Teoria optymalnego stopowania

Dodatek F Teoria optymalnego stopowania F.1. Rozkład Dooba nadmartyngałów W tym paragrafie będziemy rozpatrywać nadmartyngały, podmartyngały i procesy prognozowalne względem ustalonej filtracji (F n ) n=0. Twierdzenie 1 (O rozkładzie Dooba). Każdy nadmartyngał (U n ) n=0 ma jednoznaczne z dokładnością do równości p.n. przedstawienie U n = M n A n, (1) gdzie (M n ) n=0 jest martyngałem, (A n ) n=0 niemalejącym procesem prognozowalnym, A 0 =0. D o w ó d. Najpierw zdefiniujemy proces (A n ). Niech A 0 =0idlan 1: n 1 A n = [U k E(U k+1 F k )]. k=1 Oczywiście zmienna losowa A n jest F n 1 -mierzalna. Proces (A n ) jest niemalejący, bowiem wyrazy sumy po prawej stronie są nieujemne, jako że (U n ) jest nadmartyngałem. Terazniemamyjużwyboru M 0 = U 0 i M n = U n + A n. Jest oczywiste, że zmienna losowa M n jest F n -mierzalna, ponadto M n+1 M n = U n+1 U n + A n+1 A n = U n+1 E(U n+1 F n ), i po wzięciu warunkowej wartości oczekiwanej obu stron widać, że (M n ) jest martyngałem: E (M n+1 M n F n )=E (U n+1 E(U n+1 F n ) F n )=0. 384

F.1. Rozkład Dooba nadmartyngałów 385 Pozostała do wykazania jednoznaczność. Niech (M n), (A n) stanowią inną parę procesów spełniających warunki z tw. 1. Wtedy M n A n = M n A n, n 0, i gdy X n = M n M n,to X n = M n M n = A n A n, n 0. Z pierwszej równości wynika, że proces (X n ) jest martyngałem, z drugiej że jest prognozowalny, co daje kolejno równości poniżej: X n = E (X n+1 F n )=X n+1, n 0, a ponieważ X 0 =0,toX n =0dlan =1, 2,..., czyli M n = M n oraz A n = A n. Niech teraz (U n ) n=0 będzie podmartyngałem. Z poprzedniego twierdzenia zastosowanego do nadmartyngału ( U n ) n=0 otrzymujemy natychmiast Wniosek 2. Każdy podmartyngał (U n ) n=0 ma dokładnie jedno przedstawienie U n = M n + A n,gdzie(m n ) n=0 jest martyngałem, zaś (A n ) n=0 niemalejącym ciągiem prognozowalnym, takim, że A 0 =0. Uwaga 3. Dowolny ciąg (X n ) adaptowanych i całkowalnych zmiennych losowych można przedstawić w postaci X n = M n + A n, gdzie (M n )jestmartyngałem, zaś (A n ) procesem prognozowalnym, niekoniecznie rosnącym. Widać to z dowodu tw. 1. Dopiero założenie, że (X n ) jest nadmartyngałem lub podmartyngałem, zapewnia monotoniczność procesu (A n ). Uwaga 4. Proces (A n ) n=0 jest niemalejący, więc ma granicę w szerszym sensie, czyli istnieje A = lim n A n. Jest to na ogół niewłaściwa zmienna losowa, bowiem może przyjmować wartość. Proces (A n ) n=0 nazywamy kompensatorem procesu (U n ) n=0, gdyżkompensuje on (U n ) n=0 do martyngału. Rozkład Dooba odgrywa szczególną rolę przy badaniu martyngałów (X n ) całkowalnych z kwadratem (takich, że EXn 2 <, n =0, 1, 2,...). Wtedy ciąg (Xn) 2 jest podmartyngałem i na mocy wniosku 2 ma rozkład Dooba: Xn 2 = M n + A n. Niemalejący proces A oznaczamy przez X i nazywamy potocznie nawiasem skośnym martyngału X. Wiele własności martyngału (X n ) da się zbadać za pomocą nawiasu skośnego X, co zobaczymy na kilku przykładach. Zaczniemy od najprostszych: Stwierdzenie 5. Niech (X n ) n=0 będzie martyngałem. Wtedy (a) Jeśli dla pewnego p>1 w rozkładzie Dooba X n p = M n + A n mamy EA <, tociąg(x n ) jest zbieżny w L p.

