Analiza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań

Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 208/9 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p p)), 3. = ((p q) r) (p (q r)) (łączość spójików ) 4. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 5. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 6. = (p q) ( p q) (prawo elimiacji implikacji), 7. = ( (p q)) (p q). Podaj iterpretację dwóch pierwszych tautologii. Uwaga: = φ ozacza, że φ jest tautologią. Zadaie 2 Pokaż, że jeśli Ja umie fizykę i Ja ie umie fizyki, to Ja umie biologię.. Sformułuj odpowiedią tautologię. 2. Podaj ie przykłady zastosowaia tej tautologii. Zadaie 3 Niech φ ψ ozacza, że = (φ ψ). Pokaż, że dla dowolych zdań φ, ψ, η mamy. φ φ (zwrotość) 2. Jeśli φ ψ to ψ φ (symetria) 3. Jeśli φ ψ oraz ψ η to φ η (przechodiość). Zadaie 4 Pokaż, że spójiki,, możesz zdefiiować za pomocą spójików oraz. Pokaż rówież, że spójiki,, możesz zdefiiować za pomocą spójików oraz. Zadaie 5 Zapisz, stosując otację matematyczą, astępujące zdaia i formuły:. p jest liczbą pierwszą, 2. istieje ajmiejsza liczba aturala, 3. ie istieje ajwiększa liczba aturala, 4. ie istieje ajmiejsza liczba rzeczywista dodatia. Zastosuj zae prawa logiki do uproszczeia tych wyrażeń. Zadaie 6 Podaj iterpretację astępujących zdań. ( (0, ))( N)( < ), 2. ( R)( 2 0), 3. (, y R)( < y = y > y),

4. ( a N)(, 2, 3, 4 N)(a = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4), 5. ( R)( y R)(y ). Zadaie 7 Niech R(, y) ozacza, że " jest rodzicem y". Niech K() ozacza, że " jest kobietą". Zdefiiuj, korzystając z otacji matematyczej oraz predykatów R i K, astępujące predykaty:." jest dziadkiem y", 2." jest siostrą y", 3." jest bratem y", 4." jest ciotką y"..2 Zbiory Zadaie 8 Niech A = [0, 2] oraz B = [, 3). Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie 9 Niech A = {(, y) R 2 : 2 + y 2 } oraz B = {(, y) R 2 : 2 <, y < 3 2 }. Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie 0 Odcikiem azywamy dowoly podzbiór A R taki, że Spróbuj opisać rodzię wszystkich odcików. ( a, b, c) (((a < b < c) (a A) (c A)) b A). Zadaie Niech A, B Ω oraz iech X c ozacza dopełieie zbioru X Ω do przestrzei Ω. Udowodij prawa de Morgaa dla zbiorów A i B, czyli pokaż, że. (A B) c = A c B c 2. (A B) c = A c B c Pokaż rówież, że 3. (A c ) c = A Zadaie 2 Wymień wszystkie pozae do tej pory wariaty praw de Morgaa. Zadaie 3 Niech A i B będą zbiorami. Pokaż, że astępujące zdaia są rówoważe:. A B 2. A B = B 3. A B = A. * Zadaie 4 Mamy ustaloe dwa zbiory A, B Ω. Ile zbiorów możesz zdefiiować z tych zbiorów za pomocą operacji,,\ oraz c (dopelieie do zbioru Ω). Uogólij to zadaie a trzy zbiory..3 Podstawowe zbiory liczbowe Zadaie 5 Uprość astępujące wyrażeia:. 2 + 3 + 5, 2 + 2 3 2. (2 4 ) 2, 2 (42 ) + 2 5, + 5 Zadaie 6 Niech a, b, c > 0 i a. Udowodij astępujące własości fukcji logarytmiczych:. log a (b c) = log a (b) + log a (c) 2. log a (b k ) = k log a (b) dla dowolego k R 3. log a () = log b () log b (a) dla b. Zadaie 7 Uprość astępujące wyrażeia:. log 0 (0 2 5 4 ), 4 log 2 (5), log 3 (27 3) 2

