Statystyczy opis daych - parametry Ozaczeia żółty owe pojęcie czerwoy, podkreśleie uwaga * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW
Zagadieia. Idea opisu parametryczego. Parametry a. położeia b. rozrzutu c. asymetrii Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW
Statystyczy opis daych Rozkład empiryczy wartości cechy w formie tabeli (szereg rozdzielczy) w formie wykresu (histogram, wielobok, dystrybuata empirycza) Opis parametryczy (parametry to charakterystyki liczbowe) Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 3
Kometarz Zastosowaie Czym mogą różić się dwa rozkłady dzwoowate? Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 4
Przykład masa owocu (g) Odmiaa O:,,, 60 9, 93,5 90,0 95,3 97, 99,5 89,8 97, 93,0 94,5 97,7 93, 94, 00,5 93,5 85,3 95, 96, 95,8 96,9 00,6 89,0 9,6 0,5 84,3 86,9 95, 98,0 0, 03,5 95,3 00, 97,6 9,5 88,6 9, 94,6 88,8 93,3 96,8 00,8 9, 95,6 99,8 93,8 89,9 97,0 87,0 94, 90,8 93,9 96,3 98, 94, 99,6 96,5 98,7 05,8 98,9 90,8 93,8 93,0 94,3 95,4 89,5 98,4 99,5 97,7 89,3 97,8 9,5 94,7 00, 97,0 99,9 9,0 89,8 88,3 93,7 93,3 96,7 96,9 00, 97,3 0,8 89,4 06,3 9,6 0,7 93, 93, 9,6 89,7 94, 88, 93, 89,6 93, 99,5 93, 94,7 93,7 93,6 97, 97, 96,0 96,7 94,6 98, 98,0 99,9 89, 00, 9,3 9,0 9,9 9, 93, 95,4 9,3 94,6 97,0 93,4 99,4 98,3 0,4 98,5 0,7 95,5 99,4 90, 00,7 0,6 90,0 96, 94, 96,7 97,3 94,6 95,6 98,6 97,8 97,3 93,4 94,8 97, 96, 9,6 0,4 9,7 00,7 89, 94,3 90,7 96,5 94,6 97,6 9, 90,9 98,8 Odmiaa O: y, y,, y60 0, 03,5 00,0 05,3 07, 09,5 99,8 07, 03,0 04,5 07,7 03, 04, 0,5 03,5 95,3 05, 06, 05,8 06,9 0,6 99,0 0,6,5 94,3 96,9 05, 08,0, 3,5 05,3 0, 07,6 0,5 98,6 0, 04,6 98,8 03,3 06,8 0,8 0, 05,6 09,8 03,8 99,9 07,0 97,0 04, 00,8 03,9 06,3 08, 04, 09,6 06,5 08,7 5,8 08,9 00,8 03,8 03,0 04,3 05,4 99,5 08,4 09,5 07,7 99,3 07,8 0,5 04,7 0, 07,0 09,9 0,0 99,8 98,3 03,7 03,3 06,7 06,9 0, 07,3,8 99,4 6,3 0,6,7 03, 03, 0,6 99,7 04, 98, 03, 99,6 03, 09,5 03, 04,7 03,7 03,6 07, 07, 06,0 06,7 04,6 08, 08,0 09,9 99, 0, 0,3 0,0 0,9 0, 03, 05,4 0,3 04,6 07,0 03,4 09,4 08,3,4 08,5,7 05,5 09,4 00, 0,7,6 00,0 06, 04, 06,7 07,3 04,6 05,6 08,6 07,8 07,3 03,4 04,8 07, 06, 0,6,4 0,7 0,7 99, 04,3 00,7 06,5 04,6 07,6 0, 00,9 08,8 Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 5
Przykład szereg rozdzielczy Odmiaa O = 60 długość klasy d =,5 Numer Graice Środek przedziału przedziału przedz. i Liczebość i. <84,05; 86,55) 85,3. <86,55;89,05) 87,8 7 3. <89,05;9,55) 90,3 3 4. <9,55;94,05) 9,8 3 5. <94,05;96,55) 95,3 33 6. <96,55;99,05) 97,8 34 7. <99,05;0,55) 00,3 0 8. <0,55;04,05) 0,8 7 9. <04,05;06,55> 05,3 Razem 60 Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 6
Liczebość i 40 35 Przykład histogramy Rozkład wartości cechy dla odmiay O 3 33 34 30 5 3 0 0 5 0 7 7 Rozkład wartości cechy w próbie P 5 Liczebość i 0 40 85,3 87,8 90,3 9,8 95,3 97,8 00,3 0,8 05,3 35 30 5 0 wartości cechy 3 33 34 3 0 5 0 5 7 7 0 95,3 97,8 00,3 0,8 05,3 07,8 0,3,8 5,3 wartości cechy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 7
Przykład wieloboki Rozkład wartości cechy dla odmia O i O P P Liczebość i 40 35 30 5 0 5 0 5 0 80,0 90,0 00,0 0,0 0,0 wartości cechy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 8
Przykład wieloboki Liczebość i Rozkład wartości cechy dla odmia O i O3 P P3 40 35 3 33 34 30 5 0 5 3 0 0 7 7 5 0 75,0 85,0 95,0 05,0 5,0 wartości cechy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 9
Co opisują parametry rozkładu? Parametry rozkładu (charakterystyki rozkładu) opisują oceę własości: położeie (przecięty poziom) rozrzut (rozproszeie, dyspersja) asymetria (skośość) Rodzaje parametrów Parametry klasycze obliczae a podstawie wszystkich wyików. Parametry pozycyje - wyzaczae a podstawie pozycji wyików w szeregu statystyczym lub częstości ich występowaia. Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 0