386 Dodatek F. Teoria optymalnego stopowania (b) (X n ) jest ograniczony w L 2 (czyli sup n X 2 n < ) wtedy i tylko wtedy, gdy E X <. Dowód. (a) wynika z tw. 11.5.6, bowiem idalej: sup n E X n p = EM n + EA n = EM 0 + EA n, E X n p = EM 0 +supea n EM 0 + EA <. n (b). Konieczność: wynika z (a) dlap = 2. Dostateczność: E X =sup n E X n =supe ( Xn 2 X 2 ) 0 <. n Otrzymamy teraz pewną pożyteczną reprezentację nawiasu skośnego. Ponieważ (X n ) jest martyngałem, to dla k l E ( (X k X l ) 2 ) ( Fl = E X 2 k 2X k X l + Xl 2 ) Fl = = E ( Xk 2 ) Fl 2Xl E (X k F l )+Xl 2 = = E ( Xk 2 Xl 2 ) Fl = = E (M k + X k M l X l F l )= = E ( X k X l F l ). Oznaczając X k = X k X k 1 ikładącl = k 1 otrzymujemy stąd E ( ( X k ) 2 F k 1 ) = X k X k 1, atodaje n X n = E ( ( X j ) 2 ) Fj 1. (2) j=1 Przykład 6. Jeśli ξ 1,ξ 2,... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Eξ i =0,Eξi 2 <, i =1, 2,..., X n = ξ 1 +...+ξ n, X 0 =0,F 0 = {, Ω}, F n = σ(ξ 1,...,ξ n )dlan 1, to ciąg (Xn, 2 F n ) n=0 jest podmartyngałem i X n = n E ( ξj 2 ) F j 1 = j=1 n j=1 D 2 ξ j, zatem nawias skośny jest procesem deterministycznym (nielosowym). Wiadomo (tw. 7.3.2), że zbieżność szeregu j=1 D2 ξ j pociąga za sobą zbieżność p.n. szeregu j=1 ξ j. Jeśli ponadto ξ i C p.n. dla i =1, 2,..., to zachodzi również wynikanie odwrotne. Ostatnią uwagę można uogólnić (patrz tw. 8). Przedtem udowodnimy

F.1. Rozkład Dooba nadmartyngałów 387 Twierdzenie 7. Niech (X n ) będzie nieujemnym podmartyngałem, X 0 =0, iniechx n = M n + A n będzie jego rozkladem Dooba. Wtedy {A < } {(X n ) zbieżny p.n.} {sup X n < }. n Zbieżny p.n. oznacza dokładniej zbieżny p.n. do granicy skończonej. Taką umowę przyjmujemy też dalej. D o w ó d. Prawa inkluzja jest oczywista, dowodzimy lewą. Niech a > 0 i τ a =inf{n 1: A n+1 >a}. Jest to moment stopu (który może przyjmować wartość, bowieminf = ), co wynika z prognozowalności A. Z twierdzenia Dooba 11.2.8 zastosowanego do martyngału M (M 0 =0)iz definicji τ a wynika, że EX n τa = EM n τa + EA n τa =0+EA n τa EA τa a. Niech Yn a = X n τa. Jest to na mocy twierdzenia Dooba (nieujemny) podmartyngał, ponadto sup n EYn a a<, więc na mocy twierdzenia o zbieżności podmartyngałów (Yn a ) jest zbieżny p.n. Dlatego {A a} = {τ a = } {(X n ) zbieżny p.n.}, ponieważ na zbiorze {τ a = } jest X n = X n = Y a n.stąd {A < } = {A a} = {τ a = } {(X n ) zbieżny p.n.}, co kończy dowód. a=1 a=1 Twierdzenie 8. Niech (X n ) będzie martyngałem całkowalnym z kwadratem. Wtedy (a) { X < } {(X n ) zbieżny p.n.}. (b) Jeśli ponadto (X n ) ma przyrosty wspólnie ograniczone, tj. X n K p.n. dla n =1, 2,...,to X (ω) < p.n. na zbiorze {(X n ) zbieżny p.n.}. Dowód. (a). Proces (Xn) 2 jest nieujemnym podmartyngałem, więc z tw. 7 wynika, że { X < } {(Xn) 2 zbieżny p.n.}. Proces (X n +1) 2 jest także nieujemnym podmartyngałem i X+1 n = X n (por. (2)). Dlatego { X < } {(Xn) 2 zbieżny p.n.} {((X n +1) 2 ) zbieżny p.n.} = = {(X n ) zbieżny p.n.}.

