Lista 1 z rozwiązaniami

Transkrypt

1 Lisa z rozwiązaniami Auorzy rozwiązań zadań: Zad 4 dr JBożym Zad 4 59 dr S Gładysz Prędkość średnia Rowerzyści w czasie wycieczki rejesrowali swoją prędkość a) Rowerzysa A odzinę jecał z prędkością = 5 km/ podczas druiej na skuek zmęczenia jecał z prędkością = 5 km/ b) Rowerzysa B pierwsze km jecał z prędkością = 5 km/ a kolejne km z prędkością = 5 km/ c) Rowerzysa C odzinę jecał z prędkością = 5 km/ a nasępne km z prędkością = 5 km/ Oblicz prędkości średnie rowerzysów 3 Bieacz przebieł połowę rasy z prędkością 8 km a druą połowę z inną prędkością Gdyby bieł cały czas ze sałą prędkością km o czas porzebny na przebycie całej rasy nie zmieniłby się Oblicz warość prędkości 4 Indianin Sokole oko przejecał na koniu odlełość S dzielącą jeo wiwam od źródła wody pinej z prędkością V = km/ Z jaką prędkością powinien wrócić do obozu aby jeo prędkość średnia była równa: a) V/3; b) V? Odpowiedź do części b) zadania w Inernecie pod adresem p://wwwideosifpl/sorypp?id=43 Wzlędność rucu 5 Rybak płynie łódką w órę rzeki Przepływając pod mosem ubi zapasowe wiosło kóre wpada do wody Po odzinie rybak sposrzea brak wiosła Wraca z powroem i doania wiosło w odlełości 6 km poniżej mosu Jaka jes prędkość rzeki jeśli rybak poruszając się zarówno w órę jak i w dół rzeki wiosłuje jednakowo? 6 Po rzece płynie łódka ze sałą wzlędem wody prędkością u prosopadłą do kierunku prądu Woda w rzece płynie wszędzie równolele do brzeów ale warość jej prędkości V zależy od odlełości y od brzeu i dana jes wzorem: V = o o jes sałą a L szerokością rzeki Znaleźć wekor prędkości łódki wzlędem brzeu

2 7 Prędkość łódki wzlędem wody wynosi Jak należy skierować łódź aby przepłynąć rzekę w kierunku prosopadłym do brzeu? Woda w rzece płynie z prędkością u 8 Dwa samocody poruszają się po dwóc prosoliniowyc i wzajemnie prosopadłyc droac w kierunku ic przecięcia ze sałymi szybkościami = 5 km/ i = km/ Przed rozpoczęciem rucu pierwszy samocód znajdował się w odlełości s =km od skrzyżowania dró a drui w odlełości s = 5km od ic przecięcia Po jakim czasie od cwili rozpoczęcia rucu odlełość między samocodami będzie najmniejsza? 9 Krople deszczu spadają na ziemię z cmury znajdującej się na wysokości 7 m Oblicz jaką warość prędkości (w km/ ) miałyby e krople w cwili upadku na ziemię dyby ic ruc nie był spowalniany w wyniku oporu powierza 3 Dwóc pływaków A i B skacze jednocześnie do rzeki w kórej woda płynie z prędkością Prędkość c (c > ) każdeo pływaka wzlędem wody jes aka sama Pływak A przepływa z prądem odlełość L i zawraca do punku saru Pływak B płynie prosopadle do brzeów rzeki (pomimo znosząceo o prądu) i oddala się na odlełość L po czym zawraca do punku saru Kóry z nic wróci pierwszy? Ruc prosoliniowy jednosajnie przyspieszony 3 Cząska rozpoczyna ruc przyspieszony z zerową prędkością począkową Zależność przyspieszenia od czasu przedsawia wykres Wyznaczyć: (a) prędkość cząski w cwilac = s i = s; (b) średnią prędkość w czasie od do ; (c) droę przebyą przez nią po czasie 3 Oblicz prędkość jaką uzyskasz poruszając się przez rok prosoliniowo z przyspieszeniem ziemskim = 98m/s 33 Ciało swobodnie spadające pokonuje połowę droi w ciąu osaniej sekundzie rucu Z jakiej wysokości spada o ciało?

