Zastosowanie informatyki w elektrotechnice

Transkrypt

1 Zasosowaie iormayi w eleroecice Poliecia Białosoca - Wydział Eleryczy Eleroecia, semesr V, sudia iesacjoare o aademici 6/7 Wyład r dr iż. Jarosław Forec

2 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Pla wyładu r 5 Sa usaloy i ieusaloy obwodu eleryczego Meody aalizy saów ieusaloyc uładów eleryczyc: meoda lasycza meoda operaorowa meoda zmieyc sau Meoda zmieyc sau

3 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Sa usaloy i ieusaloy obwodu eleryczego Sa usaloy: ułady elerycze zazwyczaj pracują w zw. saie usaloym - ai sa pracy wysępuje w cwili czasu iesończeie odległej od momeu jego powsaia Deiicja: W przypadu uładów liiowyc w saie usaloym, jeśli wymuszeia mają caraer sały, siusoidaly lub oresowy, o odpowiedzi mają aże ai sam caraer powyższa deiicja sau usaloego ie jes a ogół prawdziwa w przypadu uładów parameryczyc i ieliiowyc Komuacja: jeśli w obwodzie w cwili lub zacodzą zmiay doyczące: paramerów źródeł warości elemeów obwodu modyiacji jego sruury o w obwodzie wysępuje zjawiso azywae omuacją omuacja saowi zaburzeie względem sau obwodu wysępującego przed czasem

4 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 4/74 Sa usaloy i ieusaloy obwodu eleryczego Sa ieusaloy: po omuacji, apięcia i prądy w obwodzie ie osiągają aycmias warości usaloyc, ale dopiero po pewym czasie zjawisa wysępujące w ym czasie w obwodzie azywae są saem ieusaloym obwód zajduje się w saie ieusaloym przy przejściu od jedego sau usaloego do drugiego Warui począowe: sa obwodu w cwili, w órej asępuje omuacja lub, azyway jes saem począowym, zaś warości apięć a elemeac i prądów płyącyc przez elemey obwodu - waruami począowymi jeśli wszysie powyższe apięcia i prądy mają warości rówe zeru, o warui począowe azywae są zerowymi, w przeciwym przypadu mamy iezerowe warui począowe

5 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 5/74 Sa usaloy i ieusaloy obwodu eleryczego Prawa omuacji: wysępowaie sau ieusaloego związae jes ze zmiaami w czasie eergii pola mageyczego i eleryczego magazyowaej w elemeac, M i C eergia a ie może zmieiać się w sposób soowy, gdyż moc cwilowa w obwodzie osiągęłaby wedy warość iesończoą, co jes izyczie iemożliwe wyia z ego: zasada ciągłości w cwili omuacji srumieia ψ sojarzoego z cewą, rówoważa zasadzie ciągłości prądu eleryczego płyącego przez cewę: ψ ψ i i zasada ciągłości ładuu eleryczego odesaora, rówoważa zasadzie ciągłości apięcia a jego zacisac: q q u C uc powyższe dwie zasady azywae są prawami omuacji

6 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 6/74 Meody aalizy saów w ieusaloyc w aalizie saów ieusaloyc w obwodac eleryczyc sosowae są: meody umerycze: - sosowae do aalizy uładów wysoiego rzędu i/lub uładów ieliiowyc, - umożliwiają eeywe rozwiązywaie wielu problemów dyamii, lecz orzymywae wyii aalizy ie mają posaci jawyc wzorów aaliyczyc meody aaliycze: - sosowae do obwodów liiowyc isic rzędów - pozwalają a orzymaie wyiów aalizy w posaci jawyc wzorów, co umożliwia badaie wpływu paramerów obwodu a jego dyamię przeprowadzeie aalizy sau ieusaloego zazwyczaj wymaga wyoaia rzec roów: oreśleia rówań różiczowyc lub różiczowo-całowyc opisującyc obwód a podsawie praw Kircoa i rówań deiicyjyc elemeów,, M i C oreśleia waruów omuacji rozwiązaia orzymayc rówań różiczowyc sosując jedą z poiższyc meod: - meodę lasyczą - meody operaorowe - meodę zmieyc sau

7 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 7/74 Meoda lasycza aalizy saów w ieusaloyc Opis meody: meoda lasycza aalizy saów ieusaloyc polega a rozwiązywaiu rówań różiczowyc przy zasosowaiu meod ypowo maemayczyc zając paramery obwodu moża apisać dla iego rówaia apięciowe, zgodie z drugim prawem Kicoa, oraz rówaia prądowe, zgodie z pierwszym prawem Kircoa orzymuje się w e sposób uład rówań różiczowyc lub różiczowocałowyc - w ogólym przypadu jes o iejedorode rówaie różiczowe liiowe -ego rzędu o sałyc współczyiac: d d d d a a a d d gdzie: - współczyii a -,...,a,a zawierają paramery obwodu,, C i M - jes iewiadomą ucją odpowiedzią uładu oreślającą ajczęściej wybray prąd lub apięcie - jes wymuszeiem będącym ajczęściej źródłem apięcia lub prądu

8 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 8/74 Meoda lasycza aalizy saów w ieusaloyc Opis meody: jeśli dla rówaia oreśloy jes warue począowy:,, o rówaie o ma zawsze jedozacze rozwiązaie a podsawie eorii rówań różiczowyc liiowyc rozwiązaie ogóle rówaia moża przedsawić w posaci sumy algebraiczej dwóc sładowyc: p gdzie: p - cała ogóla rówaia jedorodego azywaa sładową przejściową lub swobodą opisuje sa ieusaloy obwodu, u - cała szczególa rówaia azywaa sładową wymuszoą lub usaloą opisuje sa usaloy obwodu sładową przejściową oreśla się rozwiązując rówaie jedorode: u 4 5 d d p d p dp a a p d d a 6 cała szczególa u wyzaczaa jes poprzez rozwiązaie obwodu w saie usaloym

