DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6-8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Własności procesów STUR w świele meod z eorii chaosu 1 1. Wprowadzenie Procesy ze sochasycznym pierwiaskiem jednoskowym STUR posiadają pierwiaski wielomianu charakerysycznego oscylujące w czasie wokół jedynki, co powoduje, że procesy e okresowo zachowują się jak procesy sacjonarne. Ich wykorzysanie do modelowania zjawisk ekonomicznych wymaga zasosowania właściwej meody idenyfikacji. Tradycyjne esy na obecność pierwiaska jednoskowego nie są w sanie rafnie rozróżnić procesów STUR od procesów zinegrowanych. W niniejszej pracy rozważono dwie meody idenyfikacji szeregów czasowych, wywodzące się z eorii chaosu analizę R/S oraz szacowanie największego wykładnika Lapunowa. Przeprowadzono symulacje, kórych celem było zweryfikowanie, czy meody e mogą sać się skuecznym narzędziem idenyfikacji procesów STUR. 2. Isoa i idenyfikacja procesów STUR Jedna z reprezenacji procesów ze sochasycznym pierwiaskiem jednoskowym, wprowadzona przez Grangera i Swansona (1997) definiuje e procesy jako: x = a x 1 + ε, (1) 1 Praca naukowa finansowana ze środków Komieu Badań Naukowych w laach 2003-2006 jako projek badawczy.
186 2 ε jes procesem i.i.d. ze średnią zero i wariancją σ ε, naomias = exp( α ) dla pewnego, niezależnego od ε sacjonarnego procesu gdzie a α ~ N(0; 2 σ α ). W szczególnym wypadku, rozparywanym w niniejszej pracy, przyjmuje się, że α jes procesem AR(1), zn.: α = µ + ρα 1 + η, (2) gdzie < 1 2 σ η ρ i η ~ N(0; ) jes procesem i.i.d. niezależnym od Procesy STUR można rakować jako szczególną klasę znanych w lieraurze procesów ze zmiennym paramerem, a akże jako pewne uogólnienie procesów z pierwiaskiem jednoskowym. Przykładowo, wpros z definicji procesu STUR wynika, że jeśli α = 0 dla każdego, wówczas x jes błądzeniem przypadkowym. Jednak w ogólnym wypadku, pierwiaski wielomianu charakerysycznego procesu STUR oscylują w czasie wokół jedynki, czego efekem są zmiany charakeru procesu w różnych okresach. Wykorzysanie procesów STUR do modelowania szeregów czasowych wymaga zasosowania odpowiedniej meody ich idenyfikacji. Granger i Swanson (1997) przeprowadzili symulacje, kóre wykazały, że jedna z najpopularniejszych meod badania wysępowania pierwiaska jednoskowego rozszerzony es Dickey-Fullera ADF, nie jes w sanie rafnie rozróżnić szeregów wygenerowanych przez STUR i model błądzenia przypadkowego. W 1996 r. Leybourne, McCabe i Tremayne zaprezenowali es, kóry lepiej niż ADF idenyfikuje procesy STUR. Należy jednak podkreślić, że przeprowadzone symulacje wykazały, że jego skueczność zależy w dużym sopniu od długości badanych szeregów oraz od wariancji (Granger, Swanson 2 (1997)). σ η ε. 3. Analiza R/S Analiza przeskalowanego zakresu, zwana analizą R/S, bada isnienie efeku długiej pamięci i z ego powodu sosowana jes do idenyfikacji zachowania nielosowego w szeregach czasowych. Algorym obliczania przeskalowanego zakresu dla zadanego szeregu y, gdzie = 1, 2,..., n, przebiega według nasępujących eapów (por. Peers (1994)): (n) (n) 1. Obliczenie warości średniej M i odchylenia sandardowego S dla y. k k = 1 = max ( Yk ) min ( Yk k k 2. Wyznaczenie szeregu Y = ( y M ), dla k = 1,2,..., n. 3. Obliczenie rozsępu R ).