Parametry położeia wartość średia (p. arytmetycza, harmoicza, geometrycza) wartość typowa ajczęściej występująca (domiata) wartość o ustaloej pozycji w rozkładzie (p. wartość w środku rozkładu - mediaa, wartość w jedej czwartej rozkładu - kwartyl pierwszy, wartość w jedej dziesiątej rozkładu decyl pierwszy) Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW
Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW Średia arytmetycza Dla daych,,..., : i i... *Dla szeregu rozdzielczego; k - liczba klas, i - liczebość w i-tej klasie: k i i k i i i k k k sz......
Przykład Średia masa owocu odmiay O (g)... 3 4,7 60 95,5 Obliczeia dla tych samych daych zagregowaych w szereg rozdzielczy: Numer przedziału Graice przedziału Środek przedz. Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW i Liczebość i i i. <84,05; 86,55) 85,3 370,6. <86,55;89,05) 87,8 7 34,6 3. <89,05;9,55) 90,3 3 4376,9 4. <9,55;94,05) 9,8 3 669,6 5. <94,05;96,55) 95,3 33 6444,9 6. <96,55;99,05) 97,8 34 675, 7. <99,05;0,55) 00,3 0 4006,0 8. <0,55;04,05) 0,8 7 49,6 9. <04,05;06,55> 05,3 40,6 Razem 60 338,0 3
Przykład cd. sz 3 38,0 k k...... k 60 95,4 Kometarz: 95,5 95, 4 sz Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 4
Własości średiej arytmetyczej () jest wyliczaa a podstawie wszystkich wyików z próby (parametr klasyczy), przyjmuje wartości z przedziału: mi ma suma odchyleń wartości cechy od średiej arytmetyczej jest rówa zeru: i i 0 dla owych daych y i = i + c, gdzie c - stała y c dla owych daych z i = k i, gdzie k stała, k > 0 z k Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 5
* Domiata Domiata wartość występująca ajczęściej w próbie (domiująca, wartość modala, moda). Przykład. Studeci pewej uczeli według liczby rodzeństwa. Liczba rodzeństwa % badaych studetów 0 3,4 5,5 3, 3 i więcej,0 Ogółem 00,0 D = ; ajczęściej moża spotkać studeta (spośród zbadaych), który ma jedego brata lub jedą siostrę. Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 6
* Domiata przykład Pracowicy pewego zakładu według czasu dojazdu do pracy Czas dojazdu Liczba w miutach pracowików 5-5 3 5-5 5 5-35 5 35-45 5 45-55 5 55-65 Ogółem 55 Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 7
Liczba pracowików * Domiata przykład Graficze wyzaczeie domiaty: 5 0 5 0 5 0 5 5 5 35 45 55 65 75 D() Czas dojazdu w mi Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 8
* Domiata przykład Rachukowe wyzaczeie domiaty: D( ) D 0 D D D D D D D h Dla wartości z przykładu: 5 5 D( ) 5 0 5 5 5 5 3,6 miuty Najczęściej spotykaym czasem dojazdu do pracy jest czas około 3,6 miuty (przy średiej arytmetyczej 33,6 miuty). Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 9
* Mediaa Mediaa (wartość środkowa) średia pozycyja Przykład. Obliczaie mediay dla daych: 35 40 36 35 39 37 38 36 38 Liczebość daychy = 9 Po uporządkowaiu: 35 35 36 36 37 38 38 39 40; Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 0
* Mediaa Dla daych zagregowaych w szereg rozdzielczy przy wyzaczaiu mediay moża wykorzystać szereg liczebości skumulowaych. Mediaa zajduje się w klasie, w której skumulowae liczebości przekraczają lub co ajmiej osiągają umer kolejej jedostki środkowej. Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW
* Mediaa - przykład Pracowicy pewego zakładu według czasu dojazdu do pracy. Czas dojazdu (mi.) Liczba pracowików Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW Skumulowaa liczba pracowików 5-5 3 3 5-5 5 8 5-35 5 33 35-45 5 48 45-55 5 53 55-65 55 Ogółem 55 Jedostka środkowa ma umer (55+)/=8 i ależy do przedziału <5;35). Zatem mediaa ależy do tego przedziału.