2. 2 2 log 4 +3 log 8 3, 9 log 3 5 Zadaie 8 Przypomij sobie dowód tego, że 2 / Q. Pokaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to p jest liczbą iewymierą. * Zadaie 9 Pokaż, że jeśli N jest taką liczbą aturalą, że Q to istieje liczba aturala k taka, że = k 2. Zadaie 20 Pokaż, że jeśli q Q, to 2 + q / Q. Dla jakich liczb wymierych q Q mamy q 2 Q? Zadaie 2 Niech a = 3.45926535897932385.... Dla N defiiujemy liczby a = a 0 0. Wyzacz pierwsze 0 wyrazów tego ciągu, tz. oblicz liczby a 0, a,..., a 9. Uwaga: ozacza część całkowitą liczby.. Zadaie 22 Pokaż, że dla dowolych liczb rzeczywistych oraz y mamy. ( + y)( y) = 2 y 2 2. ( + y) 2 = 2 + 2y + y 2 3. ( + y) 3 = 3 + 3 2 y + 3y 2 + y 3 4. Z jakich własości liczb rzeczywistych korzystałaś/korzystałeś podczas dowodzeia tych wzorów? Zadaie 23 Dla jakich par liczb rzeczywistych i y zachodzi rówość ( + y) 2 = 2 + y 2? Zadaie 24 Pokaż metodą idukcji matematyczej, że. + 2 +... + = 2( + ). Uwaga: Musisz rówież zać proste wyprowadzeie tego wzoru.. 2. 2 + 2 2 +... + 2 = 6( + )(2 + ) ( ) 2 3. 3 + 2 3 +... + 3 = (+) 2 4. ( N)( < 2 ) 5. ( 4)( 2 < 2 ) 6. ( 4)(2 <!) 7. ( )(6 ( 3 ) Zadaie 25 Pokaż, korzystając z poprzediego zadaia, że + 3 + 5 +... + (2 + ) = ( + ) 2. Podaj iterpretację geometryczą tego faktu. Zadaie 26 Załóżmy, że 0 < < 2 <... jest ieskończoym ciągiem liczb aturalych. Pokaż, że ( k N)(k k ). Zadaie 27 Wyzacz samodzielie sześć pierwszych wierszy trójkąta Pascala. Wypisz wzory a ( + y) dla = 0,, 2,..., 5. ( k ). Jak moża tę obserwację wykorzystać do wyza- Zadaie 28 Pokaż, że jeśli 0 < k, to ( k czaia wartości ( k)? ) = k * Zadaie 29 Symbolem X ozaczamy liczbę elemetów skończoego zbioru X. Niech X będzie - elemetowym zbiorem. Dla k określamy [X] k = {Y X : Y = k}.. Pokaż, że [X] k = ( k). 2. Korzystając z poprzediego wyiku podaj kombiatorycze wyprowadzeie tożsamości Pascala ( ( k+ ) = ( + k+). k) + 3

3. Symbolem P (X) ozaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Pokaż, że jeśli X = to P (X) = 2. Zadaie 30 Korzystając ze wzoru dwumiaowego Newtoa pokaż, że. 2. k=0 k=0 (a + b) = k=0 ( ) a k b k k ( ) k = 2 i podaj iterpretację kombiatorycza tego faktu ( ) k ( ) k = 0. Zadaie 3 Narysuj wykres wartości ( ) 20 k dla k = 0,..., 20. Która z tych liczb jest ajwiększa? Uogólij to spostrzeżeie dla ciągu liczb ( ( k) )k=,..., dla dowolego. Wskazówka: Możesz, p., skorzystać z fukcji KOMBINACJE programu Ecel. Zadaie 32 Pokaż, że ( ) a+b k ( k = a b l=0 l)( k l)..4 Liczby rzeczywiste Zadaie 33 Za pomocą wyszukiwarki Google arysuj wykresy różych fukcji kwadratowych (p. wprowadź w pasku zapytań wyrażeie 2 5 + ). Zapozaj się z likami umieszczoymi a stroie http:// ki.pwr.edu.pl/studeciolietools.php. Spróbuj arysować wykresy fukcji kwadratowych za pomocą serwisu Wolfram Alpha. Zadaie 34 Wyzacz astępujące zbiory:. A = { R : 2 3 + 2 > 0}, 2. B = { R : 2 4 + 3 0}, 3. C = { R : 2 4 + 3 0}, 4. D = { R : 2 4 + 3 > 0}. * Zadaie 35 Sformułuj samodzielie pojęcie kresu dolego podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - ozaczmy go przez if(a). Pokaż, że if(a) = sup( A), gdzie A = { a : a A}. Wywioskuj z tego, że każdy ograiczoy z dołu podzbiór R ma kres doly. Zadaie 36 Wyzacz kresy dole i góre astępujących zbiorów:. { + : N} 2. (0, ) (3, 4] 3. (0, ] Q 4. [0, ] \ Q 5. N 6. Z * Zadaie 37 Niech A = { 0 : 2 < 2}. Pokaż, że sup(a) 2 = 2 (czyli, że sup(a) = 2). Zadaie 38 Korzystając z tego, że si 2 () + cos 2 () = pokaż, że si() + 2 cos() 5 dla każdego R. Wskazówka: Skorzystaj z ierówości Cauchy ego. Zadaie 39 Pokaż, że dla dowolego ciągu liczb a,... a zachodzi ierówość a +... + a a 2 +... + a2..5 Przestrzeie metrycze - I Zadaie 40 Sprawdź, że fukcja d(, y) = y jest metryką a R. 4