9 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 9/74 Meoda lasycza aalizy saów w ieusaloyc Przyład szeregowy obwód : szeregowy obwód przy wymuszeiu sałym załadamy zerowe warui począowe: w cwili zamyamy wyłączi W warość prądu: i i z II prawa Kircoa: di u u E i E d i i u i p w saie usaloym saowi zwarcie: sładową przejściową orzymujemy rozwiązując rówaie jedorode: i p di d i u p E E W i u di u d u

10 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda lasycza aalizy saów w ieusaloyc Przyład szeregowy obwód : rozwiązaie rówaia jedorodego ma posać: i Ae p s rówaie caraerysycze: s gdzie: A -sała całowaia s - pierwiase rówaia caraerysyczego sąd po dooaiu odpowiedic podsawień orzymujemy: i i u i p w celu wyzaczeia sałej A orzysamy z waruu począowego i praw omuacji dla obwodu z iducyjością w cwili - prąd i, poieważ i - i, o dla powyższe rówaie ma posać: E A e i s E A e E E A A

11 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda lasycza aalizy saów w ieusaloyc Przyład szeregowy obwód : prąd w obwodzie: E E E i e e apięcie a rezysacji : apięcie a iducyjości : u i E e sała czasowa: u di d E e d d Ee τ

12 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda lasycza aalizy saów w ieusaloyc Przyład szeregowy obwód C: szeregowy obwód C przy wymuszeiu e E załadamy zerowe warui począowe: i, u C w cwili zamyamy wyłączi W z II prawa Kircoa: u u u e C duc C i d po uwzględieiu zależości oreślającyc prąd odesaora i apięcie cewi: u i duc C d orzymujemy rówaie różiczowe liiowe, iejedorode, drugiego rzędu o sałyc współczyiac: i C di d d du d d di u d d u d C C u C C C d u duc C C uc e d d E

13 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda lasycza aalizy saów w ieusaloyc Przyład szeregowy obwód C: dzielimy rówaie obusroie przez C: apięcie a odesaorze wyosi: sładowa usaloa: u Cu E C Cu d u d u u u du d u C C C C Cp E C sładowa przejściowa jes całą ogólą rówaia jedorodego drugiego rzędu: rówaiu emu odpowiada rówaie caraerysycze drugiego sopia: pierwiasi rówaia: d u d Cp s du u C Cp Cp d s C s, ± C α ± β gdzie: α β α C C

14 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 4/74 Meoda lasycza aalizy saów w ieusaloyc Przyład szeregowy obwód C: rozwiązaie rówaia oraz yp zjawis zacodzącyc w obwodzie zależy jes od warości paramerów, i C: > C a - ładowaie aperiodycze ieoresowe odesaora β jes rzeczywise, obydwa pierwiasi są rzeczywise, ujeme C b - ładowaie aperiodycze ryycze ieoresowe ryycze β, oba pierwiasi są sobie rówe: s s -α < C c - ładowaie oscylacyje łumioe siusoidale łumioe β jes liczbą urojoą, β jω, s -α jω, s -α -jω

15 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 5/74 Meoda lasycza aalizy saów w ieusaloyc Zaley meody lasyczej: orzymae rozwiązaie ma posać wzoru aaliyczego rozład orzymaego rozwiązaia a sładową usaloą wymuszoą i przejściową swobodą umożliwia ierpreację izyczą zjawis w saie ieusaloym Wady meody lasyczej: sosowaa jes do uładów liiowyc isic rzędów p. obwody, C, C sładające się z jedej gałęzi, gdyż rozwiązaie uładów wyższyc rzędów przy jej zasosowaiu jes dość rude w przypadu uładów ieliiowyc umożliwia orzymaie rozwiązaia aaliyczego ylo w ieliczyc przypadac

16 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 6/74 Meoda operaorowa aalizy saów w ieusaloyc Opis meody: Algorym Algorym meoda operaorowa aalizy saów ieusaloyc polega a algebraizacji rówań różiczowo-całowyc opisującyc uład za pomocą przeszałceia aplace a Scema obwodu, warości elemeów, paramery źródeł, warui począowe Oreśleie rówań różiczowyc obwodu w oparciu o prawa obwodów Scema obwodu, warości elemeów, paramery źródeł, warui począowe Scema obwodu i jego rówaia w dziedziie rasorma moża wyróżić dwa algorymy aalizy saów ieusaloyc w obwodac eleryczyc meodą operaorową rysue obo Przeszałceie aplace a rówań różiczowyc ozwiązaie rówań w dziedziie rasorma ozwiązaie rówań operaorowyc obwodu Odwroa rasormacja aplace a - obliczeie przebiegów czasowyc Odwroa rasormacja aplace a - obliczeie przebiegów czasowyc