388 Dodatek F. Teoria optymalnego stopowania (b). Zdefiniujemy moment stopu γ c =inf{n: X n >c}. Wtedy E ( X 2 n γ c X n γc ) =0. Ponieważ X γ c n X γ c n 1 + Xγ c n X γ c n 1 c + K, to E X n γc = EXn γ 2 c (c + K) 2. (3) Gdyby teraz P ( X =, sup n X n < ) > 0, to istniałaby taka stała c>0,żep (γ c =, X = ) > 0, a to stoi w sprzeczności z (3). Wniosek 9. Jeśli X n = ξ 1 +...+ξ n, ξ n 0, Eξ n < dla n =1, 2,..., a ponadto ciąg (ξ n ) jest adaptowany do filtracji (F n ),to { } E (ξ n F n 1 ) < {(X n ) zbieżny p.n.}. n=1 D o w ó d. Wystarczy zastosować tw. 7 do nieujemnego podmartyngału (X n ) i zauważyć, że (patrz dowód tw. 1): n 1 A n = E (ξ k+1 F k ). k=0 Uwaga 10. Wniosek 9 jest warunkową wersją pierwszej części lematu Borela-Cantelliego. Żeby to zobaczyć, wystarczy wziąć ξ n = 1 Bn, gdzie (B n ) jest ciągiem zdarzeń. F.2. Zagadnienie optymalnego stopowania Przedstawimy zagadnienie optymalnego stopowania w najprostszej sytuacji. W pewnej grze w kolejnych chwilach t =0, 1, 2,...,T wypłaca się kwotę Z t, która jest nieujemną wielkością losową. Gracz może w każdej chwili t wycofać się z gry, inkasując kwotę Z t, może też odrzucić tę propozycję i czekać na lepszy kąsek. Decyzję podejmuje na podstawie dotychczasowego przebiegu gry. Jaką strategię powinien przyjąć gracz, by zoptymalizować swoją wypłatę? Jeśli przez (F t ) oznaczymy σ-ciało zdarzeń, które możemy zaobserwować do chwili t, tociąg(f t ) t T jest filtracją, a proces (Z t ) t T jest adaptowany do tej filtracji. Strategia, czyli moment wycofania się z gry, jest zmienną losową τ, przy czym {τ = t} F t, bowiem zdarzenie to powinno zależeć tylko od obserwacji procesu (Z t ) do chwili t. Krótkomówiąc,τ powinna być momentem stopu względem filtracji (F t ); odwrotnie, każdy taki moment stopu jest dającą się zrealizować strategią.