Zadaie 4 Niech X będzie dowolym zbiorem iepustym. Dla (, y) X X defiiujemy { : y d(, y) = 0 : = y Pokaż, że para uporządkowaa (X, d) jest przestrzeią metryczą. Uwaga: Metrykę tę azywamy metryką dyskretą a zbiorze X. Zadaie 42 Na zbiorze R 2 określamy fukcję Pokaż, że d jest metryką a R 2. Uwaga: Metrykę tę azywamy metryką l a zbiorze R 2. Zadaie 43 Na zbiorze R 2 określamy fukcję Pokaż, że d jest metryką a R 2. Uwaga: Metrykę tę azywamy metryką l a zbiorze R 2. d ((, y ), ( 2, y 2 )) = 2 + y y 2 d ((, y ), ( 2, y 2 )) = ma{ 2, y y 2 } Zadaie 44 Rozważamy przestrzeń R 2. Narysuj kule K((0, 0), ) w metrykach euklidesowej, l oraz l. Zadaie 45 Rozważamy przestrzeń liczb zespoloych C. Narysuj kule K(0, ) w stadardowej metryce e zbiorze C (czyli w metryce d(z, z 2 ) = z z 2 ). Zadaie 46 Jak wyglądają kule w metryce dyskretej? 2 Graice ciagów Zadaie 47 Niech (X, d) będzie przestrzeią metryczą. Niech g, g 2 X oraz iech (a ) 0 będzie ciągiem elemetów X. Pokaż, że jeśli lim a = g oraz lim a = g 2 to g = g 2. Uwaga: Iterpretacja tego zadaia: graica ciągu jest wyzaczoa jedozaczie. Zadaie 48 Pokaż, że ciąg ( ) jest ograiczoy. Wskazówka: Skorzystaj z Zadaia 24.4. Zadaie 49 Oblicz graice astępujących ciągów:. a = 3+ +2, 2. b = 2 + 2 +3, 3. c = 22 ++3 2 +3+, 4. d = 32 ++5 2 ++, 5. e = 3 ++3 2 +3+3, 6. f = 3 +2+2 2 +2+, 7. g = 22 ++3 5 +3+2, 8. h = 2 ++3 3 + 2 +. Zadaie 50 Dlaczego ciąg a = ( ) + ie jest zbieży? Zadaie 5 Dlaczego ciąg a = ( 2) ie jest zbieży? Zadaie 52 Bezpośredio z defiicji graicy ciągu pokaż, że. lim +2 =, 2. lim 2+ 2 = 0, 5

3. lim ( ) =. Zadaie 53 Oblicz graice. lim +2+...+ 2, 2. lim 2 +2 2 +...+ 2 3. Zadaie 54 Oblicz graice ciągów. a = +( ) 2+, 2. b = +, 3. c = 2 +. Zadaie 55 Pokaż, że ze zbieżości ciągu (a ) wyika zbieżość ciągu ( a ). Czy prawdziwe jest twierdzeie odwrote? Zadaie 56 Ustalmy liczbę a R. Wyzacz graicę ciągu a = a.. Wywioskuj z tego, że każda liczba rzeczywista jest graicą ciągu liczb wymierych. 2. Pokaż, że każda liczba rzeczywista jest graicą ciągu liczb iewymierych. Zadaie 57 Pokaż, że jeśli a < to lim ( + a +... + a ) = a. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a + q + q 2 +... + q. Zadaie 58 Niech a 0 = oraz a + = 3 + a 2.. Pokaż, stosując metodę idukcji matematyczej, że a a < 6 dla każdego. 2. Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący 3. Wyzacz graicę tego ciągu. Zadaie 59 Ustalmy liczbę a > 0. Niech 0 = a oraz + = 2 ( + a ). Pokaż, że lim = a. Zastosuj te wyiki dla a = 2. Który wyraz tak zbudowaego ciągu rożi się od 2 o miej iż 0 3? Zadaie 60 Niech a 0 = oraz a + = 2 (a + 4). Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący i ograiczoy oraz zajdź jego graicę. Zadaie 6 Oblicz graicę lim ( 2 + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru (a + b)(a b) = a 2 b 2.. Zadaie 62 Oblicz graicę astępujących ciągów. a = ( + )3+, 2. b = ( )2+, 3. c = ( + )2, 4. d = ( + )+, 5. e = ( + 2 ). Zadaie 63 Oblicz astępujące graice: lim 5 +, lim 3 + 2. Zadaie 64 Załóżmy, że 0 a b. Wyzacz graicę ciągu a + b. Zadaie 65 Załóżmy, że lim a = 0. Pokaż, że wtedy lim a = 0. Zadaie 66 Oblicz graicę lim ( + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a b = (a 2 b 2 )/(a + b). Zadaie 67 Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wyzacz graice astępujących ciągów: 6