17 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 7/74 Meoda operaorowa aalizy saów w ieusaloyc Opis meody: przedsawiając scema obwodu w dziedziie rasorma sosuje się modele operaorowe elemeów obwodu: opis rezysora w dziedziie czasu i dziedziie rasorma jes ai sam w przypadu elemeów i C, mającyc iezerowe warui począowe, ic modele operaorowe uwzględiają e warui w posaci dodaowyc źródeł apięciowyc lub prądowyc dla cewe sprzężoyc mageyczie w zasępczym scemacie operaorowym pojawiają się źródła serowae w aalizie saów ieusaloyc meodą operaorową słusze są wszysie wierdzeia doyczące aalizy obwodów meodą symboliczą: zasada połączeia szeregowego i rówoległego elemeów obwodu przeszałceia gwiazda-róją i róją-gwiazda zasada superpozycji meoda prądów oczowyc i meoda poecjałów węzłowyc wierdzeia Teveia i wierdzeie Noroa

18 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 8/74 Meoda operaorowa aalizy saów w ieusaloyc Opis meody: orygiały ucji operaorowyc moża wyzaczyć iloma sposobami: używając ablic rasorma i ic orygiałów: meoda sosowaa dla prosyc przyładów, w óryc rasormay przedsawiae są w posaci wysępującej w ablicy rasorma i ic orygiałów, meodą residuów: sosowaa w przypadac, gdy rasormaa ma posać ułama ucji wymierej, órego liczi i miaowi są wielomiaami zmieej zespoloej s, a podsawie wzorów Heaviside a: meoda sosowaa, gdy ucja operaorowa ma bieguy jedoroe i moża ją rozłożyć a ułami prose

19 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 9/74 Meoda operaorowa aalizy saów w ieusaloyc Zaley meody operaorowej: rozwiązaie rówań algebraiczyc jes pojęciowo prossze i szybciej prowadzi do orzymaia wyiu Wady meody operaorowej: sosowaa ylo do uładów liiowyc, zawierającyc iewielą liczbę rówań ie może być sosowaa do uładów ieliiowyc problemem może być wyzaczeie rasorma odwroyc, gdy opis wymuszeń oreślającyc ic posać jes dowoly

20 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda zmieyc sau Opis meody: meoda zmieyc sau azywaa aże meodą rówań sau lub meodą przesrzei saów ogólie polega a:. Formułowaiu rówań różiczowyc, zw. rówań sau, będącyc modelem maemayczym badaego uładu. ozwiązaiu rówań sau: meodami algebry liiowej dla uładów liiowyc meodami umeryczymi dla uładów liiowyc i ieliiowyc. Opcjoalym oreśleiu wiosów jaościowyc doyczącyc orzymayc rozwiązań rówań sau meoda zmieyc sau zosała pierwoie sormalizowaa w ramac eorii serowaia, ale od ońca la 5-yc jes powszecie sosowaa w eorii obwodów eleryczyc, szczególie w aalizie uładów ieliiowyc

21 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda zmieyc sau Sa uładu: saem uładu procesu azywamy zbiór liiowo iezależyc wielości,,...,, oreślającyc w pełi sui przeszłyc oddziaływań a uład, óry jes wysarczający do wyzaczeia przebiegów cwilowyc dowolyc wielości w ym uładzie dla >, gdy zae są wymuszeia i paramery ego uładu wielości wcodzące w sład zbioru,,..., azywae są zmieymi sau lub współrzędymi sau weor będący zbiorem yc zmieyc azyway jes weorem sau zbiór wszysic możliwyc warości weora sau worzy przesrzeń saów za zmiee sau moża wybrać róże wielości w uładzie: w liiowyc obwodac eleryczyc ajczęściej za zmiee sau przyjmuje się apięcia a odesaorac i prądy w cewac w ieliiowyc obwodac eleryczyc za zamiee sau wygodie jes przyjąć ładui a odesaorac i srumieie sojarzoe cewe

22 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda zmieyc sau Ia deiicja sau uładu: saem uładu azyway jes zbiór ucji,,..., pozwalającyc oreślić dyamię uładu dla czasu <,, gdzie jes o umowie przyjęy czas począowy przy aiej deiicji weor sau będzie weorem złożoym z ucji,,...,

23 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda zmieyc sau Model zmieyc sau - ułady liiowe: modelem oparym a zmieyc sau azywamy model opisay asępującymi rówaiami różiczowymi: d d gdzie: - weor sau, gdzie: u - weor wymuszeń, gdzie: A - macierz sau obwodu, uładu o wymiarze - liczba zmieyc sau, gdzie: B -macierz wymuszeń o wymiarze mm-liczba wymuszeń rówaie 7 azywae jes rówaiem sau A Bu 7 rozwiązaie powyższego rówaia wymaga zajomości weora sau w cwili począowej zajomości waruów począowyc: 8

24 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 4/74 Meoda zmieyc sau Budowa modelu zmieyc sau uładu liiowego: ogóla procedura osrucji modelu zmieyc sau ma asępującą posać: Kro : Kro : Kro : Wypisaie rówań wyiającyc z wewęrzej sruury obieu i praw izyczyc jego ucjoowaia sprecyzowaie założeń upraszczającyc prawa izyi: podsawowe prawa mecaii, prawa obwodów eleryczyc, rówaia bilasu masy i eergii Wybraie wielości odgrywającyc rolę zmieyc sau wybrae wielości muszą być powiązae ze sobą zależością różiczową wybór e ie jes jedozaczy Uporządowaie orzymayc rówań w celu wyróżieia elemeów opisayc w modelu zmieyc sau prose przeszałceia algebraicze

25 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 5/74 Meoda zmieyc sau Przyład szeregowy obwód C: Kro : z II prawa Kircoa, rówaie ocza: u u u e C di i uc e d duc prąd płyący w oczu: i C d Kro : zmieymi sau aalizowaego uładu powiy być wielości izycze jedozaczie opisujące uład i powiązae ze sobą zależością różiczową za zmiee sau przyjmuje się prąd w oczu oraz apięcie a odesaorze i, u zajomość zmieyc sau pozwala obliczyć wszysie pozosałe apięcia w obwodzie C