F.2. Zagadnienie optymalnego stopowania 389 Podsumowując: Z 0,Z 1,Z 2,...,Z T jest ciągiem kolejnych wypłat w pewnej grze,wchwilach0,1,2,...t.zakładamy,żeciąg(z t ) t T jest adaptowany do pewnej filtracji (F t ) t T, przy czym F 0 = {, Ω}. Ponadto zakładamy, że Z t 0dla t =0, 1, 2,...,T. Sprecyzujemy jeszcze cel gracza: chce on wycofać się z gry w takiej chwili, by jego średnia wypłata była jak największa. Stąd następująca definicja. Definicja 1. Moment stopu ν nazywamy optymalnym dla ciągu (Z t ) t T, gdy EZ ν =supez τ, τ Θ gdzie Θ jest zbiorem momentów stopu o wartościach w zbiorze {0, 1,...,T}. Naszym celem jest podanie reguł pozwalających znajdować momenty optymalne. Wprowadzimy pomocniczy proces obwiednię Snella (U t )ciągu (Z t ) t T, zdefiniowaną w następujący sposób: U t =max(z t, E (U t+1 F t )), t T 1, U T = Z T. Z definicji widać, że Z t U t dla 0 t T, czyli (U t )dominuje(z t ). Stwierdzenie 2. Obwiednia Snella (U t ) jest nadmartyngałem. Jest to najmniejszy nadmartyngał dominujący wyjściowy ciąg (Z t ),czyligdy(x t ) jest nadmartyngałem i X t Z t dla 0 t T, to również X t U t dla 0 t T. D o w ó d. Oczywiście U t Z t,0 t T. Sprawdzimy, że (U t )jestnadmartyngałem. Istotnie, mamy U t 1 =max(z t 1, E (U t F t 1 )) E(U t F t 1 ). Pozostaje wykazać, że (U t ) jest najmniejszym nadmartyngałem dominującym (Z t ). Niech zatem (I t ) będzie innym nadmartyngałem o tej własności. Wtedy I T Z T = U T,agdyI t U t,to I t 1 E(I t F t 1 ) E(U t F t 1 ), wobec tego I t 1 max(z t 1, E (U t F t 1 )) = U t 1, gdzie równość wynika z definicji U t 1. Indukcja wsteczna pokazuje teraz, że dla każdego t {1,...T} zachodzi nierówność I t U t,więc(u t ) jest najmniejszym nadmartyngałem dominującym (Z t ).

390 Dodatek F. Teoria optymalnego stopowania Twierdzenie 3. ν 0 =min{t 0: U t = Z t } jest optymalnym momentem stopu, czyli U 0 = EZ ν0 =supez τ. τ Θ D o w ó d. Zdarzenie {ν 0 j} = {ν 0 j 1} F j 1,oraz E ( 1 {ν0 j}(u ν 0 j U ν 0 j 1 ) Fj 1 ) = E ( 1{ν0 j}(u j E(U j F j 1 ) Fj 1 ) = = 1 {ν0 j}e ((U j E(U j F j 1 ) F j 1 )=0, tak więc ciąg o wyrazach U ν 0 t = U t ν0 = U 0 + t j=1 1 {ν0 j}(u ν 0 j U ν 0 j 1 ) jest martyngałem. Ponieważ moment stopu ν 0 T, więc U 0 = U ν 0 0 = EU ν 0 T = EU ν 0 = EZ ν0. Jeśli teraz weźmiemy dowolny moment stopu ν Θ, to ciąg (U ν n )jest nadmartyngałem i U 0 EU ν EZ ν. Wbrew pozorom, metodę otrzymywania optymalnego momentu stopu za pomocą obwiedni Snella można postarać się zrozumieć intuicyjnie. W tym celu rozpatrzmy (kompletnie bezsensowną dla obu stron) grę, w której wypłaty są nielosowe: zmienne losowe Z t są stałymi z t. Wtedy obwiednia Snella jest najmniejszym ciągiem nierosnącym (u t ) dominującym ciąg (z t ), a optymalny moment stopu z twierdzenia 3 jest takim (nielosowym) wskaźnikiem ν, dla którego u 0 = z ν =max t T z t. Podamy teraz charakteryzację momentów optymalnych. Widać z niej, że ν 0 jest minimalnym momentem optymalnym. Twierdzenie 4. Moment stopu ν jest optymalny dla ciągu (Z t ) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki: (i) Z ν = U ν ; (ii) ciąg (U ν t ) t T jest martyngałem. Dowód. Jeśli ν jest optymalny, to EZ ν = U 0,aponieważ(U ν t ) t T jest nadmartyngałem i U dominuje Z, to EU ν U 0 = EZ ν EU ν,

