Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Transkrypt

1 Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację <, która porządkuje ten zbiór. Zakładamy również: Aksjomat dobrego porządku Każdy niepusty zbiór złożony z liczb całkowitych nieujemnych posiada element najmniejszy Oczywiście w całym zbiorze liczb całkowitych powyższy aksjomat nie jest spełniony (nie ma najmniejszej liczby całkowitej). Jak wiemy każdą liczbę całkowitą dodatnią można podzielić przez inną liczbę dodatnią z resztą. Ideę dzielenia z resztą wyjaśnia następujące twierdzenie. Twierdzenie 1 (Algorytm dzielenia) Niech a, b będą liczbami całkowitymi. Wtedy istnieje dokładnie jedna para liczb całkwitych q, r, taka że a = qb + r i 0 r < b Dowód Rozważmy zbiór S wszystkich liczb postaci a bx, gdzie x jest dowolną liczbą całkowitą, a więc S = {a bx x Z} Nietrudno jest zauważyć, że w zbiorze S istnieją liczby nieujemne. Niech więc S będzie podzbiorem zbioru S złożonym z wszystkich liczb nieujemnych. Mamy więc: S = {s S s 0} Zgodnie z aksjomatem dobrego porządku istnie najmniejsza liczba zawarta w zbiorze S. Oznaczmy tą liczbę przez r, a więc r = min(s ) Oznacza to, że istnieje q, takie że r = a qb i r 0. Pokażemy, że r < b. Niech bowiem r b, wtedy r b 0 i r b < r (bo b > 0) i mamy r b = a qb b = a (q + 1)b 1

2 To oznacza, że r b S i r b jest mniejsze od r, który jest minimalnym elementem w zbiorze S, a więc otrzymujemy sprzeczność. Sprzeczność ta wynikła z założenia, że r b. Zatem musimy być r < b. To daje nam rozkład postaci a = qb + r, gdzie 0 r < b. Teraz trzeba pokazać jednoznaczność rozkładu. Przypuśćmy, że istnieją dwie różne liczby r i r, takie że a = qb + r i a = q b + r i 0 r < b, 0 r < b. Wtedy mamy r > r lub r < r. Wystarczy zbadać jeden z tych przypadków, powiedzmy r > r. Wtedy mamy 0 < r r < b. Odejmując równości a = qb + r, a = q b + r od siebie stronami otrzymujemy 0 = (q q )b + (r r ), a stąd r r = (q q)b b co jest sprzecznością z założeniem r < b. A więc przepadek r > r jest niemożliwy. Podobnie jest w przypadku r < r. To oznacza, że rozkład jest jednoznaczny. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia a przez b. Przykłady 1. a = 4509, b = 145, wtedy a = , a więc resztą z dzielenia 4509 przez 145 jest r = Liczba a może być ujemna na przykład dla a = 4509, b = 145 mamy 4509 = ( 32) , a więc resztą z dzielenia 4509 przez 145 jest r = 131. Trzeba pamiętać, że reszta zawsze musi być liczbą większą od zera. Niech a, b będą liczbami całkowitymi i niech b 0. Wtedy mówimy, że liczba b dzieli a (lub, że b jest dzielnikiem a) jeśli istnieje liczba całkowita c, że a = bc. Fakt, że liczba b dzieli a zapisujemy symbolicznie b a, a jesli liczba b nie dzieli a to piszemy b a. Na przykład bo 96 = Podobnie 4 24 bo 24 = ( 6) ( 4). Liczba 3 nie dzieli liczby 7, a więc możemy zapisać 3 7. Można łatwo zauważyć, że jeśli liczba b dzieli a to liczba b dzieli a. Mamy więc proste stwierdzenie: Liczby a i a mają takie same dzielniki. Inną prostą uwagą jest, że 1 dzieli każdą niezerową liczbę całkowitą, oraz że każda niezerow liczba całkowita dzieli 0. Następne dwie uwagi dotyczą ilości dzielników danej liczby całkowitej: (i) dzielniki niezerowej liczby całkowitej a są mniejsze lub równe a, (ii) niezerowa liczba całkowita ma skończoną ilość dzielników. Na przykład dzielnikami liczby 12 są ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Niech a i b będą liczbami całkowitymi, z których przynajmniej jedna jest różna od zera. Wtedy największym wspólnym dzielnikiem tych liczb nazywamy największą liczbę całkowitą d, która dzieli jednocześnie a i b. Naj- 2