26 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 6/74 Meoda zmieyc sau Meoda zmieyc sau Przyład szeregowy obwód C: Kro : porządujemy rówaia a, aby po lewej sroie zau rówości mieć ylo pocode wielości, óre zosały wybrae jao zmiee sau: osaecza posać rówań sau: i C d du e u i d di C C C d d e d d Bu A & e C & & C A B e u

27 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 7/74 Meoda zmieyc sau ówaie wyjścia modelu zmieyc sau: rówaie sau opisuje ewolucję zmieyc sau uładu dyamiczego, aomias ie daje żadyc iormacji a ema sygałów wydosającyc się a zewąrz modelu do opisaia sygałów wyjściowyc modelu zmieyc sau służy dodaowe rówaie, óre azywa się rówaiem wyjścia: y C Du 9 gdzie: y - weor wyjść uładu, gdzie: C -macierz wyjścia odpowiedzi o wymiarze p p - liczba wyjść, gdzie: D - macierz przeoszeia rasmisyja uładu o wymiarze p m budowa rówaia wyjścia modelu zmieyc sau polega a swobodym wyborze macierzy C oraz macierzy D pod waruiem, że izycza sruura obieu ie wprowadza ograiczeń w worzoyc modelac załada się, że D, co ozacza, że wyjście modelu ie oddziałuje bezpośredio a wyjście

28 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 8/74 Meoda zmieyc sau Meoda zmieyc sau Przyład obwód C: jao zmiee wyjściowe przyjmujemy prądy w poszczególyc gałęziac uładu: i, i, i C,i C a podsawie pierwszego i drugiego prawa Kircoa możemy zapisać: jao zmiee sau wybieramy prąd i oraz apięcia u C, u C po przeszałceiac orzymujemy rówaie sau i rówaie wyjścia: j C C e i C i C i i u C u C C i d du C i u C i e j i d du C C C C u d di u j e C C u u i C C C d du d du d di C C C C j e u u i i i i i C C C C

29 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 9/74 Meoda zmieyc sau Meoda zmieyc sau dla uładów ieliiowyc: ie zosała wymyśloa żada uiwersala meoda aalizy wszysic ieliiowyc uładów dyamiczyc aaliza uładów ieliiowyc jes bardzo ruda zapis rówaia sau dla uładu ieliiowego: d, u, d zapis rówaia wyjścia dla uładu ieliiowego: y g, u,

30 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda zmieyc sau Meoda zmieyc sau w badaiac iyc zjawis: rówaiami różiczowymi sau może być opisywaa ie ylo dyamia uładów obwodów eleryczyc, ale aże: mecaiczyc ydrauliczyc peumayczyc biologiczyc eoomiczyc

31 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda zmieyc sau Uład mecaiczy: uład mecaiczy sładający się z dwóc ciał o masac odpowiedio m i m i dwóc spręży o współczyiac sprężysości i a ciało o masie m działa siła zewęrza opory arcia ciał są proporcjoale do prędości, przy czym r i r są współczyiami arcia odpowiedio ciała o masie m i m źródło: Kaczore T., Dzielińsi A., Dąbrowsi W., Łopaa.: Podsawy Teorii Serowaia. WNT, Warszawa, 5.

32 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda zmieyc sau Uład mecaiczy: współczyi sprężysości : F gdzie: - współczyi sprężysości [N/m] gdzie: F - siła [N], - przesuięcie odszałceie [m] współczyi arcia r: r gdzie: r - współczyi arcia wielość iemiaowaa, T - siła arcia posuwisego [N], gdzie: N - siła docisająca rące powierzcie [N] T N ozaczmy zmiee sau: -współrzęda oreślająca położeie * ciała o masie m. -prędość ciała o masie m -współrzęda oreślająca położeie * ciała o masie m. 4 -prędość ciała o masie m 4 * - przemieszczeie od położeia rówowagi

33 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 /74 Meoda zmieyc sau Meoda zmieyc sau Uład mecaiczy: biorąc pod uwagę siły działające a poszczególe ciała a podsawie drugiego prawa Newoa możemy zapisać rówaia: po prosyc przeszałceiac orzymujemy uład 4 rówań: 4 4 r m r m & & m m r m m m m r m & & & &

34 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 4/74 Meoda zmieyc sau Meoda zmieyc sau Uład mecaiczy: posać macierzowa rówaia sau: gdzie: Bu A & 4 4 m m r m m m m r m & & & & m r m m m m r m A m B

35 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 5/74 Meoda zmieyc sau Uład mecaiczy: posać macierzowa rówaia wyjścia: y C Du gdzie: y 4 C D

36 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 6/74 Meoda zmieyc sau Zaley meody zmieyc sau: możliwość zasosowaia do szeroiej lasy uładów, a więc zarówo obwodów liiowyc, ja i ieliiowyc oraz iesacjoaryc; w odiesieiu do uładów ieliiowyc jes w zasadzie jedyą możliwą do sosowaia w sposób eeywy względie prosa algorymizacja meod ormułowaia i rozwiązywaia rówań sau uładów o dużej liczbie elemeów dyamiczyc, M, C możliwość zasosowaia eci ompuerowyc do aalizy dużyc uładów eleryczyc ławość oprogramowaia, mała złożoość obliczeiowa i duża doładość algorymów aalizy bardzo duża liczba meod i algorymów umeryczyc rozwiązywaia rówań sau możliwość jedoczesego wyzaczaia zmieości w czasie wielości będącyc zmieymi sau

