Statystyka. Wykład 3. Magdalena Alama-Bućko. 6 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

Transkrypt

1 Statystyka Wykład 3 Magdalena Alama-Bućko 6 marca 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

2 Szeregi rozdzielcze przedziałowe - kwartyle - przypomnienie Po ustaleniu przedziału, w którym znajduje się j-ty kwartyl znajdujemy "dokładna" wartość według wzoru (j=1,2,3): Q j = x Qj + k 1 j 4 n gdzie n - liczebność próby x Qj - dolna granica przedziału, w którym znajduje się j-ty kwartyl n Qj - liczebność przedziału zawierajacego j-ty kwartyl suma liczebności wszystkich przedziałów poprzedzajacych przedział z j-tym kwartylem to n Qj n i i Qj k 1 n j = n 1 + n n Qj 1 j=1 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

3 Nasz przykład o drzewach szereg rozdzielczy przedziałowy przedział n j n cum [4.12, 4.55] 6 6 (4.55, 4.98] 6 12 (4.98, 5.41] 9 21 (5.41, 5.84] (5.84, 6.27] (6.27, 6.7] 9 54 (6.7, 7.13] 7 61 (7.13, 7.56] 8 69 n =69 Q 1 : pozycja : j 4 n = 1 4 n = 69 4 = 17, 25 Q 2 = Me : pozycja 2 4 n = n 2 = 69 2 = 34, 5 Q 3 : pozycja : 3 4 n = 3n 4 = = 51, 75 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

4 Nasz przykład o drzewach - Q 1 szereg rozdzielczy przedziałowy przedział n j n cum [4.12, 4.55] 6 6 (4.55, 4.98] 6 12 (4.98, 5.41] 9 21 (5.41, 5.84] (5.84, 6.27] (6.27, 6.7] 9 54 (6.7, 7.13] 7 61 (7.13, 7.56] 8 69 n =69 Q 1 : pozycja : j 4 n = 1 4 n = 69 4 = Q 1 = x Q n k 1 n i n Q1 i Qj = = 5.23 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

5 Nasz przykład o drzewach - Q 2 = Me szereg rozdzielczy przedziałowy przedział n j n cum [4.12, 4.55] 6 6 (4.55, 4.98] 6 12 (4.98, 5.41] 9 21 (5.41, 5.84] (5.84, 6.27] (6.27, 6.7] 9 54 (6.7, 7.13] 7 61 (7.13, 7.56] 8 69 n =69 Q 2 : pozycja : 2 4 n = n 2 = 69 2 = 34.5 Q 2 = x Q n k 1 n i n Q2 i Qj = = 5.86 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

6 Nasz przykład o drzewach - Q 3 przedział n j n cum [4.12, 4.55] 6 6 (4.55, 4.98] 6 12 (4.98, 5.41] 9 21 (5.41, 5.84] (5.84, 6.27] (6.27, 6.7] 9 54 (6.7, 7.13] 7 61 (7.13, 7.56] 8 69 n =69 Q 3 : pozycja : 3 4 n = 3n 4 = = Q 3 = x Q n k 1 n i n Q3 i Qj = = 6.59 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

7 Wnioski : 25% drzew ma wysokość mniejsza badź równa 5.23 metra i 75% drzew ma wysokość większa badź równa 5.23 metra. 50% drzew ma wysokość mniejsza badź równa 5.86 metra i 50% drzew ma wysokość większa badź równa 5.86 metra. 75% drzew ma wysokość mniejsza badź równa 6.59 metra i 25% drzew ma wysokość większa badź równa 6.59 metra. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

8 Analiza struktury zbiorowości miary położenia ( miary średnie) miary zmienności (rozproszenia, dyspersji) miary asymetrii miary koncentracji. Miary zmienności (dyspersji, rozproszenia ) służa do określania zróżnicowania jednostek zbiorowości (tzn. jak bardzo jednostki różnia się między soba) ze względu na wartość badanej cechy. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