. a = 2 + + 2 + +... + 2 + 2. b = + 2 3. c = 3 +4 4 +5. Zadaie 68 Niech H = + 2 + 3 +... +. Pokaż, że lim H =. Wskazówka: Zauważ ajpierw, że ciąg (H ) jest rosący. Przyjrzyj się astępie takiemu pogrupowaiu: H 8 = + 2 + ( 3 + 4 ) + ( 5 + 6 + 7 + 8 ). Zapisz w podoby sposób H 6. Spróbuj oszacować od dołu każdy z pogrupowaych składików. Uwaga: Liczby H azywamy liczbami harmoiczymi. Zadaie 69 Oblicz astępujące graice (rozważamy metryki euklidesowe) ( ). lim +, ( + ) ( ) 2. lim 2 + 5, ( + ), 2 + 3 +. Zadaie 70 Niech (a ) będzie ciągiem liczb zespoloych oraz g C. Pokaż, że astępujące zdaia są rówoważe:.lim a = g 2.lim Re(a ) = Re(g) i lim Im(a ) = Im(g) Zadaie 7 Rozważamy metryką dyskretą. Jakie ciągi są ciągami zbieżymi w tej metryce? Jakie ciągi są ciągami podstawowymi w tej metryce? Czy przestrzeń ta jest zupeła? 2. Zbiory domkięte i otwarte Zadaie 72 Ustalmy dodatią liczbę aturalą C. Niech a = ( mod C) +. Wyzacz pukty skupieia ciągu (a ). Zadaie 73 Podaj przykład ciągu, który ma ieskończeie wiele puktów skupieia. * Zadaie 74 Podaj przykład ciągu, którego zbiorem puktów skupieia jest odciek [0, ]. ** Zadaie 75 Czy istieje ciąg, którego zbiorem puktów skupieia jest zbiór [0, )? Zadaie 76 Korzystając z Zadaia 56 pokaż, że. cl(q) = R 2. cl(r \ Q) = R Zadaie 77 Wyzacz domkięcia, wętrza oraz brzegi astępujących zbiorów:. w przestrzei (R, d e ):, Z, N, R 2. w przestrzei (R, d e ): [0, ] Q, [0, ) \ Q. 3. w przestrzei (R 2, d e ): {(, y) R 2 : 2 + y 2 < } 4. w przestrzei (R 2, d e ): {(, y) R 2 : 2 + y 2 } 5. w przestrzei (R 2, d e ): {(, y) R 2 : < y } Zadaie 78 Pokaż, że dla dowolej przestrzei metryczej (X, d) oraz dowolego A X mamy it(a) A cl(a), cl(cl(a)) = cl(a) oraz it(it(a)) = it(a). Zadaie 79 Niech A = [0, ] [2, 3) (3, 4] (5, 6) ([7, 8] Q). Oblicz cl(a), it(a), cl(it(a)), it(cl(a)), it(cl(it(a))), cl(it(cl(a))). Zadaie 80 Niech (X, d) będzie przestrzeią dyskretą. Pokaż, że dla dowolego A X mamy cl(a) = A oraz it(a) = A. 7

* Zadaie 8 Niech (X, d) będzie dowola przestrzeią metryczą. Pokaż, że dla dowolego A X mamy.cl(a) = X \ it(x \ A) 2.it(A) = X \ cl(x \ A) 3 Graice fukcji i ciagłość UWAGA: Od tego miejsca lista zadań ulegie zmiaie. Zadaie 82 Wyzacz wartości fukcji si, cos, ta i cot dla kątów α = 0, π 6, π 4, π 3, π 2. Zadaie 83 Pokaż, że si( + π 2 ) = cos(), cos( + π 2 ) = si() oraz ta( + π 2 ) = cot(). Zadaie 84 Korzystając ze wzorów si(+y) = si() cos(y)+si(y) cos() oraz cos(+y) = cos() cos(y) si() si(y) wyprowadź wzory a si(2), si(3), cos(2), cos(3). Zadaie 85 Narysuj, korzystając z przeglądarki Google, wykresy fukcji f() = 2 (cos(2) + ) oraz g() = cos() 2. Wyjaśij zaobserwowae zjawisko. Zadaie 86 Naszkicuj wykresy fukcji f k () = 2 si(k ) dla k =, 0, 00, 200. Zadaie 87 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = + 2 oraz g() = 2. Zadaie 88 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = ( + 2 ) cos 2 (200) oraz g() = ( 2 ) cos 2 (200). Zadaie 89 Niech f() = 2 4.. Wyzacz astępujące graice: lim f(), lim f(), lim 2+ f(), lim 2 f(), lim 2+ f(), lim 2 f(). 2. Naszkicuj wykres tej fukcji. Zadaie 90 Niech sg() = : < 0 0 : = 0 : > 0. Pokaż, że fukcja sg ie jest ciągła w pukcie 0. 2. Wyzacz pukty ciągłości fukcji sg. Zadaie 9 Wyzacz pukty ciągłości astępujących fukcji. f () = sg(si()), 2. f 2 () = sg(cos()), 3. f 3 () = 4. f 4 () =. Zadaie 92 Niech f : (, 0) (0, ) R będzie określoa wzorem { + : (, 0) f() = : (0, ). Pokaż, że f jest ciągła oraz różowartościowa. 2. Wyzacz obraz f 3. Wyzacz fukkcję f. 4. Czy fukcja f jest ciągła? 8