37 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 7/74 Meoda zmieyc sau Wady meody zmieyc sau: iejedozaczość opisu za pomocą rówań sau rudości z ormułowaiem rówań sau w przypadu ieóryc uładów ieliiowyc

38 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 8/74 Meoda zmieyc sau Meoda rozwiązywaia rówań sau: meody umerycze: dzisiaj!!! poieważ rówaie sau jes o uład rówań różiczowyc zwyczajyc pierwszego rzędu, więc meody e są o meody rozwiązywaia zw. zagadień począowyc rówań różiczowyc zwyczajyc meody umerycze mogą być sosowae do rozwiązywaia liiowyc i ieliiowyc rówań sau dowolego rzędu meody algebry liiowej: asępy wyład!!! mogą być sosowae do uładów liiowyc isic rzędów w przypadu ogólym rozwiązaie rówaia: ma posać: & A Bu A A e e τ Bu τ dτ podsawowym problemem jes w ym przypadu obliczeia macierzy e A do obliczeia macierzy e A sosowae jes m.i. rozwiięcie w szereg iesończoy, meoda przeszałceia aplace a, wzór ierpolacyjy Sylvesera, rozwiięcie w szereg sończoy, meoda weorów własyc

39 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 9/74 Meody umerycze rozwiązywaia zywaia rówar wań sau Wsęp: Meody umerycze rozwiązywaia rówań sau są o meody rozwiązywaia uładów rówań różiczowyc zwyczajyc ag. ODEs - Ordiary Diereial Equaios o posaci: & N & & N,,,, K,, K, N N, K,,, N, 4 z zadaym waruiem począowym w pucie :,, K, N N 5 przedsawiając meody umerycze ograiczymy się ylo do jedego rówaia, gdyż upraszcza o zaczie zapis i jes powszecie sosowaą prayą w lieraurze

40 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 4/74 Meody umerycze rozwiązywaia zywaia rówar wań sau Wsęp: rozwiązywae jes zaem rówaie: d d,, a b, a gdzie jes zaym waruiem począowym w pucie a 6 załadając, że: ucja, jes oreśloa i ciągła w obszarze a b, - < <, gdzie a i b są sończoe isieje sała > aa, że dla ażdego <a,b> i dowolyc liczb i zacodzi ierówość warue ipsciza: 7,, o moża udowodić, że w przedziale <a,b> isieje doładie jeda ucja ciągła różiczowala spełiająca rówaie 6 z daym waruiem począowym

41 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 4/74 Meody umerycze rozwiązywaia zywaia rówar wań sau Wsęp: umerycze rozwiązaie rówaia 6 przy zadaym waruu począowym azywae jes aże umeryczym rozwiązaiem zagadieia począowego ag. IVP - Iiial Value Problem lub umeryczym całowaiem zagadieia począowego ogóla idea umeryczego całowaia zagadieia począowego jes asępująca: rozpoczyając od zaej warości w pucie przecodzimy przez cały przedział <a,b> obliczając warości przybliżoe rozwiązaia doładego w wybrayc puac,,,,... aż do osiągięcia ońca przedziału obliczeie warości przybliżoej w olejym pucie azywae jes jedym roiem obliczeń sposób obliczeia warości przybliżoej w olejym pucie wyrażoy ajczęściej wzorem w jedym rou azyway jes meodą umeryczą

42 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 4/74 Meody umerycze rozwiązywaia zywaia rówar wań sau Kro całowaia: odległość pomiędzy dwoma olejymi puami,,,,,... azywaa jes długością rou całowaia i ozaczaa przez jeśli odległości pomiędzy wszysimi puami, są aie same cos., o mówimy, że obliczeia wyoywae są ze sałą długością rou całowaia jeśli zaś odległości e zmieiają się, o mamy obliczeia ze zmieą długością rou całowaia

43 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 4/74 Meody umerycze rozwiązywaia zywaia rówar wań sau Meody jedoroowe i meody wieloroowe: do obliczeia warości przybliżeia w pucie wyorzysywae są przybliżeia obliczoe we wcześiejszyc puac jeśli do wyoaia jedego rou obliczeń wyorzysywae jes ylo jedo przybliżeie z poprzediego rou, o mówimy, że meoda umerycza jes meodą jedoroową ag. oesep meod ozacza o, że do obliczeia wyorzysujemy warue począowy, do obliczeia - uprzedio obliczoą warość, do obliczeia - warość, do obliczeia 4 - warość, id. przyłady: meoda Eulera, 8

44 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 44/74 Meody umerycze rozwiązywaia zywaia rówar wań sau Meody jedoroowe i meody wieloroowe: w przypadu, gdy do wyoaia jedego rou obliczeń wyorzysywayc jes lia przybliżeń z poprzedic roów, o meodę aą azywamy meodą wieloroową ag. mulisep meod jeśli będzie o przybliżeń, o mówimy, że jes o meoda -roowa przyłady: dwuroowa meoda Adamsa-Basora: [,, ]/ 9 rzyroowa meoda wseczego różiczowaia: / /,

45 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 45/74 Meody umerycze rozwiązywaia zywaia rówar wań sau Meody jawe i iejawe: meody, w óryc poday wzór pozwala od razu wyzaczyć warość azywae są meodami jawymi, esrapolacyjymi lub owarymi ag. eplici meods przyład: rzyroowa jawa meoda Adamsa-Basora: [, 6, 5, ]/ meody, w óryc obliczeie wymaga dodaowo rozwiązaia ieliiowego rówaia algebraiczego prawa sroa wzoru meody zawiera zmiee wysępujące po lewej sroie, azywae są meodami iejawymi, ierpolacyjymi lub zamięymi ag. implici meods przyład: dwuroowa iejawa meoda Adamsa-Mouloa: [, 8,, ]/ 5