Własności procesów STUR w świele meod z eorii chaosu 187 df = 4. Obliczenie przeskalowanego zakresu R / S R n. S Zasadniczym wynikiem analizy R/S jes wykładnik Hursa. W celu wyznaczenia jego warości szereg czasowy x, = 1,2,..., N, należy podzielić na podciągi długości n, gdzie n jes kolejno każdym z dzielników liczby N, spełniającym warunek 2 2 n N/2. Przy usalonym n, dla każdego wyodrębnionego ( i) S n i-ego podciągu oblicza się warość R /, posępując według kroków 1 4. Nasępnie wyznacza się średnią arymeyczną R / ( i) S n, przyjmując ją za szukaną warość R / S n dla rozważanego n. Sosując ę procedurę dla kolejnych n orzymuje się ciąg warości ( R / S n ), zaś podsawą R/S analizy jes ich poęgowa zależność od liczby n: R / S n = a n lub równoważnie: h( N ), (3) ln ( R / S n ) = h( N)ln n + ln a, (4) gdzie liczbę h(n) nazywa się wykładnikiem Hursa, zaś a jes pewną sałą. Warość wykładnika Hursa szacuje się jako współczynnik regresji równania 4. Wykładnik różny od 0.5 świadczy o ym, że kolejne obserwacje szeregu x zawierają w sobie długookresową pamięć o poprzedzających je obserwacjach, a więc nie są niezależne. Jednak należy podkreślić, że choć wykładnik Hursa szeregu losowego (zn. wygenerowanego przez proces i.i.d.) jes równy 0.5, o dopiero dla odpowiednio dużych N oszacowane h(n) będą zbliżały się do ej warości granicznej. Zaem, aby wyciągnąć wnioski na ema losowości badanego szeregu, należy oszacowany wykładnik Hursa porównać z warością oczekiwaną wykładnika szeregu losowego ej samej długości. W ym celu należy najpierw obliczyć E( R / Sn ) w oparciu o wzór aproksymacyjny. Jednym z akich wzorów jes formuła Anisa i Lloyda (1976): n 1 Γ n 1 2 n i E( R / S n ) =, (5) n i= 1 i π Γ 2 gdzie Γ(z) funkcja gamma, określona wzorami: z Γ( z + ) = (2z 1)!! Γ( ) = ( z 1)!, 1 π 2 2 z. (6) 2 Dla poprawy wiarygodności wyników zaleca się dobierać n począwszy od nieco większych warości, np. n 10 ( Peers (1994), s. 63).
188 4. Największy wykładnik Lapunowa Wykładniki Lapunowa są miarą empa oddalania/zbliżania się w kolejnych ieracjach począkowo bliskich sobie sanów sysemu dynamicznego. Mierzą one wrażliwość sysemu na zmianę warunków począkowych, kóra jes podsawowym arybuem chaosu deerminisycznego. Isnienie w sysemie dodaniego wykładnika Lapunowa oznacza, że począkowo bliskie sobie rajekorie oddalają się od siebie w kolejnych ieracjach w empie wykładniczym. Im większa jego warość, ym większa wrażliwość sysemu, a więc i wyższy poziom chaosu. Do wyznaczenia największego wykładnika Lapunowa w oparciu o szereg czasowy wykorzysano w niniejszej pracy algorym zaproponowany niezależnie przez Kanza (1994) oraz Rosenseina i in. (1993). Algorym przebiega według nasępujących kroków (por. Kanz, Schreiber (1997)): m 1) Dla każdego wekora opóźnień xˆ = x, x,..., x ), gdzie i = ( m 1) lag + 1,..., N wyznacza się zbiór Oi, złożony z k najbliższych (w sensie zadanej meryki) jego sąsiadów xˆi j. 2) Dla każdego i = ( m 1) lag + 1,..., N, oraz n = 0,1,..., nmax oblicza się: 1 d n ( i) = xi+ n xi j + n, (7) k m xˆ O i j i i m ( i i lag i ( m 1) lag gdzie n max jes usaloną liczbą nauralną, określającą liczbę ieracji, w rakcie kórych obserwowane jes rozbieganie się sanów sysemu. 