Zadaie 93 Niech f() = Pokaż, że fukcja f ie jest ciągła w żadym pukcie. Wskazówka: Skorzystaj z zadaia 76. { : Q 0 : R \ Q Zadaie 94 Korzystając z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji pokaż, że suma dwóch fukcji ciągłych w pukcie 0 jest ciągła pukcie 0 Zadaie 95 Korzystając z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji pokaż, że fukcja f() = 3 jest ciągła. Zadaie 96 Załóżmy, że istieje η > 0 taka, że ( )( 0 < η f() = g()). Pokaż, że jeśli f jest ciągła w pukcie 0 to rówież g jest ciągła w pukcie 0. Dlaczego pokazaą własość fukcji ciągłych możemy wysłowić astępująco: ciagłość fukcji w pukcie jest pojęciem lokalym? Zadaie 97 Narysuj wykresy fukcji zadaych wzorami y =, y =, y = si( ), y = 2 si( ), y = si( ) oraz wyzacz ich graice w pukcie 0. Zadaie 98 Naszkicuj wykresy fukcji zadaych wzorami:. y = 2, 2. y = 2, 3. y = 2 2, 4. y = 3 2. Zadaie 99 Niech > 0. Naszkicuj wykres fukcji zadaej wzorem f() = ( ) ( ). Wskazówka: rozważ oddzielie przypadek parzystego i ieparzystego. * Zadaie 00 Pokaż, że dla każdego aturalego mamy ( ) ( ) =! k=0 ( k) k Zadaie 0 Oblicz astępujące graice:. lim 0 si(a), 2. lim 2 3, 3. lim 3 2. Zadaie 02 Załóżmy, że fukcja f jest ciągła. Pokaż, że fukcja g() = f() jest rówież ciągła. Wskazówka: skorzystaj z tego, że złożeie fukcji ciągłych jest fukcją ciągłą. Zadaie 03 Oblicz graice wielomiau postaci w() = + a +... + a + a 0 w ieskończoości oraz w mius ieskończoości. Wskazówka: Rozważ oddzielie przypadek parzystego oraz ieparzystego. Zadaie 04 Pokaż, że każdy wielomia stopia ieparzystego ma pierwiastek. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia oraz własości Darbou fukcji ciągłych. Zadaie 05 Załóżmy, że fukcje f i g są ciągłe. Niech h() = ma{f(), g()}. Pokaż, że h jest fukcją ciągłą. Zadaie 06 Załóżmy, że f : [0, ] [0, ] jest fukcją ciągłą. Pokaż, że istieje takie [0, ], że f() =. Wskazówka: Przyjrzyj się fukcji g() = f(). Uwaga: Jest to prosty przykład twierdzeia o pukcie stałym. 9

