ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018

Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska mariangewert@ pwredupl wwwimpwredupl/ gewert Zbigniew Skoczylas Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska zbigniewskoczylas@ pwredupl wwwimpwredupl/ skoczylas Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 1991 2018 by Oficyna Wydawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich Składwykonanowsystemie L A TEX ISBN 978 83 62780 51 8 Wydanie XVII zmienione, Wrocław 2018 Oficyna Wydawnicza GiS, sc, wwwgiswrocpl Druk i oprawa: I-BiS Usługi Komputerowe Wydawnictwo, spółka jawna 4

Spis treści Wstęp 7 Zestawy zadań z kolokwiów 9 Pierwszekolokwium 9 Drugiekolokwium 25 Zestawy zadań z egzaminów 38 Egzaminpodstawowy 38 Egzaminpoprawkowy 59 Odpowiedzi i wskazówki 80 Pierwszekolokwium 80 Drugiekolokwium 86 Egzaminpodstawowy 94 Egzaminpoprawkowy 98 5

Wstęp Niniejsze opracowanie jest trzecią częścią zestawu podręczników do Analizy matematycznej 1 Pozostałymi częściami zestawu są Analiza matematyczna 1 Definicje, twierdzenia, wzory oraz Analiza matematyczna 1 Przykłady i zadania Książka zawiera zadania, które w ubiegłych latach studenci Politechniki Wrocławskiej rozwiązywali na kolokwiach i egzaminach z Analizy matematycznej 1 Zadania obejmują rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej wraz z zastosowaniami w fizyce i technice Do wszystkich zestawów kolokwialnych oraz do zestawów egzaminacyjnych o numerach nieparzystych podane są odpowiedzi Opracowanie pozwala studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudności zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych Jest to jednocześnie dodatkowy materiał do samodzielnej nauki Zadania z tego zbioru mogą być wykorzystywane przez wykładowców i prowadzących ćwiczenia przy układaniu zestawów na kolokwia i egzaminy Aktualne wydanie nie zawiera zestawów na ocenę celującą Zestawy te stały się częścią oddzielnego opracowania Algebra i analiza Egzaminy na ocenę celującą Dziękujemy Koleżankom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechniki Wrocławskiej za zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów, a także za uwagi o poprzednich wydaniach Marian Gewert Zbigniew Skoczylas 7

Egzamin poprawkowy 59 5NapisaćwzórMaclaurinazresztąR 3 dlafunkcjif(x)=arctgx 6Dobraćparametryaibtak,abyfunkcjafokreślonawzorem 3e x dla x<0, f(x)= 3b dla x=0, 1 sinx (1+ax) dla x>0 byłaciągławpunkciex 0 =0 7ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoosiąOxiwykresamifunkcji:f(x)=3 3 x, g(x)= 3x+6 n 4n +3 8 Obliczyć granicę n +2 n 5 n Egzamin poprawkowy Zestaw 1 1Obliczyćcałkęnieoznaczonązfunkcjif(x)= 2 Obliczyć całkę x 2 sinhxdx 2 x 2 +6x+18 3ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:y= 1 x,y=4 x,y=1,y=4 Sporządzić rysunek tego obszaru ln(1+4 x ) 4 Obliczyć granicę x ln(1+3 x ) 5 Obliczyć granicę ( 2+n+n2 (n+1) 2 +2) 6 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji 3x f(x)= 4x2 +1 na przedziale[ 1, 2] 7Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 1 x 2wpunkciex 0=2 8Wyznaczyćprzedział,naktórymfunkcjaf(x)=x+ 1 x jestrosnącaiwypukław górę Zestaw 2 2n 2 +sin 2 n 1 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę n 2 +n+1

