KINEMATYKA Klasyfkacja ruchów Ruch jednosajny prosolnowy Ruch jednosajne zmenny Spadek swobodny Rzu ponowy w dół w órę Rzu pozomy rzu ukośny Ruch jednosajny po okręu Welkośc kąowe Polechnka Opolska Opole Unversy of Technoloy www.po.opole.pl Wydzał InżynerI Produkcj Losyk Faculy of Producon Enneern and Loscs www.wpl.po.opole.pl
or ruchu ruch prosolnowy ruch krzywolnowy
prędkość ruch jednosajny = cons. ruch jednosajne zmenny ~ ruch nejednosajne zmenny ()
RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY Ruch jednosajny prosolnowy (r.j.pr.) jes o ruch, w kórym cało w jednakowych odsępach czasu przebywa jednakowe odcnk dro ( = cons.), a or jes lną prosą. Sałe są wszyske cechy wekora, a zaem śr = ch. Z defncj: = r Ruch jednosajny prosolnowy jes ruchem jednowymarowym (ylko jedna zmenna przesrzenna), można zaem zrezynować z zapsu wekoroweo równań na rzecz zapsu (prosszeo) skalarneo:, dze r = x + j y + k z = x Δx Δ + j y x x + k z
prędkość [m/s] W r.j.pr. wykresem prędkośc w funkcj czasu jes prosa równoleła do os czasu. położene x [m] Droę przebyą przez cało (punk maeralny) znajdujemy jako pole powerzchn pod lną wykresu prędkośc w funkcj czasu. = c o n s. x = czas [s] x o x = x o + v ( - o ) x czas [s] = = x Wykresem położena, dro przebyej przez cało (punk maeralny) w funkcj czasu jes prosa nachylona pod pewnym kąem α do os czasu. Im wększy jes ką nachylena α, ym wększa prędkość.
RUCH JEDNOSTAJNIE ZMIENNY O ruchu jednosajne zmennym mówmy wówczas, dy prędkość cała (punku maeralneo) zmena sę w sposób jednosajny (a = cons.). Prędkość jes welkoścą wekorową, może węc uleać zmane ze wzlędu na jej warość lub kerunek, bądź obydwe e cechy jednocześne. Ze wzlędu na zmanę warośc rozróżnamy: r.j.p. - ruch jednosajne przyspeszony (a > ), r.j.o. - ruch jednosajne opóźnony (a < ). Przykładem ruchu jednosajne zmenneo ze wzlędu na zmanę kerunku wekora prędkośc jes ruch jednosajny po okręu.
przyspeszene a [m/s ] RUCH JEDNOSTAJNIE ZMIENNY W ruchu prosolnowym jednosajne zmennym (r.pr.j.z.) orem ruchu jes lna prosa, a wekor prędkośc zmena sę w sposób jednosajny ze wzlędu na jeo warość (w jednakowych odsępach czasu prędkość zmena sę o ę samą warość). W r.pr.j.z. wekor a = cons. (wszyske jeo cechy), a wykresem przyspeszena w funkcj czasu jes prosa równoleła do os czasu. a = c o n s. Prędkość w dowolnym ruchu zmennym znajdujemy jako pole powerzchn pod lną przyspeszena w funkcj czasu. = a czas [s]
Z defncj (zaps wekorowy): W ruchu jednowymarowym można zrezynować z zapsu wekoroweo równań : dze: Δ - zmana prędkośc; Δ Δ Δ - przedzał czasu, w kórym zmana prędkośc nasąpła; - prędkość począkowa (prędkość w chwl czasu ); - prędkość w chwl czasu = + Δ. a a Δ Δ Zaem prędkość punku maeralneo (cała) w ruchu jednosajne zmennym przedsawa nasępujące równane: a( )
prędkość [m/s] Wykresem prędkośc w funkcj czasu jes prosa nachylona pod pewnym kąem α do os czasu. Im wększy jes ką nachylena α, ym wększe przyspeszene. Pole powerzchn pod lną wykresu = f () dla jes wpros proporcjonalne do dro x przebyej przez o cało (punk maeralny) w czase. o = f ( ) x = + ½ a - czas [s] - - Pole pod wykresem prędkośc o pole rapezu równoważne sume pól prosokąa o wymarach ( ) (Δ = ) oraz rójkąa prosokąneo o podsawe (Δ = ) wysokośc (Δ = ): P rapezu = P prosokąa + P rójkąa