3) Wyznacza się średnią z d n (i) po wszyskich wekorach opóźnień: N 1 d n = d n ( i). (8) N-(m-1 )lag i= ( m 1) lag + 1 4) Największy wykładnik Lapunowa λ szacuje się jako współczynnik regresji: ( d n ) ln( d ) + λ n ln, dla n 1. (9) = 0 Analizując algorym, można zauważyć, że jego wyniki zależą od przyjęych a priori: meryki i warości paramerów m, lag, k oraz n max (por. np. Orzeszko (2003)). 5. Wyniki symulacji Badaniu poddano proces STUR wykorzysany przez Grangera i Swansona (1997) do oceny przydaności esu ADF do idenyfikacji procesów STUR. Pro-
Własności procesów STUR w świele meod z eorii chaosu 189 ces en jes zdefiniowany równaniami 1 i 2 dla ρ = 0. 6, µ = 0. 00003125. 3 Procesy ε ~ N(0; 1) oraz η ~ N(0; 0.01) wygenerowano niezależne od siebie przy wykorzysaniu generaora liczb pseudolosowych. Z analizowanego procesu STUR wygenerowano 1000 szeregów czasowych, składających się z 250 obserwacji. Równolegle, dla porównania orzymanych rezulaów rozważono proces błądzenia przypadkowego x = x 1 + ε, z kórego również wygenerowano 1000 szeregów, składających się z 250 obserwacji. W pierwszej kolejności zasosowano analizę przeskalowanego zakresu. W ym celu wyznaczono szeregi przyrosów x = x x 1, co prowadzi do 249 obserwacji. Ponieważ liczba 249 ma ylko 4 dzielniki badaniu poddano skrócone szeregi, składające się z 240 pierwszych obserwacji (20 dzielników) 4. Obliczona ze wzoru Anisa i Lloyda oczekiwana warość wykładnika Hursa dla szeregu losowego wynosi E ( h(240)) = 0.5760. W abeli 1 zamieszczono wyznaczone charakerysyki rozkładu empirycznego wykładników Hursa, oszacowanych dla pierwszych przyrosów szeregów wygenerowanych z procesu STUR i błądzenia przypadkowego 5 RW. Tabela 1. Charakerysyki rozkładu empirycznego wykładników Hursa STUR RW Średnia h 0.6057 0.5700 Mediana 0.6038 0.5721 Maksimum 0.8088 0.7764 Minimum 0.4054 0.3219 Odchylenie sandardowe 0.0716 0.0618 Saysyka Jarque a-bery (warość p) 3.404 (0.182) 15.203 (0.001) Źródło: obliczenia własne 0 = 1 > Tes Jarque a-bery nie odrzucił hipoezy o normalności rozkładu wykładników Hursa dla procesu STUR. Z ego powodu do weryfikacji hipoezy zerowej H : h 0. 5760 względem hipoezy alernaywnej H : h 0, 5760 za- 0.6057 0.5760 sosowano saysykę Z = 1000 =13.117. Orzymana warość 0.0716 w isony sposób prowadzi do odrzucenia H 0 na korzyść hipoezy alernaywnej. Oznacza o, że analiza R/S daje średnio wyższe warości wykładników Hursa dla procesu STUR niż dla RW, a więc może być rakowana jako narzędzie różnicujące szeregi pochodzące od ych procesów. 3 Przy usalonym ρ warość µ jes ak dobrana, aby E( a ) = 1. 4 Zby mała liczba dzielników pogarsza wiarygodność szacunków współczynników regresji równania 4 (por. Peers (1994)). 5 Oczywiście w przypadku błądzenia przypadkowego pierwsze przyrosy są po prosu procesem ε.