46 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 46/74 Meody umerycze rozwiązywaia zywaia rówar wań sau Meody predyor-oreor: prayczą realizacją meod wieloroowyc iejawyc są zw. meody predyor-oreor ag. predicor-correcor meods meody ego ypu sładają się z dwóc eapów: pierwszy eap obliczeń azyway jes predycją, asępuje w im obliczeie przybliżeia począowego za pomocą meody jawej drugi eap obliczeń azyway jes orecją, asępuje w im wyoaie ilu ieracji za pomocą meody iejawej ajczęściej jes o od do ieracji

47 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 47/74 Meody jedoroowe Meody jedoroowe - meoda Taylora meoda Taylora meoda Taylora meoda rozwiięcia w szereg Taylora powsaje poprzez rozwiięcie rozwiązaia doładego w szereg Taylora w ooczeiu puu i obliczeiu rozwiięcia dla po zasąpieiu rozwiązaia doładego przez rozwiązaie przybliżoe orzymujemy wzór ogóly meody Taylora: rówaie jes częso przedsawiae w asępującej posaci: gdzie:,!,!,! p p p K ;, T p 4,!,!, ;, p p p p T K 5

48 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 48/74 Meody jedoroowe - meoda Taylora ograiczając liczbę człoów rozwiięcia do p orzymujemy meodę p-ego rzędu dla p jes o jeda z ajprosszyc meod - meoda Eulera, 6 przyjmując aomias p orzymujemy meodę Taylora rzędu drugiego, zw. ulepszoą meodę Eulera:, [,,, ] gdzie: i są pocodymi cząsowymi, odpowiedio, po i. 7 oieczość obliczaia pocodyc cząsowyc jes ajwięszą wadą ej meody i z ego względu meoda Taylora ie jes prayczie sosowaa zaleą meody Taylora jes prosoa i możliwa do osiągięcia wysoa doładość o ile moża obliczyć aaliyczie pocode wysoic rzędów ucji

49 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 49/74 Meody jedoroowe - meoda Eulera esrapolacyja meoda Eulera meoda łamayc jes ajprosszą meodą całowaia zagadień począowyc wyorzysuje oa ylo dwa pierwsze wyrazy rozwiięcia w szereg Taylora:, 8 powyższy wzór moża orzymać aże w iy sposób, p. poprzez aprosymację pocodej w pucie, za pomocą ilorazu różicowego - / w prayce meoda Eulera jes rzado sosowaa, gdyż: jes bardzo wolo zbieża orzymaie dobrej doładości obliczeń wymaga bardzo małego rou zwięszeie liczby roów powoduje arasaie błędów zaorągleń

50 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 5/74 Meody jedoroowe - meoda Eulera Przyład : rówaie: d warue począowy:, ro:, d wzór ogóly meody Eulera: rozwiązaie:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

51 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 5/74 Meody jedoroowe - meoda Eulera Przyład - program w języu C /: /* Name: _Euler.cpp Copyrig: Poliecia Białosoca Auor: Jaroslaw Forec jare@pb.edu.pl Dae: 6--6 :4 Descripio: ozwiązaie rówaia: d/d ^,., Meoda Eulera */ #iclude <sdio.> #iclude <sdlib.> #iclude <ma.> i mai { double, p,,,,, _ew, _pri, dela_; i pri; FIE *pli ope"_euler.da","w";.e-6; /* ro całowaia */ p.; /* począe przedziału obliczeń */.; /* oiec przedziału obliczeń */.; /* warue począowy */ pri ; /* liczba zapamięywayc puów */ pripli,"%g %.7\",p,;

52 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 5/74 Meody jedoroowe - meoda Eulera Przyład - program w języu C /: dela_ -p/pri; _pri dela_; p; ; do { _ew * * ; _ew; ; i abs-_pri<*.4 { pripli,"%g %.7\",,; _pri _pri dela_; } } wile <; } closepli; sysem"pause"; reur ; d d

53 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 5/74 Meody jedoroowe Meody jedoroowe - meoda Eulera meoda Eulera Przyład szeregowy obwód C: załadamy zerowe warui począowe: w cwili zamyamy wyłączi W rówaia sau mają posać: e same rówaia w zapisie macierzowym:, C u i C d d e d d e C & &

54 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 54/74 Meody jedoroowe - meoda Eulera Przyład - program w języu C /: /* Name: C_Euler.cpp Copyrig: Poliecia Białosoca Auor: Jaroslaw Forec jare@pb.edu.pl Dae: 6--6 :4 Descripio: ozwiązaie uładu rówań: d/d -/ - / /e d/d /C */ dla.e- [H], C.e-6 [F] --> [Om] Meoda Eulera #iclude <sdio.> #iclude <sdlib.> #iclude <ma.> i mai { double, p,,, _pri, dela_; double _, _,,, _ew, _ew; double,, C, E; i pri; FIE *pli ope"rlc_euler.da","w";

55 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 55/74 Meody jedoroowe - meoda Eulera Przyład - program w języu C /:.e-8; /* ro całowaia */ p.; /* począe przedziału obliczeń */.e-; /* oiec przedziału obliczeń */ pri ; /* liczba zapamięywayc puów */ _ ; /* warue począowy dla */ _ ; /* warue począowy dla */.; /* rezysacja [Om] */.e-; /* iducyjość [H] */ C.e-6; /* pojemość [F] */ E ; /* apięcie źródła [V] */ pripli,"%g %.7 %.7\",p,_,_; dela_ -p/pri; _pri dela_; p; _; _;

