowa Charaerysyę soową, ampliudowo-fazową oraz logarymicze charaerysyi ampliudową i fazową elemeu beziercyjego przedsawia rys.6. Charaerysya ampliudowo-fazowa elemeu beziercyjego jes puem położoym dla > a dodaiej, a dla < a ujemej półosi liczb rzeczywisych (rys.6b). Logarymicza charaerysya ampliudowa elemeu beziercyjego (rys.6c) ma warość sałą rówą lg, a logarymicza charaerysya fazowa (rys.6d) przyjmuje warość dla > oraz -8 dla <. ZAiUL WML WA 3
a) c) h() h()=*() L() db lg lg() b) Q() d) φ() < > P() φ()= (>) lg() -8 φ()=-8 (<) Rys.6. Charaerysyi elemeu beziercyjego: a) soowa, b) ampliudowo-fazowa, c) logarymicza ampliudowa, d) logarymicza fazowa 6. 4.. Elemey całujące Elemeem całującym z iercją azywać będziemy eleme auomayi opisay rówaiem różiczowym o posaci:, y y u gdzie: współczyi wzmocieia prędościowego, oreśloy jao sosue pochodej odpowiedzi y do wymuszeia u w saie usaloym, sała czasowa. i rasmiacji operaorowej posaci: G( s) s( s) Szczególym przypadiem elemeu całującego z iercją dla = jes eleme całujący zway idealym elemeem całującym. Elemeem całującym azywać będziemy eleme auomayi opisay rówaiem różiczowym o posaci: i rasmiacją operaorową posaci: y u G( s) ZAiUL WML WA 4 s
Charaerysyę soową, ampliudowo-fazową oraz charaerysyi logarymicze ampliudową i fazową elemeu całującego z iercją przedsawia rys.7. h() a) c) L() db h()=-(-e -/ ) =/ 3dB α gα= b) Q() d) φ() - = P() =/ -9-35 φ()=-9 -arcg = -8 Rys.7. Charaerysyi człou całującego z iercją: a) soowa, b) ampliudowo-fazowa, c) logarymicza ampliudowa, d) logarymicza fazowa Charaerysyę ampliudowo-fazową elemeu całującego z iercją przedsawia rys.7b, będącą wyresem rasmiacji widmowej: G( j) P( ) jq( ) j( j ) gdzie: P( ), ( ) Q ) [ ( ) ( ] Zależość oreślającą logarymiczą charaerysyę ampliudową: moża aprosymować wyrażeiem: L( ) lg G( j) lg ( ) lg lg L ( ) lg 4lg ZAiUL WML WA 5
Asympoycza logarymicza charaerysya ampliudowa ma więc posać łamaej złożoej z dwóch półprosych (rys.7c). Puem załamaia ej charaerysyi jes pu = /. Najwięsza różica między logarymiczą charaerysyą ampliudową rzeczywisą i asympoyczą wysępuje w pucie załamaia i wyosi: lg (lg lg ) lg 3dB / ( ) Logarymiczą charaerysyę fazową elemeu całującego z iercją (rys.7d) oreśla wzór: ( ) arg G( j) 9 arcg. Charaerysyę soową, ampliudowo-fazową oraz logarymicze charaerysyi ampliudową i fazową elemeu całującego przedsawia rys.8. h() a) c) L() db h()= lg lg - gα= b) Q() d) = P() φ() -9 φ()=-9 = Rys.8. Charaerysyi elemeu całującego z iercją: a) soowa, b) ampliudowo-fazowa, c) logarymicza ampliudowa, d) logarymicza fazowa Charaerysya ampliudowo fazowa ego elemeu, będąca wyresem rasmiacji widmowej: G( j) j porywa się z ujemą półosią urojoą (rys.8b). ZAiUL WML WA 6