Zadaie 07 Niech f, q : R R będą fukcjami rosącymi. Pokaż, że złożeie f g jest fukcją rosącą. Zadaie 08 Naszkicuj wykresy fukcji f () = ( 2 ), f 2 () =, f 3 () = 2, f 4 () = e oraz f 5 () = 3. Zadaie 09 Naszkicuj wykresy fukcji f () = log 2 (), f 3() = log 2 (), f 4 () = log e () oraz f 5 () = log 3 (). Zadaie 0 Pokaż, że każda fukcja f : R R jest sumą fukcji parzystej i ieparzystej. Wskazówka: Rozważ fukcje h() = 2 (f() + f( )) oraz g() = 2 (f() f( )). Zadaie Niech f() = si() oraz g() = 2.. Naszkicuj wykres fukcji f g. 2. Naszkicuj wykres fukcji g f. Zadaie 2 Naszkicuj wykres fukcji f() = 2 +. Sprawdź, że 2 + = ( )( + ) + 2. Korzystając z tego wzoru przedstaw fukcję f jako sumę fukcji liiowej oraz pewej prostej fukcji wymierej. 2. Korzystając z poprzediego puktu aszkicuj poowie wykres fukcji f. 3. Zapozaj się z pojęciem asymptoty ukośej. Zadaie 3 Podaj przykład ciągłej fukcji f : [0, ) [0, ] która ie osiąga wartości maksymalej. Zadaie 4 Pokaż przykład takiej fukcji ciągłej f : (0, ) R która ie jest ograiczoa z góry ai z dołu. Zadaie 5 Załóżmy, że f : R R jest ciągła oraz iech a R.. Pokaż, że zbiór f ([a, )) = { : f() a} jest zbiorem domkiętym. 2. Pokaż, że zbiór f ({a}) = { : f() = a} jest zbiorem domkiętym. 3. Pokaż, że zbiór f ((a, )) = { : f() > a} jest zbiorem otwartym. * Zadaie 6 Załóżmy, że f : R R jest ciągła, oraz, że lim f() = lim f() = 0. Pokaż, że istieje 0 R takie, że f( 0 ) = sup{f() : R}. ** Zadaie 7 Niech f : R R będzie taką fukcją ciągłą, że (, y R)(f( + y) = f() + f(y)). Pokaż, że f() = a dla a = f(). Wskazówka: Zaczij od pokazaia, że dla każdego N mamy f() = a. Pokaż astępie, że f( ) = f(). Potem się zajmij liczbami wymierymi. A a końcu skorzystaj z ciągłości. Zadaie 8 Niech (X, d X ) oraz (Y, d Y ) będą przestrzeiami dyskretymi. Pokaż, że dowola fukcja f : X Y jest ciągłym odwzorowaiem z X do Y. 4 Pochode Zadaie 9 Oblicz pochode astępujących fukcji:. f() = 3 + 2 2 + 3 +, g() = 2 5 2 3 + 3 2 + 2. f() = + + 2 +... + 3. f() =, g() = 2 +, h() = 4. f() = ( 2 + 2 + )( 3 + 2 2 + ) 2 3 + 5. f() = ( + )/( ), g() = 2 ++ 3 6. f() = e, g() = 2 e, h() = 3 e. Wskazówka: (e ) = e. Zadaie 20 W jakich puktach fukcja f() = + + jest różiczkowala? 0

Zadaie 2 Zajdź przykład ciągłej fukcji f : R R, która ie różiczkowala w ieskończoej liczbie puktów. Zadaie 22 W jakich przedziałach fukcje y = ( ) 2, y = e, y = 2 e są rosące? Zadaie 23 Zbadaj wykresy fukcji y = 2 e, y = Zadaie 24 Niech σ() = e +e oraz ζ() = l( + e ).. Zbadaj przebieg zmieości fukcji σ i zeta. 2. Pokaż, że σ () = σ()( σ()). 3. Pokaż, że ζ () = σ(). 4. Pokaż, że l σ() = ζ( ). 2 +, y = 2 2 ( )( 2). Zadaie 25 Zajdź ekstrema fukcji y = (a ), y = (a ) 2. Zadaie 26 Pokaż, że jeśli fukcje f, g i h są różiczkowale w pukcie, to (f() g() h()) = f () g() h() + f() g () h() + f() g() h (). Zadaie 27 Niech f a,b () = { a + b 2 : < : Zajdź takie parametry a i b aby fukcja f a,b była różiczkowala w każdym pukcie. Zadaie 28 Oblicz pochode astępujących fukcji:. y = 3 3 +, 2. y = si( 2 ), 3. y = e 2, ( 2, 4. y = e 2 + ) 5. y = 2 si(), 6. y = ta 2 (), 7. y = l( 2 + ), y = log ta()) 8. y = l + 2, 9. y = arcsi(e ), y = arccos( 2 ) 0. y = arcta( 2 + ), y = arcta(e ). si(si()), si(si(si())) 2. si(cos(si())) Zadaie 29 Oblicz pierwsze i drugie pochode fukcji f(t) = r si(ωt) i g(t) = r cos(ωt). Zadaie 30 Zbadaj przebieg zmieości astępujących fukcji:. f() = 3 e. 2. f() = 3 3. f() = 2 l() 4. f() = 2 l ( 2 + ) + 5. y = e, 6. y = + 2, 7. y = ( )( 2). Zadaie 3 Dlaczego fukcja y = l ( > 0) jest ciągła? Podaj możliwie prosty argumet. Zadaie 32 Napisz rówaia styczych i prostopadłych do podaych fukcji w podaych puktach:

. f() = l( + e ), P = (0, f(0), 2. f() = + 2, P = (, f()). * Zadaie 33 Rozważmy astępującą fukcję { ep( f(t) = t ) t > 0 0 t 0. Pokaż, że fukcja f jest ciągła. 2. Pokaż, że dla każdego 0 istieje taki wielomia w(), że f () (t) = w( t ) ep( t ). 3. Pokaż, że dla każdego > 0 mamy lim t 0+ ep( t ) t a = 0 4. Pokaż, że dla każdego 0 istieje pochoda f () (0) i jest rówa 0 5. Zastosuj wzór Taylora dla fukcji f w pukcie 0. Zadaie 34 Pokaż, że. arcsi + 2 = arccos + 2 2. arcta = 2 2 arcta 2 Wskazówka: Oblicz pochode obu stro. Zadaie 35 (Wzór Leibitza) 4. Zastosowaia Załóżmy, że f i g są fukcjami krotie różiczkowalymi. Pokaż, że (f g) () () = k=0 ( ) f (k) ()g ( k) () k Zadaie 36 Który z puktów paraboli y = 2 leży ajbliżej prostej y 5 = 0? Wskazówka: Odległość puktu P = ( 0, y 0 ) od prostej o rówaiu a + by + c = 0 wyraża się wzorem. a 0 + by 0 + c a2 + b 2 Zadaie 37 Zajdź pole ajwiększego prostokąta o bokach rówoległych do osi układu współrzędych wpisaego w elipsę o rówaiu 2 a + y2 2 b =. 2 Zadaie 38 Pokaż, że ze wszystkich prostokątów o ustaloym obwodzie kwadrat ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 39 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie i o ustaloej podstawie trójkąt róworamiey ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 40 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie trójkąt rówoboczy ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 4 Załóżmy, że f (t) = f(t) dla każdego t R. Pokaż, że istieje taka stała C, że f(t) = C e t. Wskazówka: Oblicz pochodą fukcji g(t) = f(t) e. Uwaga: Rozwiązaliśmy w te sposób rówaie różiczkowe t (t) = (t). Zadaie 42 Pokaż, że dla każdego > 0 mamy + < l( + ) <. 4.2 Reguła de l Hospitala Zadaie 43 Korzystając z reguł de l Hospitala oblicz astępujące graice:. lim 0 e 2 cos(3) 2

2. lim l 3. lim (l ) 3 4. lim 0 (l( cos()) l( 2 )) 5. lim ( 3 )2 6. lim 0 2 7. lim (e + ) 8. lim 0+ 3 l 9. lim 0 arcta() 0. lim (l ). lim 0 l(cos() 2 2. lim l(e +), 3. lim 0+ l(), 4. lim 0+. Wskazówka: skorzystaj z tego, że t = e l t dla dowolego t > 0, oraz, że fukcja f() = e jest ciągła. 5. lim l Zadaie 44 Wyzacz, dla dowolego ustaloego aturalego k, graice lim (l()) k 4.3 Wzór Taylora, lim 2 k. Zadaie 45 Niech f() = + + 2. Zastosuj wzór Taylora rzędu 3 dla fukcji f w puktach = 0 oraz =. Zadaie 46 Wyzacz wielomiay Taylora rzędu 0 astępujących fukcji f() = e, g() = si(), h() = cos(), j() = si() + cos(). Za pomocą dowolego pakietu arysuj a jedym wykresie przybliżeia Zadaie 47 Za pomocą wzoru Taylora oblicz si(0.) z dokładością do 0 0. 5 Całki Zadaie 48 Oblicz astępujące całki: ( 3 + 2 + ) d, 0 ( + ) d, 0 π (2 si() + si()) d. 0 Zadaie 49 Wyzacz, bez wykoywaia żadych obliczeń, astępujące całki: π/2 π/2 si() dg 3 d, ( + 5 )d, Zadaie 50 Niech f, g : [a, b] R będą fukcjami ciągłymi. Pokaż, że b b b f()g()d f()d f()d. Wskazówka: Rozważ fukcję φ(t) = b a (f() tg())2 d. Zadaie 5 Niech G(c) = c a 2 d.. Zakładając, że c > wyzacz G(c) 2. Oblicz lim G(c) a a 3