60 Zestawy zadań z egzaminów 2 Funkcja f jest określona wzorem { e x dla x 0, f(x)= Ax+B dla x>0 DlajakichwartościparametrówAiBfunkcjatajesta)ciągła,b)różniczkowalnaw punkciex 0 =0? ( 3 Przy pomocy reguły de L Hospitala obliczyć granicę ctgx 1 ) x 0 + x 4 Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji f(x)= x 1+x 2 5Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x)=x 2arctgxnaprzedziale[0, + ) 6 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną x 2 e x dx 7 Obliczyć całkę nieoznaczoną dx x 3 x 8ObliczyćdługośćłukukrzywejΓ:y= x2 4 lnx 2,gdzie1 x 2 Zestaw 3 1Obliczyćcałkęnieoznaczonązfunkcjif(x)= 2 Obliczyć całkę x 2 cosxdx 1 4x 2 +8x+40 3ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:y=x 2,y=x 2 +3,y=4 Sporządzić rysunek tego obszaru 4NapisaćwzórTaylorazresztąR 3 dlafunkcjif(x)=arctgxprzyjmującx 0 =1 ( 5 Obliczyć granicę x 4 1/x 2 1/x) x ( 6 Obliczyć granicę 2n2 +1 2n +4n+1) 2 7 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x+1 x 2 +2x+2 naprzedziale[ 7, 0] 8Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= xwpunkciex 0 = 9 Zestaw 4 1 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę n 1+2 n + 1 2 n

Egzamin poprawkowy 61 2 Funkcja f jest określona wzorem { cosx dla x 0, f(x)= Ax+B dla x>0 DlajakichwartościparametrówAiBfunkcjatajesta)ciągła,b)różniczkowalnaw punkciex 0 =0? 3 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę e x e x 2x x 0 x sinx 4 Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji f(x)=x 2 e 1 x 5Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x)=cosx+ 3sinxna przedziale[0, π/2] 6 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną arctgxdx 7Obliczyćcałkęnieoznaczonązfunkcjiwymiernejf(x)= x+2 x 3 +x 8 Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót krzywej y=cosx,gdzie π/2 x π/2,wokółosiox Zestaw 5 1Obliczyćcałkęnieoznaczonązfunkcjif(x)= 2 Obliczyć całkę x 3 lnxdx 1 x 2 +10x+34 3 Narysować i obliczyć pole obszaru D ograniczonego przez krzywe: x=y 2, x= y2, y=1, y=2 4 4NapisaćwzórTayloradlafunkcjif(x)=tgxprzyjmującx 0 =π/3orazn=3 [ ( 5 Obliczyć granicę xln 1+sin 1 )] x x 6 Obliczyć granicę ( 16n2 +5n 4 4n) 7Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 1 x wpunkciex 0 =4 8Wyznaczyćprzedział,naktórymfunkcjaf(x)=x x+1jestmalejącaiwypukła wdół

62 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 6 n 1 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę n+sin 2 n 2 Funkcja f jest określona wzorem { sinx dla x 0, f(x)= Ax+B dla x>0 DlajakichwartościparametrówAiBfunkcjatajesta)ciągła,b)różniczkowalnaw punkciex 0 =0? 5 1+2x x 3 Przy pomocy reguły de L Hospitala obliczyć granicę x 1 3 2+x+x 4Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x)=x 4 x 2 wjejdziedzinie 5NapisaćwzórMaclaurinazresztąR 3 dlafunkcjif(x)= 3 1+x,anastępnieuzasadnić nierówność 3 x 1+x>1+ 3 x2 9 dlakażdegox>0 6 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną xarctgxdx 7 Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji wymiernej f(x) = 1 x 3 +x 2 8ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:x=y 2,x+y=2 Zestaw 7 1Obliczyćcałkęnieoznaczonązfunkcjif(x)= 2 Obliczyć całkę xarctgxdx 9 9x 2 +6x+5 3 Narysować i obliczyć pole obszaru D ograniczonego przez krzywe: y=4 x 2,y=3x,y=3 4NapisaćwzórTayloradlafunkcjif(x)=coshxprzyjmującx 0 =ln2orazn=3 arctg2x 5 Obliczyć granicę x 0 arctg3x 6 Obliczyć granicę (2n 1+n+4n 2 ) 7Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x)= 3 (x 2 +x) 2 naprzedziale[ 2, 3] 8Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 3 xwpunkciex 0 =1