3 34 Moocyklisa rusza ze sałym przyspieszeniem a = 5 m/s Po 6 min od cwili rozpoczęcia rucu zarzymuje o policjan Czy moocyklisa będzie płacił manda z powodu przekroczenia dozwolonej prędkości 6 km/? 35 Aby móc oderwać się od ziemi samolo musi osiąnąć prędkość m s Znaleźć czas rozbieu i przyspieszenie samolou jeżeli dłuość rozbieu wynosi d = 6m Założyć że ruc samolou jes jednosajnie zmienny 36 Samocód jadący z prędkością 36 km w pewnej cwili zaczął amować i zarzymał się po upływie s Zakładając że ruc samocodu był jednosajnie zmienny wyznacz jeo przyspieszenie a oraz droę s jaką przebył podczas amowania 37 W cwili dy zapala się zielone świało samocód osobowy rusza z miejsca ze sałym przyspieszeniem a równym m/s W ej samej cwili wyprzedza o ciężarówka jadąca ze sałą prędkością 95 m/s (a) W jakiej odlełości od synalizaora samocód osobowy dooni ciężarówkę? (b) Ile wynosić będzie wówczas jeo prędkość? 38 Wysokość szybu windy w oelu Marquis Marrio w Nowym Jorku wynosi 9 m Maksymalna prędkość kabiny jes równa 35 m/min Przyspieszenie windy w obu kierunkac jazdy ma warość m/s (a) Na jakiej drodze ruszający z miejsca waonik osiąa maksymalną prędkość jazdy? (b) Jak dłuo rwa pełny 9-merowy przejazd waonika bez zarzymania po drodze licząc od cwili zarzymania na dole do cwili zarzymania na órze? 39 W bieu na merów Ben Jonson i Carl Lewis przecinają linię mey na osanim wydecu równocześnie w czasie s (bo wiar wiał im w oczy) Przyspieszając jednosajnie Ben porzebuje s a Carl 3 s aby osiąnąć maksymalne prędkości kóre nie zmieniają się do końca bieu (a) Jakie są maksymalne prędkości oraz przyspieszenia obu sprinerów? (b) Jaka jes ic maksymalna prędkość wzlędna? (c) Kóry z nic prowadzi w 6 sekundzie bieu? 4 Wykres (parz obok) przedsawia zależność prędkości samocodu od czasu Ile wynosiła jeo średnia prędkość po km/ 5 []

4 4 Wykres (parz obok) przedsawia zależność od czasu prędkości bieacza po zw falsarcie Jaką droę przebieł on w ciąu s? m s 5 [s] Rzuy 4 Ciało znajdujące się na wysokości nad powierzcnią ziemi rzucono pionowo do óry z prędkością = 5 m/s Prędkość końcowa ciała (uż przed upadkiem) wyniosła k = 5 Wyznaczyć Na jaką maksymalną wysokość H nad powierzcnię ziemi wzniosło się ciało? Ile czasu c rwał ruc ciała? 43 Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H nadając mu prędkość począkową = 5m/s Ciało uderzyło o ziemię z prędkością k = 35 m/s Z jakiej wysokości H zosało rzucone? Ile sekund rwał ruc ciała? Jaką prędkość miało o ciało w cwili dy przebyło droę s = H/6? 44 Kamień rzucono pionowo do óry Mija on punk A z prędkością a punk B leżący 3m wyżej niż punk A z prędkością / Oblicz: (a) prędkość ; (b) maksymalną wysokość wzniesienia się kamienia ponad punk B 45 Ciało spada swobodnie na ziemię z wysokości H Na jakiej wysokości prędkość eo ciała będzie n razy mniejsza od jeo prędkości końcowej? Obliczenia numeryczne wykonaj dla H=7 m i n=3 46 Układający się do drzemki ko sposrzea doniczkę przelaującą za oknem najpierw w órę poem w dół Łączny czas w jakim ko ma doniczkę w polu widzenia wynosi 5 s a wysokość okna przez kóre ją obserwuje jes równa m Jak wysoko nad órną framuę okna wzniosła się doniczka? 47 W rzucie poziomym prędkość końcowa ciała jes n = 3 razy większa od prędkości począkowej Prędkość począkowa ciała wynosi 98m s Obliczyć wysokość począkową rzuu Przyspieszenie ziemskie 98m s