Liczba pracowików * Mediaa przykład cd. Wyzaczaie mediay metodą graficzą: 60 Na wykresie dystrybuaty 50 empiryczej, a osi pioowej 40 zajdujemy (+)/ i przez te 30 pukt prowadzimy prostą 0 prostopadłą aż do przecięcia się 0 0 z łamaą. Pukt przecięcia 5 5 5 35 45 55 65 M() rzutujemy a oś poziomą i Czas dojazdu w mi odczytujemy, mediaę czasu dojazdu wyoszącą około 33 miut. Zatem połowa badaych pracowików dojeżdża do pracy w czasie ie dłuższym, a połowa w czasie ie krótszym iż około 33 miuty. Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 3
Parametry rozrzutu Parametry rozrzutu (rozproszeia, dyspersji) - opisują zróżicowaie, zmieość dla daych: wariacja (miara klasycza) odchyleie stadardowe (miara klasycza) współczyik zmieości (miara klasycza) rozstęp (miara pozycyja) Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 4
Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 5 Wariacja Wariacja obciążoa s i i i i obc... Wariacja ieobciążoa... s i i i i Najmiejsza wartość wariacji wyosi zero, im większe zróżicowaie, tym większa wartość wariacji.
Odchyleie stadardowe Odchyleie stadardowe (wyrażae w takich jedostkach, w jakich mierzoa jest cecha). s s Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 6
Współczyik zmieości Współczyik zmieości cv s 00% Im miejszą przyjmuje wartość, tym miejsza zmieość (miej zróżicowaa cecha). Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 7
Rozstęp Rozstęp (obszar zmieości) R ma mi Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 8
* Asymetria rozkładu wartości cechy Przykład. Notowao liczbę błędów popełiaych przez operatorów komputerów w ciągu dia pracy: A po tygodiu od rozpoczęcia pracy, B po miesiącu od rozpoczęcia pracy, C - po półroczym okresie pracy. Liczba operatorów Klasa Liczba błędów A B C 0-3 3 4 5 3 5 6 4 3 4 7 8 3 5 5 9 0 5 6 3 Razem 5 5 5 Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 9
Liczebość * Przykład cd. 6 5 4 3 A B C 0 3 4 5 6 Klasy liczby błędów A domiują osoby popełiające dużo błędów B domiują osoby popełiające średią ilość błędów C domiują osoby popełiające mało błędów Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 30
* Parametry asymetrii (skośości) Momet trzeci względy (miara klasycza) Dla daych,,..., : gdzie: 3 A 3 μ s 3 3 i i 3 Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 3
* Parametry asymetrii Wzory dla szeregu rozdzielczego Momet trzeci cetraly: μ 3 k i 3 i i Momet trzeci względy: A 3 μ s 3 3 Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 3
* Iterpretacja Iterpretacja zaku μ 3 w oceie kieruku asymetrii: μ 0 3 rozkład symetryczy μ 0 3 (asymetria prawostroa) μ 0 (asymetria lewostroa) 3 Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 33
* Iterpretacja A3 Na podstawie badań empiryczych: A, 3 im wartość A 3 bliżej 0, tym słabsza asymetria im wartość A 3 dalej się od 0, tym większe atężeie asymetrii Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 34
* Przykład - rachuki pomocicze Wyzaczeie parametrów dla przykładu o błędach operatorów: Klasa Środek klasy i A liczeb. i Rachuki pomocicze: i i (i - ) (i - ) (i - ) i (i - ) 3 (i - ) 3 i 0 - -7 49 49-343 -343 3 4 3,5 3,5-4,5 0,5 0,5-9,5-9,5 5 6 5,5 -,5 6,5,5-5,65-3,5 7 8 7,5 3,5-0,5 0,5 0,75-0,5-0,375 9 0 9,5 5 47,5,5,5,5 3,375 6,875,5 3 34,5 3,5,5 36,75 4,875 8,65 Razem 5 Suma 30,5-30,5 = 8,00 wariacja s 8,70 odch. stad. s,95 µ3 -,35 A3-0,83 Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 35
Liczebość * Przykład wyiki A: B: C µ 3 -,35-3,9 5,6 A 3-0,83-0,9 0,57 6 5 4 3 A B C 0 3 4 5 6 Klasy liczby błędów Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW 36