3 większy wspólny dzielnik oznaczamy przez NWD(a, b) i jest on wyznaczony (w tym przypadku) jednoznacznie. Inaczej mówiąc d = NWD(a, b) wtedy i tylko wtedy gdy (ii) jeśli c a i c b to c d. Z powyższej definicji widać, że NWD(a, b) 1. Na przykład NWD(12, 30) = 6. Problemem, który tu się pojawia jest konstruktywne wyznaczanie największego wspólnego dzielnika dwóch liczb. Problem ten można rozwiązać następująco. Zauważmy, że NWD(a, b) = NWD( a, b) = NWD(a, b) = NWD( a, b). Zatem możemy ograniczyć się do przepadku gdy a i b są liczbami dodatnimi. Załóżmy dodatkowo, że a b. Oczywiście jeśli b a to NWD(a, b) = b i problemu nie ma. Przypuśćmy, że b a wtedy możemy a podzielić przez b z niezerową resztą: a = q 0 b + r 0, 0 < r 0 < b Jeśli liczba c dzieli a i dzieli b to ta liczba musi dzielić również r 0. Oznacza to, że zbiór dzielników liczb a, b jest taki sam jak zbiór dzielników liczb b, r 0, a więc również NWD(a, b) = NWD(b, r 0 ). Można więc proces dzielenia z resztą kontynuować w następujący sposób: a = q 0 b + r 0, 0 < r 0 < b b = q 1 r 0 + r 1, 0 < r 1 < r 0 r 0 = q 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2. a więc w następnym kroku dzielimy poprzednią resztę przez następną resztę. Można zauważyć, że NWD(a, b) = NWD(b, r 0 ) = NWD(r 0, r 1 ) = NWD(r 1, r 2 ) =... i ponieważ ciąg reszt jest ściśle malejącym ciągiem liczb całkowitych nieujemnych to po skończonej ilości kroków musimy otrzymać resztę równą zero. Zgodnie z wcześniejszym stwierdzeniem największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b będzie ostatnia niezerowa reszta w tym procesie. Opisany algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika nosi nazwę Algorytmu Euklidesa. Pokażemy teraz na przykładzie działanie tego algorytmu. Zadanie Wyznaczyć przy pomocy Algorytmu Euklidesa największy wspólny 3

4 dzielnik liczb 324 i 148. A więc wykonujemy kolejne dzielenia: 324 = = = = Ostatnią niezerową resztą jest 4. To oznacza, że NWD(324, 148) = 4. Jest to dużo lepszy i szybszy algorytm od rozkładania liczb na czynniki pierwsze. Pokażemy, że powyższy algorytm może posłużyć do znalezienia takich liczb całkowitych u, v, że 324u + 148v = 4. Najpierw z przedostatniego kroku możemy wyznaczyć 4 jako: 4 = dalej krok wyżej mamy 8 = podstawiając to do wcześniej otrzymanego wzoru mamy: 4 = = 28 3 ( ) = w kroku wyżej mamy formułę na 28, więc możemy otrzymać: 4 = = = 16 ( ) = co daje nam jedno z możliwych rozwiązań całkowitych równania 324u + 148v = 4, a mianowicie u = 16, v = 35. A więc Algorytm Euklidesa można wykorzystywać nie tylko do poszukiwania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb, ale również do rozwiązywania równań typu ax + by = NWD(a, b). A więc prawdziwe jest następujące Twierdzenie. Twierdzenie 2 Niech a, b będą dwiema liczbami całkowitymi z których przynajmniej jedna liczba jest różna od 0. Wtedy istnieją liczby całkowite u, v, takie że ua + vb = NWD(a, b) Z powyższego twierdzenia wynika natychmiast następujący wniosek: Wniosek 1 Liczba d jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b wtedy i tylko wtedy gdy (ii) jeśli c a i c b to c d 4

5 Dowód ( ) Niech d = NWD(a, b) wtedy zgodnie z powyższym twierdzeniem istnieją liczby całkowite u i v takie, że d = ua+vb. Jeśli liczba c a i c b to a = kc, b = lc dla pewnych k, l. Stąd d = ukc + vlc = (uk + vl)c, a więc c d. ( ) Jeśli c d to c d a więc punkty (i), (ii) pociągają warunki: (ii) jeśli c a i c b to c d które stanowią definicję największego wspólnego dzielnika. Liczby a i b nazywamy względnie pierwszymi jeśli NWD(a, b) = 1. Twierdzenie 3 Jeśli a bc i liczby a, b są względnie pierwsze to a c. Dowód Ponieważ NWD(a, b) = 1 to zgodnie z powyższym Twierdzeniem istnieją liczby u, v takie, że ua + vb = 1. Mnożąc to równanie obustronnie przez c mamy uac + vbc = c. Ponieważ a bc to istnieje k, że bc = ka, a więc uac + vka = c. Stąd (uc + vk)a = c, więc a c. 5