) ( ) ( ) ( ) ( a 1 x P a 1 P a a 1 P 1 P rapezu rapezu rapezu rapezu Wyprowadzene: osaeczne: (parabola) a 1 x x ' = ' =' ' x' x' ' punk sycznośc x() x o położene x [m] czas [s]
SPADEK SWOBODNY Swobodny spadek - ruch cała pod wpływem sły rawacyjnej (ne wysępują żadne opory arca). W spadku swobodnym cało porusza sę ruchem jednosajne przyspeszonym z przyspeszenem zemskm bez prędkośc począkowej ( = ). Równana ruchu cała swobodne spadająceo z wysokośc h: dze: s h, a s a h a h Q Q
SPADEK SWOBODNY Swobodny spadek - ruch cała pod wpływem sły rawacyjnej (ne wysępują żadne opory arca). Równana ruchu cała swobodne spadająceo z wysokośc h: dze: s h k h h, a s a h a h Q Q
RZUT PIONOWY W DÓŁ Rzu ponowy w dół - ruch w polu rawacyjnym Zem, w kórym cału znajdującemu sę na wysokośc h nadajemy prędkość począkową skerowaną ponowo w dół. W rzuce ym cało porusza sę ruchem jednosajne przyspeszonym z prędkoścą począkową ( ) przyspeszenem. Równana knemayczne w ym ruchu: dze: s h, a s a h a h Q Q
RZUT PIONOWY W DÓŁ Rzu ponowy w dół - ruch w polu rawacyjnym Zem, w kórym cału znajdującemu sę na wysokośc h nadajemy prędkość począkową skerowaną ponowo w dół. k h UWAGA: wzór wskazuje na wekorowy charaker prędkośc cała przy zeknęcu z Zemą, dyż k jes perwaskem z sumy kwadraów prędkośc począkowej prędkośc swobodneo spadku. h Q Q
RZUT PIONOWY W GÓRĘ Rzu ponowy w órę - ruch w polu rawacyjnym Zem, w kórym cału nadajemy prędkość począkową skerowaną ponowo w órę. W rzuce ym cało porusza sę ruchem jednosajne opóźnonym z prędkoścą począkową ( ) opóźnenem. Równana knemayczne w/w ruchu: dze: s h, a s a h a h max
RZUT PIONOWY W GÓRĘ Rzu ponowy w órę - ruch w polu rawacyjnym Zem, w kórym cału nadajemy prędkość począkową skerowaną ponowo w órę. ( ) h w max Równana knemayczne w/w ruchu: dze: s h, a s a h a h max
h RZUT POZIOMY Rzu pozomy - ruch, w kórym cału znajdującemu sę na wysokośc h nadajemy prędkość począkową skerowaną pozomo. W rzuce ym cało porusza sę równocześne dwoma rucham: pozomo - ruchem jednosajnym prosolnowym z prędkoścą ; ponowo - ruchem jednosajne przyspeszonym bez prędkośc począkowej ( = ) z przyspeszenem (swobodny spadek ). y y 1 α Z y x
Zasę (Z) w rzuce pozomym jes droą, jaką cało przebywa pozomo ruchem jednosajnym prosolnowym. s ( s Z Z, Prędkość cała w dowolnym punkce oru jes sumą eomeryczną prędkośc począkowej prędkośc swobodneo spadku. Kąem upadku cała nazywamy ką zawary mędzy ponem, a syczną do oru w mejscu upadku. h h h, arc h ) h
RZUT UKOŚNY Rzu ukośny - ruch, w kórym cału nadajemy prędkość począkową skerowaną pod kąem θ do pozomu. W rzuce ukośnym cało porusza sę równocześne dwoma rucham: pozomo - ruchem jednosajnym prosolnowym z prędkoścą x ; ponowo - ruchem jednosajne zmennym (do osąnęca max. oru ruchem jednosajne opóźnonym (czyl rzu ponowy do óry z prędkoścą y ) w dalszej faze lou ruchem jednosajne przyspeszonym (czyl swobodny spadek).