5 48 Kula pisoleowa wysrzelona poziomo przebiła dwie pionowo usawione karki papieru umieszczone w odlełościac l m i l 3 m od pisoleu Różnica wysokości na jakic znajdują się owory w karkac wynosi = 5 cm Oblicz prędkość począkową kuli Przyspieszenie ziemskie 49 Z wieży o wysokości H= m wysrzelono z prędkością = m/s pod kąem = 3 o pocisk Z jaką prędkością uderzył pocisk o ziemię? Jaki ką worzył or pocisku z płaszczyzną ziemi? Napisz równanie oru pocisku Oblicz zasię maksymalny 5 Lonik kóry leci na wysokości w kierunku poziomym z prędkością x puszcza ładunek kóry ma upaść na ziemię w punkcie A Pod jakim kąem lonik powinien widzieć cel w cwili puszczania ładunku aby en spadł w punkcie A? Za ką widzenia celu przyjmij ką pomiędzy kierunkiem poziomym a linią łączącą samolo z celem 5 Karabin jes wycelowany w arczę odlełą od nieo o s m Kula rafia w arczę d m poniżej punku w kóry celowano Wyznaczyć czas lou kuli i jej prędkość począkową 5 Na misrzoswac świaa w Tokio w 99 r Mike Powell skoczył w konkursie skoku w dal 895 m Wyznaczyć jeo prędkość począkową jeśli ką wybicia był równy 4 Przyjąć = 985m/s 53 Kamień wyrzucono z kaapuly z prędkością począkową m/s w órę pod kąem 45 Wyznaczyć położenie i prędkość kamienia po czasie s 54 Kamień rzucono ukośnie z powierzcni ziemi Na wysokości 9 m jeo prędkość jes równa = 76i + 6j Jaka jes maksymalna wysokość i zasię rzuu? Jaka była prędkość począkowa i końcowa (uż przed upadkiem) kamienia? 55 Warość prędkości począkowej pewneo pocisku wyrzuconeo ukośnie jes pięć razy większa od jeo prędkości w punkcie maksymalneo wzniesienia Pod jakim kąem wysrzelono pocisk? 56 Samolo lecący z prędkością = 9 km/ nurkuje pod kąem 3 do powierzcni morza i wypuszcza pakunek z żywnością dla rozbików znajdującyc się w odlełości 7 m liczonej po powierzcni morza od punku leżąceo bezpośrednio pod samoloem w momencie dy wypuszcza

6 ładunek Jak dłuo rwał lo pakunku? Na jakiej wysokości znajdował się samolo w momencie wyrzucenia ładunku? 57 W meczu enisowym Edi Federer serwując nadał piłce znajdującej się na wysokości 37m prędkość poziomą 36 m/s sojąc w odlełości m od siaki Czy piłka przejdzie nad siaką? 58 Serowiec leci na wysokości H = m w kierunku poziomym z prędkością u = m/s Ze serowca wyrzucono kulkę mealową nadając jej poziomą prędkość począkową = 5m/s (wzlędem serowca) w cwili dy przelaywał on nad wierzcołkiem maszu sacji radiowej sojąceo na płaskim erenie Jak daleko od maszu upadła kulka? Jaki był czas rucu kulki? Wyznaczyć wekor prędkości wysokość H przyspieszenie całkowie a oraz składową syczną as przyspieszenia kulki po czasie = 3 s od momenu jej wyrzucenia ze serowca Opory powierza zaniedbać Jak zależy promień krzywizny oru kulki od czasu? Przyjąć = m/s Kinemayka rucu po okręu 59 Talerz wardeo dysku o średnicy 35 cala (cal = 54 cm) uzyskuje przyspieszając jednosajnie końcową prędkość kąową 7 obroów na minuę w czasie = 3 sek Wyznaczyć: a) końcową prędkość kąową wyrażoną w radianac na sekundę; b) przyspieszenie kąowe alerza; c) droę kąową punków alerza zakreśloną w czasie = 3 sek; d) liczbę obroów alerza podczas przyspieszoneo rucu obrooweo; e) przyspieszenie syczne punków położonyc na brzeu alerza podczas przyspieszoneo rucu obrooweo; f) zależność od czasu prędkości liniowej i przyspieszenia dośrodkoweo punków na brzeu alerza w rakcie przyspieszoneo rucu obrooweo; ) prędkość liniową przyspieszenie dośrodkowe oraz syczne punków na brzeu alerza po czasie = 3 sek