Logarymicza charaerysya ampliudowa, oreśloa zależością: L ( ) lg G( j) lg lg jes liią prosą o współczyiu ieruowym db/deadę, óra przecia oś odcięych w pucie = (rys.8c). Logarymicza charaerysya fazowa (rys.8d) jes oreśloa zależością: ( ) arcg ( j) 9 6.3 Elemey różiczujące Elemeem różiczującym z iercją (lub rzeczywisym elemeem różiczującym) azywać będziemy eleme auomayi opisay rówaiem różiczowym o posaci: y y u, gdzie: współczyi wzmocieia, oreśloy jao sosue odpowiedzi y do pochodej wymuszeia u w saie usaloym, sała czasowa. i o rasmiacji operaorowej posaci: s G( s) s Szczególym przypadiem człou różiczującego z iercją dla = jes eleme różiczujący idealy, óry róo azywać będziemy elemeem różiczującym. Elemeem różiczującym azywać będziemy eleme auomayi opisay rówaiem o posaci: i rasmiacji operaorowej posaci: y u G( s) s Charaerysyę soową, ampliudowo fazową oraz charaerysyi logarymicze ampliudową i fazową elemeu różiczującego z iercją przedsawia rys.9. Charaerysya ampliudowo fazowa elemeu różiczującego z iercją jes wyresem rasmiacji widmowej o posaci: przy czym: j G( j) P( ) jq( ), j P( ) ( ), Q( ) ( ) ZAiUL WML WA 7
a) c) h() / L() db asympoycza 3dB h()=(/)e -/ rzeczywisa =/ b) Q() d) φ() 9 / =/ φ()=9 -arcg 45 = 45 / = / P() =/ Rys.9. Charaerysyi elemeu różiczującego z iercją: a) soowa, b) ampliudowo-fazowa, c) logarymicza ampliudowa, d) logarymicza fazowa Charaerysya a ma posać półoręgu położoego w pierwszej ćwiarce o średicy / i środu w pucie (/,) (rys.9b). Zależość, oreślającą logarymiczą charaerysyę ampliudową: L( ) lg G( j) lg ( ) moża aprosymować wyrażeiem: l lg lg L ( ) lg Asympoycza logarymicza charaerysya ampliudowa ma więc posać łamaej złożoej z dwóch półprosych (rys.9c). Puem załamaia ej charaerysyi jes pu = /. Najwięsza różica między logarymiczą charaerysyą ampliudową rzeczywisą i asympoyczą wysępuje w pucie załamaia i wyosi: lg (lg lg ) lg 3dB / ( ) ZAiUL WML WA 8
Logarymiczą charaerysyę fazową elemeu różiczującego z iercją (rys.9d) oreśla wzór: ( ) arcg( j) 9 arcg Charaerysyę soową, ampliudowo fazową oraz logarymicze charaerysyi ampliudową i fazową elemeu różiczującego przedsawia rys.. h() a) c) L() db h()=δ() lg + =/ b) Q() = d) φ() -G(j)=j 9 φ()=9 = P() Rys.. Charaerysyi człou różiczującego: a) soowa, b) ampliudowo-fazowa, c) logarymicza ampliudowa, d) logarymicza fazowa Charaerysya ampliudowo fazowa ego człou, będąca wyresem rasmiacji widmowej: G( j) j porywa się z dodaią półosią urojoą (rys.b). Logarymicza charaerysya ampliudowa, oreśloa zależością: L ( ) lg G( j) lg lg jes liią prosą o współczyiu ieruowym db/deadę, przeciającą oś odcięych w pucie = / (rys.c). Logarymiczą charaerysyę fazową elemeu różiczującego (rys.c) oreśla zależość: ( ) arcg ( j) 9 ZAiUL WML WA 9
6.4 Eleme oscylacyjy Elemeem oscylacyjym (drugiego rzędu) azywać będziemy eleme auomayi opisay rówaiem różiczowym o posaci: y ( y y u lub y y y u gdzie: ores drgań własych ie łumioych, = / pulsacja drgań własych ie łumioych, - względy współczyi łumieia (<<), współczyi wzmocieia oreśloy jao sosue odpowiedzi y do wymuszeia u w saie usaloym. oraz rasmiacji operaorowej posaci: a po podsawieiu / : G( s) s G( s) s s s Zauważmy, że dla << bieguy rasmiacji G( s) s s rówaia: M ( s ) s s, czyli pierwiasi są zespoloe sprzężoe o ujemej części rzeczywisej: s ( j ), ( j ). s Dla bieguy s i s są rzeczywise i eleme oscylacyjy saje się elemeem iercyjym drugiego rzędu. Charaerysyę ampliudowo fazową przedsawia rys.. Charaerysya ampliudowo fazowa elemeu oscylacyjego jes wyresem rasmiacji widmowej o posaci: G j) P( ) jq( ) j, ( 3 ( ) gdzie: P( ) ( ) ( ), Q( ) ( ) ( ). ZAiUL WML WA