F.2. Zagadnienie optymalnego stopowania 391 czyli EU ν = EZ ν,codajez ν = U ν (z dominacji wiemy już, że Z ν U ν ). Udowodniliśmy (i). Żeby udowodnić (ii), skorzystamy z tego, że (Ut ν ) t T jest nadmartyngałem. Mamy kolejno U ν t E(U ν T F t )=E(U ν F t ), (1) i stąd EU ν = U 0 EU ν t EU ν, EU ν t = EU ν = E (E (U ν F t )), co razem z (1) daje U ν t = E (U ν F t ), więc ciąg (U ν t ) t T jest martyngałem, co kończy dowód (ii). Z(ii) i(i) mamy kolejno U 0 = EU ν = EZ ν. Dla dowolnego momentu stopu τ Θciąg(Un) τ n jest nadmartyngałem, więc U 0 EU τ EZ τ ; ostatnia nierówność wynika z tego, że U dominuje Z. Zatem EZ ν = U 0 =supez τ. τ Θ Przykład 5. Na pewien egzamin, do którego przystępuje n studentów, przygotowano n zestawów pytań. Wchodzący losuje jeden zestaw, który nie jest już wykorzystywany powtórnie. Paweł nauczył się odpowiedzi na k zestawów i teraz obserwuje, które zestawy już się pojawiły, by zdecydować, kiedy wejść na egzamin. Jaką powinien wybrać strategię, by zmaksymalizować średnią szansę zdania egzaminu? Zdarzeniami elementarnymi są ciągi zero-jedynkowe ω =(a 1,...,a n ), gdzie n i=1 a i = k, przy czym a i = 1, gdy Paweł zna odpowiedź na i-te pytanie. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Niech X i (ω) =a i, i =1, 2,...n. Obserwując egzamin do chwili l Paweł zna X 1,X 2,...,X l i na podstawie tej wiedzy decyduje, czy w następnej chwili ma się wycofać czyli zakończyć grę wchodząc na egzamin. Innymi słowy, chwila wycofania się jest momentem stopu względem filtracji (F i ), gdzie F 0 = {, Ω}, F i = σ(x 1,...,X i ), i =1, 2,...n. Jeśli przez Y l oznaczymy szansę zdania egzaminu przy wejściu w chwili l +1, l =0, 1,...,n 1, to zadanie Pawła sprowadzi się do optymalnego zastopowania ciągu Y 0,Y 1,...,Y n 1. Jest oczywiste, że Y 0 = k/n i Y l = k l n l i=1 X i, l =1,...n 1.

392 Dodatek F. Teoria optymalnego stopowania Wyznaczymy obwiednię Snella (U i ) ciągu (Y i ). Jak zwykle, U n 1 = Y n 1, U n 2 =max(y n 2, E (Y n 1 F n 2 )). Zachodzi równość: ( ) k (X1 +...+X n 1 ) E (Y n 1 F n 2 )=E n (n 1) F n 2 = = k (X 1 +...+X n 2 ) E(X n 1 F n 2 ). Żeby wyznaczyć ostatnie wyrażenie, obliczymy (nieco ogólniej) E (X l+1 F l ) dla l =0, 1,...n 1. Ponieważ σ-ciało F l jest skończone, zatem generowane przez atomy, dla ω {X 1 = a 1,...,X l = a l } = A, oznaczając j = l i=1 a i, mamy E (X l+1 F l )(ω) = 1 X l+1 dp = P (A {X l+1 =1}) = P (A) A P (A) ( n (l+1) ) k (j+1) = ) = k j = Y l. Stąd ( n l k j n l = k (X 1 +...+X l ) n l E (Y n 1 F n 2 )=k (X 1 +...+X n 2 ) k (X 1 +...+X n 2 ) = Y n 2. 2 W takim razie U n 2 = Y n 2. Można podejrzewać, że ciąg (Y i ) jest martyngałem i w konsekwencji U i = Y i dla i =0,...,n.Istotnie, ( ) k (X1 +...+X l+1 E (Y l+1 F l )=E n l F l = = k (X 1 +...+X l ) 1 n (l +1) n (l +1) Y l = ( ) n l = Y l n (l +1) 1 = Y l. n (l +1) Z twierdzenia Dooba wynika więc, że dla każdego momentu stopu τ jest EY τ = Y 0 = k n, zatem każda reguła stopu jest jednakowo dobra. F.3. Opcje amerykańskie Rozważmy rynek finansowy opisany w 11.8. Istnieją na nim także opcje typu amerykańskiego, czyli takie, które można realizować w dowolnej chwili t {0, 1,...,T}. Oznaczmy przez Z t zysk z realizacji opcji w chwili t.