7 Rozwiązania RZad a) dzie: S- cała przebya droa czas rucu W czasie pierwszej odziny rowerzysa przejecał droę S = (dzie = ) a w czasie druiej odziny S = (dzie = ) Zaem: Uwzlędniając że = = orzymujemy że b) Uwzlędniając że S =S =S orzymujemy: c) Uwaa: Tylko w przypadku = prędkość średnia jes średnią arymeyczną prędkości (pk a) RZad3 Przyjmując że: - czas pokonania pierwszej połowy droi z prędkością - czas pokonania druiej połowy droi z prędkością - czas pokonania całej droi z prędkością możemy zapisać: czyli: Sąd:

8 RZad4 a) Rozwiązujemy podobnie jak zadanie 3 Przyjmując że: czas pokonania droi S w jedną sronę z prędkością - czas pokonania droi S w druą sronę z prędkością - czas pokonania całej rasy w obie srony z prędkością średnią śr możemy zapisać: Sąd: Po uwzlędnieniu że śr = mamy: b) Po uwzlędnieniu że śr = mamy wyrażenie nieokreślone Oznacza o w ym przypadku że nie jes możliwe aby Indianin poruszał się z prędkością średnią ponieważ musiałby wrócić z nieskończoną prędkością (w zerowym czasie) czeo nawe Indianin Rącza Srzała nie jes w sanie dokonać RZad5 Wzlędność rucu Rozparzmy o zadanie w układzie odniesienia związanym z płynącą wodą w rzece Niec począkiem eo układu będzie wiosło W sosunku do wiosła rybak najpierw oddala się przez = a nasępnie przybliża się w czasie kóry jes równy czasowi (ak samo jak na sojącej wodzie - ruc wody powoduje jedynie że cały układ ( j łódka woda i wiosło) zmienia swoje położenie wzlędem brzeu) Czyli od momenu wypadnięcia wiosła do momenu jeo wyłowienia upływa czas = = W ym czasie wiosło w raz z wodą w rzece przepłynęło dysans S=6km Oznacza o że woda w rzece porusza się z prędkością:

9 RZad6 Rucy w kierunku x oraz y są niezależne Wekor prędkości łódki ma posać: Jes o wekor o warości Wekor en nacylony jes do brzeu pod kąem α kóreo anens jes równy: Z analizy anensa wynika że przy brzeac (y = lub y = L) łódka jes skierowana prosopadle do nuru rzeki bo a na środku rzeki (y = L) ką α jes najmniejszy i RZad7 u wyp Aby prędkość wypadkowa była skierowana prosopadle do brzeu prędkość łodzi powinna być skierowana do brzeu pod kąem α akim że: wzlędem wody RZad8 Wprowadźmy układ współrzędnyc aki że pierwszy samocód porusza się w kierunku dodanim osi x a drui w kierunku dodanim osi y Niec skrzyżowanie dró będzie począkiem eo układu współrzędnyc W ym układzie równania rucu obu samocodów przyjmą posać:

10 Odlełość f między samocodami w funkcji czasu można obliczyć z wierdzenia Piaorasa: Czas min po kórym funkcja osiąa minimum warości można obliczyć z warunku zerowania się pocodnej ej funkcji po czasie: Z eo warunku uzyskujemy wyrażenie na min : RZad9 Jeżeli pominiemy opór powierza o ruc kropli odbywa się w polu sił poencjalnyc a więc kropla zacowuje swoją całkowią enerię mecaniczną E cał Jeśli oznaczymy punk począkowy przez A a końcowy przez B o można zapisać równanie: czyli: dzie: E ka E kb E pa E pb o odpowiednio enerie kineyczne i poencjalne w punkac A i B Dla wzlędnie małyc wysokości enerię poencjalną można wyrazić równaniem E p =m Przyjmijmy eż że poziomem odniesienia wzlędem kóreo mierzymy wysokość jes poziom ziemi więc E pb = Ponado eneria kineyczna w miejscu w kórym kropla rozpoczyna ruc jes eż równa zeru E k A = Zaem mamy że : Sąd: RZad3

11 Aby usalić kóry pływak pierwszy powróci obliczmy czasy obu pływaków Pierwszy pływak kóry płynie w poprzek rzeki ma wypadkową prędkością prosopadłą do brzeu wyrażoną wzorem (parz rysunek): c wyp Zaem czas porzebny na o aby pierwszy pływak pokonał dysans od dłuości L am i z powroem wynosi: Czas druieo pływaka kóry płynie wzdłuż rzeki obliczymy jako sumę czasu porzebneo do przepłynięcia dysansu L z nurem rzeki i czasu porzebneo do przepłynięcia ej samej dłuości L ale pod prąd: Aby usalić kóry czas jes dłuższy obliczmy sosunek: < czyli < Pływak płynący w poprzek rzeki powróci pierwszy RZad3 Z wykresu usalamy że w czasie pierwszyc sekund cząska porusza się rucem jednosajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a =m/s zaem prędkość od czasu zależy wedłu równia: Z reści zadania wynika że prędkość począkowa cząski = więc dla =s prędkość cząski wyniesie:

12 Usalmy eraz prędkość dla =s W przedziale czasu od 3 =5s do =s cząska porusza się rucem jednosajnie opóźnionym z opóźnieniem a =3m/s zaem: Gdzie czas mierzony jes od momenu 3 =5s a prędkość począkowa cwili 3 jes aka sama jak prędkość uzyskana w cwili dyż od cwili =s do cwili 3 =5s cząska porusza się ze sałą prędkością Zaem = m/s Czyli: Usalmy eraz średnią prędkość w przedziale czasu od do W ym przedziale cząska od cwili =s do cwili 3 =5s porusza się rucem jednosajnym pokonując odcinek s a nasępnie porusza się rucem jednosajnie opóźnionym pokonując odcinek s dzie: i Zaem prędkość średnia w przedziale czasu od do jes równa: Aby obliczyć pełną droę od = do =s należy do sumy dró S i S dodać droę S przebyą w pierwszyc sekundac Zaem cała droa: RZad3 Ciało porusza się rucem jednosajnie przyspieszonym bez prędkości począkowej ( =) Oznacza o że przekroczona zosałaby prędkość świała ( ) co przeczy akualnej eorii fizycznej W rzeczywisości prędkość ciała rosłaby wolniej i jeo masa nie byłaby sała lecz rosłaby w raz z prędkością w wzoru

13 RZad33 Z reści zadania wynika że: Pierwsze równanie wyraża droę przebyą przez spadające swobodnie ( =) ciało w czasie Druie równie zawiera informację o ym że w czasie o s krószym ciało przebędzie droę o dłuości co oznacza że w osaniej sekundzie pokona pozosałą droę eż o dłuości Rozwiązanie eo układu równań o: =577 m RZad34 Moocyklisa porusza się rucem jednosajnie przyspieszonym bez prędkości począkowej więc: Moocyklisa zapłaci manda bo przekroczył dozwoloną prędkość RZad35 Samolo rozpędza się rucem jednosajnie przyspieszonym bez prędkości począkowej więc: Rozwiązanie eo układu o: RZad36