h() Q() A m ζ=,4 =,7 = P() = L() db ζ= - 3dB asympoycza - 4 db/de φ() -9 ζ=, r -8 Rys.. Charaerysyi człou oscylacyjego: a) soowa, b) ampliudowo - fazowa Charaerysyę ę dla rzech różych warości przedsawia rys.b. Zależość, oreślającą logarymiczą charaerysyę ampliudową: L( ) lg G( j) lg ( ) ( ) dla,4, 6 moża aprosymować wyrażeiem: lg L( ) lg 4lg W ym przypadu asympoycza logarymicza charaerysya ampliudowa ma więc posać łamaej złożoej z dwóch półprosych. Logarymicza charaerysya fazowa elemeu oscylacyjego oreśloa jes zależością: ( ) arcg ( j) arcg 6.5 Eleme opóźiający Elemeem opóźiającym azywać będziemy eleme auomayi opisay rówaiem o posaci: y ) u( ) ( gdzie: współczyi wzmocieia oreśloy jao sosue odpowiedzi y do wymuszeia u dla >, czas opóźieia. ZAiUL WML WA
i o rasmiacji operaorowej posaci: G( s) s e. a) c) h() L() db h()=(- ) lg b) Q() =(+3/)π/ d) φ() =π/ =π/ =(+)π/ =π/ P() -9 G(j)=e -j =(+½)π/ -8 φ()= Rys.. Charaerysyi elemeu opóźiającego: a) soowa, b) ampliudowo fazowa c) logarymicza ampliudowa, d) logarymicza fazowa Charaerysya ampliudowo fazowa ego człou, będąca wyresem rasmiacji widmowej: G( j) e j ma posać oręgu o promieiu i środu w począu uładu współrzędych (rys.b). Logarymicza charaerysya ampliudowa ego człou, oreśloa zależością: L( ) lg ma posać prosej poziomej (rys. c), a logarymicza charaerysya fazowa, oreśloa zależością: maleje ze wzrosem pulsacji (rys.d). ( ) arg G( j) ZAiUL WML WA
6.6 Eleme forsujący Elemeem forsujący różiczowym o posaci: azywać będziemy eleme auomayi opisay rówaiem y y u gdzie: sała oraz rasmiacji operaorowej posaci: G ( s) s Praycza realizacja aiego elemeu jes iemożliwa ze względu a wysępowaie w uładach rzeczywisych iercji. Dlaego eż, do dalszej aalizy, ależałoby przyjąć, że przedsawioe charaerysyi mają charaer idealy. Charaerysyę ampliudowo fazową i charaerysyi logarymicze elemeu forsującego przedsawia rys.3. a) h() c) L() db + db/de asympoycza rzeczywisa =/ b) Q() = d) φ() 9 φ()=arcg 45 = P() =/ Rys.3. Charaerysyi forsującego: a) soowa, b) ampliudowo - fazowa Charaerysya ampliudowo fazowa elemeu forsującego jes wyresem rasmiacji widmowej o posaci: G( j) j, Moduł rasmiacji widmowej oreśloy jes zależością; G( j), ZAiUL WML WA 3
aomias argume; ( ) arcg, Zależość, oreślającą logarymiczą charaerysyę ampliudową: L ( ) lg G( j) lg Charaerysyę ę moża aprosymować wyrażeiem: dla L( ) lg dla W ym przypadu asympoycza logarymicza charaerysya ampliudowa ma więc posać łamaej złożoej z dwóch półprosych. 7 Przyłady zadań rachuowych 7. Przyład. Zaleźć orygiał rasformay F s. s s W ym przypadu do obliczeia orygiału rasformay F(s) wyorzysae zosaie wierdzeie o rozładzie. W ym celu zosaie wyorzysaa zależość (7): f L Fs resf se s ss Aby rozwiązać powyższe rówaie ależy sorzysać ze wzoru (), poieważ fucja F(s) posiada dwa bieguy jedoroe: s = ; s = -. Sąd: f L lim s Fs resf se lim Fss s ss ss ss s Fs s s e lim Fs s s ss e s e s lim s s s s se lim s e s s s s s s s lim se lim e s s s e ZAiUL WML WA 4