Zasę (R) w rzuce ukośnym jes droą, jaką cało przebywa pozomo ruchem jednosajnym prosolnowym z prędkoścą x. Czas rzuu (czas przebywana cała na orze) jes dwukrone wększy od czasu osąnęca maksymalnej wysokośc. rz rz x R cos h h y R R y rz y y y y sn sn cos sn sn cos sn sn ) ( max max max
PRZEPIS 1) Wypsujemy równana ruchu cała w kerunku pozomym (oś x) ponowym (oś y). ) Z równań ruchu elmnujemy czas, uzyskując w en sposób równane oru ruchu cała. 3) Przyrównujemy równane oru do zera rozwązujemy ze wzlędu na x, uzyskując w en sposób zasę rzuu (R). 4) Wsawając do równana oru za x połowę zasęu orzymujemy maksymalną wysokość cała na orze (h max ).
RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU Ruch jednosajny po okręu (r.j.o.) - zmena sę (w sposób jednosajny cąły) kerunek wekora prędkośc, ale ne zmena sę jeo dłuość (warość), a orem ruchu jes okrą. k l M () MN r 1 r N ( ) 1 r M () dy Δ 1 MN MN MN ( r r a r cons )
Przyspeszene normalne jes prosopadłe do oru ruchu zmena kerunek prędkośc. W przypadku ruchu po okręu przyspeszene normalne jes skerowane do środka okręu dlaeo jes eż częso nazywane przyspeszenem dośrodkowym a r (skerowane wzdłuż promena okręu). dze: a a r r r r T 4 r T T - okres (w ruchu po okręu czas jedneo pełneo obrou).
dze: PRĘDKOŚĆ KĄTOWA Średna prędkość kąowa - welkość wekorowa (pseudowekor) charakeryzująca szybkość zman kąa zakreślaneo w danym czase przez promeń wodzący do eo czasu. ω Δ Δ Δφ - przemeszczene kąowe (ką jak zakreśla wekor wodzący); Δ - czas w jakm odbywa sę ruch; Warość prędkośc kąowej wyrażana jes w jednoskach mary kąa płaskeo na jednoskę czasu (rad/s lub 1/s). ω = lm ω φ P = dφ d = φ z r y x
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA Średna prędkość kąowa - welkość wekorowa (pseudowekor) charakeryzująca szybkość zman kąa zakreślaneo w danym czase przez promeń wodzący do eo czasu. ω Δ Δ Chwlowa prędkość kąowa jes rancą właścwą z lorazu różncoweo Δφ/Δ przy Δ lub pochodną przemeszczena kąoweo wzlędem czasu: φ ω = lm = dφ d = φ W ruchu jednosajnym po okręu prędkośc kąowe: średna chwlowa są sobe równe.
PRZYSPIESZNIE KĄTOWE Jeżel prędkość kąowa ne jes sała o cało (punk maeralny) doznaje przyspeszena kąoweo: dze: α Δω Δ ω ω - chwlowe prędkośc kąowe, odpowedno w chwlach o. Warość przyspeszena kąoweo wyrażana jes w jednoskach prędkośc kąowej dzelonych przez jednosk czasu (np. rad/s lub 1/s ). Chwlowe (rzeczywse) przyspeszene kąowe lczymy jako: ω ω ω α = lm = dω d = ω
Równana opsujące ruch obroowy możemy zapsać przez analoę do ruchu posępoweo: Ruch posępowy (sały kerunek ruchu) = + aδ Ruch obroowy (neruchoma oś obrou) ω = ω + αδ x = Δ + ½ a(δ) φ =ω Δ + ½ α(δ) Welkośc lnowe a kąowe: ω def. 1 f T Δ p.szczeól ny ω Δ ω π f f - częsolwość (lczba pełnych obeów w jednosce czasu) T - okres ruchu (czas rwana jedneo pełneo obeu) [ f ] π T 1 s 1Hz
Droa kąowa - ką φ zakreślony przez promeń wodzący w czase ruchu (wyrażana w radanach). radan (rad) jes jednoską mary kąa płaskeo (uzupełnająca układu SI); welkość nemanowana. s = φ r s = ds d = dφ d r = ω r = d d = dω d r a = α r = a lub r a a r r z lub P r y r φ a r y φ=1rad r x x