14 Rozwiązanie eo układu równań o: Ujemna warość przyspieszenia oznacza że ruc jes opóźniony RZad37 Wprowadźmy oś X skierowaną w kierunku rucu obu pojazdów Przyjmijmy że zero ej osi jes w miejscu wysępowania świaeł czyli w miejscu dzie pojazdy spokały się po raz pierwszy Zapiszmy równania rucu obu pojazdów w ym układzie Samocód osobowy porusza się rucem jednosajnie przyspieszonym bez prędkości począkowej a samocód ciężarowy rucem jednosajnym z prędkością s więc położenie samocodu osoboweo x s oraz ciężaroweo x c można zapisać równaniami: Po czasie sp oba pojazdy spokają się ponownie więc ic położenia będą jednakowe: Sąd: Aby obliczyć droę s jaką oba samocody pokonają do miejsca ic spokania wysarczy podsawić obliczony czas sp do x s lub x c Wykorzysajmy x c : Prędkość samocodu osoboweo wyniesie wedy: RZad38 Ruc kabiny należy rozbić na rzy eapy: )ruc jednosajnie przyspieszony z przyspieszeniem a na drodze s na kórej kabina osiąa maksymalną prędkość max

15 ) ruc jednosajny z maksymalną prędkością max na drodze s 3) ruc jednosajnie opóźniony z przyspieszeniem a od prędkości maksymalnej max do zarzymania kabiny Ponieważ na ym eapie warość bezwzlędna przyspieszenia jes aka sama jak na eapie oraz warość bezwzlędna zmiany prędkości eż jes aka sama jak na eapie o droa s 3 podczas amowania na eapie 3 jes równa drodze s na eapie czyli Zaem cała droa H jes równa: Droę s można obliczyć ze wzoru na droę w rucu jednosajnie przyspieszonym bez prędkości począkowej: Należy jednak najpierw obliczyć czas porzebny na o aby kabina rozpędziła się od zera do prędkości max Czas en obliczymy ze wzoru na prędkość w rucu jednosajnie przyspieszonym bez prędkości począkowej: Sąd: Zaem Oznacza o że kabina porusza się rucem jednosajnym na drodze: 58 m Całkowiy czas c poruszania się kabiny o suma czasów z poszczeólnyc eapów rucu: Całkowiy czas c poruszania się kabiny o suma czasów z poszczeólnyc eapów rucu: Czas rozpędzania się kabiny jes równy czasowi jej amowania 3 bo warości bezwzlędne przyspieszeo są jednakowe oraz jednakowe są bezwzlędne zmiany prędkości czyli: Czas obliczymy z równania dla rucu jednosajneo:

16 Zaem: RZad39 Przeanalizujmy ruc Bena Jonsona dzie: Zaem: Sąd: Wsawiając maxb do wzoru na przyspieszenie orzymamy: W en sam sposób można przeanalizowad ruc Carla Lewisa i orzymad: Poniższy wykres przedsawia zależności prędkości obu bieaczy od czasu

17 3 [s] Ben Jonson rozpędza się szybciej ale osiąa mniejszą prędkość maksymalną niż Carl Lewis Maksymalna różnica prędkości obu bieaczy może wysąpić w cwili B =s lub po czasie C =3s Sprawdźmy jakie bieacze mają prędkości dla cwili B =s Czyli różnica prędkości dla B = s wynosi: Ta różnica jes większa niż różnica prędkości po czasie C =3s kóra wynosi (49-87)m/s=6 m/s Zaem maksymalna warośd prędkości wzlędnej obu bieaczy wynosi Po upływie czasu =6s bieacze pokonają droi kóre obliczymy ze wzorów: Czyli m RZad4 Prędkość średnia o sosunek całkowiej droi S cał do całkowieo czasu rucu cał Na poszczeólnyc eapac ciało porusza się rucem jednosajnym więc: RZad4