56 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 56/74 Meody jedoroowe - meoda Eulera Przyład - program w języu C /: do { _ew * -/* - /* /*E; _ew * /C*; _ew; _ew; ; } i abs-_pri<*.4 { pripli,"%g %.7 %.7\",,,; _pri _pri dela_; } } wile <; closepli; sysem"pause"; reur ; & & C e

57 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 57/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy meody ugego-kuy powsają z rozwiięcia w szereg Taylora, poprzez zasąpieie T p, ; z rówaia 5 ią ucją K p, ;: dla órej ie jes wymagaa zajomość pocodyc cząsowyc, óra zapewi e sam rząd warości błędu odcięcia co odpowiedi algorym Taylora meody ugego-kuy oreślae są wzorem ogólym: i p, w i, i i i j a ij j, c i dla i > 9 gdzie: p - rząd meody ugego-kuy p w i, a ij, c i - odpowiedie współczyii liczbowe powyższe współczyii liczbowe mogą być oreślae w róży sposób, oeż isieją róże meody ugego-kuy ego samego rzędu

58 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 58/74 Meody jedoroowe Meody jedoroowe - meody meody ugego ugego-kuy Kuy dla p orzymujemy meodę Eulera oreśloą wzorem: dla p orzymujemy meodę drugiego rzędu meodę Heua, zmodyioway algorym rapezów: dla p orzymujemy meodę rzeciego rzędu:, /,, 6 / 4, /, /,

59 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 59/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy dla p 4 orzymujemy ajpopulariejszą i ajczęściej sosowaą meodę ugego-kuy - meodę czwarego rzędu K4: 4, /, / /, /, 4 / 6 meoda a zapewia dobrą doładość obliczeń przy sosuowo dużyc warościac rou wadą ej meody jes oieczość czeroroego obliczaia warości ucji, w czasie ażdego rou, dodaowo warości e ie są wyorzysywae w żadyc asępyc obliczeiac wzór jes lasyczym wzorem meody ugego-kuy czwarego rzędu - oprócz iego moża spoać aże ie wzory meody ego samego rzędu, p. wzór rzec ósmyc, Gilla, alsoa

60 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 6/74 Meody jedoroowe Meody jedoroowe - meody meody ugego ugego-kuy Kuy /8, /, / / /,, 4 4 wzór rzec ósmyc : wzór Gilla: wzór alsoa: 4 / 6 / /, / / /, / / /, /, , , ,.4, 4 4 6

61 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 6/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Przyład - ragmey programów w języu C: /* Meoda Eulera */ /* Meoda K4 */ do { _ew **; _ew; ; /*... */ } wile <; do { **; */*/; */*/; 4 **; _ew **4/6; _ew; ; 4 Meoda K4:, /, / /, /, 4 / 6 /*... */ } wile <; Meoda Eulera:,

62 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 6/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Przyład - ragme programu w języu C: do { * -/* - /* /*E; * /C*; * -/*/ - /*/ /*E; * /C*/; * -/*/ - /*/ /*E; * /C*/; 4 * -/* - /* /*E; 4 * /C*; _ew * * 4/6; _ew * * 4/6; _ew; _ew; ; /*... */ } wile <; & & C e

63 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 6/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Przyład - program w języu C - uiwersaly /6: /* Name: C_K4_Uiw.cpp Copyrig: Poliecia Białosoca Auor: Jaroslaw Forec jare@pb.edu.pl Dae: 6--6 :4 Descripio: ozwiązaie uładu rówań: d/d -/ - / /e d/d /C Meoda K4 Program uiwersaly dla.e- [H], C.e-6 [F] --> [Om] */ #iclude <sdio.> #iclude <sdlib.> #iclude <ma.> #deie N /* liczba rówań */ /* Sruura przecowująca wyii obliczeń */ ypede sruc IeraioSruc { double T; /* T - ro czasowy */ double D[N]; /* D dae */ } ITEATION; /* Paramery uladu */ double,, C, Em;

64 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 64/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Przyład - program w języu C - uiwersaly /6: /* Fucje wymuszające */ double edouble /* wymuszeie sale */ { reur Em; } double edouble /* wymuszeie siusoidale */ { reur Em*si*.*5*; } double edouble /* impuls prosoąy */ { i > && <.5e-5 reur Em/.5e-5*; i >.5e-5 && <.5e-4 reur Em; i >.5e-5 && <5e-5 reur -Em/.5e-5**Em; i >5e-5 reur ; }

65 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 65/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Przyład - program w języu C - uiwersaly /6: /* Oreśleie waruów począowyc */ void IiialCodiiosITEATION* X { X->T.; X->D[].; X->D[].; } /* Fucja prawej sroy rówaia */ void FucioITEATION* DX, ITEATION X, double { DX->D[] -/*X.D[] - /*X.D[] /*e; DX->D[] /C*X.D[]; } /* Możeie macierzy przez liczbę */ void MulITEATION* X, double K, i SaesNumber { or i i; i<saesnumber; i X->D[i] X->D[i] * K; }