190 Dodakowo, przy zasosowaniu esu Smirnowa-Kołmogorowa zweryfikowano hipoezę o zgodności rozkładów wykładników Hursa dla procesów STUR i RW 6. Warość saysyki Smirnowa-Kołmogorowa wyniosła SK = 5.277, co zarówno dla poziomów isoności α = 0.05, jak i α = 0.01 oznacza odrzucenie hipoezy zerowej o zgodności rozkładów. Orzymany wynik powierdza różnice pomiędzy wykładnikami Hursa obu rozważonych procesów. W drugiej kolejności zasosowano meodę szacowania największego wykładnika Lapunowa. Ponieważ niesacjonarność może być czynnikiem negaywnie wpływającym na przebieg działania meod idenyfikacji chaosu (por. Kanz, Schreiber (1997), s.102), więc badaniu poddano szeregi przyrosów x, = 2,3,..., 250. Celem badania była weryfikacja, czy w szeregach STUR obecna jes wykładnicza wrażliwość na zmianę warunków począkowych oraz, czy meoda rozróżnia szeregi STUR od wygenerowanych przez proces błądzenia przypadkowego. W algorymie przyjęo warości paramerów lag = 1, k = 1, n max = 5 oraz kolejno m =1, 2,3,5, 7,10,15. W abeli 2 podsumowano charakerysyki orzymanych rozkładów empirycznych. W oparciu o orzymane rezulay dokonano weryfikacji hipoezy o nieisoności największych wykładników Lapunowa. W pierwszej kolejności badaniu poddano wykładniki dla procesu STUR. Posawiono hipoezę zerową H 0 : λ = 0 wobec alernaywnej H 1 : λ > 0. Z uwagi na wyniki esu Jarque a- Bery, kóry wskazał na brak podsaw do odrzucenia hipoezy o normalności rozkładów, do weryfikacji isoności wykładników zasosowano saysykę λ Z = 1000. W abeli 3 podsumowano obliczone warości ej saysyki, dla σ kolejnych m. Symbolem * i ** oznaczono warości prowadzące do odrzucenia H 0 na poziomie isoności odpowiednio 0.05 i 0.01. Jak widać orzymane rezulay prowadzą do przyjęcia hipoezy alernaywnej, oznaczającej wykładniczą wrażliwość na zmianę warunków począkowych. Należy jednak podkreślić, że oszacowane średnie warości wykładników Lapunowa są bardzo małe (zob. abela 2), a więc zidenyfikowana wrażliwość jes sosunkowo niewielka. Odmienne, a jednocześnie zgodne z oczekiwaniami, rezulay orzymano dla wykładników procesu RW. W ym wypadku warości saysyki Z nie dają podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej 7. 6 Aby uniknąć kolizji oznaczeń saysykę Smirnowa-Kołmogorowa, kórą zwykle w lieraurze oznacza się podobnie jak wykładniki Lapunowa symbolem λ, w niniejszym arykule nazwano SK. 7 Dla m = 3 oraz m = 5 w badaniu posawiono hipoezę H 1: λ > 0, naomias dla pozosałych H 1 : λ < 0.