18 Całkowia droa o suma dró przebyyc na poszczeólnyc eapac: lub pole pod krzywą na wykresie prędkości od czasu Korzysając z eomerycznej inerpreacji droi mamy że: RZad4 Oznaczmy przez czas rucu ciała w órę aż do przebycia droi (w órę) Dla yc wielkości mamy nasępujący układ równań: o o Rozwiązując en układ orzymujemy: Oznaczmy przez czas rucu ciała w dół z wysokości + Z warunków zadania mamy: 5 Sąd obliczamy: 5 H 5 i 6 dla całkowieo czasu rucu RZad43 Oznaczając przez czas rucu ciała mamy nasępujący układ równań opisujący rzu pionowy w dół z prędkością począkową : k H Rozwiązując en układ orzymujemy: k H k o Dalej oznaczmy przez czas rucu na drodze s Nasępujący układ równań opisuje kinemaykę rucu rzuconeo ciała na drodze s :

19 H 6 Po obliczeniu i wykorzysaniu wyrażenia dla H (parz wyżej) druie równanie z eo układu orzymuje posać: 6 k sąd po przekszałceniac obliczamy 65 k RZad44 Jeśli przez oznaczymy czas rucu w órę o punku A do punku B o odlełość i są związane nasępującym układem równań: Eliminując czas obliczamy: 8 3 Oznaczmy eraz przez H i odpowiednio wysokość wzniesienia się kamienia ponad punk B i czas do eo porzebny Kinemaykę rucu kamienia w ej syuacji opisuje układ równań: H Posępując ak jak poprzednio obliczamy : H 8 3 RZad45 Spadając z wysokości H w czasie w momencie zeknięcia z ziemią ciało ma prędkość k przy czym wielkości e związane są układem równań opisującyc kinemaykę spadku swobodneo: k H

20 Sąd obliczamy drodze H-: n k H k H Podobny układ równań z czasem rucu układamy dla rucu na Z pierwszeo równania mamy: obliczoneo dosajemy wynik końcowy: k H Po wsawieniu do druieo równania ak n n H n RZad46 W rozwiązaniu zadania wykorzysamy nauralną symerię w czasie: czas przelou doniczki w órę i w dół na wysokości okna =m jes aki sam Oznaczymy o a z warunków zadania wiemy że = 5s Oznaczmy przez i prędkości doniczki odpowiednio przy dolnej i órnej framudze W czasie rucu do óry na drodze mamy dla nic nasępujący układ równań: Z eo układu obliczamy obliczymy z nasępująceo układu równań: Poszukiwaną wysokość wzniesienia H nad órną framuę H w kórym oznacza czas rucu na drodze H Z eo układu obliczamy wyrażenia dla orzymujemy końcowy rezula: H a po wykorzysaniu H RZad47 Oznaczmy przez czas rwania rzuu;wedy dla wysokości począkowej i warości prędkości końcowej k mamy nasępujące równości: k Ponieważ k =n więc orzymujemy nasępujące równanie dla obliczenia : n Końcowo dosajemy: n

21 RZad48 Oznaczmy przez i czas rucu i położenie oworu w karce odlełej o l mierzone od wysokości począkowej Analoicznie definiujemy i Mamy nasępujące równości wiążące e wielkości: l l dwóc równań orzymujemy: l l Ponieważ = więc eliminując czas z pierwszyc Sąd obliczamy l l RZad49 Składowe wekora prędkości poruszająceo się ciała jako funkcje czasu wyrażają się nasępującymi x cos równaniami: sin y Dla składowyc wekora położenia jako funkcji czasu mamy: x y cos sin H Do wypisania składowyc użyo sandardoweo układu współrzędnyc zn oś X kierunek poziomy oś Y kierunek pionowy Równanie oru orzymamy wyrażając czas przez x z pierwszeo równania i 9 podsawiając do druieo: y H x cos x Obliczymy nasępnie czas rwania rzuu T rozwiązując równanie y(t)= Po uporządkowaniu równanie o przyjmuje posać równania sin kwadraoweo: H T T Dodani pierwiasek eo równania jes równy: T sin H sin Zasię rzuu z x T cos sin sin Obliczymy eraz prędkość k w momencie upadku i ką jaki wekor prędkości worzy z powierzcnią ziemi wykorzysując formuły: końcowe są nasępujące: H k H i sin k x T y T i x y T T Wyniki RZad5 Przyjmiemy jako wielkości dane kórymi dysponuje pilo wysokość i prędkość x Ką (ak jak definiuje o eks zadania) obliczymy z zależności: dzie x A oznacza odlełość celu A mierzoną w kierunku poziomym od miejsca nad kórym znajduje się samolo Mamy: x A x A x