Egzamin poprawkowy 63 Zestaw 8 n 1 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę n2 +1 2 Funkcja f określona jest wzorem { x 2 dla x 1, f(x)= Ax+B dla x>1 DlajakichwartościparametrówAiBfunkcjatajesta)ciągła,b)różniczkowalnaw punkciex 0 =1? 3 Przy pomocy twierdzenia de L Hospitala obliczyć granicę x 0 + (sinx) x 4 Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji f(x)= 1 x 2 +3 5Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x)=x 2 + 1 x 2wjejdziedzinie 6 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną arcsinxdx 1 7 Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji wymiernej f(x) = x 3 x 2 8 Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót krzywej y= cos 3 x,gdzie x π/2,wokółosiox Zestaw 9 1 Obliczyć granicę x 0 +(ctgx)tgx 2 Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia xdx 3 Obliczyć całkę (e x ) 3 4 Obliczyć granicę ( 4n 16n 2 +9n 1 ) 1 4 15996 5Wyznaczyćprzedziały,naktórychfunkcjaf(x)=x 2 lnxjestrosnącaiwypukław dół 6 Narysować wykres funkcji f: R R, która spełnia wszystkie podane warunki: x 0 f(x)=2; x 0 + f(x)= ; prostay=πjestasymptotąfunkcjifw ; granica x f(x)nieistnieje(właściwaaniniewłaściwa) Na rysunku zaznaczyć fragmenty wykresu, które spełniają podane warunki

64 Zestawy zadań z egzaminów 7 Sformułować twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej Korzystając z tego twierdzenia wyprowadzić wzór (arctgx) = 1 1+x 2 8 Obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresem funkcji y = 5 4x x 2 4x+20,prostymix=0,x=1orazosiąOx Zestaw 10 1 Podać dziedzinę, zbadać różniczkowalność i obliczyć pochodną funkcji 2Obliczyćgranicęciągua n = f(x)=log 2 (xsinx) 2 ( ) n+2 n 2 n+1 3Uzasadnićnierównośćarctg ( x 2 +1 ) x+ π 4 dlakażdegox 0 4WyznaczyćfunkcjęFpierwotnąfunkcjif(x)=xe x2 taką,żef(2)=0 5KorzystajączewzoruMaclaurinadlafunkcjif(x)= 10 1+xobliczyć 10 2zdokładnością 0001 ( 6 Podać definicję granicy funkcji w nieskończoności Obliczyć x 4 2 x) x 7Dobraćparametrya,bictak,abyfunkcjafbyłaróżniczkowalnana R,jżeli: ax+ x2 dla x< 1, 2 f(x)= bx 2 dla 1 x 0, csinx dla x>0 8 Obliczyć objętość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru określonego nierównościami:x 2 +y 2 1,0 y 1/2 Zestaw 11 1 Uzasadnić, że granica x [4x (cosx+1)]nieistnieje 2ObliczyćpoleobszaruDograniczonegowykresamifunkcji:y=tgx,gdzie0 x< π/2,y=ctgx,gdzie0<x π/2orazosiąox 3 Sformułować twierdzenie o trzech ciągach Korzystając z tego twierdzenia obliczyć granicę n 2 n +2 3 n +3 4 n 4ZnaleźćwymiarykonserwywkształciewalcaoobjętościV=250πcm 3,dowykonania której trzeba użyć najmniej blachy Sporządzić rysunek