7. Przyład. Zaleźć orygiał rasformay F s. s W ym przypadu do obliczeia orygiału rasformay F(s) wyorzysae zosaie wierdzeie o rozładzie. W ym celu zosaie wyorzysaa zależość (): f L Fs resf se s ss Aby rozwiązać powyższe rówaie ależy sorzysać ze wzoru (), poieważ fucja F(s) posiada jede biegu dwuroy: s = -; f L s Fs resf se lim Fss s ss ss d ds e s Sąd f lim s d ds s e lim d ds e s s s s e 7.3 Przyład 3. Daa jes rasformaa F s. s s 3 Wyzaczyć orygiału rasformay F(s) meodą rozładu a ułami prose. Na podsawie wzoru (8) możemy zapisać: F s A 3 s s s s s s 3 asępie wyrażeie o sprowadzamy do wspólego miaowia i orzymujemy: A A A 3 F s s s 3 A 3 s As s As s A3s s s 3 Rozwiązując powyższe rówaie, orzymujemy: A =-/8, A =/8, A =-/4, A 3 =/. Wyliczając orygiał f() możemy zapisać w posaci: f 8 8 4 e e e e e 4 e 7.4 Przyład 4. Wyzaczyć charaerysyę soową i impulsowa uładu dyamiczego opisaego asępującą rasmiacją operaorową: 8 8 ZAiUL WML WA 5
G s. s W pierwszym eapie wyzaczoa zosaie odpowiedź soowa uładu. Zgodie z zależością (6) odpowiedź soowa jes rówa: h L G s s W związu z ym, podsawiamy do powyższego wzoru zależość i orzymujemy wówczas: h L G s L s L s s s s G s s W dalszych przeszałceia zosaie wyorzysae wierdzeie o rozładzie, zgodie z órym orygiał rasformay jes rówy sumie residuów fucji (G(s)/s)e s w bieguach s,s,,s, czyli h G s G s s res lim s s e lim ss s s s s s s Uład posiada dwa pierwiasi s =- / i s =. Sąd: h lim ss ss s s s s s s G s s s s s s s e lim s s e s s lim s e lim s e s s e e s s s s Naomias charaerysyę impulsową g() będziemy wyzaczać z zależości (6), czyli: g L Posępując aalogiczie, ja przy wyzaczaiu charaerysyi soowej orzymujemy: G s e h lim s s ss e s s s s lim s e s s s e ZAiUL WML WA 6
7.5 Przyład 5. Wyzaczyć charaerysyę Bode uładu dyamiczego opisaego asępującą s rasmiacją operaorową:, s G s.,s s Na począu oreślae są paramery uładu: wzmocieie uładu, ; sała czasowa człou forsującego, ; sała czasowa człou iercyjego, 3 ; sała czasowa człou iercyjego 4 ; wzmocieie człou różiczującego 5 Dla uładu opisaego rasmiacją G(s) rysujemy w pierwszej olejości charaerysyi sładowych elemeów auomayi zgodie z ww. paramerami. Ze względu a charaer przybliżoy charaerysyi uładu, dla ych celów orzysać będziemy z zw. charaerysy asympoyczych. ZAiUL WML WA 7
L() db + db/de + db/de - db/de,, - db/de - + db/de db/de + db/de db/de φ() 9 45-45 -9,, Czło iercyjy Czło iercyjy Czło forsujący Czło różiczujący Czło beziercyjy Rys.. Charaerysyi Bode uładu z przyładu r 5. 8 Lieraura. Jausz KOWAL, Uczeliae Wydawicwa Nauowo- Dydaycze AGH, Kraów 4, Sygaura: 6378. Jausz KOWAL, Uczeliae Wydawicwa Nauowo- Dydaycze AGH, Kraów 4, Sygaura: 6555 3. adeusz Kaczore eoria serowaia. om I Ułady liiowe ciągłe i dysree. Pańswowe Wydawicwo Nauowe, Warszawa 977 4. Dariusz Horla. Ćwiczeia rachuowe. Część I, Wydawicwo Poliechii Pozańsiej, Pozań 3. 5. Zbigiew WAŁACH Cybereya echicza. Część I Esploaacja osprzęu, Wydział Wydawiczy WA, Warszawa 983 ZAiUL WML WA 8