22 x dzie oznacza czas lou ładunku Obliczjąc czas z druieo równania dosajemy: x RZad5 Oznaczając czas lou kuli a jej prędkość począkową orzymujemy dla yc wielkości nasępujący układ równań: d s Sąd obliczamy d i s d RZad5 Niec z = 895m oznacza zasię skoku ką = 4 jes kąem wybicia Oznaczjąc przez prędkość począkową mamy dla z sandardowe wyrażenie: z sin z Sąd obliczamy sin RZad53 Oznaczając = m/s = 45 = s przywołujemy do rozwiązania znane wyrażenia dla składowyc wekora prędkości i wekora położenia jako funkcji czasu : i x( ) y( ) cos sin ( ) x ( ) Podano składowe przy sandardowym wyborze układu odniesienia: oś X równoleła do powierzcni ziemi oś Y prosopadła do powierzcni ziemi począek układu o punk wyrzucenia kamienia y cos sin RZad54 Niec oznacza czas osiąnięcia podanej wysokości = 9m zaś x = 76 m/s i y = 6 m/s niec będą składowymi wekora prędkości na ej wysokości Mamy nasępujący układ równań dla i y: y sin sin Ponieważ znamy warości numeryczne i y więc z eo układu dosajemy y nasępujące równanie dla czasu : Dodani pierwiasek eo równania jes równy:

23 y Ponieważ sin y więc orzymujemy y sin y y Obliczamy eraz kolejno: sin sin sin y max z sin x x y W powyższyc dwóc związkac widnieje wyrażenie sin oznaczające czas rucu do maksymalneo wzniesienia i fak że zasię jes droą w rucu jednosajnym z prędkością x Ponieważ prędkość końcowa jes równa prędkości począkowej więc orzymujemy: k p cos sin x y RZad55 W rozwiązaniu wykorzysamy nasępujące znany fak doyczący rzuu ukośneo mianowicie że w punkcie max wzniesienia prędkość jes równa składowej x-owej (składowa y-kowa =) Sąd z warunków zadania mamy równanie: 5 cos Czyli arccos 5 RZad56 Jes o zaadnienie rzuu ukośneo w dół pod kąem =3 do poziomu Podana prędkość samolou = 9 km/ = 856 m/s jes prędkością począkową rzuu Niec x r oznacza odlełość rozbików liczoną w kierunku poziomym od miejsca nad kórym znajduje się samolo Mamy wedy xr x r cos skąd szukany czas jes równy Szukana wysokość samolou cos sin xr x r cos RZad57 Piłka enisowa poruszając się wykonuje rzu poziomy z wysokości = 37m z prędkością d począkową = 36m/s Odlełość d = m piłka przebędzie w czasie W ej cwili piłka będzie na wysokości przejdzie nad nią sąd orzymujemy warunek: Jeśli a wysokość będzie większa od wysokości siaki s o piłka d s RZad58

24 Jes o zaadnienie rzuu poziomeo z wysokości H z prędkością począkową u+ Oznaczjąc przez T całkowiy czas rucu zaś przez z zasię rzuu mamy: T H i z u H z T Sąd orzymujemy : u T H Dla składowyc prędkości mamy: x = +u y = - Składowe przyspieszenia a są równe a x = a y = - Składowe syczną i normalną przyśpieszenia obliczymy wykorzysując znane wzory wynikające z podobieńswa rójkąa prędkości ze składowymi x y i y rójkąa przyspieszeń ze składowymi a s a n : as u a n u u Ponieważ a n więc promień krzywizny R R u u 3 RZad59 Podana w ekście zadania liczba 7 obr/min jes częsoliwością f k kórą przeliczamy na obr/s k f k f k a) k f k b) c) f k d) n e) a s R d f k d f) d R a n R d ***