Egzamin poprawkowy 65 dx 5 Obliczyć całkę x 3 +4x 6Oszacowaćdokładnośćwzoruprzybliżonegocos2x 1 2x 2 dla0 x 1/10 7 Sformułować twierdzenie Bolzano o miejscach zerowych funkcji Korzystając z tego twierdzeniawskazaćprzedziałodługości1/2,wktórymrównanie3 x +x 3 =0ma rozwiązanie 8Znaleźćprzedziaływypukłościipunktyprzegięciawykresufunkcjif(x)= x2 x 2 +1 Zestaw 12 1Danesąfunkcjef(x)= x 1 ig(x)= x+2 Zbadaćciągłośćiróżniczkowalność funkcjizłożonejh(x)=(f g)(x) 2 Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić nierówność ln ( x 2 +e ) 1+ 2x e dlakażdegox 0 3KorzystajączewzoruMaclaurinaobliczyćcos 1 3 zdokładnością0001 4 Podać definicję granicy właściwej ciągu Korzystając z tej definicji uzasadnić równość n 2 +n 1 2n 2= 1 2 5WyznaczyćfunkcjęFpierwotnąfunkcjif(x)=xsin2xtaką,żeF(π/2)=π/2 ( 6 Zbadać istnienie granicy lnx 2 + 1 ) x 0 x 7Podaćdziedzinęorazobliczyćpochodnąfunkcjif(x)=log 2 ( log2 ( x 2 4 )) 8 Wykorzystując definicję całki oznaczonej obliczyć granicę n2 + n 2 1 2 + n 2 2 2 ++ n 2 (n 1) 2 n 2 Zestaw 13 1 Podać wzór na objętość bryły obrotowej Korzystając z tego wzoru obliczyć objętośćstożkaściętegoowysokościhipromieniachpodstawr,r,gdzier>rsporządzić rysunek 2 Obliczyć granicę x 0 +(sinx)x 3NapisaćwzórTaylorazresztąR 3 dlafunkcjif(x)=tgxipunktux 0 =π/6 4 Obliczyć całkę arcsinxdx

66 Zestawy zadań z egzaminów 5PrzezpunktP=(1,3)poprowadzićprostątak,abywrazzdodatnimipółosiami układu współrzędnych utworzyła trójkąt o najmniejszym polu Sporządzić rysunek x 2 dx 6 Obliczyć całkę x 2 +2x+5 7Podaćdefinicjępochodnejfunkcjifwpunkciex 0 Korzystającztejdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 1 wpunkciex 0 >0 x ( ) n+3 2n 8 Obliczyć granicę 2n+1 Zestaw 14 1 dla x 0, 1 dla x 1, 1Danesąfunkcjef(x)= x g(x)= x 1 0 dla x=0, 1 dla x=1 Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji złożonej h(x) =(g f)(x) 2WyznaczyćfunkcjęFpierwotnąfunkcjif(x)=arctgxtaką,żeF(1)=π/2 3 Podać dziedzinę, wyznaczyć ekstrema, asymptoty oraz naszkicować wykres funkcji ( ) lnx 2 2 f(x)= x 4 Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić nierówność x x arcsinx dlakażdego0 x<1 1 x 2 5Dobraćparametryaibtak,abyfunkcjafokreślonawzorem { x a dla x<a, f(x)= bx dla x a była różniczkowalna na R 6 Zbadać monotoniczność, ograniczoność i zbieżność ciągu a n =( 1) n n ( 1) n+1n2 1 n 7 Obliczyć całkę oznaczoną 6 8Obliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 4 x 3 dx x 2 2x 3 1 1 x Zestaw 15 1Obliczyćgranicęciągux n = ( ) 5 8n 4n+2 4n+3