66 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 66/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Przyład - program w języu C - uiwersaly 4/6: /* Fucja realizująca jede ro meody K4 - zwraca ową warość X w pucie _old */ void KMeodSepITEATION* X, double* OldTime, double H, i SaesNumber { ITEATION X, K, K, K, K4; /* zmiee dla meody K4 */ double Time; /* czas */ i i; Fucio&K,*X,*OldTime; Mul&K,H,SaesNumber; Time *OldTime H / ; or i; i<saesnumber; i X.D[i] X->D[i] K.D[i] / ; Fucio&K,X,Time; Mul&K,H,SaesNumber; or i; i<saesnumber; i X.D[i] X->D[i] K.D[i] / ; Fucio&K,X,Time; Mul&K,H,SaesNumber; Time *OldTime H; or i; i<saesnumber; i X.D[i] X->D[i] K.D[i]; Fucio&K4,X,Time; Mul&K4,H,SaesNumber; } or i; i<saesnumber; i X->D[i] X->D[i] K.D[i] * K.D[i] * K.D[i] K4.D[i] / 6; *OldTime X->T Time;

67 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 67/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Przyład - program w języu C - uiwersaly 5/6: i mai { double, p,,, _pri, dela_; i pri; ITEATION X; FIE *pli ope"rlc_r4_uiw.da","w";.e-8; /* ro całowaia */ p.; /* począe przedziału obliczeń */.e-; /* oiec przedziału obliczeń */ pri ; /* liczba zapamięywayc puów */.; /* rezysacja [Om] */.e-; /* iducyjość [H] */ C.e-6; /* pojemość [F] */ Em ; /* ampliuda źródła apięcia [V] */ dela_ -p/pri; _pri dela_; p; IiialCodiios&X;

68 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 68/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Przyład - program w języu C - uiwersaly 5/5: pripli,"%g",; or i i; i<n; i pripli," %.7",X.D[i]; pripli,"\"; do { KMeodSep&X,&,,N; i abs-_pri<*.4 { pripli,"%g",; or i i; i<n; i pripli," %.7",X.D[i]; pripli,"\"; _pri _pri dela_; } } wile <; } sysem"pause"; closepli; reur ;

69 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 69/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Zmiey ro całowaia: zasosowaie zmieego rou całowaia wymaga sprawdzeia po ażdym rou obliczeiowym, czy dla przyjęego rou orzymae rozwiązaie jes wysarczająco dołade ajczęściej sosowaym sposobem szacowaia błędu i rozsrzygaia o doładości obliczeń jes esrapolacja azywaa aże zasadą ugego idea ego sposobu polega a wyoaiu obliczeń z roiem, a asępie wyoaiu dwuroie obliczeń z roiem / i porówaiu orzymayc wyiów w aim przypadu oszacowaie błędu ma posać:, / p gdzie:,/ -warość orzymaa podczas dwuroyc obliczeń z roiem /, -warość orzymaa podczas obliczeń z roiem p - rząd meody dla K4 p 4, 7

70 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 7/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Zmiey ro całowaia meoda K4: w meodzie K4 p 4 oszacowaie błędu ma posać: 5, /, asępie przyjmujemy ryerium błędu względego: < ma eps gdzie: eps - założoa oleracją błędu ma - ajwięsza co do modułu z doycczas obliczoyc warości rozwiązaia 8 9 jeśli powyższe ryerium jes spełioe, o długość rou jes zaacepowaa i jao warość ońcową przyjmuje się: 6, /, 5 4

71 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 7/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Zmiey ro całowaia meoda K4: jeśli sosue błędu do ma jes dużo miejszy od eps o ro jes zwięszay jeśli ryerium błędu ie jes spełioe, o asępuje zmiejszeie długości rou całowaia i powórzeie obliczeń dla owej, odpowiedio miejszej, warości meoda : w ajprosszym przypadu przy zwięszaiu rou, jao owy ro przyjmuje się zaś przy zmiejszaiu rou, jao owy ro przyjmuje się /

72 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 7/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Kuy-Felberga w 969 r. Felberg opracował sposób szacowaia błędu realizoway za pomocą meod włożoyc ag. embeddig meods: zapropoował sosowaie meody K rzędu czwarego, wymagającej obliczaia pięciu warości ucji, i meody rzędu piąego, w órej rzeba oblicza sześć aic warości współczyii obu meod zosały a dobrae, aby wysępowały w obu meodac i zamias jedeasu współczyiów obliczayc jes ylo sześć: 4 5 6, / 4 / 9 / 6 8 / 7 orzymywae są dwa rozwiązaia przybliżoe - meody K rzędu czwarego: i meody K rzędu piąego: / 4, /, / / 8 / / / / 97, / 44, / 44 5 K / 5 / 4, 55 K / 4 4 4

73 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 7/74 Meody jedoroowe - meody ugego-kuy Kuy-Felberga różica rozwiązań przybliżoyc, rzędu piąego i czwarego: K 5 K jes błędem rozwiązaia przybliżoego rzędu czwarego i może być używaa do serowaia roiem jao rozwiązaie przybliżoe przyjmuje się rozwiązaie rzędu piąego: K para meod włożoyc pierwszego i drugiego rzędu:, /, / 5 / / / 5 / 56, 46

74 Zasosowaie iormayi w eleroecice dr iż. Jarosław Forec Wyład r 5 74/74 Meody jedoroowe Meody jedoroowe - meody meody ugego ugego-kuy Kuy-Felberga Felberga para meod włożoyc drugiego i rzeciego rzędu: para meod włożoyc rzeciego i czwarego rzędu: 6 / / /58 5 / /78 / 89, 65 / / / 7 / 8, 79 / / 4, /, /8 / /8 5 /47 9 /8 / / / 4 965, / / / 79 8 / , / / 7775 / /5 7 9, / 4 9 / 77 7 / 7, /,