Własności procesów STUR w świele meod z eorii chaosu 191 Tabela 2. Charakerysyki rozkładu empirycznego największych wykładników Lapunowa Średnia λ Mediana Max Min σ Saysyka Jarque a-bery (warość p) m=1 STUR 0.0017 0.0010 0.0849-0.0767 0.0264 3.116 (0.211) RW -0.0006-0.0014 0.0864-0.0973 0.0258 1.436 (0.488) m=2 STUR 0.0024 0.0018 0.0947-0.0891 0.0273 0.581 (0.748) RW -0.0003 0.0009 0.0934-0.0886 0.0265 1.108 (0.575) m=3 STUR 0.0028 0.0018 0.0860-0.0690 0.0273 1.464 (0.481) RW 0.0005 0.0007 0.0997-0.0953 0.0278 1.273 (0.529) m=5 STUR 0.0021 0.0020 0.0941-0.0823 0.0270 3.449 (0.178) RW 0.0008 0.0005 0.0928-0.0914 0.0264 4.165 (0.125) m=7 STUR 0.0015 0.0018 0.0991-0.0811 0.0279 0.740 (0.691) RW -0.0013-0.0017 0.0839-0.1078 0.0274 3.067 (0.216) m=10 STUR 0.0015 0.0019 0.0766-0.0816 0.0264 0.369 (0.832) RW -0.0001-0.0011 0.0826-0.0900 0.0258 2.077 (0.354) m=15 STUR 0.0023 0.0025 0.0924-0.0746 0.0254 0.707 (0.702) RW -0.0007-0.0007 0.0768-0.0969 0.0249 1.458 (0.482) Źródło: obliczenia własne Tabela 3. Warości saysyki Z w eście isoności wykładników Lapunowa m=1 m=2 m=3 m=5 m=7 m=10 m=15 STUR 2.024* 2.832** 3.235** 2.401** 1.655* 1.794* 2.816** RW -0.731-0.327 0.593 0.952-1.544-0.182-0.892 Źródło: obliczenia własne Przeprowadzone badanie pozwala na swierdzenie, że poprzez analizę znaku oszacowanego największego wykładnika Lapunowa możliwe jes rozróżnienie realizacji procesów STUR i błądzenia przypadkowego. Dodakowo, podobnie jak w przypadku analizy R/S, przeprowadzono es Smirnowa-Kołmogorowa do weryfikacji hipoezy o zgodności rozkładów największych wykładników Lapunowa dla procesów STUR i RW. Obliczone warości saysyki SK zaprezenowano w abeli 4. Tabela 4. Warości saysyki SK w eście zgodności rozkładów wykładników Lapunowa m=1 m=2 m=3 m=5 m=7 m=10 m=15 SK 1.185 1.096 0.850 0.738 1.476* 1.163 1.431* Źródło: obliczenia własne
192 Przy poziomie isoności α = 0. 05 es odrzucił hipoezę o zgodności rozkładów dla m = 7 oraz m = 15. Oznacza o, że w świele esu Smirnowa- Kołmogorowa, meoda szacowania największego wykładnika Lapunowa może sać się narzędziem rozróżniania realizacji procesów STUR i RW pod warunkiem, że zosanie dobrana odpowiednia warość parameru m. Lieraura Anis, A. A., Lloyd, E. H. (1976), The expeced value of he adjused rescaled Hurs range of independen normal summands, Biomerika, 63, 111 116. Granger, C. W. J., Swanson, N. R. (1997), An inroducion o sochasic uni-roo processes, Journal of Economerics, 80, 35 62. Kanz, H. (1994), A robus mehod o esimae he maximal Lyapunov exponen of a ime series, Physical Leers A, 185, 77. Kanz, H., Schreiber, T. (1997), Nonlinear ime series analysis, Cambridge Universiy Press, Cambridge. Kwiakowski, J., Osińska, M. (2003), Procesy zawierające sochasyczne pierwiaski jednoskowe idenyfikacja i zasosowanie, w: Dynamiczne Modele Ekonomeryczne, Maeriały na VIII Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, Wydawnicwo UMK, Toruń, 273 281. Kwiakowski, J., Osińska, M. (2004), Forecasing STUR processes. A comparison o hreshold and GARCH models, w druku. Leybourne, S. J., McCabe, B. P. M., Tremayne, A. R. (1996), Can Economic Time Series Be Differenced o Saionariy?, Journal of Business & Economic Saisics, 14, 435 446. Orzeszko, W. (2003), Wpływ doboru meod rekonsrukcji przesrzeni fazowej na efekywność prognozowania chaoycznych szeregów czasowych, w: Dynamiczne Modele Ekonomeryczne, Maeriały na VIII Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, Wydawnicwo UMK, Toruń, 349 356. Peers, E. E. (1994), Fracal marke analysis, John Wiley & Sons Inc., New York. Rosensein, M. T., Collins, J. J., De Luca, C. J. (1993), A pracical mehod for calculaing larges Lyapunov exponens from small daa ses, Physica D, 65, 117 134.