Egzamin poprawkowy 67 2WykorzystującwzórMaclaurinaobliczyć 3 ezdokładnością10 3 ( 3 Obliczyć granicę x 4 1/x 3 1/x) x cos2x 4 Obliczyć całkę e x dx 5 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach obliczyć granicę x ex (2+3sinx) 6ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:x=y 2,x=y 2 +3,x=4 Sporządzić rysunek (4x+1)dx 7 Obliczyć całkę x 2 +10x+34 8 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x 4x2 +1 naprzedziale[ 1, 2] Zestaw 16 1 Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić nierówność ln ( 1+sin 2 x ) xsin2x dlakażdego0 x π 4 2Wykazać,żerównaniex 5 +5x+1=0madokładniejedenpierwiasteknależącydo przedziału( 1, 0) 3Dobraćparametryaibtak,abyfunkcjafokreślonawzorem ( a 2+e 1/x) dla x<0, ( f(x)= 2+e 1/t) dla x=0, t 0 sinbx dla x>0 x byłaciągłana R 4WyznaczyćfunkcjęFpierwotnąfunkcjif(x)=log 2 xtaką,żef(2)=0 5 Wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia wykresu funkcji f(x) = przedziale(1, ) 6 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę ( 1 n 2 +1 + 1 n 2 +2 ++ 1 ) n 2 +n 7 Korzystając ze wzoru Maclaurina obliczyć ln 12 z dokładnością 001 x 1 1 2lnt t 3 dtna

68 Zestawy zadań z egzaminów 8Parabolęy=x 2 obracamywokółosioyobliczyćobjętośćbryłyv ograniczonej utworzoną w ten sposób powierzchnią oraz płaszczyzną y = 4 Zestaw 17 1 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę n 2 3n +2 n cos 2 n 2 Obliczyć całkę nieoznaczoną xcos x 2 dx 3NapisaćwzórTaylorazresztąR 2 dlafunkcjif(x)=e cosx ipunktux 0 =π/2 4 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę x x2( 2 1/x 2 1/x) 5Znaleźćstycznądowykresufunkcjif(x)= e x +1wpunkcie(0,f(0)) 6ZnaleźćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y= x 2,y=2 x,y=2ix=0 Sporządzić rysunek 7Znaleźćprzedział,naktórymfunkcjaf(x)= ex 1+x jestrosnącaiwypukławdół 8Znaleźćwszystkieasymptotyfunkcjif(x)= x 1 x2 1 Zestaw 18 1 Obliczyć całkę π 4 0 x 2 sin2xdx 2 Narysować wykres funkcji f: R R, która spełnia wszystkie podane warunki: x f(x)nieistnieje; x 1 f(x)= ; x 1 + f(x)=3; prostay=1 2xjestasymptotąfunkcjifw 3 Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia 4 Obliczyć całkę nieoznaczoną e x dx e 2x 4 1 3 7997 5 Wyznaczyć przedziały monotoniczności, ekstrema oraz granice na krańcach dziedziny funkcji f(x)=xe 1/x Następnie wyznaczyć zbiór wartości tej funkcji

Egzamin poprawkowy 69 6ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y= x,y+x 2 =2 7 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach obliczyć granicę 4 2 n +3 n 8 Obliczyć granicę 5 2 n 3 n x [ex (3 2cosx)] Zestaw 19 ( 1 Obliczyć granicę n2 +2n+1 n +3n+5) 2 dx 2 Obliczyć całkę nieoznaczoną (x 2 +1)x 3NapisaćwzórTaylorazresztąR 2 dlafunkcjif(x)=(lnx) x ipunktux 0 =e 4 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę (1 cosx) x π 2 1 x π 2 5Znaleźćstycznądowykresufunkcjif(x)=cos 2 xwpunkcie(π/4,f(π/4)) 6ZnaleźćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y= x,y=2 x 2,x=0 7 Znaleźć przedziały monotoniczności oraz najmniejszą wartość funkcji f(x)= x2 2 4ln(x 3) 8Znaleźćasymptotyukośnefunkcjif(x)=xarcctgx 3 Zestaw 20 1 Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji 2 Obliczyć całkę 4 Obliczyć granicę x 0 + ( x 2 +13 ) dx x 2 +4x+13 f(x)= x (x 1) 3NapisaćwzórMaclaurinazresztąR 4 dlafunkcjif(x)=x 2 e x ( 1 x 1 ) sin2x 5 Obliczyć całkę cos 3 x 2 sinx dx 6 Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót wokół osioxkrzywejy=x lnx,gdziex [1,e] 7Podaćdefinicjępochodnejfunkcjifwpunkciex 0 Korzystającztejdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 2x+1wpunkciex 0 =4