3. Podaj iterpretację geometryczą otrzymaego wyiku. Zadaie 52 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez części, astępujące całki ieozaczoe:. cos() d, 2 cos() d, 3 cos() d 2. si() d, 2 si() d, 3 si() d 3. e d, 2 e d, 3 e d 4. l d, 2 l d, 3 l d Spróbuj samodzielie uogólić powyższe obliczeia. Zadaie 53 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez podstawieie, astępujące całki ieozaczoe:. si(3 + ) d, + d, + 2 d (podstaw t = + 2 ), 2. +2 d, 2 d, 3 2 3. e 2 d 4. si(l ) d (podstaw u = l, zastosuj dwukrotie całkowaie przez części) 5. ta d Zadaie 54 Wyzacz pole astępujących obszarów:. A = {(, y) R 2 : 0 2 y } 2. B = {(, y) R 2 : 0 π y si }, 3. C = {(, y) R 2 : y < e }. 4. Obszar ograiczoy parabolą o rówaiu y = 2 2 6 i osią OX Zadaie 55 Wyzacz pole elipsy zadaej rówaiem: 2 a 2 + y2 b 2 =. Zadaie 56 Załóżmy, że f jest fukcją różiczkowala oraz, że g jest fukcją ciągłą. Niech H() = f() a g(t) dt. Wyzacz H (). Wskazówka: Niech F () = g(t) dt. Zauważ, że H() = F (f()). a Zadaie 57 Oblicz astępujące całki ieozaczoe z fukcji wymierych:. 2+ 3+2 d 2. ( 2)(+5) d 2+3 3. ( 2)(+5) d 4. ( 2) d 2 5. ( 2 ) d. Wskazówka: Wyzacz takie liczby A, B i C, że ( 2 ) = A + 6. (+ 2 ) d. Wskazówka: Zastosuj podstawieie = ta(u). 2 7. + d, 2 8. (+ 2 ) d B + Zadaie 58 Rozważamy fukcję f() = 2 a odciku [0, ]. Rozważamy sumę dolą { s (f, 0, ) = if f() : k k + }. k=0 C ( ) 2. 4

. Korzystając ze wzoru 2 +2 2 +...+ 2 = 6 (+)(2+) wyzacz zwartą postać wzoru a s (f, 0, ) 2. Oblicz lim s (f, 0, ) 3. Oblicz 0 2 d za pomocą całki ieozaczoej : ) Zadaie 59 Oblicz objętość torusa powstałego przez obrót koła 2 + (y a) 2 r 2. Zadaie 60 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wykresu fukcji f() = si() dla [0, 2π]. 6 Szeregi Zadaie 6 Pokaż, że jeśli szeregi a i b są zbieże oraz a i b są ustaloymi liczbami rzeczywistymi, to szereg (a a + b b ) jest zbieży oraz (a a + b b ) = a a + b b. =0 =0 =0 Zadaie 62 Oblicz sumy ( 3 2 + 3 ), 5 ( ) k=2 k (+2), (+3). Zadaie 63 Oblicz sumy Wskazówka: Zajdź liczby A i B takie, że (+2) = A + B +2. Zadaie 64 Zbadaj zbieżość astępujących szeregów: 2, 3,. Zadaie 65 Zastosuj kryterium zbieżości d Alamberta do zbadaia zbieżości szeregów 2 + 3 +, (!) 2 (2)!. Zadaie 66 Wyzacz promieie zbieżości astępujących szeregów potęgowych:. +2 2. 3. 4. 2 5. 6. ( ) (!) k (k)! (dla ustaloego aturalego k > 0) Zadaie 67 Rozwiń astępujące fukcje w szereg Maclauria i wyzacz ich promieie zbieżości:. f() = si() 2. g() = cos() 3. f() = l 4. f() = l + Zadaie 68 Niech d ozacza odległość zbieżości jedostajej a odciku [0,, czyli d(f, g) = sup{ f() g() : [0, ]}, dla ograiczoych fukcji f i g. Wyzacz odległości d(f, g) astępujących par fukcji:. f() = si(), g() = cos() 2. f() =, g() = ( ) (!) 2 2 2, 5

Zadaie 69 Pokaż, że ciąg fukcji f () = + si() jest jedostajie zbieży a R. Zadaie 70 Niech f () = + dla [0, ].. Pokaż, że ciąg fukcyjy (f ) jest puktowo zbieży 2. Czy ciąg te jest jedostajie zbieży? Zadaie 7 Czy ciąg fukcji f () = ( + ) jest puktowo zbieży? Czy jest jedostajie zbieży a R? Czy jest jedostajie zbieży a odciku [0, ]? Zadaie 72 Wyzacz szeregi Fouriera (a odciku [ π, π]) astępujących fukcji oraz arysuj ich wykresy oraz ich kilka pierwszych przybliżeń szeregami trygoometryczymi:. f() =, g() = + si() 2. f() = sg() 3. f() = 2 ( + sg)() Zadaie 73 Wyzacz siusowy szereg Fouriera fukcji f() = (π?) a odciku [0, π]. Skorzystaj z tego szeregu do wyzaczeia wartości szeregu 3 2 + 5 2 7 2 + 9 2.... Zadaie 74 Wyzacz szereg Fouriera fukcji f() = 2 a odciku [ π, π].. Podstawiaj za liczbę π oblicz 2 2. Wyzacz 3. Wyzacz 0 Powodzeia, Jacek Cichoń (2) 2 (2+) 2 6