F.3. Opcje amerykańskie 393 Wtedy możemy utożsamić opcję z ciągiem (Z t ) t T nieujemnych zmiennych losowych, adaptowanym do filtracji (F t ) t T. Przykładami mogą być amerykańskie opcje kupna (sprzedaży) z ceną wykonania K na akcje o cenie opisanej przez proces S: Z t =(S t K) + (odp. Z t =(K S t ) + ). Podamy sposób wyceny takiej opcji. Ograniczymy się do opisanego w 11.8 modelu Coxa Rossa Rubinsteina (CRR), choć idea przenosi się na przypadek ogólny. Przedtem kilka słów o tym, ile powinna w chwili t kosztować wypłata X, która nastąpi w momencie T. W tw. 11.8.2 wykazaliśmy, że wypłata X jest replikowana za pomocą jednoznacznie określonego portfela, i gdy V t jest procesem wartości tego portfela, to W t = V t /B t jest martyngałem względem miary P (zwanej miarą martyngałową), a W 0 = V 0 jest ceną w chwili 0za wypłatę X w chwili T. Zatem wypłata X jest w chwili t warta ( ) X V t = B t E F t, bowiem B T ( V t VT = W t = E (W T F t )=E B t B T ) ( X F t = E F t Wracamy teraz do kwestii wyceny opcji amerykańskich. W chwili T jej wartością jest U T = Z T. W chwili T 1wystawcaopcjimusimiećtyle,by zabezpieczyć wypłatę Z T 1 w momencie T 1lubZ T w momencie T.Ta ostatnia wypłata jest w chwili T 1warta ( ) ZT B T 1 E F T 1. B T Tyle trzeba mieć, by zabezpieczyć wypłatę Z T w chwili T. Dlatego cena opcji amerykańskiej w chwili T 1jestrówna ( ( )) ZT U T 1 =max Z T 1,B T 1 E F T 1. Cenę opcji dla t =1, 2,...,T definiujemy indukcyjnie wzorem ( ( )) Ut U t 1 =max Z t 1,B t 1 E F t 1. B T B t B T ). B t =(1+r) t Dzieląc obie strony przez B t 1 i oznaczając Ut = U t /B t, Zt = Z t /B t otrzymujemy: Ut 1 =max(z t 1, E (Ut F t 1 )), t T ; UT = ZT. Okazało się, że ciąg zdyskontowanych cen opcji amerykańskich (Ut )jest obwiednią Snella ciągu Zt zdyskontowanych wypłat, czyli (Ut )jestnajmniejszym nadmartyngałem dominującym (Zt ). Wobec tego otrzymujemy jako wniosek z wyników E.2

394 Dodatek F. Teoria optymalnego stopowania Twierdzenie 1. Cena opcji amerykańskiej w chwili 0 jest równa U 0 = U0 =supezτ, τ Θ a ponadto U 0 = EZ ν,gdzieν =min{t: U t = Z t }. Jak wystawca opcji powinien zabezpieczyć wypłatę? Ponieważ U jest nadmartyngałem, to ma rozkład Dooba Ut = M t A t.istniejetaki portfelφ,żev T = V T (Φ) = B T M T (tw. 11.8.2). Z kolei ciąg o wyrazach W t = V t /B t jest martyngałem, więc W t = E (W T F t )=E (M T F t )=M t. Zatem Ut = W t A t,tzn.u t = V t A t B t. Dlatego wystawca opcji może zabezpieczyć się w sposób doskonały: gdy otrzyma zapłatę U 0 = V 0 (Φ), to za pomocą portfela Φ generuje bogactwo V t = V t (Φ), które w chwili t jest nie mniejsze niż U t, zatem nie mniejsze niż Z t. Kiedy zrealizować opcję? A. Z punktu widzenia nabywcy nie ma sensu