9 Miary zmienności dziela się na: a) miary bezwzględne (podawane w jednostkach takich, jak dana cecha) miary klasyczne: wariancja odchylenie standardowe odchylenie przeciętne miary pozycyjne: rozstęp odchylenie ćwiartkowe b) miary względne (podawane w %) współczynnik zmienności (pozycyjny i klasyczny ) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

10 Miary bezwzględne Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

11 Wariancja - to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń wartości cechy od średniej (jednostka wariancji : jednostka 2 czyli m 2, kg 2,...) s 2 = (x 1 x) 2 + (x 2 x) (x n x) 2 n Szereg rozdzielczy punktowy = 1 n n (x i x) 2. s 2 = (x 1 x) 2 n (x k x) 2 n k n Szereg rozdzielczy przedziałowy s 2 = (ˆx 1 x) 2 n (ˆx k x) 2 n k n = 1 n = 1 n k n i (x i x) 2 k n i (ˆx i x) 2 gdzie ˆx j jest środkiem j- tego przedziału, czyli (x j, x j+1 ]. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

12 Własność szereg szczegółowy s 2 = 1 n n (x i x) 2 = 1 n n x 2 i x 2 szereg rozdzielczy punktowy s 2 = 1 n k n i (x i x) 2 = 1 n k n i x 2 i x 2 szereg rozdzielczy przedziałowy s 2 = 1 n k n i (ˆx i x) 2 = 1 n k n i ˆx 2 i x 2 gdzie ˆx j jest środkiem j- tego przedziału, czyli (x j, x j+1 ]. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

13 zatem wariancję można wyliczyć również z wzoru s 2 = x 2 (x) 2, gdzie pierwsza średnia oznacza średnia arytmetyczna z kwadratów obserwacji oczywiście s 2 = 1 n (x i x) 2 0 n s 2 = 0, gdy wszystkie obserwacje sa sobie równe, czyli x 1 = x 2 =... = x n = x. dla szeregu rozdzielczego przedziałowego wariancja jest wielkościa zawyżona, więc w celu zmniejszenia popełnianego błędu stosuje się poprawkę Shepparda równa 1 12 l2, gdzie l oznacza rozpiętość pojedynczego przedziału, tzn. s 2 = 1 n k n i (ˆx i x) l2 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

14 Przykład 1 (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4) x = 1 7 ( ) = 14 7 = 2 s 2 = 1 n 7 (x i x) 2 = (1 2)2 + (1 2) 2 + (1 2) 2 + (2 2) (2 2)2 + (3 2) 2 + (4 2) = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

15 Przykład 2 szereg rozdzielczy punktowy x j n j x j n j x j x (x j x) 2 n j (x j x) n = x = = 14 7 = 2 k s 2 = 1 n n i (x i x) 2 = = 8 7 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

16 Przykład 3 szereg rozdzielczy przedziałowy przedział n j ˆx j ˆx j n j (ˆx j x) 2 n j (ˆx j x) 2 [4.12, 4.55] (4.55, 4.98] (4.98, 5.41] (5.41, 5.84] (5.84, 6.27] (6.27, 6.7] (6.7, 7.13] (7.13, 7.56] n = x = 1 69 s 2 = 1 n 8 k n i ˆx i = = l = 0.43 n i (ˆx i x) l2 = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

17 Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji, czyli s = s 2. wyraża się w tych samych jednostkach, co badana cecha, tzn. w metrach, kilogramach,... w przykładzie 1 : s 2 = 8 7 = s = w przykładzie 2: to samo co w przykładzie 1 w przykładzie 3: s 2 = s = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

18 Typowy obszar zmienności x s < x typ < x + s Na ogół około 2/3 (czyli 67%) jednostek badanej zbiorowości przyjmuje wartości w tego przedziału. Dla około 67%) jednostek wartości badanej cechy różnia się od wartości średniej o +/ s jednostek. w przykładzie 1 i 2: x = 2, s = 1.069, zatem < x typ < < x typ < w przykładzie 3: x = 5.89, s = < x typ < < x typ < 6.77 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