realizacja w chwili t, jeśli U t >Z t,bozawalorwartu t otrzymamy tylko Z t ; lepiej wtedy sprzedać opcję za U t na rynku. Optymalny moment realizacji τ spełnia równanie U τ = Z τ (ponieważ U t Z t i U T = Z T ), więc Uτ = Zτ. Nie ma też sensu realizacja opcji po chwili ν =min{j: A j+1 0}, bowiem sprzedaż w chwili ν daje U ν = V ν (Φ) i gdy od tej chwili korzystamy z portfela Φ, to mamy więcej niż wartość opcji w chwilach ν +1,..., T, jako że U t = V t (Φ) A t B t i A t > 0dla t>ν. Zatem τ ν, co pozwala stwierdzić, że U τ jest martyngałem: U τ n = M τ n A τ n = M τ n, ponieważ τ n ν i w efekcie A τ n =0. Podsumowując, najlepszy moment realizacji opcji jest optymalnym momentem stopu dla ciągu zdyskontowanych wypłat (Zt ), bowiem spełnione są warunki (i) i(ii) twierdzenia F.2.4. B. Z punktu widzenia wystawcy opcji:wystawcakorzystazportfelaφ,ajeśli nabywca opcji zrealizuje ją w momencie τ innym niż optymalny, to U τ >Z τ lub A τ > 0(jeśli A τ =0,to(U τ t) jest martyngałem; jeśli ponadto U τ = Z τ,toτ jest momentem optymalnym). Zatem w innym, nieoptymalnym momencie τ wystawca opcji ma dodatni zysk V τ (Φ) Z τ =(U τ + A τ B τ ) Z τ = B τ (U τ Z τ )+A τ B τ > 0,

F.3. Opcje amerykańskie 395 bo składniki sumy po prawej stronie są nieujemne, i przynajmniej jeden z nich jest dodatni. Stwierdzenie 2. Niech (C t ) będzie procesem wartości opcji amerykańskiej opisanej przez ciąg adaptowany (Z t ) t T,a(c t ) opcji europejskiej, zdefiniowanej przez zmienną losową h = Z T.WtedyC t c t. Ponadto, jeśli c t Z t dla każdego t {0, 1,...,T}, toc t = C t dla każdego t {0, 1,...,T}. Uwaga 3. Nierówności C t c t należało się spodziewać, bowiem opcje amerykańskie dają posiadaczowi więcej praw niż europejskie. D o w ó d. Ponieważ Ct jest nadmartyngałem względem miary martyngałowej P i C T = Z T = c T,to C t E(C T F t )=E (c T F t )=c t. Udowodniliśmy pierwszą część stwierdzenia. Jeśli teraz c t Z t dla każdego t, toc t Zt,aponieważ(c t ) jest martyngałem, więc tym bardziej nadmartyngałem, to Ct c t, bowiem Ct jest najmniejszym nadmartyngałem dominującym (Zt ). Stąd wynika równość Ct = c t. Przykład 4. Ceny opcji kupna europejskiej i amerykańskiej są równe. Przypomnijmy, że B t =(1+r) t, Z t =(S t K) +. Oznaczmy przez c t i odp. C t ceny europejskiej i odp. amerykańskiej opcji kupna z terminem T i ceną wykonania K. Wtedy c 1 t = (1 + r) T E ( (S T K) + ) F t E ( ST K(1 + r) T ) F t = S t K(1 + r) T. x + x. Ostatnia równość wynika z faktu, że (S t ) jest martyngałem. Stąd c t S t K(1 + r) T +t S t K. Ponieważ c t 0, mamy c t (S t K) + = Z t izestw.1wynika,że c t = C t. W innych przypadkach (np. opcji sprzedaży, opcji kupna na aktywa przynoszące dywidendy) równość nie zachodzi.