19 Odchylenie przeciętne (średnie) - to średnia arytmetyczna wartości bezwzględnej odchyleń wartości cechy od średniej (w jednostkach takich jak cecha, czyli metrach, kg,...) d = x 1 x + x 2 x x n x n Szereg rozdzielczy punktowy d = x 1 x n x k x n k n Szereg rozdzielczy przedziałowy d = ˆx 1 x n ˆx k x n k n = 1 n = 1 n = 1 n n x i x. k n i x i x k n i ˆx i x gdzie ˆx j jest środkiem j- tego przedziału, czyli (x j, x j+1 ]. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

20 Rozstęp z próby: R = x max x min. różnica między najmniejsza i największa obserwacja R 0 R = 0? np. amplituda temperatur np. rozpiętość czasu potrzebnego na wykonanie pewnej określonej czynności Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

21 Odchylenie ćwiartkowe: Q = Q 3 Q 1 2 mierzy poziom zróźnicowania tylko części jednostek ( 50% środkowych obserwacji, po odrzuceniu 25% obserwacji najmniejszych i 25% obserwacji największych) miara ta nie jest wrażliwa na skrajne (nietypowe wartości) w przykładzie 1 i 2 : Q 1 = 1, Q 3 = 3 Q = 3 1 = 1. 2 w przykładzie 3: Q 1 = 5.23, Q 3 = 6.59 Q = = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

22 Pomiędzy miarami zróżnicowania zachodza relacje: Q < d < s d i s sa miarami dokładniejszymi, bo sa wyliczane na podstawie wszystkich obserwacji Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

23 Typowy obszar zmienności ( parametry pozycyjne) Me Q < x typ < Me + Q Wartości badanej cechy różnia się od wartości mediany (środkowej) o +/- Q jednostek w zawężonym obszarze zmienności. w przykładzie 1 i 2: Me = 2, Q = 1, zatem 2 1 < x typ < < x typ < 3 w przykładzie 3: Me = 5.86, Q = < x typ < < x typ < 6.54 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

24 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności V jest ilorazem bezwzględnej miary dyspersji i odpowiednich wartości średnich, tzn. x s, d Me Q może być wyrażany w procentach albo wartościach liczbowych Stanowi procentowy udział bezwzględnej miary dyspersji (tzn. odchylenia standardowego, odch. średniego, Q) w średnim poziomie badanej cechy (tzn. odpowiednio x, Me ). służy do porównywania stopnia zróźnicowania cechy w kilku populacjach, w których "średnie" sa takie same Im wyższa wartość współczynnika zróżnicowania, tym silniejsze zróżnicowanie (niejednorodność) badanej zbiorowości. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

25 Współczynnik zmienności (klasyczny): V s = s 100%, ( jeśli x > 0). x Interpretacja: Zróżnicowanie mierzone odchyleniem standardowym wynosi V s procent średniej arytmetycznej. V d = d x 100%, jeśli x > 0, gdzie d oznacza odchylenie przeciętne. Interpretacja: Zróżnicowanie mierzone odchyleniem średnim wynosi V d procent średniej arytmetycznej. Jeśli x < 0, należy w obu powyższych wzorach podstawić wartość bezwzględna ze średniej, tzn. zamiast x należy użyć x, tak, by V s i V d przyjmowały wartości dodatnie. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

26 Współczynnik zmienności (pozycyjny): V Q = Q Me 100%, jeśli Me > 0, a Q oznacza odchylenie ćwiartkowe. Interpretacja: Zróżnicowanie cechy mierzone odchyleniem ćwiartkowym wynosi V Q wartości mediany. Jeśli Me < 0, należy we wzorze podstawić wartość bezwzględna z Mediany, tzn. Me = Me, tak, by V Q przyjmował wartości dodatnie. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

27 Przy określaniu stopnia zróżnicowania można przyjać następujacy podział: V < 20% - małe zróżnicowanie cechy (mała zmienność) 20% V < 40% - przeciętne zróżnicowanie cechy ( przeciętna zmienność) 40% V < 100% - duże zróżnicowanie cechy ( duża zmienność) V 100% - bardzo duże zróżnicowanie cechy ( bardzo duża zmienność) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

28 Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28